精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测3

高一13班数学周测3 一、单选题 1. 已知复数 为纯虚数，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 2. 已知集合，则的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先化简分式解一元二次不等式，再得出集合A，最后应用非空真子集个数公式计算求解. 【详解】由可得，即， 即解得. 于是，共4个元素，故其非空真子集个数为个. 故选：C. 3. 在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围. 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可． 【详解】定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上单调递增， ∵，， 即，所以在上存在唯一零点． 故选：B． 5. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 6. 若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据非零向量，相互垂直及模长关系设出向量，，代入，通过向量点积及模长运算得出关于的方程，解方程求出的值． 【详解】因为向量，相互垂直，且，不妨设，， 则， 解得. 故选：B． 7. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理结合得，利用正弦定理得，进而得，由已知求得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理有：，又，所以， 又由正弦定理有：， 又， 所以， 又为三角形的内角， 所以或（舍去），所以，又， 所以 ，所以， 所以， 故选：D. 8. 关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间单调递增； ③在有3个零点； ④的最大值为2． 其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，①正确；分别在和两种情况下求得解析式，结合偶函数的对称性可得图象，结合图象可判断出②③④的正误. 【详解】的定义域为，且，为偶函数，①正确； 当时，；当时，； 又为偶函数，图象关于轴对称，则可得图象如下图所示： 由图象可知：在上单调递减，②不正确； 在上有，和三个零点，③正确； ，由图象可知，④正确. 故选：C 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则 B. 已知，则 C. 已知与的夹角为钝角，则的取值范围是 D. 若，则三点共线 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，求出与的夹角，即可求出的值；B项，求出，即可求出的值；C项，写出的表达式，利用两向量夹角为钝角，就可求出的取值范围；D项，求出的表达式，得出与的关系，即可证明三点共线. 【详解】由题意， 对于A， ∵， ∴与的夹角为， ∴， 故A错误； 对于B， ∵， ∴， ∴， 故B正确； 对于C， ∵与的夹角为钝角， ∴与的数量积小于0且不平行，即且， ∴， 故C错误； 对于D， ∴， ∴共线， ∵它们有公共点， ∴三点共线. 故D正确. 故选：BD. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A, 由于，则，故，，因此，A正确， 对于B，取，，但，故B错误， 对于C，，则，故， 当且仅当，即取等号，故C正确， 对于D，，由可得， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为， 故选：ACD 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ） A. 角的大小为 B. 若为的角平分线，则 C. 若，则线段的长度的取值范围为 D. 若，则的周长的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合正弦定理与两角和的正弦公式，可求，判断角的大小，从而判断A的真假；结合三角形的面积公式，可判断B的真假；结合A的结论，利用正弦定理，可判断C的真假；结合A的结论，利用面积关系，得到，再结合余弦定理，得到，用表示三角形周长，结合基本不等式可求周长的最小值，判断D的真假. 【详解】选项A：若， 即，， 故， 因为为三角形内角，所以，所以，.故选项A正确. 选项B：根据题意，由于， 即.故选项B正确. 选项C：若，则. 在中，由正弦定理得：，， 由于，则的长度的取值范围为.故选项C正确. 选项D：若，根据等面积法有，即. 由余弦定理得：，整理可有， 故，的周长. 又因为（当且仅当时取等号），解得， 故的周长，周长的最小值为.故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的数量积和投影向量的计算方法，准确计算，即可求解. 【详解】由向量和，可得， 则在上的投影向量的坐标为． 故答案为：. 13. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示） 【答案】 【解析】 【分析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得． 【详解】设山高，则，延长交于，如图， 则，因此，，， ， 在中由正弦定理得， 所以， 故答案为：． 14. 已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得且在上单调递增，进而得到，讨论即可得参数范围. 【详解】由题设，，则，则， 由都有，又， 所以在上单调递增，此时， 所以，可得， 当有，故当有， 当有，当有， 又，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数 （1）求的值； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数，即可得的值； （2）根据正弦型三角函数的性质列不等式求解单调增区间即可； （3）根据（2）确定函数在区间上的单调性，求值即可得函数的值域． 【小问1详解】 则； 【小问2详解】 令：， 解得 的单调递增区间为：,； 【小问3详解】 由（2）可得，函数在区间上单调递增 ， 在区间上的值域为：． 16. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求BC边上的高AD的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解； （2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解. 【小问1详解】 根据正弦定理可得， 又，∴． ∵,∴． 【小问2详解】 ，∴， 当且仅当时取等号. ∵，∴， ∴， ∴，∴AD的最大值为. 17. 如图，已知中，是边上一点，若，是线段的中点，是线段的中点. （1）若，求、的值； （2）若是等腰直角三角形，且，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，即可得出、的值； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得的值. 【小问1详解】 因为为的中点，，所以，， 所以，， 又因为，所以，． 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，故. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若关于的不等式在有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 由单调递增可知在上为减函数，证明如下： 对于任意实数，，不妨设， 递增，且，，，， 故在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解． （2）根据函数单调性的定义进行证明即可． （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【小问1详解】 由为定义在上奇函数，可知，解得．则， ，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由为奇函数得：，等价于． 又由在上为减函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，取得最大值．，解得， 的取值范围是． 19. 如图，在平面四边形中，，与交于点，记. （1）用表示； （2）求四边形面积的取值范围； （3）当为何值时，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，由四点共圆得到，再由正弦定理求得； （2）由题意得四边形的面积，代入边后由三角恒等变换化简，由取值范围求得四边形面积的取值范围； （3）由题意得，然后得分别求得，由此得到它们之间的关系.由题意建立方程后解得的值. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得，即，解得. 又，所以. 又，所以四点共圆， 所以. 因为，所以由正弦定理，得， 即，所以. 【小问2详解】 由题意得四边形的面积. 易知是四边形外接圆的直径，所以， 所以，所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以四边形面积的取值范围是. 【小问3详解】 由题意，得， ， ， 所以. 因为，所以. 又，所以， 所以当，即时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测3 一、单选题 1. 已知复数 为纯虚数，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或1 2. 已知集合，则的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 3. 在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间单调递增； ③在有3个零点； ④的最大值为2． 其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则 B. 已知，则 C. 已知与的夹角为钝角，则的取值范围是 D. 若，则三点共线 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若，，则的最小值为 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ） A. 角的大小为 B. 若为的角平分线，则 C. 若，则线段的长度的取值范围为 D. 若，则的周长的最大值为 三、填空题 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 13. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示） 14. 已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求的值； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 16. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求BC边上的高AD的最大值． 17. 如图，已知中，是边上一点，若，是线段的中点，是线段的中点. （1）若，求、的值； （2）若是等腰直角三角形，且，求. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若关于的不等式在有解，求实数的取值范围． 19. 如图，在平面四边形中，，与交于点，记. （1）用表示； （2）求四边形面积的取值范围； （3）当为何值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $