精品解析：江苏省淮安市淮阴区阳光初级中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026第一学期江苏省淮安市淮阴区阳光学校九年级期中数学试卷 （时间：90分钟 分值：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在相应位置上） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列各组线段，其中成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示： 年龄(岁) 18 19 20 21 22 人数 2 5 2 2 1 则这12名队员年龄的众数、中位数分别是(　　) A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 春节期间，中国诗词大会》节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：锄禾日当午；春眠不觉晓；白日依山尽；床前明月光，甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在了纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为　　 A. B. C. D. 7. 如图，在中，D、E分别在边AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是　　 A. B. C. D. 8. 过的顶点的两条直线分三角形边上的中线所成的比，则这两条直线分边所成的比为（ ） A. 4:5:3 B. 3:4:2 C. 2:3:1 D. 1:1:1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上） 9. 已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是 ． 10. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到K的概率是_____． 11. 某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的5：3：2的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80，70，75，则这位超市员工的总分为__． 12. 甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是s甲2、s乙2，且s甲2＞s乙2，则队员身高比较整齐的球队是_____． 13. 若a:b:c=1:2：3，则____________ 14. 已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 _____． 15. 点是的黄金分割点，，则线段的长为__________． 16. 在中，，点D在直线上，，点E为边的中点，连接，射线交于点M，则的值为___________． 三、解答题（本大题共6题，共52分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 19. 年底新冠病毒爆发，学校进行在线教学．小杰同学为了了解网课学习情况，对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查，课程分别是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程，并制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题∶ （1）本次调查中一共调查了___________名学生，其中“名著阅读”所占的圆心角度数为___________，并把条形统计图补全． （2）在调查的同学中随机选取一名学生，求他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率． （3）若该校一共有名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数． 20. 在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）若从中任意摸出一个球，摸出白球的概率为　 ； （2）先摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率（要求画树状图或列表）．（设红球为A，黄球为B，白球为C） 21. 某工厂生产一批小家电，2020年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术、降低成本，这两年出厂价下降的百分率相同，2022年的出厂价调整为100元． （1）求这两年出厂价下降的百分率． （2）某商场2022年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了尽快减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，小家电售价每降低5元，每天可多售出10台，若每天要盈利1250元，小家电的售价应为多少元？ 22. 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期江苏省淮安市淮阴区阳光学校九年级期中数学试卷 （时间：90分钟 分值：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在相应位置上） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，整理得，不符合题意； B. ，不一定是一元二次方程，不符合题意； C. 是一元二次方程，符合题意； D. ，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 2. 若，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质分析即可，根据已知条件可得，再逐项分析即可 【详解】解：， A. 由可得，，故该选项正确，不符合题意； B. 由可得，，故该选项正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，符合题意 故选D 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 3. 给出下列各组线段，其中成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案 【详解】解：A、1×4≠2×3，故选项错误； B、2×5≠3×4，故选项错误； C、0.3×0.9≠0.6×0.5，故选项错误； D、1×=×，故选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 4. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示： 年龄(岁) 18 19 20 21 22 人数 2 5 2 2 1 则这12名队员年龄的众数、中位数分别是(　　) A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第6、7个数的平均数， 则这12名队员年龄的中位数是=19（岁）； 19岁的人数最多，有5个，则众数是19岁． 故选D． 【点睛】本题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．首先根据根的判别式求出的取值范围，然后从中找到最小整数即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴满足条件的最小整数的值是， 故选：D． 6. 春节期间，中国诗词大会》节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：锄禾日当午；春眠不觉晓；白日依山尽；床前明月光，甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在了纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到他们选取的诗句恰好相同的结果数，根据概率公式计算可得． 【详解】画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能结果，其中他们选取的诗句恰好相同的结果有4种， ∴他们选取的诗句恰好相同的概率为， 故选B． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，在中，D、E分别在边AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断． 【详解】A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∵CE≠AC，∴，故本选项错误； B、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本选项错误； C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，故本选项正确； D、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本选项错误. 故选C. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找对应线段是关键． 8. 过的顶点的两条直线分三角形边上的中线所成的比，则这两条直线分边所成的比为（ ） A. 4:5:3 B. 3:4:2 C. 2:3:1 D. 1:1:1 【答案】B 【解析】 【分析】根据AD是中线得点D是中点，过点D作DM∥AC交BG、BH于点N、M，则N、M也是边BG与边BH的中点，然后根据平行线分线段成比例定理列式求出AG与AC的关系，CH与AC的关系，再求出GH与AC的关系，然后即可求出AG：GH：HC的比值． 【详解】如图，过点D作DM∥AC交BG、BH于点N、M， ∴，， ∵AE：EF：FD=4：3：1， ∴，， ∴DN=AG，DM=AH， 又∵AD是△ABC的中线， ∴点D是BC的中点， ∴点N是BG的中点，点M是BH的中点， ∴DN=CG，DM=CH， ∴AG=CG，CH=AH， ∵AG+CG=AC，CH+AH=AC， ∴AG=AC，CH=AC， ∴GH=AC-AG-CH=AC-AC-AC=AC， ∴AG：GH：HC=AC：AC：AC=3：4：2． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线等于第三边的一半的性质，作出平行线，用AC表示出AG、GH、HC是解题的关键，本题难度较大，灵活性较强，是道不错的好题． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上） 9. 已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据众数的概念，确定x的值，再求该组数据的方差. 【详解】∵一组数据5，8，10，x，9的众数是8，∴x=8， ∴这组数据为5，8，10，8，9，该组数据的平均数为：． ∴这组数据的方差 【点睛】本题考查众数与方差，熟练掌握众数的概念，以及方差公式是解题的关键. 10. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到K的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.一副52张（没有大小王）的扑克牌中A有4张，利用概率计算公式能求出抽到的这张牌是A的概率． 【详解】解：一副52张(没有大小王)的扑克牌中任意抽取一张，基本事件总数， 一副52张(没有大小王)的扑克牌中有4四张A，抽到的这张牌是A的基本事件个数， ∴抽到的这张牌是A的概率p=== 故答案为 11. 某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的5：3：2的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80，70，75，则这位超市员工的总分为__． 【答案】76 【解析】 【分析】运用加权平均数的计算公式求解． 【详解】解：这位员工得分==76． 故答案为76．． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 12. 甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是s甲2、s乙2，且s甲2＞s乙2，则队员身高比较整齐的球队是_____． 【答案】乙队 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】∵s甲2＞s乙2，平均数相同， ∴队员身高比较整齐的球队是乙队， 故答案为：乙队． 【点睛】此题考查方差的意义．解题关键在于掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 若a:b:c=1:2：3，则____________ 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意可设a=k，b=2k，c=3k，代入分式求值即可. 【详解】∵a:b:c=1:2：3， ∴可设a=k，b=2k，c=3k， 代入. 故答案为-2. 【点睛】本题考查了求分式的值，根据比例设出a=k，b=2k，c=3k是解决此类问题的关键. 14. 已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， ． 故答案为：8． 15. 点是的黄金分割点，，则线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 【详解】解：由题意知：AC= （AC>BC） 或AC=4-（）=（AC<BC） 故答案为：或． 【点睛】考查了黄金分割点的概念．一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍． 16. 在中，，点D在直线上，，点E为边的中点，连接，射线交于点M，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，分点D在线段上和在的延长线上两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时，过点D作交于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时，过点B作交于F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共6题，共52分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 开平方，得， 解得：，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】 （1）证明：∵， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）0，-2 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案. 【详解】(1)略 (2)由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得，． 【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题. 19. 年底新冠病毒爆发，学校进行在线教学．小杰同学为了了解网课学习情况，对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查，课程分别是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程，并制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题∶ （1）本次调查中一共调查了___________名学生，其中“名著阅读”所占的圆心角度数为___________，并把条形统计图补全． （2）在调查的同学中随机选取一名学生，求他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率． （3）若该校一共有名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数． 【答案】（1），， 补全条线统计图如下： （2）； （3）名． 【解析】 【分析】（）根据其他课程总人数与所占的百分比即可得出总人数，用总人数减去最喜爱网上授课、体育锻炼、艺术欣赏、其他课程的人数，求出最喜爱名著阅读的人数，从而求出最喜爱名著阅读所占的圆心角度数及补全条形统计图； （）利用最喜爱艺术欣赏的人数除以总人数即可； （）用该校的总人数乘以最喜爱的课程是“体育锻炼”的百分比即可； 本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查中一共调查了名， ∴最喜爱名著阅读的人数为名， ∴“名著阅读”所占的圆心角度数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率为； 【小问3详解】 解：， 答：估计全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的学生人数为名． 20. 在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）若从中任意摸出一个球，摸出白球的概率为　 ； （2）先摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率（要求画树状图或列表）．（设红球为A，黄球为B，白球为C） 【答案】（1）；（2）两次摸出的球恰好一黄一白的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）列树状图解答． 【详解】（1）∵在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球， ∴从中任意摸出一个球，摸出白球的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，两次摸出的球恰好一黄一白的结果有4种， ∴两次摸出的球恰好一黄一白的概率为． 【点睛】此题考查计算事件的概率，掌握简单事件概率的计算公式、会画树状图是解题的关键． 21. 某工厂生产一批小家电，2020年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术、降低成本，这两年出厂价下降的百分率相同，2022年的出厂价调整为100元． （1）求这两年出厂价下降的百分率． （2）某商场2022年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了尽快减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，小家电售价每降低5元，每天可多售出10台，若每天要盈利1250元，小家电的售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）125元 【解析】 【分析】（1）设平均下降的百分率为x,根据题意得出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设销售单价应为y元，则每台的销售利润为元，每天的销售量为台，根据每天盈利=每台的利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 设这两年出厂价下降的百分率为x．依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故这两年出厂价下降的百分率约为． 【小问2详解】 设小家电的售价应为y元，则每台的销售利润为元， 每天的销售量为台， 依题意，得， 整理，得， 解得． 故小家电的售价应为125元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】（1）成立 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果； （2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 【小问1详解】 成立．证明：∵ ABEF, 所以, ∵CDEF, ∴, ∴=1, ∴, 【小问2详解】 关系式为:, 证明如下:分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N,过C作CK⊥BD交BD的延长线于K, 由题设可得:, ∴, 又∵•BD•AM=S△ABD, =S△BCD ∴BD•EN=S△BED, ∴. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理的运用，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $