期末高频易错题综合训练-2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末备考大讲堂

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为北师大版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 期末高频易错题综合训练 一、选择题 1．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直；③两边和一角对应相等的两个三角形全等；④同位角相等．其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他44人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班44人的体能测试成绩相比，关于该班45人的体能测试成绩，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大 C．平均分变小，方差变小 D．平均分变小，方差变大 3．若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 5．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 6．在，，，四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，，3 9．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（    ） A．1 B．0 C． D． 10．如图，在中，，，延长至点，使，连接，点落在线段的垂直平分线上，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 二、填空题 11．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是，平均数是．那么这组数据的方差是 ． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 12．已知点，，，其中点M与点P关于x轴对称，点N与点P关于y轴对称，则点在第 象限． 13．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 14．如图，在中，，，，平分，于D，则 ． 15．为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ． 16．如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ． 三、解答题 17．在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 18．商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润=（售价-进价）×销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.65 1.4 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进A，B两种设备且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 19．根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 20．综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 21．为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走向操场，走进大自然走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批轮滑鞋供学生使用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了下表 (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为____________，图中的值为____________． (2)求本次调查样本中数据的众数和中位数； (3)若学校计划购买双轮滑鞋，建议购买号轮滑鞋多少双? 22．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知、、 ． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； (2)已知线段轴，且，则点D的坐标为______； (3)已知P为y轴上一点，若，求点P的坐标． 24．如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 参考答案 1．C 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及对顶角、平行线的性质、垂线的性质，三角形全等的条件等知识点，根据相关知识点判断命题的真假即可． 【解答】解： ①对顶角相等，是真命题； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，而非垂直，故是假命题； ③两边和一角对应相等，若角不是夹角，则三角形不一定全等（如情况），故是假命题； ④同位角相等需两直线平行，未说明前提，故是假命题； ∴ 假命题有②、③、④，共3个． 故选C． 2．A 【分析】本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可． 由于小亮的补测成绩与原有平均分相同，因此平均分不变；根据方差公式，加入一个与平均分相同的分数后，方差会变小． 【解答】解：∵原44人的平均分为90分，小亮成绩为90分， ∴加入小亮后，45人的平均分仍为90分，平均分不变． ∵原方差，即， ∴． 加入小亮后，新方差为： ， ∵， ∴，方差变小． 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相加构造出与已知条件相关的关系式是解题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【解答】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 故选： 4．D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是先求出一次函数的解析式，再根据解析式分析其图象特征、增减性及经过的点等．将已知点代入解析式求出、的值，得到函数表达式；再依次分析各选项的正确性． 【解答】解：∵图象过， ∴； 将代入得：，解得， ∴一次函数解析式为． A、∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； B、∵， ∴随的增大而减小，此选项不符合题意； C、当时，， ∴函数图象经过点，此选项不符合题意； D、令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，不是，此选项符合题意． 故选：． 5．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 【解答】解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的大小比较，先利用负整数指数幂，零指数幂化简，然后比较大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵，， 又， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 7．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及坐标与图形的关系，通过构造全等三角形将条件转化是解题关键．过点作轴于，可证，可得，，即可求解． 【解答】解：如图，过点作轴于， 点， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果两条较小边的平方和等于最大边的平方，此时的三角形是直角三角形，此为本题解题的关键． 利用勾股定理逆定理逐一判断即可． 【解答】解：A、，，，故不能构成直角三角形， B、，，，故能构成直角三角形， C、，，，故不能构成直角三角形， D、，，，故不能构成直角三角形， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称．根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解． 【解答】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 10．A 【分析】该题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，过点A作，根据，，得出，则，根据垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【解答】解：过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∵点落在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：A． 11． 【分析】本题考查了方差、众数、平均数，关键是熟练计算； 根据众数为和平均数为，确定被墨汁覆盖的三天数据为两个和一个，进而计算所有数据的方差． 【解答】解：设被覆盖的三天数据为， ∴ ∵众数为13，且已知数据中出现一次， ∴ 中至少有两个， 设，则， 所有数据为， ∴平均数： ， ∴方差． 故答案为：． 12．三 【分析】本题考查了轴对称问题． 利用点关于坐标轴对称的性质，求出a和b的值，再根据点的坐标判断所在象限． 【解答】解：点与点关于x轴对称， 则x坐标相等，y坐标互为相反数， 即， 解得； 点与点关于y轴对称， 则y坐标相等，x坐标互为相反数， 即， 解得； 因此， 点即， 横坐标为负，纵坐标为负，故在第三象限． 故答案为：三． 13．3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【解答】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 14． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记相关性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，证明，得出，再在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【解答】解：平分，于D，， ， 又， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，即， 故答案为： 15． 【分析】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【解答】解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此分别联立对应的直线解析式求解即可； （2）可推出直线经过定点，再分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 【解答】解：（1）当时，，当时，， 联立，解得，则， 联立，解得，则， 故答案为：； （2）在中，当时，， ∴， ∵， ∴直线经过定点， 如图所示，当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点B时，则，解得， ∴当时，一次函数与有交点， 故答案为：． 17．． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，先由勾股定理得，根据勾股定理逆定理可得，则有为直角三角形，然后通过，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：连接，如图， ∵，，， ∴由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，    ∴ ． 18．(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套 (2)有2种方案：①购进A品牌2套、B品牌10套，获利2.3万元；②购进A品牌6套、B品牌5套，获利1.9万元；获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出等量关系列出方程和方程组是本题的关键． （1）根据题意设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，再根据总进价为66万元，毛利润为9万元，列出二元一次方程组，解出答案即可； （2）根据题意设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，根据题意列出二元一次方程，由于a， b均为正整数，即可得出方程的解，即可得出有2种进货方案，然后求出利润，比较大小可确定出获利最高的方案． 【解答】（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得， ， 解得，， 经检验，符合题意， 答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套； （2）解：设再用15万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套， 由题意得，， ∵a，b均为正整数， ∴此方程的解为： ，或， 综上所述，有2种方案： ①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套． 获利：万元； ②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套． 获利：万元． ∵， ∴获利最高的方案是购进A品牌2套、B品牌10套． 19．(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算、估算． （1）运用平方根和立方根知识进行计算、求解； （2）运用非负数和算术平方根的知识进行求解． 【解答】（1）解：由题意得，，， 解得，； （2）解：， ，， 解得，， ，， 的整数部分是2，的整数部分是2， 的小数部分是， 即，， ． 20．(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【解答】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 21．(1)；； (2)众数：；中位数：； (3)双 【分析】本题考查统计图表的综合应用，涉及的知识点是 “条形统计图与扇形统计图的关联计算”“众数、中位数的定义”“用样本估计总体”．解题方法是通过条形图中的已知数据结合扇形图的比例计算总人数，再利用统计量的定义求众数、中位数，最后用样本比例估计总体数量；解题关键是准确关联条形图与扇形图的数量和比例，注意中位数需先排序数据．易错点是计算总人数时比例对应错误，或求中位数时未正确排序数据．解题思路为：（1）用 号的人数除以其扇形比例得总人数，再用 减去其他鞋号的比例得；（2）根据众数（出现次数最多的数）、中位数（排序后中间的数）的定义计算；（3）用 号的样本比例乘以购买总数估计数量． 【解答】（1）计算总人数和： 由条形图知 号有 人，扇形图中 号占（后续计算得 ），总人数为 ，故． （2）众数： 号出现 次（次数最多），故众数是 号； 中位数：将 个数据排序后，第 、 个数据均为 号，故中位数是 号． （3）35 号占样本的，故购买 双时， 号数量为双． 22．(1)y与x的关系式为； (2)应缴纳电费129元； (3)小亮家7月份用电量为． 【分析】本题主要考查了一次函数及一元一次方程的应用，能根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准，得出y与x的关系式即可； （2）根据所给收费标准及用电量进行计算即可； （3）根据所给收费标准及电费进行计算即可； 【解答】（1）解：当时，月用电量属于第二组， 则， 所以y与x的关系式为； （2）解：将代入得， 元， 所以应缴纳电费129元； （3）解：因为，，且， 则将代入得， ， 解得， 所以小亮家7月份用电量为 23．(1)见解析，4 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据坐标作图即可； （2）根据平行于y轴的坐标的特征可得答案； （3）由P为y轴上一点，设，根据的面积为4，可得，从而可得答案． 【解答】（1）解：如图： ， 故答案为：4； （2）解：∵线段轴，且， 设，则， 或， 解得：或， 点D的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：设， 由题意可知：， ， ， ， ， 或， 解得：或， 点P的坐标为或 24．(1)图见解析 (2)满足条件的点P共有4个；图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据题意作出关于直线对称的； （2）利用线段垂直平分线的性质与勾股定理求解； （3）利用三角形的三边关系求解． 【解答】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴满足条件的点P共有4个， 故答案为：4； （3）如图，是异于的上任意一点，连接、， 则， 当、、三点在同一直线上时，有最大值，最大值为， 故延长交于点，点即为所求作． 【点评】本题考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，三角形的三边关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 学科网（北京）股份有限公司 $