4.3等比数列讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学等比数列核心内容，系统梳理概念、等比中项、通项公式、前n项和公式、判定方法及性质，从定义到公式再到应用，形成连贯知识支架，助力学生逐步构建等比数列知识体系。 资料以数学思维与数学语言培养为特色，通过判定证明（如例1证数列是等比数列）、性质应用（如例2求项或公比）及综合问题（如古代行程问题），引导学生推理与建模。课中辅助教师分层教学，课后练习题覆盖基础与提升，助力学生查漏补缺，提升解决问题能力。

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 选修 第四章数列 (三)等比数列 知识梳理 ——— 知识点1：等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q(q≠0)，这个数列叫做等比数列， 常数g称为等比数列的公比. 知识点2：等比中项 如果α，G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等比中项台a,G,b成等比数列三G2=ab. 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个 知识点3：等比数列的通项公式 若a,为首项，g为公比则通项公式为a,=ag” 或an=am·q"-m(n,m∈N) 知识点4：等比数列前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a,公比为9，则等比数列{an}的前n项和的公式为 第1页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ na1,9=1 S,= a(1-q" 2,9≠1 1-q 知识点5：等比数列的判定方法 )定义法：aal=g(neN,q≠0是常数)台{an}是等比数列： a (②)中项法：a+2=a。·a+2(neN,)且an≠0台{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式形如an=tg”(tq≠0)，则数列{an}是等比数列. 知识点6：等比数列性质 (1)若m+n=p+q(m,n,p,9∈N,),则am·an=a。·ag; 特别的，①当m+n=2k时，得a,·am=a2 ②若m+n+t=p+q+r,则ama,a,=apa a,. (2)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和Sn, 则Sk、S2k-Sk、S3-S2k、S4k-S是等比数列. (3)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0是常数)都是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即an,an4k,an+2k,an+3,…为等比数列，公比为q. 考点突破 考点一等比数列的判定与证明 “”第2贡共9页一“ 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ L已知数列a中，a山，0。+eN,证明：数列+号是等比数列 变式1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=4a-3n+1,(n∈N*)”: (1)证明：数列{an一n}是等比数列； (2)求出{an}的通项公式. 考点二等比数列的性质 例2.(1)已知an=128,a1=4,q=2,求n: (2)已知等比数列{am},若a+a2+a3=7,aa2a3=8,求an。 第3页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (3)己知{an}为等比数列，a1+a2+a3=3,a6+a7+ag=6,求a1+a12+a13的值 (4)在等比数列{an}中，a1=2,S3=6,求a3和q (5)在等比数列{an}中，a+an=66,a2·an=128,Sn=126,求n和g。 变式2-1.已知等比数列{an}中，an>0,(2a4+a2+a6)a4=36,则a3+a5=一 变式2-2.等比数列{an}中，若a·a。=9,则l0g341+l1og3a2+..+l0g3a1o=一 变式23在8和？之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 32 第4页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 变式2-4.在等比数列{an}的前n项和为S,且S10=10,S20=40,则S30=· 考点三等比数列的综合问题 例3-1.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日 脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：有一个人走了378里路， 第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二 天走了() A.6里 B.24里 C.48里 D.96里 例3-2.已知{a}是公差不为零的等差数列，a,=1,且a、a、a,成等比数列. (1)求数列{a}的通项； (2)求数列{2}的前n项和Sn; 1 (3)令bn= 一，求数列{bn}的前n项和T dpan 第5页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 变式3.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S,=6,S=15. (1)求{an}的通项公式： (2)设6，=是，求数列b,}的前n项和工. 课后巩固 1.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5一a=12,a6-a4=24,则Snan=() 第6页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.2m-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21--1 2已知m,,m+n成等差数列，m,,mn成等比数列，则椭圆￡+上=1的离心率为(） A.V② 1 B. 2 2 C.3 2 D.② 3 3.（多选题)在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4=32,a2+as=12,则下列说法 正确的是() A.q=1 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{lgan}是公差为2的等差数列 4(多选题)已知数列a满足a=山，423aneN，则下列结论正确的有() A. +3为等比数列 B.{a,}的通项公式为a.=2-3 1 a. 1 c.{a}为递增数列 的前n项和T=2+2-3n-4 a 5.在等比数列{an}中，若a1a2a,a4=1，a1a4a1sa16=8，则d41a42a43a44= 6.在等比数列{agn}中，a-a3=12,a。-a4=24,记数列{a,}的前n项和、前n项积分别为Sn,Tn,则n= 时，(S+的值最大 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2(an-1). (I)求数列{a}通项公式： 第7页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (Ⅱ)若b= an,n为奇数 og2a,n为偶数’求6+b,++bn的值. 8.已知数列{a}满足a1=1,2S。=3an-4n(n∈N*. (1证明：数列{an+2是等比数列，并求数列{a,}的通项公式； 第8页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (2)设6，=1g0,+2 ,求数列bn}的前n项和T,. a,+2 第9页共9页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 选修 第四章数列 (三)等比数列 知识梳理 ——— 知识点1：等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q(q≠0)，这个数列叫做等比数列， 常数g称为等比数列的公比. 知识点2：等比中项 如果α，G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等比中项台a,G,b成等比数列三G2=ab. 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个 知识点3：等比数列的通项公式 若a,为首项，g为公比则通项公式为a,=ag” 或an=am·q"-m(n,m∈N) 知识点4：等比数列前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a,公比为9，则等比数列{an}的前n项和的公式为 第1页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ na1,9=1 S,= a(1-q" 2,9≠1 1-q 知识点5：等比数列的判定方法 )定义法：aal=g(neN,q≠0是常数)台{an}是等比数列： a (②)中项法：a+2=a。·a+2(neN,)且an≠0台{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式形如an=tg”(tq≠0)，则数列{an}是等比数列. 知识点6：等比数列性质 (1)若m+n=p+q(m,n,p,9∈N,),则am·an=a。·ag; 特别的，①当m+n=2k时，得a,·am=a ②若m+n+t=p+q+r,则ama,a,=apa a,. (2)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和Sn, 则Sk、S2k-Sk、S3-S2k、S4k-S是等比数列. (3)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0是常数)都是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即an,an4k,an+2k,an+3,…为等比数列，公比为q. 考点突破 考点一等比数列的判定与证明 “第2贡共0页一“ 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 例1已知数列a中.a=1,a+aEN),证易：数到化+引 是等比数列 la 2 【详解】因为。ae.所以 -+3(nex).1-3t(nex). an+an an+an 422,+ 所以上++，又士+-三.京二+是以为项，3为公比的等比数列一 la 2 变式1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=4an-3n十1，(n∈N*)”. (1)证明：数列{an一n}是等比数列； (2)求出{an}的通项公式. 【解析】(1)证明：由an+1=4an-3n十1，得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N* 因为a1一1=1≠0，所以a-n≠0，所以=4， 所以数列{an一n}是首项为1，公比为4的等比数列. (2)由(1)，可知an-n=4n-1, 于是数列{an}的通项公式为an=4-1十n 考点二等比数列的性质 例2.(1)已知a,=128,a1=4,q=2,求n: (1)a,=a1q-1=128,41=4,9=2,.42-1=128,.2-1=32,n-1=5,n=6. (2)已例4【解桥】方法一a1a=ai, 知等比数列{an},若 aa2ag=a}=8,a2=2. 从雨a+a=5, a1+a2+a3=7 1a1a3=4, 解得a1-1,a1=4或a1=4,a1=1. a,a43=8，求an 当a1=1时，9=2： 1 当a1=4时，9=之· 故a,=2-1或an=23- 方法二由等比数列的定义知a2=a1q,a=a1g代入已知，得 a+a9+a9=7即(a11+g+)=7, la1·a19·a1g2=8,lag2=8, 即{a1+g+g)=7,0 1a1q=2,② 将a4=2代入①得2g2-5g+2=0, 1 g=2或q=交 由②得%=1， a1=4 或〈 1q=29=交 故a=2m-1或a=23-”. 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (3)己知{an}为等比数列，a1+a2+a3=3,a6+a,+ag=6，求a1+a12+a13的值 解析： 设等比数列an}的公比为9， a1+a+a3=3,ag+a+ag=6,. =ata+a=2,aa+d=12; a +a:+a; (4)在等比数列{am}中，a1=2,S3=6,求a和q 【解析】由题意，得若q=1,则S=31=6,符合题意.此时，q=1,a3=a1=2 若91，则由等t数列的前n项和公式，符S-a1-g】_2-g】-6. 1-9 1-9 解得q=-2.此时，a3=4q2=2×(-2)2=8.综上所述，q=1,43=2或q=-2,43=8. (5)在等比数列{a,}中，4+an=66,42an-1=128,Sn=126,求n和g。 第4页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【示范解答】因为a2a,-:=a1a.,所以a:a.=128。 a1a.=128, 解方程组 得 a1十a.=66, fa,=64, fa,=2, ①或 ② a,=2 a。=64. 将①代人S=二，可得g=安 1-g 由an=a1g',可解得n=6. 将@代人8-“号，可得g-2 由a.=ag',可解得n=6. 变式2-1.已知等比数列{an}中，an>0,(2a4+a2+a6)a4=36,则a+a=6 变式2-2.等比数列{an}中，若a·a。=9,则1og3a1+log3a2+.+1og3a1o=_10 变式23.在8和？之何插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为216， 32 变式2-4.在等比数列{an}的前n项和为S,且S10=10,S20=40,则S30=130 考点三等比数列的综合问题 例3-1.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日 脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：有一个人走了378里路， 第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二 天走了() A.6里 B.24里 C.48里 D.96里 【答案】D【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{a,,可知{a,}是公比g=2的等比数列， 第5页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ a,[1-()] 由S6=378,得S6= 378,解可得a,=192,则4=4×9=192x分96： 即此人第二天走的路程里数为96；故选：D. 例3-2.己知{a}是公差不为零的等差数列，a=1,且a、a43、a,成等比数列. (1)求数列{a}的通项； (2)求数列{2}的前n项和Sn; (3)令6，=1 ,求数列{bn}的前n项和T aa+ 【答案】(1)a,=n;(2)S。=21-2;(3)” n+1 【详解】(1)由题意可知公差d≠0，因为a,=1,a,a3,a4成等比数列， 所以l+24=+8,解得d=1或d=0(舍去，故{a的通项a,=1+(a-1x1= 11+2d (2)由（1)可知2=2”，由等比数列前n项和公式可得：5.=2+22+2++2”-21-2 =2m1-2 1-2 (3)因为6=1 所以，=1=11 n+)nn+1:7=6+6,+6,++b,=1-+_+11++11 十…十 anan+ -22334 nn+l =1-1=n n+1n+1 变式3.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=6,S=15. (1)求{an}的通项公式： (2)设6，=是求数列b,}的前n项和工 【答案】1)a,=n:(2)T,=2--” -2--20 第6页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【详解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,首项为a,:S3=6,S=15 3a,+2x3x3-ld=6ma+d=2 5a,+2x5x6-a=15a+2a=3解释 1 即 a1=1 d=1 ∴{an}的通项公式为an=a+(n-1)d=1+(n-1)×l=n (2)由(1)得b=马=” Γ242” 123 T=。+2+对+…+。+① 2n ①式两边同乘以1， 12,3, 、，得T=之+23+24+“+2干。工② 2 2十 241 ①②得。 1,1,11n 227+2+…+ 2”2m 20-22n 202m7n=2-1n Γ2-可-2n 2 课后巩固 1.记Sn为等比数列{a}的前n项和.若a5一a3=12,a6一a4=24,则Snan=() A.2m-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21--1 【答案】B【解析】法一：设等比数列{an}的公比为q,则由a5-a3=a1q4-alq2=12,a6-a4=alq5-a1q3 =24)解得a1=1,q=2,)所以Sn=a11-qn1-q=2r-1,an=a1q-1=2m-1,所以Snan=2n-12n-1 =2-21-”, 2已知m,1,m+n成等差数列，m,m,mn成等比数列，则椭圆￡+上=1的离心率为《） m n 第7页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.2 D.② 2 3 【答案】A【解析】由题意m,,m+n成等差数列，知2n=m+m+n,所以n=2m, m,n,mn成等比数列，则n2=m2n,所以n=m2,所以m2=2m,所以m=2,所以n=4, 又椭圆号+上=1，所以a2=4,B=2,从而有c=2,所以e=S=5 ,故选A n 3.（多选题)在递增的等比数列{a}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4=32,a2+as=12,则下列说法 正确的是() A.q=1 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{lgan}是公差为2的等差数列 【答案】BC【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3=a1a4=32>0,a2+a3=12>0, 故a2>0,a3>0.根据根与系数的关系，可知a2,a3是一元二次方程x2-12x+32=0的两个根. 解得a=4,a6=8,或a=8,a=4.故必有公比g>0,a=2>0.等比数列{a是递增数列，q >1.=4,=8满足题意.g=2,4=g=2.故选项4不正确.a,=4g1=2“S-21-2 1-2 2n+1-2.∴，Sm+2=2+1=42n-1,∴.数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列.故选项B正确. Ss=28+1-2=512-2=510.故选项C正确.：1gan=1g2n=n.,∴.数列{1gan}是公差为1的等差数列.故选 项D不正确.故选：BC 4（多选题)已知数列a,满足a=1,a=2十3aaeN)小，则下列结论正确的有（） 1 二+3为等比数列 B.{a}的通项公式为a.=2-3 C.{a}为递增数列 D. L的前n项和T,=22-3n-4 a 【答案】ABD【详解】因为 1=2+30=2+3,所以1+3=22+3)，又+3=40， anan an a a 第8页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 所以仁+3是以4为首项，2位公比的等比数列，。+3=4×2即a,=2一3故选项A、B正确 1 1 1 a a 由(a的通项公式为a=23知，a)为遍减数列，选项C不正确因为。=2-3，所以 1 的前 a a n项和7，=(22-)+(2-3)+…+(21-3)=22+22+…+2)-3n=2×2x0-2”）-3n=22-3m-4.选项D 1-2 5.在等比数列{an}中，若01a2a,a4=1,a13a14a1sa16=8,则d4a42a43a4= 【答案】1024【详解】设等比数列{an}的公比为q,a1a,9a92·a193=aq°=1，① a13a4a15a16=092.a,g5·a1g4·a1g5=ag4=8,②②-①得gq48=8,g16=2,. a4a3a3a4=a,g0.a,g.a,g2.a,g8=aig166Ea·g5.g60=ag）(g6”=1x20=1024 6.正项等比数列an}的前n项和为Sn,若a3=4,S4=5S2,则S6= 根据题意，设等比数列a,公比为G,且g>0.由3，=5，得g≠1，则41-g-5×1-4,解得 1-9 1-9 g2=4,即q=2,因为a=a,92=4a=4,所以a=1,因此S。 1×1-2-63故答案为：63 1-2 7.己知数列{a,}的前n项和为Sn,且满足Sn=2(an-1). (I)求数列{a}通项公式： (Ⅱ)若b= an,n为奇数 og2a1,n为偶数’求6+b,++b的值. 【详解】(I)当n=1时，a1=S1=2a1-2,解得：a1=2;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-2an-1+2, 整理得：an=2an-1,·数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，an=2”. 「2"，n为奇数 （I)由（I)得：a,=2”，6,=1为偶数+++，=（么+6++6+6+++.） 第9页共10页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 4-+3+2a+xn2+n2+2n-名 2 3 3 8.已知数列a满足4=1,2S,=3a,-4n(neN*, (1)证明：数列{an+2是等比数列，并求数列{a,}的通项公式； (2)设6=1o8(a+2 ,求数列{bn}的前n项和Tn. a,+2 餐(1)详见解析(2)工，三子×【详解】证明：山：数列a满足0 2S。=3an-4n(neN*. 8=8-又-0-2n04+2a-小0-2，小00+2， ∴an=3an1+4,a,+2=3a-1+2),a+2=3,:数列{an+2是首项为3，公比为3的等比数列， “0,+2=3”,a=3-2.解：2b=。十2=3=39，数列b,的前n项和： 123 123 3+，33 3可，两式相减，得： 1-1 交+品”” 351 1-3m22×33m·T= 443n 第10页共10页