精品解析：安徽省合肥市第四十六中学2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷

2025-2026学年度第一学期期中教学质量检测卷 九年级数学 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为常数，且，并能据此判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，对各选项逐个分析，即可求解． 【详解】解：根据二次函数是最高次项为二次且二次项系数不为0的整式函数，可知， A、当，不是二次函数，故选项A不符合题目要求， B、是分式函数，不是二次函数，故选项B不符合题目要求， C、是二次函数，故选项C符合题目要求， D、是一次函数，不是二次函数，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 2. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标和开口方向，从而即可判断各选项的正确性． 【详解】解：∵二次函数为 ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意． ∵， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点，函数有最大值为，无最小值，故选项C错误，不符合题意． 当时，函数单调递减，即随的增大而减小，故选项B正确，符合题意． 故选：B． 3. 如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例和总长度，求出的长．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 故选：A． 4. 把二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的法则“上加下减、左加右减”即可解答． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为， 故选：D． 5. 已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点位于第一象限，且， ∵ ∴位于第三象限，且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 7. 某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 8. 如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当时，，即，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知，则；又抛物线与轴交于负半轴，则，即可判断一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据抛物线图象可得，当时，，即，故双曲线分别位于第二、四象限； 由抛物线图象可知，，则， ∵抛物线与轴交于负半轴，则， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项A符合题意． 故选：A． 9. 如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1）， ∵，， ∴， ∴-1≤m≤0， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质． 10. 如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，先作辅助线，然后根据勾股定理求出的值，然后根据三角形相似可求得线段之间的比例，进而求得结果，准确作出辅助线，求出与的长是解题的关键． 【详解】解：过F作于H，交于O，如图所示： ， ∵，E为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段x，y满足，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，根据题意设，则，再代入式子求解，即可解题． 【详解】解：已知 ， 设，则， 则 ． 故答案为：4． 12. 一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则该学生推铅球的水平距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，把直接代入，解得值，即可作答． 【详解】解：依题意，把直接代入， 得 解得，（不符合题意，舍去）， 故则该学生推铅球的水平距离为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键． 13. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，C，D是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故答案为： 14. 如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则__________； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是__________． 【答案】 ①. ## ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，推出即可求解； （2）证明，推出，由得，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图象经过，且顶点．求二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，由于已知顶点坐标，可设二次函数的顶点式，再代入已知点求参数即可．掌握并利用二次函数的顶点式确定二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的顶点， ∴可设二次函数的解析式为， 又∵该二次函数的图象经过， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 16. 已知 ，且，求的值 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图： （1）将向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，请在图1中直接作出； （2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得．（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查平移作图，相似三角形的判定与性质． （1）直接按照平移方式作图即可； （2）利用相似三角形判定，结合网格求解即为本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图设正方形网格的边长为1，延长到点Q，使，作，且使，连接，交于点M， ，， ， ． 18. 如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得代入数值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点，的抛物线与轴的另一个交点为，点为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点． （1）当时，求； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点、坐标，确定抛物线的解析式为，根据平行线的性质得点的纵坐标，进而求出点的坐标及的长，再利用相似三角形的判定和性质求解即可； （2）如图，过作轴交于点，设，得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，得；当时，得， ∴，， 又∵过点，的抛物线与轴的另一个交点为， ∴设抛物线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴设抛物线解析式为， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同都是， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作轴交于点，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法确定二次函数解析式及二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，掌握相似三角形的判定和性质及二次函数的性质是解题的关键． 20. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数，反比例函数 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解函数解析式，图形面积的计算以及函数图象解不等式的解集，根据点与函数的关系可求解点的坐标与函数解析式，再观察图像得到函数的性质是解决本题的关键． （1）先将点代入中可求解m的值，再将点代入中可求解n的值，再将点A与点B代入中即可求解k与b的值； （2）先求出一次函数与y轴的交点，即点D，再根据即可求解； （3）不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值，观察函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴点， 将点与点代入中， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴点， 又∵点，点， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象，当时， 不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值， ∴或． 六、解答题（本题满分12分） 21. 有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为． （1）求S关于x的函数解析式； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？ （3）能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）花圃的长为 （3）能；围法：花圃的长为，宽为，这时有最大面积 【解析】 【分析】（1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出S与x的函数关系式即可； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出x的值即可． （3）可根据（1）中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案． 【小问1详解】 解：由题可知，花圃的宽为，则为，面积， ∵，墙的最大可用长度a为， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：将代入得：， 化简得：， 解得， ∵， 不合题意，舍去， 答：花圃的宽为； 【小问3详解】 解： 对称轴为，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 当时，S有最大值， 此时， 故能围成面积比45平方米更大的花圃 围法： (米)，即花圃的长为，宽为，这时有最大面积． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． 22. 如图，中，，，为边上一动点（不与、重合），、的垂直平分线交于点，连接、、和，与相交于点，设． （1）请用含的代数式表示的度数； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） 证明： ∵， ∴， ∵和的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出，由等腰三角形的性质得出结论； （2）证出，由相似三角形的判定可得出结论； （3）设，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得出x，x，则可得出答案． 【小问1详解】 解：∵和的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 设，则x， ∴x， ∴x， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 八、解答题（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线过点，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若与的面积分别记作，，当时，求的值； （3）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S． ①当时，求S的最大值； ②当时，直接写出时t的值． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）当时， （3）①当时，S有最大值16；②或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据抛物线过点和，可以求出对称轴，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据点A的坐标，可以表示点D的坐标为，点E的坐标为，然后根据求出结果即可； （3）①根据求出解析式，配方找到最大值即可；②根据分两种情况求出解析式，令求出t值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， 则对称轴为， 设解析式为，把，代入得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设A的坐标为，则点B的坐标为， 又∵过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C， ∴点D的坐标为，点E的坐标为，即， ∴； 【小问3详解】 ①解： ， ∴当时，最大，最大为； ②令，则， 解得：（舍去）或； 当时， ， 令，则， 解得：； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中教学质量检测卷 九年级数学 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 3. 如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 4. 把二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段x，y满足，那么______． 12. 一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则该学生推铅球的水平距离为______． 13. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 14. 如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则__________； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是__________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图象经过，且顶点．求二次函数的解析式． 16. 已知 ，且，求的值 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图： （1）将向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，请在图1中直接作出； （2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得．（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） 18. 如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点，的抛物线与轴的另一个交点为，点为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点． （1）当时，求； （2）求面积的最大值． 20. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 六、解答题（本题满分12分） 21. 有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为． （1）求S关于x的函数解析式； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？ （3）能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 22. 如图，中，，，为边上一动点（不与、重合），、的垂直平分线交于点，连接、、和，与相交于点，设． （1）请用含的代数式表示的度数； （2）求证：； （3）若，求的值． 八、解答题（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线过点，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若与的面积分别记作，，当时，求的值； （3）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S． ①当时，求S的最大值； ②当时，直接写出时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $