4.2.2等差数列的前n项和（第二课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕等差数列前n项和展开，涵盖公式、Sn与an关系、最值问题及性质应用。通过“温故知新”复习前n项和定义与公式，衔接第二课时性质，搭建从基础到性质应用的学习支架。 其亮点在于题型分类清晰，结合例题详解与变式训练，通过推导Sn=An²+Bn培养推理能力，用二次函数模型体现模型观念，从Sn表达式抽象等差数列条件发展抽象能力。助力学生形成逻辑思维，教师可据此设计分层教学提升效率。

温故知新： 一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和，常用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an 1.数列的前n项和： 2.等差数列的前n项和公式： (Sn，a1,n,an 知三求一) (Sn，a1, n, d知三求一) 4.2.2 等差数列的前n项和公式的性质（第二课时） 2 1 2 目录 3 3 Sn与an的关系： 题型一：Sn与an的关系求 　　例1：若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 例2 当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列 跟踪训练1 　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， ∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列. 如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p, q, r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？ 证：当n≥2时， 当n=1时，a1=S1=p+q+r 当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q，此时该数列是等差数列. an =Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q 当r ≠0时，a1不满足an=2pn-p+q，此时数列不是等差数列. 总结 故只有当r=0时该数列才是等差数列, 其中首项a1=p+q, 公差d=2p(p≠0). 当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是一个关于n且常数项为零的二次函数. （4）Sn=An2+Bn(A，B为常数）{an}是等差数列 注：1.等差数列的判定方法 （1）an+1－an＝d（常数）（n∈N+){an}是等差数列 （2）2an+1=an+an+2（n∈N+){an}是等差数列 （3）an=pn+q(p,q为常数，n∈N+）{an}是等差数列 题型二：等差数列前n项和最值问题 例2 . . . . . . . . . . . . . 解1： 回li 方法：二次函数法 例2 解2： 回li 方法：通项法 . . . . . 变式1 . . . . . . . . . . . . 变式3 。。 . . . . . . . . . . . 变式4 。。 题型五：等差数列前n项和性质应用 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 1. B C 。。 小试牛刀 6或7 0 AD 。。 (1)当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值. 此时由an≥0且an+1≤0求n的值； (2)当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值. 此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值； 注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解. 求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法 1.前n项和公式法 2.通项公式法 利用Sn=An2+Bn进行配方，求二次函数的最值， 此时n应取最接近 的正整数值； 利用等差数列的增减性及an的符号变化 课时小结 ∴数列{an}的通项公式是an＝ 2．若数列{an}中，an＝43－3n，则Sn的最大值n＝(　　) A．13 B．14 C．15 D．14或15 $