24.4.4 切线长定理的应用 课件 2025-2026学年 沪科版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦切线长定理的应用，通过复习切线的性质、判定及切线长定理，梳理“连半径，证垂直”“作垂线，证半径”两种判定思路，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以问题解决为主线，例题解析步骤详尽，如例1连半径证垂直、例2作垂线证半径，培养数学思维中的推理能力。练习从基础到提高层次分明，渗透转化思想，学生能提升抽象能力与应用意识，教师可直接使用丰富例题与练习，提高教学效率。

24.4.4 切线长定理的应用 课件说明 教学目标： 1．理解切线长定理，并会用其解决有关问题； 2．经历探究切线长定理的过程，体会应用内切圆相 　 关知识解决问题，渗透转化思想． 教学重点： 切线长定理及其应用． 圆的切线垂直于过切点的半径． 切线的性质 　　经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线． 切线的判定 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理： 复习旧知 如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心得半径，证这 条半径与该直线垂直. 当直线与圆的交点个数或交点的位置不明确时，则过圆心作直线的垂线，然后证圆心到直线的距离等于圆的半径. O A B C O A B C D 思路1： 概括为:连半径，证垂直. 思路2： 概括为:作垂线，证半径. 判定圆的切线的两种思路： 例1.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，且AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB.求证：直线CP是⊙O的切线. 连接 OC ． 证明： ∵AB是⊙O的直径， ∴OA=OC. 1 2 3 ∴∠1=∠2， ∵AE⊥CP， ∴∠3＋∠PCA=90°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠1=∠3， ∴∠2＋∠PCA=90°， ∴OC⊥CP， ∴直线CP是⊙O的切线. ∴∠2=∠3， 连半径，证垂直 例题解析 ∵ BO平分∠ ABC，OC⊥BC，OG⊥AB， ∴OC=OD. ∴OG是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线. 例2 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，点O在∠ABC的平分线上，以点为圆心，OC长为半径作⊙O. (1)求证:AB与⊙O相切； (2)若OC=1，AO=2，求BC的长. 过点O作OD⊥AB 于点D. (1)证明: 作垂线，证半径. O A C B D 例2 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，点O在∠ABC的平分线上，以点为圆心，OC长为半径作⊙O. (2)若OC=1，AO=2，求BC的长. O A C B (2)解: D ∵OC=1，AO=2， ∵ OD⊥AB，OD=OC=1， ∴AD= ∴∠ADO=∠C=90°， ∠A=∠A， ∴AC=3. ∴△ACB∽△ADO. ∴BC:OD=AC:AD ∴BC:1=3: ， ∴BC= . 3 3 3 ∴AD2=AО2－OD2=22－12=3 1. 已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D. DE⊥AC于点E. 求证：DE是⊙O的切线. D O A B E C 证明： 连接OD. ∵ AB是⊙O的直径， ∴OA=OB. ∵ ⊙O过BC的中点D， ∴CD=BD. ∴ OD∥AC， ∴∠ODE=∠DEC， ∵ DE⊥AC， ∴ ∠DEC=90°. ∴ ∠ODE=90°. ∴ DE⊥OD. ∴ DE是⊙O的切线. 练习巩固 2.如图，已知在△ABC中，∠B=90°， ∠A的平分线交BC于点D，点E在AB上，DE=DC，以点D为圆心、DB为半径作⊙D. 求证:AC是⊙D的切线. D A C B E 证明： F 过点D作DF⊥AC，垂足为F. ∴∠DFA=∠B=90°. ∵ AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAF， ∵ AD=AD， ∴△BAD≌△FAD (AAS) ∴DF=DB. ∴ AC是⊙D的切线. 3.如图.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，点O在CD上，作⊙O ，使⊙O与AD相切于点B， ⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB=∠F. (1)求证：AC是⊙O的切线. (2)若OC=3，DE=2，求tan∠F的值. F D O A C E B 如图.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，点O在CD上，作⊙O ，使⊙O与AD相切于点B， ⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB=∠F.(1)求证：AC是⊙O的切线. (1)证明： ∴∠OAC=∠F. ∴∠OAB=∠OAC. ∵⊙O与AD相切于点B， ∴OB⊥AB. ∴OC⊥AC. ∵ DF∥AC ， ∵∠OAB=∠F， ∵∠ACD=90°， ∴OB=OC. ∴点C在⊙O上. ∵OC⊥AC， ∴AC是⊙O的切线. F D O A C E B 如图.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，点O在CD上，作⊙O ，使⊙O与AD相切于点B， ⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB=∠F. (2)若OC=3，DE=2，求tan∠F的值. (2) ∵OB=OC=3， ∴CE=2OC=6. ∴CD=CE＋DE =6＋2 =8， OD=OE＋DE =3＋2 =5. 在Rt△ACD中， =52－32 BD2=OD2－OB2 =42， ∴BD=4. ∵∠ACD=∠OBD= 90°， ∠ODB=∠ADC ∴△ACD∽△OBD. F D O A C E B (2) ∵OB=OC=3， ∴CE=2OC=6. ∴CD=CE＋DE =6＋2 =8， OD=OE＋DE =3＋2 =5. 在Rt△ACD中， =52－32 BD2=OD2－OB2 =42， ∴BD=4. ∵∠ACD=∠OBD= 90°， ∠ODB=∠ADC ∴△ACD∽△OBD. ∴AC:OB=CD:BD ∴AC:3=8:4， ∴AC=6. ∵∠OAC=∠F. ∴tan∠F= tan∠OAC = OC AC = = 1 2 3 6 F D O A C E B 1.如图，AB是⊙O的切线，切点为A. BO的延长线交⊙O于点C，若∠ACB=33°，则∠B的度数为 . O A B C 24° 见切点，连半径 巩固提高 2.如图，已知：AB是⊙O的直径，过A点作AC交⊙O于D，且AD=CD，连接BC，过D点作⊙O的切线交BC于E．当AB=10，AD=7时，CE的长为 ． A B C D O E 4.9 3.如图，已知⊙O的圆心O在与矩形ABCD的边BC上， ⊙O 与AD相切于点E，与DC相切于点C，交AB边于F，交CB边的延长线于G．连接CF，若CF的长为20，则矩形ABCD的面积为 ． 200 A B C D O E F G CF2=BC · CG =BC · 2OG =BC · 2OE =BC · 2AB 4.如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点 A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点 为C. 若AC=6cm，CB=8 cm，则⊙O的半径 为 cm. A B C O 25 3 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8， 点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O，交BC于 点E，连接DE，若DE是的切线，此时⊙O的半径 为( ). B．  A.  2       B.      C.          D. 5 2 35 16 21 10 O A B C D E C F 6.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD. (1)求证：DC=BC； (2)若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值. · A B O D E C 见切点，连半径 ∠CAD＝∠BAC DC＝BC ︵ ︵ ∠OCA＝∠CAD OC∥AE . AE⊥CE ， OC⊥CE ， DC=BC 分析： (1)证明：连接OC. ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA . ∵CE是⊙O的切线 ， ∴AE⊥CE . ∵AE⊥CE ， ∴OC∥AE . ∴∠OCA=∠CAD ， ∴∠CAD=∠BAC ， ∴DC=BC ， ∴DC=BC . ︵ ︵ · A B O D E C (2)∵AB是⊙O的直径 ， ∴∠ACB＝90°， ∴BC=3 . ∵∠CDE=∠ABC ，∠AEC=∠ACB＝90°， ∴△DCE∽△BAC ， ∴∠DCE=∠BAC. ∵tan∠BAC= ∴tan∠DCE= . · A B O D E C 3 4 ∴ BC2=AB2－AC2 =52 －42 =32， = ， BC AC 3 4 (1)通过本节课的学习你学会了哪些知识？ (2)应用切线的判定定理和性质定理时， 需要注意什么？ 课堂小结 谢谢 $