三角函数图像与性质期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以三角函数为核心，通过对比表格系统梳理正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、周期性等性质，结合函数图像与性质的结构化讲解，清晰呈现振幅、周期、相位等概念及内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于典例分类精准，涵盖图像绘制、定义域求解、单调性分析等题型，如“五点法”作图培养几何直观，图像变换题训练逻辑推理，分层设计帮助不同学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

三角函数的图象与性质 一、重点知识点梳理 性质 函数 y=cosx y=tanx y=sin x 图象 定义域 R R {xx≠匹+kr,k∈Z) 值域 [-1,1] [-1,1] R 当x=2x+号ez到时，=l 当x=2kπ(k∈Z时， 最值 ynx=1;当x=2k元+元 当x=2kπ-T(k∈Z)时， 既无最大值也无最小值 2 (k∈Z)时，yn=-l. min =-1. 周期性 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 在 2-分2x+]keZ 2 在[2km-元，2kx](k∈Z上是 单调性 上是增函数； 在[2+及，2k+ π 增函数； 在[2kπ，2kπ+π] 2 (k∈Z上是减函数. (k∈Z上是增函数. (k∈Z)上是减函数. 对称中心kπ，0)(k∈Z) 对称性 对称中心[kr+号0(ke2) 对称轴x=k红+匹(k∈Z) 对称中心（经0水kez 对称轴x=kπ(k∈Z) 无对称轴 2.y=Asin(ox+0)+k函数图像与基本性质 1D、儿个物莲最：A:报隔，f子级幸（周期的倒数，®+0：扫位：9：初相， (2)、周期性：f(x)=Asin(ox+p)+k和f(x)=Acos(ox+p)+k的最小正周期都是 T=2红，f(x)=Aan0x+p)+k的最小正周期都是T=元 (3)、函数y=Asin(ox+p)+k表达式的确定：根据y=Asin(ox+p)+k的图象求其解 析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A=最高点一最低点2； ②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即K=最高点十最低点2： ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T=2π@(w>0)来确定o: ④0的确定：将特殊点带入，并根据已知条件中的0的确定其值。 (4)、函数y=Asin(ox+p)图象的画法： ①“五点法”-一设X=0x+0,令X=0,汇，元 )元，2五求出相应的x值，计算得出五羽 的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数草图的常用方法。 由y=sinx的图象到y=Asin(ox+p)+k的图象的变换方法：一般有两个途径，只 有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换） 先将y=six的图象向左(0>0)或向右(p<0=平移|p|个单位，再将图象上各点的 横坐标变为原来的二倍(o>0),便得y=sin(ax十0)的图象；其次将函数y=sin(ox+p)图 0 象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y=Asi(ox+0)的图象；再次将函 数y=Asi(ox+p)图象的横坐标不变，纵坐标向上(k>0)或向下(k<0),得到 y=Asin(ox+p)+k的图象。 途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。 先将y=six的图象上各点的横坐标变为原来的二倍(o>0),再沿x轴向左(0>0)或向 右(0<0=平移p个单位，便得y=-sin(ax-+p)的图象；其次将函数y=sin(ox+p图 象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y=Asi(ox+p)的图象；再次将函 数y=Asin(ox+o)图象的横坐标不变，纵坐标向上(k>0)或向下(k<0),得到 y=Asin(ox+p)+k的图象。 注：利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论 哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不 是“角变化”多少。 (5)、研究函数y=Asin(ox+p)性质的方法：类比于研究y=sinx的性质，只需将 y=Asin(ox+p)中的ox+p看成y=sinx中的x,但在求y=Asin(ox+0)的单调区 间时，要特别注意A和⊙的符号，通过诱导公式先将⊙化正。 如：对于f)=Asin(wx+p)A>0,w>0): ①若求y=x)的对称轴，只需令0x十p=k红十π2(k∈Z),求出x: 若求y=x)的对称中心的横坐标，只零令aox十o=红(k∈Z,求出x: ②若求y=x)的单调增区间，只需令2k红一π2≤ox十2k元十元2，求出x; 若求y=x)的单调减区间，只需令2kπ十元2≤ox十0<2kπ十3π2，求出x. 二、典例分类分析 （一)、三角函数的图像 1.已知函数f(x)=2sim2x+ 用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数∫(x)在[0，π]上 6 的大致图像。 晋 2.当x∈[-2π，2π时，作出下列函数的图象， (1)y=sinx; (2)y=sin x. 3.为了得到函数y=sin(3x-)的图象，需将函数y=sn(x-T)的图象() 6 A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C.横坐标变为原来的，纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的；，横坐标不变 (二)、三角函数定义域、值域与最值 1.已知f()的定义域是 则f(sin2x)的定义域为() A[2+红名，e2 B. 3 c.[5+2+小，e2D.[+2+2xez 2溪数=小-am+号到 的定义域为 3函数)2a2+石.xeL石孕1的值线是（） A.[-1,2] B.[-l,V5] D.2 4函数o=o…+5sn-20到》 的最大值是 5.函数y 2-cosx的值域为 2+cosx 6设函数f(x)=cos(ox-无(@>0)，若f)≤f(孕对任意的实数x都成立，则o的最小值 6 为 (三)、三角函数单调性 1.函数)y=m2x-)的单调塔区间为《) 「kπ_卫kπ+5π] /kππkπ5π】 A.2-122+12 k∈Z) B. 212'212 (k∈Z) C.k 5π 12 (k∈Z) D 12,r 5π (kEZ) 12 5 2已知系数=子-3[号引 则∫(x)的单调递增区间是() A.. B. ππ 4'12 c[引[剖 D. 5ππ 4'12' 12’2 3.下列各式中正确的是() An<n月 B.cos2<cos3 D.sin-is <sin-o 4（多选)已知o>0,函数fx)=2 sin ox+-刀 上单调递减，则实数⊙的取值可 以是() A.1 C. D.2 6 (四)、三角函数奇偶性与对称性 1函数y=6o2x+写 的图象() A关于点后0对称 B.关于点 名0对称 C.关于直线x=匹对称 D.关于直线x=T对称 6 2.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是() A.yco) B.y=sin c.y=sm(2+》 D.y=c0s2x+π） 3.已知)=cos@x+0>0,<)的图象关于直线x=经对称，把了(x到的图 24 象向左平移亚个单位后所得的图象关于点 对称，则⊙的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.∈ 4.已知函数f(x)=2cos(2x+p)0<p< 的图象向右平移”个单位长度后，得到函数 3 g(x)的图象，若g(x)的图象关于原点对称，则p=() A B.4 c. D.8 5.将函数f(x)=c0s0+交(o>0)的图像向左平移兀个单位长度后得到偶函数gx的图 6 像，则ω的最小值是 (五)、三角函数的周期 1在函数①y=o2x2②ycos,@y=co2x+引，国y=am2x-到中，最小正 周期为刀的所有函数为() A.②④ B.①③4 C.①②③ D.②③④ 2设函数/闭=2snax+o.eR,共中o>0,1p水.若/受)=2，f5=0,且 8 (x)的最小正周期大于2π，则() A.0=2 子98 2 B.0= 12 1 11元 1 7π C.0=3’p=- D.0= 24 3’p= 24 3.记函数f(x=sin ox++b(0>0)的最小正周期为T.若2<T<元，且y=f(x) 3 的图象关于点（经，2中心对称，则（品）《) A.1 B. c. D.3 9 (六)、三角函数的综合应用 1.函数y=10sinx与函数yx的图像的交点个数是() A.3 B.6 C.7 D.9 2已知函数f)=sn(ox+pa>0引在区何（号上单调。且对红章实数x约有 (好}fsf侣成立，则p=（) A.B B君 c. D. 10 三角函数的图象与性质 一、重点知识点梳理 函 数 性 质 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最值 当时，；当时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在 上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 2.函数图像与基本性质 （1）、几个物理量：A：振幅； 频率（周期的倒数）；：相位；：初相； （2）、周期性：和的最小正周期都是，的最小正周期都是。 （3）、函数表达式的确定：根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝； ②的确定：根据图象的最高点和最低点，即K＝； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω； ④的确定：将特殊点带入，并根据已知条件中的的确定其值。 （4）、函数图象的画法： ①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数草图的常用方法。 由y＝sinx的图象到的图象的变换方法：一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象；其次将函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；再次将函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象；其次将函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；再次将函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。 注：利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 （5）、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。 如：对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)： ①若求y＝f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求出x； 若求y＝f(x)的对称中心的横坐标，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x； ②若求y＝f(x)的单调增区间，只需令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x； 若求y＝f(x)的单调减区间，只需令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x. 二、典例分类分析 （一）、三角函数图像 1.已知函数，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像。 【详解】列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图像如图： 2.当时，作出下列函数的图象， （1）； （2）. 【详解】 （1）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （2）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. 3．为了得到函数 y＝sin的图象，需将函数 y＝sin的图象（    ） A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变 B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的，横坐标不变 【答案】C 【详解】 由题意利用函数的图象变换规律，得出结论． 【解析】将函数的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 即可得到函数的图象， 故选：C． （二）、三角函数定义域、值域与最值 1.已知的定义域是，则的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】的定义域是，故由可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 2.函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】 由，得，且． 由图可得，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 3.函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为x[-，]，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即函数的值域是． 故选：A． 4.函数的最大值是__________． 【答案】 【详解】 =， 所以当 时，有最大值． 故答案为. 5.函数的值域为_________． 【答案】 【详解】由题知，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以函数的值域为. 6.设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值， 所以， 因为，所以当时，ω取最小值为. 三、三角函数单调性 1.函数的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为函数的单调递增区间为， 所以，解得， 所以函数的单调增区间为.故选：B 2.已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【详解】可化为，故单调增区间： ，， 解得，. 令，，令，. ， 所以的单调递增区间是. 故选：D 3.下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于在上递增， 所以，A选项错误. 由于在上递减， 所以，B选项错误. ， ， 所以，C选项正确. 在上递增， 所以，D选项错误. 故选：C 4.（多选）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】AB 【详解】，， 由于函数在上单调递减， ，，解得，， 时，，     的值可以是． 故选：AB． 四、三角函数奇偶性与对称性 1.函数的图象（ ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【详解】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，， 当时，，易知C错误，D正确；故选：D 2.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】四个函数的最小正周期都是， 是奇函数， 是偶函数， ，时，，函数图象不过原点，也不关于轴对称，既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数．故选：A． 3．已知的图象关于直线对称，把的图象向左平移个单位后所得的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的图象向左平移个单位后所得的图象关于点对称， 所以关于点对称， 又的图象既关于直线对称， 设的最小正周期为，则， 即， 所以，取，得， 4.已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知图象关于原点对称， 所以，因为， 所以． 故选：C. 5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由题意，得， 因为为偶函数，所以，， 解得，，又， 所以当时，取得最小值． 故答案为：. 五、 三角函数的周期 1.在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ） A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【详解】∵=，∴==； 图象是将=在轴下方的图象对称翻折到轴上方得到， 所以周期为，由周期公式知，为，为， 故选：C. 2.设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意得，其中，所以， 又，所以，所以，， 由得，故选A． 3．记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】解：函数的最小正周期为， 则，由，得，， 的图像关于点中心对称，， 且，则，． ，，取，可得． ，则． 故选：D． 六、三角函数的综合应用 1.函数与函数的图像的交点个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 答案：C． 【详解】的最小正周期是，， 时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点， 故选：C． 2.已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，函数的最小正周期为， 因为函数在上单调，且恒成立， 所以，即，解得， 又是函数的最大值点，是函数的最小值点， 由五点法作图可知，，解得. 故选：B. 3.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：向右平移个单位后，得到， 又，由， 所以的值中一个为1，另一个为 则不妨设 则，，，则， 又，所以， 故选： D． 4．已知函数，若，，且在区间上单调，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以函数图象关于点成中心对称， 又，所以的图象关于直线对称， 且在区间上单调，所以，即，． 又，，，所以， 所以，所以． 故选：B. 5．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数． 当时，令，则， 若在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则，解得. 故选：A．      6．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．函数的图象关于点对称； B．函数的图象关于直线对称； C．函数在单调递减； D．该图象向右平移个单位可得的图象. 【答案】CD 【解析】由函数的图象可得，周期，所以， 当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得， 故函数. 对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确； 对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确； 对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误； 对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D错误.故选：CD. 7．设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【详解】， 令，易知，，即为奇函数， 所以 结合奇函数性质有. 故答案为：2 8.已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，求曲线的对称中心的坐标. 【详解】（1） 依题意可得 解得， 则，因为的图象关于直线对称，所以， 又，所以. 故. （2） 依题意可得， 令，得， 故曲线的对称中心的坐标为. 9．已知函数， (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求不等式的解集； (3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【详解】（1）由，则， 令或， 解得或， 所以函数在上的单调递增区间为和. （2）由，即， 所以，所以，， 解得，， 所以不等式的解集为. （3）由，则， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 因为方程在上有两个不同的实数解， 所以与在上有两个不同的交点， 所以，即实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $