4.1数列的概念讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第四章 数 列 （一）数列的概念 知识点1：数列的概念 定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中每一个数叫做这个数列的项. 一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项. 知识点2：数列的分类： 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 知识点3:数列的表示方法： (1)列举法： （2） 图象法：数列可用一群孤立的点表示； （3） 解析法（公式法）：通项公式或递推公式. 知识点4：数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. · 不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式. 知识点5：数列的递推公式：如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 知识点6：数列的通项与前n项和的关系： ①； ②= 考点一 归纳法求通项 例1.已知数列的前四项依次为－1,7，－13,19，则的通项公式可能是___________. 变式1.已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________. 考点二 由an与Sn的关系求通项 例2.已知数列{an}的前n项和，求这个数列的通项公式。 变式2-1.已知正数数列满足，，求的通项公式. 变式2-2.已知数列的前项和，求. 考点三 由递推公式求通项 例3-1.已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N*，求数列的通项公式an. 例3-2.已知数列满足，，求。 例3-3.数列满足，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 变式3-1.在数列中, ,,则该数列的通项公式= ． 变式3-2.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________． 变式3-3.已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________. 变式3-4.数列的首项，且，则=（ ） A． B． C． D． 考点四 通项公式的应用 例4.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. （1）数列中有多少项是负数？ （2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 变式4.已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项； (2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 1.在数列中，，，则等于（    ）． A． B． C． D．2 2.已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 3.（多选题）下列结论中正确的是（    ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点 C．数列的项数是无限的 D．数列是递增数列 4.已知数列{an}的前n项和，则这个数列的通项公式是______________ 5.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝________； 6. 已知数列的通项公式为. （1）数列的第几项最大，最大项为多少？ （2）若，求正整数m的最小值. 7.已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N且n≥2时，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，求通项公式an. 8. 已知数列满足：，且. （1）求数列的通项； （2）设，求的前n项和. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第四章 数 列 （一）数列的概念 知识点1：数列的概念 定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中每一个数叫做这个数列的项. 一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项. 知识点2：数列的分类： 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 知识点3:数列的表示方法： (1)列举法： （2） 图象法：数列可用一群孤立的点表示； （3） 解析法（公式法）：通项公式或递推公式. 知识点4：数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. · 不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式. 知识点5：数列的递推公式：如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 知识点6：数列的通项与前n项和的关系： ①； ②= 考点一 归纳法求通项 例1.已知数列的前四项依次为－1,7，－13,19，则的通项公式可能是___________. 答案： 变式1.已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________. 解：，，，，故.故答案为： 考点二 由an与Sn的关系求通项 例2.已知数列{an}的前n项和，求这个数列的通项公式。 变式2-1.已知正数数列满足，，求的通项公式. 【答案】【详解】由题意，当n≥2时，，即， 于是，，而符合上式，故而. 变式2-2.已知数列的前项和，求. 【答案】【详解】当时，，由，当时，，故，又因为，所以. 考点三 由递推公式求通项 例3-1.已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N*，求数列的通项公式an. 【解析】　∵an＋1－an＝－，∴a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－， …，an－an－1＝－(n≥2)，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝＋＋…＋，即an－a1＝1－(n≥2).∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2)，又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式.∴an＝－，n∈N*. 例3-2.已知数列满足，，求。 【解析】由条件知，分别令，代入上式得个等式后叠乘，即又，. 例3-3.数列满足，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【解析】因为，， 所以，，，，，…， 所以数列是周期数列，周期为3，所以， 所以.故选：A. 变式3-1.在数列中, ,,则该数列的通项公式= ． 【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填． 变式3-2.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________． 【解析】∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1···…·＝＝. 当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)． 答案：an＝(n∈N*) 变式3-3.已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________. 【答案】n 【解析】∵，∴ 当时，， 当时，成立， ∴， 当时，， 当时，满足上式， ∴. 故答案为：n 变式3-4.数列的首项，且，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解：因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列， 考点四 通项公式的应用 例4.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. （1）数列中有多少项是负数？ （2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 【答案】（1） 数列中有两项是负数；（2）n＝2或3，最小值为－2. 【详解】（1）由n2－5n＋4<0，解得1<n<4，又n∈N*，∴n＝{2，3}，即数列中有两项是负数．（2）法一：∵，可知对称轴方程为.又n∈N*，∴故n＝2或3时，an有最小值且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n项最小，由，得，解得2≤n≤3，∴n＝2或3，即a2＝a3且最小，则a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 变式4.已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项； (2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 【解析】(1)由题意得：，，，，. (2)， 当时，且递增；当时，且递增； ；. 1.在数列中，，，则等于（    ）． A． B． C． D．2 【解析】由，可得： ， 故数列为周期性数列，每3项为一循环，而2025=3×675 ，故=，故选：C 2.已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【解析】①，当时， ②，则①－②得，， 故．当时，，也符合.故选：D． 3.（多选题）下列结论中正确的是（    ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点 C．数列的项数是无限的 D．数列是递增数列 【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集，选项A，B正确； 由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确； 对于，得到，所以，数列是递增数列，D正确. 故选：ABD 4.已知数列{an}的前n项和，则这个数列的通项公式是______________ 5.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝________； 【解析】∵an＋1＝an＋ln(1＋)，∴an－an－1＝ln(1＋)＝ln (n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋…＋ln ＋ln 2＋2 ＝2＋ln(··…··2)＝2＋ln n(n≥2)．显然满足上式∴an＝2＋ln n 6. 已知数列的通项公式为. （1）数列的第几项最大，最大项为多少？ （2）若，求正整数m的最小值. 【答案】（1）第2，3项最大，最大项为38；（2）最小值是9. 【详解】解：（1）因为，且，所以当或时，最大.又，故数列的第2，3项最大，最大项为38.（2）因为函数的图象开口向下，且对称轴方程为，所以可知数列从第3项起单调递减.又，，，，所以若，则.所以正整数m的最小值是9. 7.已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N且n≥2时，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，求通项公式an. 【答案】an＝，n∈N*.【详解】当n≥2，∵(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，∴＝， 当n＝1时符合上式，，n∈N* 8. 已知数列满足：，且. （1）求数列的通项；（2）设，求的前n项和. 【答案】（1）；（2）【详解】因为，所以,，， ,以上个式子累加得：，所以，所以，（2），所以的前n项和为 ， 所以的前n项和为. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $