期末复习专题03：分数除法 （思维导图+考点清单+易错归纳+典例精析）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

该小学数学讲义通过思维导图和考点清单系统构建分数除法知识体系，分考点梳理意义、计算法则、混合运算及解决问题，易错归纳从概念、计算、应用三方面点明误区，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于典例精析覆盖分层题型，如“已知比一个数多1/4是30，求这个数”用方程法培养抽象能力，易错归纳助学生形成严谨思维，基础计算与综合应用练习适配不同学生，教师可精准教学，学生自主复习有明确指引。

期末复习专题03：分数除法 思维导图 考点清单 考点一：分数除法的意义 1.意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算（与整数除法意义相同）。 例： 表示“已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 2，求另一个因数是多少”，或“把 平均分成 2 份，求每份是多少”。 2.与分数乘法的关系：互为逆运算。 考点二：分数除法的计算法则 1.分数除以整数 计算方法：分子除以整数（能整除时）；或分子不变，分母乘整数（不能整除时）。 字母公式：（）。 例：；。 2.一个数除以分数 核心原理：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：（）。 整数除以分数：转化为整数乘分数的倒数（整数看作分母为 1 的分数）。 例：；。 3.小数除以分数 方法：先将小数化成分数，再按分数除法法则计算。 例：。 考点三：分数混合运算 1.运算顺序：与整数混合运算相同。 同级运算（只有乘除）：从左到右依次计算； 不同级运算（含加减乘除）：先算乘除，后算加减； 有括号：先算括号内，再算括号外。 例：。 2.简便运算：转化为乘法后，可运用乘法交换律、结合律、分配律（除法无分配律）。 例：。 考点四：解决问题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位“1”未知） 方程法：设单位“1”为 ，列方程 。 例：一本书看了 ，正好是 60 页，求全书页数。解：设全书 页，，。 算术法：具体量 对应分率 = 单位“1”的量。 例：同上，全书页数 = （页）。 2.稍复杂的分数除法问题（含“比多/比少”） 关键：找准单位“1”和对应分率（“比单位‘1’多 ”对应分率为 ，“比单位‘1’少 ”对应分率为 ）。 例：男生 30 人，比女生多 ，女生多少人？解：女生人数 = （人）。 3.分数除法与比的综合应用（按比例分配） 步骤：① 求总份数；② 求各部分量占总量的分率；③ 用总量 分率求各部分量。 例：按 分配 100 个零件，甲、乙各分多少？解：总份数 ，甲：（个），乙：（个）。 易错归纳 一、概念理解误区 1.混淆分数除法意义 错误：将“”理解为“求 的 2 倍是多少”（与分数乘法意义混淆）。 正确：表示“把 平均分成 2 份，求每份是多少”或“已知积和一个因数求另一个因数”。 2.倒数定义不清 错误：认为“倒数就是分子分母颠倒”，忽略“乘积是 1 的两个数互为倒数”（如 0 没有倒数，1 的倒数是 1）。 二、计算错误 1.忘记乘倒数 错误：（直接乘除数，未乘倒数）。 正确：。 2.约分不彻底或错误 错误：（过程正确，但结果需化简时未注意）。 正确：计算时交叉约分更简便：（结果已最简）。 3.整数除法漏写分母 错误：（书写不规范，易忽略整数可看作分母为 1 的分数）。 正确：（明确整数的分母为 1）。 三、解决问题误区 1.单位“1”判断错误 错误：“男生人数比女生多 ”中，误将“男生人数”看作单位“1”。 正确：“比”字后面的量是单位“1”，即“女生人数”是单位“1”。 2.量率对应错误 错误：“一根绳子用去 ，还剩 3 米”，列式 米（用剩余量除以用去分率）。 正确：剩余量对应分率为 ，绳子总长 = 米。 3.混合运算顺序错误 错误：（先算乘法，再算除法）。 正确：同级运算从左到右：。 四、书写规范问题 1.除号与分数线混淆 错误：书写“”为“”，易误读为“”。 正确：明确使用“”或转化为乘法：。 2.结果未化成最简分数或带分数 错误：计算结果保留“”“”（未约简或未化成带分数）。 正确：，。 典例精析 典例一：倒数的认识 【例题1】0.7和( )互为倒数；( )没有倒数。 【例题2】的倒数是( )，( )的倒数是最小的合数，最小质数的倒数是( )。 【例题3】最小的质数与最小的合数相乘的积的倒数是( )，比这个数少的数是( )。 典例二：与倒数有关的综合计算 【例题1】如果a和b互为倒数，那么÷结果是( )；如果a＝0.125，那么b＝( )。 【例题2】已知，且a、b、c都大于0。那么a、b、c中最大的是( )，最小的是( )。 【例题3】三个质数的倒数之和是，这三个质数之和是( )。 典例三：自然数与倒数的和或差问题 【例题1】一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。 【例题2】一个不为0的自然数与它的倒数的和为10.1，这个自然数是( )。 【例题3】一个自然数和它的倒数之和是，这个自然数是( )。 典例四：分数的平均分 【例题1】把米长的绳子平均分成4段，每段长( )米，每段是这根绳子的( )。 【例题2】小丽需要用彩带包装礼品盒，她把8米长的彩带平均剪成5段，第2段的长度是这根彩带总长度的( )，第4段长( )米。 【例题3】某工程队修一条千米的水渠，3天修了它的，平均每天修这条水渠的( )（填分数），照这样的速度，( )天可以修完这条水渠。 典例五：分数与整数的除法 【例题1】一批货物，甲单独搬完要10小时，乙单独搬完要15小时，丙单独搬完要5小时，( )搬得最快，甲、乙一起搬完需要( )小时。 【例题2】把6米长的铁丝截成每段长米的小段，可以截成( )段，每段长是全长的( )。 【例题3】公园有一条环形健身跑道，小明走一圈需要20分钟，小亮走一圈需要30分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，( )分钟后首次相遇；如果两人同时同地出发，同向而行，( )分钟后小明超出小亮一整圈。 典例六：分数与分数的除法 【例题1】直接写结果。                                                                       【例题2】直接写得数。 ＝          ＝         ＝         ＝ ＝         ＝         ＝         ＝ 【例题3】直接写得数。                                                                                    1.25×8＝                             典例七：被除数与商的大小关系（分数除法） 【例题1】在括号里填上合适的数。 ( )    ( )    ( ) 【例题2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )               ( ) ( )         ( ) 【例题3】比较大小，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )            ( )            ( ) 典例八：分数的连除运算 【例题1】学校有篮球200个，是足球的，足球是排球的，学校有排球多少个？ 【例题2】5辆卡车小时运走了吨货物，平均每辆卡车每小时运货物多少吨？ 【例题3】实验小学六（2）班参加合唱队的学生有12人，占全班人数的，六（2）班学生人数占六年级总人数的。实验小学六年级有多少学生？ 典例九：分数的乘除法的混合运算 【例题1】直接写出得数。                                                     【例题2】直接写出得数。 2－＝                                 ＝          ＝ ＝          ＝          ＝           ＝          ＝ 【例题3】直接写出得数。                                                               典例十：分数的四则混合运算 【例题1】亮亮一家从雪花山公园附近到洛阳游玩，汽车出发时有半箱油，用去后在服务区把油箱加满，加了28升油，这个油箱能装多少升汽油？ 【例题2】雪花山森林运动公园篮球场需要建设，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天，甲乙合作多少天能完成篮球场的？ 【例题3】某玩具厂两个生产车间一共有480名工人，其中第一车间的人数占两个车间总人数的。因一笔订单需提前交付，该玩具厂给第一车间新招聘了一些工人，此时第一车间的人数占两个车间总人数的。第一车间新招聘了多少名工人？ 典例十一：分数除法相关的简便计算 【例题1】脱式计算。（能简算的要简算） ×100÷          13.2×＋2.8÷           ÷［（－）×] 【例题2】下面各题怎样简便怎样算。                                                       【例题3】脱式计算，怎样算简便就怎样算。                                               典例十二：解分数方程 【例题1】解方程。                  【例题2】解方程。                      【例题3】解方程。                      典例十三：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【例题1】雪花山森林公园有乔木类植物、花卉植物、地衣植物共383种，其中乔木类有71种，公园中的花卉植物是地衣植物的，花卉植物、地衣植物各有多少种？ 【例题2】妈妈准备为女儿亲手制作生日蛋糕，她采购了一袋低筋面粉和一罐黄油共花费198元。已知一罐黄油的价钱是一袋低筋面粉价钱的，一袋低筋面粉和一罐黄油各多少元？（用方程解） 【例题3】现代社会逐步进入智能时代。某快递公司分三批购进无人驾驶智能配送车。第一批购进20辆，是第二批购进数量的，第三批购进的数量是第二批的。第三批购进了多少辆？ 典例十四：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【例题1】春城华府小区共有612人，在雪花山森林公园开园当天有的人去游玩，比惠馨花园去游玩的人数多，惠馨花园去游玩的人数是多少？ 【例题2】京张高铁2019年开通，是中国首条智能高速铁路。列车配备自动驾驶系统、智能照明等高科技，最高速度可达350千米/时，比普通列车的速度快，普通列车的速度是多少？ 【例题3】2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团取得了卓越的成绩，向世界展示了中国体育的强大实力。本次奥运会中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中银牌27枚，铜牌的枚数是金牌的，中国体育代表团获得金牌和铜牌各多少枚？ 典例十五：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【例题1】社区开展环保知识科普活动，发放了一批环保手册。第一天发放了，第二天发放了余下的，还剩下288册没有发完，这批环保手册共有多少册？ 【例题2】妈妈给小天买了一套衣服共270元，其中裤子的价格是上衣价格的，裤子和上衣的价格各是多少元？ 【例题3】一家玩具厂要生产一批玩具，第一个月生产了这批玩具的，第二个月生产了这批玩具的，还剩下240个没有完成，这批玩具有多少个？ 典例十六：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【例题1】一个乒乓球从高处下落，每次弹起的高度是下落时高度的。已知这个乒乓球第三次下落时的高度是8米，那么它最初是从( )米处落下的。 【例题2】亮亮用7天的时间看完一本书，每天看了这本书的还多3页，这本书共有多少页？ 【例题3】甲有若干本数，乙借走了一半加3本，剩下的书丙借走了加2本，再剩下的书丁借走加1本，最后甲还剩下2本书。甲原来有多少本书？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题03：分数除法 思维导图 考点清单 考点一：分数除法的意义 1.意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算（与整数除法意义相同）。 例： 表示“已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 2，求另一个因数是多少”，或“把 平均分成 2 份，求每份是多少”。 2.与分数乘法的关系：互为逆运算。 考点二：分数除法的计算法则 1.分数除以整数 计算方法：分子除以整数（能整除时）；或分子不变，分母乘整数（不能整除时）。 字母公式：（）。 例：；。 2.一个数除以分数 核心原理：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：（）。 整数除以分数：转化为整数乘分数的倒数（整数看作分母为 1 的分数）。 例：；。 3.小数除以分数 方法：先将小数化成分数，再按分数除法法则计算。 例：。 考点三：分数混合运算 1.运算顺序：与整数混合运算相同。 同级运算（只有乘除）：从左到右依次计算； 不同级运算（含加减乘除）：先算乘除，后算加减； 有括号：先算括号内，再算括号外。 例：。 2.简便运算：转化为乘法后，可运用乘法交换律、结合律、分配律（除法无分配律）。 例：。 考点四：解决问题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位“1”未知） 方程法：设单位“1”为 ，列方程 。 例：一本书看了 ，正好是 60 页，求全书页数。解：设全书 页，，。 算术法：具体量 对应分率 = 单位“1”的量。 例：同上，全书页数 = （页）。 2.稍复杂的分数除法问题（含“比多/比少”） 关键：找准单位“1”和对应分率（“比单位‘1’多 ”对应分率为 ，“比单位‘1’少 ”对应分率为 ）。 例：男生 30 人，比女生多 ，女生多少人？解：女生人数 = （人）。 3.分数除法与比的综合应用（按比例分配） 步骤：① 求总份数；② 求各部分量占总量的分率；③ 用总量 分率求各部分量。 例：按 分配 100 个零件，甲、乙各分多少？解：总份数 ，甲：（个），乙：（个）。 易错归纳 一、概念理解误区 1.混淆分数除法意义 错误：将“”理解为“求 的 2 倍是多少”（与分数乘法意义混淆）。 正确：表示“把 平均分成 2 份，求每份是多少”或“已知积和一个因数求另一个因数”。 2.倒数定义不清 错误：认为“倒数就是分子分母颠倒”，忽略“乘积是 1 的两个数互为倒数”（如 0 没有倒数，1 的倒数是 1）。 二、计算错误 1.忘记乘倒数 错误：（直接乘除数，未乘倒数）。 正确：。 2.约分不彻底或错误 错误：（过程正确，但结果需化简时未注意）。 正确：计算时交叉约分更简便：（结果已最简）。 3.整数除法漏写分母 错误：（书写不规范，易忽略整数可看作分母为 1 的分数）。 正确：（明确整数的分母为 1）。 三、解决问题误区 1.单位“1”判断错误 错误：“男生人数比女生多 ”中，误将“男生人数”看作单位“1”。 正确：“比”字后面的量是单位“1”，即“女生人数”是单位“1”。 2.量率对应错误 错误：“一根绳子用去 ，还剩 3 米”，列式 米（用剩余量除以用去分率）。 正确：剩余量对应分率为 ，绳子总长 = 米。 3.混合运算顺序错误 错误：（先算乘法，再算除法）。 正确：同级运算从左到右：。 四、书写规范问题 1.除号与分数线混淆 错误：书写“”为“”，易误读为“”。 正确：明确使用“”或转化为乘法：。 2.结果未化成最简分数或带分数 错误：计算结果保留“”“”（未约简或未化成带分数）。 正确：，。 典例精析 典例一：倒数的认识 【例题1】0.7和( )互为倒数；( )没有倒数。 【答案】 / 0 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，将0.7化成分母是10的真分数，交换真分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数；0乘任何数都等于0，不等于1，因此0没有倒数。 【详解】0.7＝ 0.7和互为倒数；0没有倒数。 【例题2】的倒数是( )，( )的倒数是最小的合数，最小质数的倒数是( )。 【答案】 /0.25 /0.5 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，1的倒数还是1，0没有倒数，先把带分数转化为假分数，再把假分数的分母和分子调换位置求出它的倒数，最后根据最小的合数是4，最小的质数是2求出它们的倒数，据此解答。 【详解】＝ 分析可知，的倒数是，最小的合数是4，它的倒数是，则的倒数是最小的合数，最小的质数是2，它的倒数是。 【例题3】最小的质数与最小的合数相乘的积的倒数是( )，比这个数少的数是( )。 【答案】 【分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，最小的质数是2；除了1和它本身外还有其他因数的数是合数，最小的合数是4。乘积是1的两个数互为倒数，用1除以一个数（0除外）即可求出这个数的倒数。 求比这个数少的数，把这个数看作单位“1”，即求这个数的1－＝是多少，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】2×4＝8 1÷8＝ ＝ ＝ 所以，最小的质数与最小的合数相乘的积的倒数是，比这个数少的数是。 典例二：与倒数有关的综合计算 【例题1】如果a和b互为倒数，那么÷结果是( )；如果a＝0.125，那么b＝( )。 【答案】 8 【分析】（1）乘积为1的两个数互为倒数，据此可知ab＝1，再根据分数除法的计算方法化简÷并把ab＝1代入即可求值； （2）把a＝0.125代入ab＝1中，用除法求出b的值。 【详解】÷＝×＝， 因为ab＝1，所以＝； 1÷0.125＝8。 如果a和b互为倒数，那么的结果是；如果a＝0.125，那么b＝8。 【例题2】已知，且a、b、c都大于0。那么a、b、c中最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 c a 【分析】a、b、c都大于0，假设＝1，根据互为倒数的两个数的乘积是1，分别求出a、b、c的值，再根据分数比较大小的方法进行比较。 【详解】假设＝1 则a＝＝，b＝＝，c＝＝ 因为9＞7＞5 所以＜＜ 所以a＜b＜c 所以a、b、c中最大的是c，最小的是a。 【例题3】三个质数的倒数之和是，这三个质数之和是( )。 【答案】12 【分析】三个质数的倒数之和是，因此这三个质数的乘积就是42，把42分解质因数即可求出这三个质数分别是多少，再把这三个质数相加即可解答。 【详解】42＝2×3×7 所以这三个质数分别是2、3、7； 2＋3＋7 ＝5＋7 ＝12 所以这三个质数之和是12。 典例三：自然数与倒数的和或差问题 【例题1】一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。 【答案】13 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 已知一个数与它的倒数的差是，可以分解成13－，13的倒数正好是，据此解答。 【详解】＝13－ 13的倒数是； 所以，这个数是13。 【点睛】本题考查倒数的求法，把带分数分解成13－的形式是解题的关键。 【例题2】一个不为0的自然数与它的倒数的和为10.1，这个自然数是( )。 【答案】10 【分析】把10.1化作带分数，带分数的整数部分就是这个整数，带分数的真分数部分是这个整数的倒数，据此解答。 【详解】10.1＝10＋0.1＝＋ 这个自然数是10。 【点睛】把小数拆为“整数部分＋真分数部分”是解答本题的关键。 【例题3】一个自然数和它的倒数之和是，这个自然数是( )。 【答案】3 【分析】3＋＝，据此解答即可。 【详解】一个自然数和它的倒数之和是，这个自然数是3。 【点睛】本题属于基础性题目，一定要熟练掌握求一个数的倒数的方法。 典例四：分数的平均分 【例题1】把米长的绳子平均分成4段，每段长( )米，每段是这根绳子的( )。 【答案】 /0.1875 【分析】把米长的绳子平均分成4段，用总长度除以段数即可求出每段的长度； 将这根绳子看作单位“1”，将其平均分成4段，每段是这根绳子的1÷4＝。 【详解】÷4＝×＝（米） 1÷4＝ 所以每段长米，每段是这根绳子的。 【例题2】小丽需要用彩带包装礼品盒，她把8米长的彩带平均剪成5段，第2段的长度是这根彩带总长度的( )，第4段长( )米。 【答案】 【分析】①将彩带的总长看作单位“1”，用单位“1”除以平均分的段数5段，即可求出每段的长度占总长度的几分之几； ②用彩带的总长度8米除以平均分的段数即可求出每段的长度； 【详解】①，即，第2段的长度是这根彩带总长度的； ②，即第4段长米。 【例题3】某工程队修一条千米的水渠，3天修了它的，平均每天修这条水渠的( )（填分数），照这样的速度，( )天可以修完这条水渠。 【答案】 12 【分析】已经修了这条水渠的几分之几÷天数＝平均每天修这条水渠的几分之几；将总天数看做单位“1”，已修天数÷对应分率＝总天数，据此分析。 【详解】÷3＝ 3÷＝12（天） 【点睛】关键是理解分数的意义，部分数量÷对应分率＝整体数量，除以一个数等于乘这个数的倒数。 典例五：分数与整数的除法 【例题1】一批货物，甲单独搬完要10小时，乙单独搬完要15小时，丙单独搬完要5小时，( )搬得最快，甲、乙一起搬完需要( )小时。 【答案】 丙 6 【分析】把这批货物的总量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲、乙、丙的工作效率，比较三个人的工作效率即可得出谁搬得最快；再根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，代入数据即可求出甲、乙合作需要的时间。 【详解】1÷10＝ 1÷15＝ 1÷5＝ ＞＞ 1÷（＋） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（小时） 丙搬得最快，甲、乙一起搬完需要6小时。 【例题2】把6米长的铁丝截成每段长米的小段，可以截成( )段，每段长是全长的( )。 【答案】 8 【分析】根据除法的意义，求6米里面有几个米，用除法计算。 根据分数的意义，把这根铁丝的长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成8段，每段是全长的。 【详解】（段） 所以，可以截成8段，每段长是全长的。 【例题3】公园有一条环形健身跑道，小明走一圈需要20分钟，小亮走一圈需要30分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，( )分钟后首次相遇；如果两人同时同地出发，同向而行，( )分钟后小明超出小亮一整圈。 【答案】 12 60 【分析】把健身跑道一圈的路程看作单位“1”，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出小明的速度和小亮的速度。两人同时同地出发，相背而行，根据“相遇时间＝路程÷速度和”，求出两人的相遇时间； 两人同时同地出发，同向而行，根据“追及时间＝路程差÷速度差” ，即可求出小明超出小亮一整圈所需的时间； 据此解答即可。 【详解】1÷20＝ 1÷30＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1×12 ＝12（分） 1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×60 ＝60（分） 因此，如果两人同时同地出发，相背而行，12分钟后首次相遇；如果两人同时同地出发，同向而行，60分钟后小明超出小亮一整圈。 典例六：分数与分数的除法 【例题1】直接写结果。                                                                       【答案】；；12；1； ；；；8。 【详解】略 【例题2】直接写得数。 ＝          ＝         ＝         ＝ ＝         ＝         ＝         ＝ 【答案】；；；； 1；；；5 【详解】略 【例题3】直接写得数。                                                                                    1.25×8＝                             【答案】；；81；1.4； ；；0；； ；；20；10； 0.3；；； 【详解】略 典例七：被除数与商的大小关系（分数除法） 【例题1】在括号里填上合适的数。 ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外），乘小于1（0除外）的数，积比原数小；除以小于1（0除外）的数，商比原数大；除以一个数等于乘这个数的倒数，一个数（0除外），乘的数越大积越大，据此填空。 【详解】＜1，因此＜ 、＞，所以＞ ＜1，，，因此＜ 【例题2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )               ( ) ( )         ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＝ 【分析】（1）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （2）和的被除数相同，除数越小商越大，除数越大商越小； （3）被除数大于0时，被除数除以小于1（0除外）的数，所得结果一定大于原来这个数；一个大于0的数乘小于1（0除外）的数，积比原来的数小；先比较括号两边算式与105的大小关系，再比较括号两边算式的大小关系； （4）由乘法结合律“（a×b）×c＝a×（b×c）”可知，＝，据此解答。 【详解】（1）因为＜1，所以＜； （2）因为＜1，所以＞； （3）因为＜1，所以＞105，＜105，即＞； （4）分析可知，＝。 综上所述，＜，＞，＞，＝。 【例题3】比较大小，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )            ( )            ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数； 一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数。据此解答。 【详解】因为＜1，所以×＜； 因为＜1，所以÷＞； 因为＜1，所以＞，＜，因此＞。 典例八：分数的连除运算 【例题1】学校有篮球200个，是足球的，足球是排球的，学校有排球多少个？ 【答案】625个 【分析】将足球个数看作单位“1”，篮球个数÷对应分率＝足球个数；再将排球个数看作单位“1”，足球个数÷对应分率＝排球个数，据此列式解答。 【详解】200÷÷ ＝200×× ＝500× ＝625（个） 答：学校有排球625个。 【例题2】5辆卡车小时运走了吨货物，平均每辆卡车每小时运货物多少吨？ 【答案】2吨 【分析】将运走的货物吨除以小时，求出5辆卡车每小时运多少，再除以5，求出平均每辆卡车每小时运货物多少吨。 【详解】÷÷5 ＝×× ＝2（吨） 答：平均每辆卡车每小时运货物2吨。 【例题3】实验小学六（2）班参加合唱队的学生有12人，占全班人数的，六（2）班学生人数占六年级总人数的。实验小学六年级有多少学生？ 【答案】240人 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，合唱队人数÷求出全班人数，再用全班人数÷求出六年级总人数。 【详解】 ＝12×4×5 ＝48×5 ＝240（人） 答：实验小学六年级有240人。 典例九：分数的乘除法的混合运算 【例题1】直接写出得数。                                                     【答案】6.3；；7； ；0.1；； 【详解】略 【例题2】直接写出得数。 2－＝                                 ＝          ＝ ＝          ＝          ＝           ＝          ＝ 【答案】；；；9.2；12； 1；；；； 【解析】略 【例题3】直接写出得数。                                                               【答案】12；2；；； ；；81； 【详解】略 典例十：分数的四则混合运算 【例题1】亮亮一家从雪花山公园附近到洛阳游玩，汽车出发时有半箱油，用去后在服务区把油箱加满，加了28升油，这个油箱能装多少升汽油？ 【答案】40升 【分析】设油箱总容量为x升。出发时有半箱油，即出发时油量为升；用去后在服务区把油箱加满，把出发时的油量看作单位“1”，则用去的油量为（×）升，剩余油量为：（－×）升，要将油箱加满，需要补充的油量为总容量减去剩余油量，加了28升油。据此可列方程为：x－（－×）＝28，然后解方程即可。 【详解】解：设油箱总容量为x升。 x－（－×）＝28 x－（－x）＝28 x－（x－x）＝28 x－x＝28 x＝28 x＝28÷ x＝28× x＝40 答：这个油箱能装40升汽油。 【例题2】雪花山森林运动公园篮球场需要建设，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天，甲乙合作多少天能完成篮球场的？ 【答案】4天 【分析】把总工程量看作单位“1”。甲队单独完成需要10天，因此甲队每天完成的工作量为1÷10＝；乙队单独完成需要15天，因此乙队每天完成的工作量为1÷15＝。则两队合作每天完成的工作量为：（＋），根据工作时间＝工作量÷工作效率，用除以（＋）计算即可解答。 【详解】把总工程量看作单位“1”。 1÷10＝ 1÷15＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝×6 ＝4（天） 答：甲乙合作4天能完成篮球场的。 【例题3】某玩具厂两个生产车间一共有480名工人，其中第一车间的人数占两个车间总人数的。因一笔订单需提前交付，该玩具厂给第一车间新招聘了一些工人，此时第一车间的人数占两个车间总人数的。第一车间新招聘了多少名工人？ 【答案】53名 【分析】已知两个车间原有总人数480人，第一车间人数占总人数的；把原有人数看作单位“1”，则第二车间占总人数的（），用480乘（）算出第二车间人数。已知招聘后第一车间人数占新总人数的，把招聘后的总人数看作单位“1”，且第二车间人数始终不变；根据“招聘后第二车间人数占比＝ 1－招聘后第一车间占比”以及“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，算出招聘后两个车间总人数。最后根据“新增人数＝招聘后总人数－原有总人数”，算出第一车间新招聘人数。 【详解】480×（1－） ＝480× ＝260（名） 260÷（1－） ＝260÷ ＝260× ＝533（名） 533－480＝53（名） 答：第一车间新招聘了53名工人。 典例十一：分数除法相关的简便计算 【例题1】脱式计算。（能简算的要简算） ×100÷          13.2×＋2.8÷           ÷［（－）×] 【答案】320；20； 【分析】计算×100÷，从左往右依次计算； 计算13.2×＋2.8÷，先变式为13.2×＋2.8×，根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变式为×（13.2＋2.8）进行简算； 计算÷［（－）×]，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法。 【详解】×100÷ ＝80×4 ＝320 13.2×＋2.8÷ ＝13.2×＋2.8× ＝×（13.2＋2.8） ＝×16 ＝20 ÷［（－）×] ＝÷［×] ＝÷ ＝× ＝ 【例题2】下面各题怎样简便怎样算。                                                       【答案】20；；70 11；15； 【分析】根据乘法分配律进行去括号简便计算即可； 先将分数除法转化成分数乘法，再根据乘法分配律逆运算进行简便计算； 算式中可以写成，再根据乘法分配律逆运算进行简便计算； 先将分数除法转化成分数乘法，再根据乘法分配律进行简便计算； 根据分数四则运算的计算法则，从左往右依次进行计算即可； 根据分数四则运算的计算法则，从左往右先计算分数乘法，再计算分数除法依次进行计算。 【详解】   ＝8＋12 ＝20             ＝70     ＝3＋8 ＝11 ＝15 【例题3】脱式计算，怎样算简便就怎样算。                                               【答案】9；；； ；80 【分析】（1）对于有括号的式子，按照先算小括里的，再算括号外的顺序计算； （2）先将除法转化为乘法，然后根据先乘除后加减的顺序计算； （3）将2024拆分为，再利用乘法分配律进行计算； （4）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律逆运算进行计算； （5）先计算小括号内的加法，再计算中括号内的乘法，最后计算括号外的除法。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【点睛】做分数四则混合运算的简便计算时，首先观察式子结构，判断是否能运用乘法分配律（或其逆运算），对于有除法的式子，先转化为乘法；有括号的式子，严格按照先小括号，再中括号，最后括号外的顺序计算，计算括号内的数时注意通分。 典例十二：解分数方程 【例题1】解方程。                  【答案】；； 【分析】（1）先把1.8转化为分数，再根据等式的性质2，等式两边同时乘。 （2）根据等式的性质1和2，两边同时减，再同时除以解答。 （3）先计算方程左边，然后根据等式的性质2，两边同时除以解答即可。 【详解】 解： （2） 解： （3） 解： 【例题2】解方程。                      【答案】；； 【分析】先通分计算等式左边，再根据等式的基本性质，等式两边同时乘； 根据分数除法法则，除法转化为乘法，根据等式的基本性质，等式两边同时乘； 根据等式的基本性质，等式两边同时减18，再两边同时乘； 【详解】 解： 解： 解： 【例题3】解方程。                      【答案】；； 【分析】第一题，利用等式的性质，等式两边同时乘，等式右侧计算后，再利用等式的性质，等式两边同时除以4，计算即可解得方程。 第二题，利用等式的性质，等式两边同时加上，再利用等式的性质，等式两边同时减，计算后，等式左右交换位置，再利用等式的性质，等式两边同时除以，即可解得方程。 第三题，等式左边做减法后，利用等式的性质，等式两边同时除以x前面的数，即可解得方程。 【详解】 解： 解： 解： 典例十三：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【例题1】雪花山森林公园有乔木类植物、花卉植物、地衣植物共383种，其中乔木类有71种，公园中的花卉植物是地衣植物的，花卉植物、地衣植物各有多少种？ 【答案】花卉植物：111种；地衣植物：201种 【分析】已知三种植物共383种，其中乔木类71种，因此花卉植物和地衣植物的总种类为：（383－71）种；设地衣植物的种类为x种，因为花卉植物是地衣植物的，所以花卉植物的种类为x种。花卉植物和地衣植物的总种类为（383－71）种，据此可列方程：x＋x＝383－71，然后解方程即可。 【详解】解：设地衣植物的种类为x种。 x＋x＝383－71 x＝312 x＝312÷ x＝312× x＝201 201×＝111（种） 答：花卉植物有111种，地衣植物有201种。 【例题2】妈妈准备为女儿亲手制作生日蛋糕，她采购了一袋低筋面粉和一罐黄油共花费198元。已知一罐黄油的价钱是一袋低筋面粉价钱的，一袋低筋面粉和一罐黄油各多少元？（用方程解） 【答案】154元；44元 【分析】这是一道和倍关系的方程应用题，解题核心是先找到单位1的量，设为未知数，再根据两者的数量关系表示出另一个量，最后根据总花费列方程求解。把一袋低筋面粉的价钱设为未知数x元（单位1的量），黄油价钱是元。，据此列方程求解。 【详解】解：设：一袋低筋面粉的价钱为x元，则一罐黄油的价钱为元。 答：一袋低筋面粉154元，一罐黄油44元。 【例题3】现代社会逐步进入智能时代。某快递公司分三批购进无人驾驶智能配送车。第一批购进20辆，是第二批购进数量的，第三批购进的数量是第二批的。第三批购进了多少辆？ 【答案】35辆 【分析】根据题意，第一批购进20辆，是第二批购进数量的，是以第二批购进的数量为单位“1”，可以列出等量关系式：第二批购进的数量×＝第一批购进的数量。已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，所以用第一批购进的20除以，即可求出第二批的数量。再根据第三批购进的数量是第二批的，可知以第二批购进的数量为单位“1”，可以列出等量关系式：第二批购进的数量×＝第三批购进的数量。求一个数的几分之几是多少用乘法，再用第二批购进的数量乘即可求出第三批购进的数量，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝35（辆） 答：第三批购进了35辆。 典例十四：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【例题1】春城华府小区共有612人，在雪花山森林公园开园当天有的人去游玩，比惠馨花园去游玩的人数多，惠馨花园去游玩的人数是多少？ 【答案】119人 【分析】根据题意，春城华府去游玩的人数是总人数的，即人。这部分人数比惠馨花园多，把惠馨花园的人数看作单位“1”，则春城华府的人数是惠馨花园的（）。设惠馨花园的人数为x，则可列方程为，解方程即可。 【详解】解：设惠馨花园的人数为x。 答：惠馨花园去游玩的人数是119人。 【例题2】京张高铁2019年开通，是中国首条智能高速铁路。列车配备自动驾驶系统、智能照明等高科技，最高速度可达350千米/时，比普通列车的速度快，普通列车的速度是多少？ 【答案】80千米/时 【分析】把普通列车的速度看作单位“1”，高铁的速度比普通列车的速度快，则高铁速度是普通列车速度的（）；根据高铁的速度可达350千米/时，可列出等量关系式：普通列车的速度×（1＋）＝高铁的速度。根据“已知比一个数多几分之几是多少，求这个数用除法”，用高铁的速度除以高铁的速度是普通列车的速度的几分之几即可解答。 【详解】350÷（1＋） ＝350÷（＋） ＝350÷ ＝350× ＝80（千米/时） 答：普通列车的速度是80千米/时。 【例题3】2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团取得了卓越的成绩，向世界展示了中国体育的强大实力。本次奥运会中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中银牌27枚，铜牌的枚数是金牌的，中国体育代表团获得金牌和铜牌各多少枚？ 【答案】金牌40枚；铜牌24枚 【分析】​根据题意，先计算金牌和铜牌的总数，用总奖牌数91枚减去银牌数27枚；再把金牌数看作单位“1”，铜牌数是，所以金牌和铜牌的总数对应的分率是1＋，用金牌和铜牌的总数÷对应的分率，算出金牌数；最后用金牌数×算出铜牌数。据此解答。 【详解】金牌： ＝64÷ ＝64× ＝40（枚）     铜牌：（枚） 答：中国体育代表团获得金牌40枚，铜牌24枚。 典例十五：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【例题1】社区开展环保知识科普活动，发放了一批环保手册。第一天发放了，第二天发放了余下的，还剩下288册没有发完，这批环保手册共有多少册？ 【答案】1080册 【分析】把这些环保手册的总数量看作单位“1”，第一天发放了，余下（1－），第二天发放了余下的，则第二天发放了总数量的（1－）×，此时还剩下1－－（1－）×，还剩下288册没有发完，这些环保手册的总数量＝剩下的数量÷[1－－（1－）×]，据此解答。 【详解】288÷[1－－（1－）×] ＝288÷[1－－×] ＝288÷[1－－] ＝288÷[－] ＝288÷ ＝288× ＝1080（册） 答：这批环保手册共有1080册。 【例题2】妈妈给小天买了一套衣服共270元，其中裤子的价格是上衣价格的，裤子和上衣的价格各是多少元？ 【答案】裤子120元；上衣150元 【分析】根据题意，将上衣的价格看作单位“1”，把上衣的价格设为未知数，裤子的价格＝上衣的价格×，用含有字母的式子表示出裤子的价格，等量关系式：上衣的价格＋裤子的价格＝270元，据此列方程解答。 【详解】解：设上衣的价格为元，则裤子的价格为元。 150×＝120（元） 答：裤子的价格是120元，上衣的价格是150元。 【例题3】一家玩具厂要生产一批玩具，第一个月生产了这批玩具的，第二个月生产了这批玩具的，还剩下240个没有完成，这批玩具有多少个？ 【答案】900个 【分析】根据第一个月和第二个月生产的分率以及这批玩具的总数为单位“1”，可求得还剩下未生产的玩具的分率。已知一部分量占总量的几分之几及这一部分量，单位“1”未知，用除法，用一部分量÷几分之几＝总量，代入题中数据，即可求得这批玩具有多少个。 【详解】240÷（1－－） ＝240÷ ＝240÷ ＝240× ＝900（个） 答：这批玩具有900个。 典例十六：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【例题1】一个乒乓球从高处下落，每次弹起的高度是下落时高度的。已知这个乒乓球第三次下落时的高度是8米，那么它最初是从( )米处落下的。 【答案】50 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法；这个乒乓球第三次下落时的高度是8米，也就是这个乒乓球第二次弹起的高度是8米，已知每次弹起的高度是下落时高度的，则第二次下落时的高度是米；也就是第一次弹起的高度是米，那么第一次下落的高度就是米，也就是最初落下的高度，据此列式计算即可。 【详解】 ＝50（米） 所以一个乒乓球从高处下落，每次弹起的高度是下落时高度的。已知这个乒乓球第三次下落时的高度是8米，那么它最初是从50米处落下的。 【点睛】解题关键是：上一次弹起的高度就是下一次下落的高度。 【例题2】亮亮用7天的时间看完一本书，每天看了这本书的还多3页，这本书共有多少页？ 【答案】168页 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以几分之几。每天看了这本书的还多3页，把这本书的总页数看作单位“1”，7天看了这本书的，还多3×7＝21页，可知21页就是这本书的1−＝，即这本书的是21页，用21除以，可求出这本书的总页数。据此解答。 【详解】 ＝168（页） 答：这本书共有168页。 【点睛】关键找出量率对应的关系，7天读完这本书，每天看了这本书的还多3页，那么7天看了这本书的还多21页，21页就是这本书的，用21除以，可求出这本书的总页数。 【例题3】甲有若干本数，乙借走了一半加3本，剩下的书丙借走了加2本，再剩下的书丁借走加1本，最后甲还剩下2本书。甲原来有多少本书？ 【答案】24本 【分析】利用反推法，（2＋1）本是丙借了后剩下的（1－），剩下（2＋1）÷（1－）＝4（本）；（4＋2）本是乙借了后剩下的（1－），剩下（4＋2）÷（1－）＝9（本）；（9＋3）本是甲全部图书的一半，因此甲有（9＋3）÷＝24（本）；据此解答。 【详解】（2＋1）÷（1－）＝4（本） （4＋2）÷（1－）＝9（本） （9＋3）÷＝24（本） 答：甲原来有24本书。 【点睛】本题考查了分数的应用，关键是要运用反推法，找出题目中存在的数量关系进行解答。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $