期末复习专题05：圆（思维导图+考点清单+易错归纳+典例精析）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

该小学数学期末复习专题“圆”通过思维导图系统构建知识体系，考点清单分七个模块梳理圆的定义、性质、画法、对称性、扇形、周长及面积，搭配易错归纳从概念理解、操作计算等四方面辨析误区，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于典例精析结合实际应用，如“纪念币直径计算”培养量感，“圆环面积解决小路面积问题”发展空间观念，通过“半圆周长与圆周长一半辨析”等易错点指导分层提升，助力教师精准教学，支持学生自主复习突破难点。

期末复习专题05：圆 思维导图 考点清单 考点一：圆的各部分名称及定义 圆的定义：平面上到一个固定点（圆心）的距离都相等的所有点围成的封闭图形叫做圆。 各部分名称： 圆心（用字母O表示）：决定圆的位置； 半径（用字母r表示）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小； 直径（用字母d表示）：通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆内最长的线段。 核心关系：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的 2 倍，即d = 2r或r = 示例：一个圆的半径是 3cm，它的直径是3×2 = 6cm；若直径是 10dm，半径是10÷2 = 5dm。 考点二：圆的基本性质 半径的性质：在同圆或等圆中，所有的半径长度都相等； 直径的性质：在同圆或等圆中，所有的直径长度都相等； 圆的特征：圆是曲线图形，没有顶点和边，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径； 易混淆辨析：圆内任意两点间的线段中，直径最长；半圆的直径等于整圆的直径，半圆的半径也等于整圆的半径。 考点三：圆的画法 工具：圆规、直尺； 步骤： 定圆心：用直尺画出一个点作为圆心O； 定半径：将圆规的一只脚固定在圆心，另一只脚张开，量出所需的半径长度（如 3cm）； 画圆：以圆心为固定点，旋转圆规一周，即可画出一个完整的圆。 关键注意：画圆时，圆规两脚间的距离始终等于半径，不能随意改变；确定圆心后，旋转时要保持圆心固定。 考点四：圆的对称性 轴对称图形特征：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴； 对称轴的定义：圆的对称轴是直径所在的直线（注意：是 “直线”，不是 “直径” 本身）； 特殊情况：半圆是轴对称图形，但只有 1 条对称轴（经过圆心且垂直于半圆直径的直线）。 考点五：扇形的认识 扇形的定义：由圆的两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形； 扇形的组成： 2 条半径（扇形的两条边）； 1 段弧（圆上的一部分曲线）； 圆心角（两条半径的夹角，顶点在圆心）； 核心特征：扇形的大小由圆心角的大小和半径的长度决定（同圆或等圆中，圆心角越大，扇形越大）。 考点六：圆的周长 定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 圆周率（π）：圆的周长与它直径的比值，是一个无限不循环小数（π≈3.1415926…），通常取近似值 3.14（注意：π≠3.14，3.14 是近似值）。 核心公式： 基本公式：C = πd（d为直径）或C = 2πr（r为半径）； 变形公式：d = C÷π，r = C÷(2π)。 拓展应用： 半圆的周长：C_{半圆} = πr + 2r（或πd÷2 + d），需包含直径的长度； 滚动距离：圆形物体滚动一周的路程等于其周长（如车轮滚动一周前进的距离）。 应用场景：求圆形物体的外围长度（如圆形花坛围栅栏、树干的周长）、滚动距离等。 示例：一个圆的直径是 6cm，它的周长是3.14×6 = 18.84cm；一个圆的周长是 25.12dm，它的半径是25.12÷(2×3.14) = 4dm。 考点七：圆的面积 定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 推导过程：把一个圆平均分成若干偶数份，拼成一个近似的长方形（分的份数越多，越接近长方形）；长方形的长 = 圆周长的一半（πr），宽 = 圆的半径（r），因此圆的面积S = 长方形面积 = 长×宽 = πr×r = πr²。 核心公式： 基本公式：S = πr²（r为半径）； 变形公式：r² = S÷π。 拓展应用： 圆环面积（两个同心圆之间的面积）：S_{环} = π(R² - r²)（R为外圆半径，r为内圆半径）； 半圆面积：S_{半圆} = πr²÷2； 组合图形面积：通过 “整体减部分” 或 “部分加部分” 计算（如圆与正方形、长方形的组合）。 应用场景：求圆形物体的占地面积（如圆形草坪的面积、光盘的面积）、阴影部分面积（组合图形中）等。 示例：一个圆的半径是 5m，它的面积是3.14×5² = 78.5m²；一个圆环的外圆半径是 4cm，内圆半径是 2cm，圆环面积是3.14×(4² - 2²) = 37.68cm²。 易错归纳 一、概念理解误区 混淆直径的定义 错误：认为 “两端都在圆上的线段就是直径”（忽略 “经过圆心” 这一关键条件）； 正确：直径必须同时满足两个条件 ——①两端都在圆上；②经过圆心，缺少任何一个条件都不是直径。 忽略 “同圆或等圆” 前提 错误：认为 “所有圆的半径都相等”“直径是半径的 2 倍”（未限定同圆或等圆）； 正确：只有在同圆或等圆中，所有半径才相等、所有直径才相等，直径与半径的 2 倍关系才成立。 误解圆的对称轴 错误：认为 “圆的对称轴是直径”“半圆有无数条对称轴”； 正确：圆的对称轴是直径所在的直线（直径是线段，对称轴是直线）；半圆只有 1 条对称轴。 扇形的组成判断错误 错误：认为 “由两条线段和一段弧围成的图形就是扇形”（忽略 “两条线段必须是圆的半径”）； 正确：扇形的两条边必须是同一个圆的半径，且顶点在圆心，否则不是扇形。 混淆圆的周长和面积的意义 错误：①认为 “求圆形花坛的占地面积是求周长”；②将周长和面积的单位混用（如周长结果写 cm²）； 正确：周长是曲线的长度（一维量，单位：cm、m 等长度单位），面积是平面的大小（二维量，单位：cm²、m² 等面积单位），二者意义不同，单位不同，不可混淆。 半圆周长与圆周长的一半混淆 错误：认为 “半圆的周长 = 圆周长的一半”（即πr）； 正确：半圆的周长是圆周长的一半加直径，即πr + 2r（或πd÷2 + d），因为半圆包含一条直边（直径）。 二、操作与计算错误 画圆时操作失误 错误：①画圆时圆规两脚间的距离未固定，导致半径不一致；②旋转圆规时圆心移动，画出的不是标准的圆； 正确：画圆前先固定圆心，圆规两脚间的距离就是半径，旋转时保持圆心不动，确保半径始终不变。 直径与半径换算错误 错误：①已知半径求直径时，用半径除以 2（如r = 4cm，误算d = 4÷2 = 2cm）；②已知直径求半径时，用直径乘 2（如d = 6dm，误算r = 6×2 = 12dm）； 正确：牢记换算关系d = 2r、r = \frac{d}{2}，已知半径求直径用乘法，已知直径求半径用除法。 周长和面积公式混淆 错误：①求周长时用面积公式（如C = πr²）；②求面积时用周长公式（如S = 2πr）；③计算面积时漏算半径的平方（如r = 3cm，误算为3×3.14）； 正确：牢记公式区别：周长公式含 “d” 或 “2r”，面积公式含 “r²”；计算面积时先算r²（半径 × 半径），再乘π。 圆周率（π）的取值错误 错误：①将π直接等同于 3.14（忽略题目要求，如 “π取 3” 或 “保留两位小数”）；②计算时随意改变π的取值（如前面用 3.14，后面用 3）； 正确：按题目要求取值，无要求时通常取 3.14，计算过程中保持π取值一致，最终结果按要求保留小数位数。 单位不统一导致错误 错误：①已知直径是 2m，求面积时直接用2²×3.14（未先求半径）；②直径 50cm 误按 50m 计算，导致结果偏差； 正确：①计算前统一单位（如直径 50cm，保持单位一致或转化为 0.5m）；②严格区分长度单位和面积单位，避免混用。 三、解决问题误区 利用圆的性质解决实际问题时出错 错误：①给圆形花坛围栅栏，计算长度时误算成圆的面积（如已知半径求栅栏长度，用S = πr²计算）；②判断能否通过圆形洞口时，忽略直径是圆内最长线段； 正确：围栅栏、绕圆形物体一周等求的是圆的周长；判断物体能否通过圆形洞口，需比较物体宽度与洞口直径（物体宽度≤直径才能通过）。 画指定条件的圆时遗漏要求 错误：要求 “以点 A 为圆心，画一个半径 3cm 的圆”，却未标注圆心O和半径r = 3cm； 正确：画完圆后，必须标注圆心（用字母O表示）、半径（用字母r表示并注明长度）或直径（用字母d表示并注明长度）。 组合图形面积 / 周长计算错误 错误：①求圆环面积时，误算为π(R - r)²（正确是π(R² - r²)）；②求 “外方内圆” 阴影面积时，误将正方形边长当作圆的半径（正方形边长 = 圆的直径）；③求阴影部分面积时，多算或漏算重叠部分； 正确：①组合图形计算前先分析结构（整体与部分的关系）；②牢记特殊组合的关键条件（如外方内圆，正方形边长 = 圆直径；外圆内方，正方形对角线 = 圆直径）；③分步计算，先算各部分面积 / 周长，再按逻辑组合。 半径与直径混淆应用 错误：①已知直径求周长时，误用公式C = 2πd（正确是C = πd）；②已知周长求半径时，误算为C÷π（正确是C÷(2π)）；③求面积时，直接用直径代入公式（如d = 4cm，误算为π×4²）； 正确：①看清题目给出的是半径（r）还是直径（d）；②若给直径，需先转化为半径（r = d÷2）再代入面积公式；③牢记公式中各字母的含义，避免张冠李戴。 四、书写规范问题 符号书写错误 错误：①将半径符号 “r” 写成 “R”（大小写混淆）；②直径符号 “d” 漏写或写成其他字母； 正确：统一用小写字母表示，半径r、直径d、圆心O，书写时规范标注。 单位标注遗漏或错误 错误：①计算半径或直径后未带单位（如r = 5，未写 “cm”）；②面积结果写长度单位（如78.5cm）； 正确：计算时先统一单位，结果必须标注相应单位（周长用长度单位，面积用面积单位），确保单位规范。 书写与计算错误 错误：将 “r²” 写成 “r×2”（如r = 5，误算为5×2 = 10，而非5×5 = 25）； 正确：“r²” 表示半径乘半径，书写时需明确是平方运算，计算时先算平方再乘π。 典例精析 典例一：圆的概念及特点 【例题1】用圆规画一个直径20cm的圆，圆规两脚间的距离应是( )cm。 【答案】 10 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径；根据“半径＝直径÷2”用20除以2即可计算圆规两脚间的距离。 【详解】20÷2＝10（cm） 用圆规画一个直径20cm的圆，圆规两脚间的距离应是10cm。 【例题2】在一张边长是8cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径是 cm。 【答案】8 【分析】在正方形纸上剪一个最大的圆，圆的直径必须等于正方形的边长，这样才能保证圆是正方形内最大的圆，且不超出正方形边界。 【详解】根据分析可知，在一张边长是8cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径是8cm。 【例题3】如图中，大半圆的半径是( )厘米，小半圆的半径是( )厘米。 【答案】 8 4 【分析】由图可知，大半圆的半径等于小半圆的直径，大半圆的直径是16厘米，根据“半径＝直径÷2”，所以大半圆的半径为16÷2＝8厘米，即小半圆的直径也是8厘米，用8除以2得出小半圆的半径。 【详解】大半圆的半径等于小半圆的直径 16÷2＝8（厘米） 8÷2＝4（厘米） 大半圆的半径是8厘米，小半圆的半径是4厘米。 典例二：画圆 【例题1】按要求用圆规画圆，并用字母标出o，r，d标出它的圆心、半径、直径。 r＝2cm 【答案】见详解 【分析】先确定圆的半径为2cm，即两脚间的距离为2cm，再以固定针尖的点为圆心，旋转铅笔脚一周，即可画出半径为2cm的圆，圆心一般用字母o表示，连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，一般用字母r表示，过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径，一般用字母d表示；据此画圆，并标出它的圆心、半径和直径即可解答。 【详解】 【例题2】画图：圆心是点B，直径是5厘米。 【答案】见详解 【分析】根据圆的半径确定圆的大小，利用圆规进行画圆即可。先画5厘米的线段，找出这条线段的中点B，以B点为圆心，以这条线段的一半为半径r为5÷2＝2.5厘米即可画出直径是5厘米的圆，并标出圆心。 【详解】r＝5÷2＝2.5（厘米） 【例题3】两个小伙伴去吃披萨，给服务员说要1个12寸的披萨，服务员说没有12寸的，给你们每人一个6寸的，可以吗？请你在下面方框中画图说明。 【答案】不可以；见详解 【分析】画图说明（在方框内）：披萨的尺寸指直径，12寸披萨的直径是6寸披萨直径的2倍。画一个大圆（代表12寸披萨），再画两个同样大的小圆（代表两个6寸披萨），画圆时大圆直径是小圆直径的2倍，将两个小圆放入大圆内，可直观看到大圆面积远大于两个小圆面积之和。 【详解】作图如下： 答：不可以。因为1个12寸披萨的面积大于2个6寸披萨的面积和。 典例三：与圆相关的轴对称图形 【例题1】画出下面图形的对称轴。 【答案】见详解，红色虚线即为对称轴。 【分析】对称轴是指一个图形沿着某条直线对折后,两侧的图形能够完全重合的直线，可依此解答。 【详解】红色虚线即为对称轴。 【例题2】画出下面图形的所有对称轴。 【答案】画图见详解 【分析】依据轴对称图形的概念，及在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以画出它们的所有对称轴。 【详解】画出题中图形的所有对称轴如下： 【例题3】画出下列图形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 典例四：圆的周长 【例题1】圆的半径扩大到原来的2倍，直径也扩大到原来的( )倍，周长也扩大到原来的( )倍。 【答案】 2 2 【分析】根据在同一个圆内，d＝2r，C＝2πr，根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几；圆周率是定值，圆的半径扩大到原来的2倍，直径也扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍。 【详解】根据分析可知，圆的半径扩大到原来的2倍，直径也扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍。 【例题2】2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，中国人民银行发行纪念抗战胜利80周年普通纪念币一枚，这枚纪念币面额10元，直径是27毫米，半径是( )毫米，周长是( )毫米。 【答案】 13.5 84.78 【分析】在同圆或等圆中，圆的直径是半径的2倍。圆的周长的计算公式，代入计算即可。据此解答。 【详解】27÷2＝13.5（毫米） 所以半径是13.5毫米。 3.14×27＝84.78（毫米） 所以周长为84.78毫米。 【例题3】小飞要在一张边长为8cm的正方形纸片上剪一个最大的圆做学具，这个学具圆的直径应该是( )cm，这个学具圆的周长是( )cm。 【答案】 8 25.12 【分析】由正方形里剪一个最大的圆，可得圆的直径为正方形的边长，再由圆的周长＝πd，即可求得圆的周长。 【详解】因为一张边长为8cm的正方形纸片上剪一个最大的圆做学具，这个学具圆的直径应该是8cm。 3.14×8＝25.12（cm） 所以这个学具圆的周长是25.12cm。 典例五：半圆的周长 【例题1】如图从甲地到乙地有A，B两条路可走，这两条路的长度( )。 【答案】一样长 【分析】圆的周长的计算公式：，半圆弧的长度是圆的周长的一半，即。由图大半圆弧的直径等于两个小半圆弧的直径之和，那么大半圆弧的半径等于两个小半圆弧的半径之和，可以通过设两个半圆弧的半径为和，分别表示出A、B两条半圆弧的长度，再比较小即可。据此解答。 【详解】设两个小半圆弧的半径分别为和 A路线的长度： B路线的长度： 所以两条路的长度一样长。 【例题2】一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm。 【答案】20.56 【分析】如下图，在长8cm、宽5cm的长方形中画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长8cm；根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 这个半圆的周长是20.56cm。 【例题3】在一个长是10厘米，宽是8厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是　 　厘米，如果画一个最大的半圆，这个半圆的周长是　 　厘米。 【答案】25.12；25.7 【分析】由题意画出下图，在长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长。在长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径等于长方形的长。根据半圆的周长＝πd÷2＋d，代入数据解答即可。 【详解】3.14×8＝25.12（厘米） 3.14×10÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（厘米） 在一个长是10厘米，宽是8厘米的圆中画一个最大的圆，这个圆的周长是25.12厘米；如果画一个最大的半圆，这个半圆的周长是25.7厘米。 典例六：圆的周长的应用 【例题1】把4个底面半径5厘米的圆柱形罐头按正方形捆扎3圈，接头处长15厘米，计算所需绳子长度。 【答案】229.2厘米 【分析】如下图，扎一圈所需要的绳长＝四个直径的长＋4个圆周长＝四个直径的长＋一个圆的周长，其中直径为（5×2）厘米，圆的周长公式C＝2πr，据此求出扎一圈所需要的绳长，再乘3，即是扎3圈的长度，最后加上接头部分的长度，就是所需绳子长度。 【详解】（5×2×4＋5×2×3.14）×3＋15 ＝（40＋31.4）×3＋15 ＝71.4×3＋15 ＝214.2＋15 ＝229.2（厘米） 答：所需要绳子长229.2厘米。 【点睛】此题解答关键是求扎一圈所需要的绳长，即4个直径的长度＋一个圆的周长。 【例题2】现有4个底面半径4厘米、高10厘米的圆柱形礼品盒，按“2×2”的方式叠放（2层，每层2个，呈正方形排列），用绳子沿外围多层捆扎1圈，打结处消耗绳子10厘米。计算捆扎所需绳子的总长度。 【答案】 67.12厘米 【分析】根据题目要求摆放的圆柱体示意图如下，我们发现：这个“2×2”叠放的圆柱，外围的直线部分是4条直径（每个方向2条），曲线部分是1个圆的周长（4个圆柱的角落合起来是一个完整的圆）。 要计算所需绳子的总长，用4条直径的长度＋1个圆的周长＋打结处消耗的绳子长度即可。 【详解】4×2＝8（厘米） 8×4＝32（厘米） 圆周长为：（8）厘米 绳子总长：32＋8＋10＝（42＋8）厘米 取3.14，代入上式： 42＋8×3.14 ＝42＋25.12 ＝67.12（厘米） 答：捆扎所需绳子的总长度为67.12厘米。 【点睛】这类圆的捆扎题型属于圆的周长的拓展题，它的核心在于要看外围圆的数量，外围有多少个圆，就用外围圆的数量乘直径，加上一个圆的周长，再加上绳子接头的长度，就是捆扎一圈所需的绳子长度。 【例题3】张叔叔骑车去湿地公园游玩，途中需要骑车通过一座长1800米的大桥，如果车轮平均每分钟转80圈，那么他10分钟能通过这座大桥吗？ 【答案】能通过这座大桥。 【分析】一个轮子的直径是0.75米，所以它的周长是3.14×0.75＝2.355米，把一个轮子的周长乘80圈可以算出每分钟骑车能走的路程，再用每分钟骑车走的路程乘10，可以算出10分钟一共走的路程，最后跟桥长比较大小，判断是否能通过大桥 【详解】3.14×0.75＝2.355（米） 2.355×80×10 ＝2.355×800 ＝1884（米） 1884＞1800 所以能通过大桥 答：10分钟能通过这座大桥。 典例七：含圆的组合图形的周长 【例题1】求阴影分的周长。（单位：分米） 【答案】100.48分米 【分析】阴影部分的周长分为三个圆的周长，一个圆的半径为6分米，一个圆的半径为2分米，大圆的直径为2×6＋2×2＝16分米，根据圆的周长＝即可求出每个圆的周长，再加到一起即可得到阴影部分的周长。 【详解】6×2＋2×2＝16（分米） 3.14×16＋3.14×6×2＋3.14×2×2 ＝50.24＋37.68＋12.56 ＝100.48（分米） 这个阴影部分的周长为100.48分米。 【例题2】求阴影部分的周长。 【答案】348.4米；18.84厘米 【分析】（1）阴影部分的周长等于直径是60米的圆的周长加上2条80米的线段，根据圆的周长＝πd列式计算即可； （2）阴影部分的周长等于直径是4厘米的圆的周长加上半径是4厘米的圆周长的，根据圆的周长＝πd＝2πr列式计算即可。 【详解】3.14×60＋80×2 ＝188.4＋160 ＝348.4（米） 阴影部分的周长是348.4米。 3.14×4＋4×2×3.14× ＝12.56＋8×3.14× ＝12.56＋6.28 ＝18.84（厘米） 阴影部分的周长是18.84厘米。 【例题3】求阴影部分的周长。 【答案】92.8厘米 【分析】分析阴影部分周长的组成：阴影部分的周长由半圆的弧长、圆心角为30°的扇形的弧长以及一条线段组成。计算半圆的弧长：圆的周长公式为C＝πd（其中C为周长，d为直径），半圆的弧长是圆周长的一半，所以半圆的弧长为πd，已知直径是30厘米，可以据此计算。计算扇形的弧长：因为整个圆的圆心角是360°，扇形的圆心角是30°，所以扇形的弧长是整个圆周长的，圆的周长公式是C＝2πr（r为半径），这里半径是30厘米，可以算出扇形弧长。计算线段长度：线段长度为30厘米。计算阴影部分周长：把上述三部分长度相加。 【详解】半圆的弧长： 3.14×30× ＝94.2× ＝47.1（厘米） 扇形的弧长： 2×3.14×30× ＝6.28×30× ＝188.4× ＝15.7（厘米） 阴影部分周长： 47.1＋15.7＋30 ＝62.8＋30 ＝92.8（厘米） 答：阴影部分的周长为92.8厘米。 【点睛】解决此类组合图形周长问题，要先分析周长的组成部分，再分别运用圆的周长公式计算各部分长度，最后求和。 典例八：圆的面积 【例题1】在一个周长为80cm的正方形纸片上，要剪一个半径最大的圆，这个圆的面积是( )cm2。 【答案】314 【分析】根据“正方形的周长＝边长×4”可知“正方形的边长＝正方形的周长÷4”用80除以4计算出正方形的边长；要剪一个半径最大的圆，那么圆的直径就是正方形的边长，根据“圆的半径＝直径÷2”用正方形的边长除以2计算出半径；再根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”计算出面积即可。 【详解】3.14×（80÷4÷2）2 ＝3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（cm2） 在一个周长为80cm的正方形纸片上，要剪一个半径最大的圆，这个圆的面积是314cm2。 【例题2】下图中长方形的周长是( )dm；一个圆的面积是( )dm2。 【答案】 21 7.065 【分析】由图可知，圆的半径是1.5dm，长方形的长由“2个圆的直径＋1个圆的半径”组成，长方形的宽等于圆的直径，分别求出长方形的长和宽，再根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”代入数据计算即可；根据圆的面积公式“”代入数据计算即可。 【详解】1.5×2＝3（dm） 2×3＋1.5 ＝6＋1.5 ＝7.5（dm） （7.5＋3）×2 ＝10.5×2 ＝21（dm） 3.14×1.52＝3.14×2.25＝7.065（dm2） 图中长方形的周长是21dm；一个圆的面积是7.065dm2。 【例题3】如图，把一个圆分成若干等份，然后把它剪开，按照如图的样子拼起来，拼成一个近似长方形，这个图形的周长比原来圆的周长增加了8厘米，拼成的长方形的长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 12.56 50.24 【分析】把一个圆剪拼成一个近似长方形，长方形的面积＝圆的面积，长方形的长＝圆周长的一半，长方形的宽＝圆的半径，长方形的周长比圆增加了2条半径，增加的周长÷2＝长方形的宽＝圆的半径，圆周长的一半＝圆周率×半径，长方形面积＝长×宽，据此列式计算。 【详解】8÷2＝4（厘米） 3.14×4＝12.56（厘米） 12.56×4＝50.24（平方厘米） 拼成的长方形的长是12.56厘米，圆的面积是50.24平方厘米。 典例九：圆的面积的应用 【例题1】世纪钟是天津最具关注度的标志性建筑，它的分针长约4米，从8时到9时，分针针尖走过了多少米？分针扫过的面积是多少平方米？ 【答案】25.12米；50.24平方米 【分析】钟面上分针转一圈是1小时，已知分针从8时到9时，经过了1小时，分针正好转了1圈，求分针针尖走过的距离，就是求半径是4米的圆的周长，根据圆的周长＝2πr，代入数据，就去分针针尖走过的路程；求分针扫过的面积，就是求半径是4米的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，代入数据，即可解答。 【详解】9－8＝1（小时） 3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：分针针尖走过了25.12米，分针扫过的面积是50.24平方米。 【例题2】冰冰去参观博物馆，看到一枚古铜钱（如图）。铜钱的直径为2.4厘米，中间的正方形边长为0.4厘米。这枚铜钱的面积是多少平方厘米？ 【答案】4.3616平方厘米 【分析】铜钱的面积等于直径为2.4厘米的圆的面积减去边长为0.4厘米的正方形的面积，根据圆的面积＝×半径的平方，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可解答。 【详解】2.4÷2＝1.2（厘米） 3.14×－0.4×0.4 ＝3.14×1.44－0.16 ＝4.5216－0.16 ＝4.3616（平方厘米） 答：这枚铜钱的面积是4.3616平方厘米。 【例3】一只羊被30米长的绳子拴在了正方形建筑物的一个顶点上，建筑物的边长是20米，周围全是草地。这只羊能吃到草的草地面积是多少平方米？（π≈3） 【答案】2175平方米 【分析】如下图，正方形建筑物的边长是20米，羊被30米长的绳子拴在了正方形建筑物的一个顶点上，那么羊吃草的面积＝半径为30米的圆的面积＋2个半径为（30－20）米的圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可求解。 【详解】3×302×＋3×（30－20）2××2 ＝3×900×＋3×102××2 ＝2025＋3×100××2 ＝2025＋150 ＝2175（平方米） 答：这只羊能吃到草的草地面积是2175平方米。 典例十：圆环的面积 【例题1】学校有个圆形花坛，直径是10米。绕着花坛有一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】34.54平方米 【分析】由题意可知，求小路的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.14×[（10÷2＋1）2－（10÷2）2] ＝3.14×[62－52] ＝3.14×[36－25] ＝3.14×11 ＝34.54（平方米） 答：这条小路的面积是34.54平方米。 【例题2】一种钢管的横截面如下图，它的内圆半径是2厘米，外圆半径是4厘米，它的横截面面积是多少？ 【答案】37.68平方厘米 【分析】观察发现钢管的横截面是个圆环，圆环的面积＝大圆的面积－小圆的面积＝πR2－πr2；计算时可以运用乘法分配律：a×c－b×c＝（a－b）×c，据此解答。 【详解】 ＝ ＝（16－4）×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（平方厘米） 答：它的横截面面积是37.68平方厘米。 【例题3】公园要修建一个圆形花坛，花坛的直径是40米，在花坛周边铺10米宽的草坪。 （1）花坛和草坪整个场地的占地面积是多少？ （2）如果铺1平方米草坪需要10元，那么铺草坪需要多少元？ 【答案】（1）2826平方米 （2）15700元 【分析】（1）花坛和草坪整个场地是个圆，花坛直径÷2＋草坪宽＝整个圆的半径，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可； （2）草坪形状是个圆环，花坛直径÷2＝小圆半径，整个圆的半径是大圆半径，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出草坪面积，草坪面积×每平方米费用＝需要的总钱数，据此列式解答。 【详解】（1）40÷2＋10 ＝20＋10 ＝30（米） 3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方米） 答：花坛和草坪整个场地的占地面积是2826平方米。 （2）40÷2＝20（米） 3.14×（302－202） ＝3.14×（900－400） ＝3.14×500 ＝1570（平方米） 1570×10＝15700（元） 答：铺草坪需要15700元。 典例十一：求最大面积 【例题1】在正方形里面画一个最大的圆，圆面积是正方形面积的　 　，在圆里面画一个最大的正方形，正方形面积是圆面积的　 　．（结果中的π保留，不必取近似值计算） 【答案】， 【详解】试题分析：在正方形中画的最大圆的直径就等于正方形的边长，分别利用圆和正方形的面积公式表示出它们的面积，即可求得圆面积是正方形面积的几分之几； 在圆中画的最大正方形的对角线就是圆的直径，从而可以分别利用圆和正方形的面积公式表示出它们的面积，即可求得正方形面积是圆面积的几分之几； 解：如图所示， （1）在正方形里面画一个最大的圆，设正方形的边长为a， ， 因为正方形的面积=a×a=a2， 圆的面积=π=， 所以圆的面积÷正方形的面积=÷a2=； （2）在圆里面画一个最大的正方形，设圆的半径是R， ， 因为圆的面积=πR2， 正方形的面积=2R×R÷2×2=2R2， 所以正方形的面积÷圆的面积=2R2÷πR2=； 故答案为，． 点评：解答此题的关键是：依据画图弄清楚圆的半径与正方形的边长的关系，进而表示出各自的面积，求得面积之间的关系． 【例题2】在一个周长是24厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】r=24÷4÷2=3（厘米） S=3.14×32=28.26(平方厘米） 答：这个圆的面积是28.26平方厘米． 【详解】24÷4=6(厘米) 3.14×(6÷2)² =3.14×9 =28.26(平方厘米) 答：这个圆的面积是28.26平方厘米． 【例题3】用31.4米长的绳子，分别围成圆形、长方形或者正方形，面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 【答案】C 【分析】由题意可知，圆形、长方形和正方形的周长相等；根据“r＝c÷π÷2”求出圆的半径，再根据“s＝πr²”求出圆的面积即可；利用周长除以2即可求出长方形中长与宽的和，假设出长，进而求出宽和面积即可；用周长除以4即可求出正方形的边长，再根据“正方形的面积＝边长×边长”求出面积，将三者的面积相比较解答。 【详解】圆：31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米）； 3.14×5²＝78.5（平方米）； 长方形：31.4÷2＝15.7（米）； 假设长方形的长为7.86米，宽为7.84米； 7.86×7.84＝61.6224（平方米）； 正方形：31.4÷4＝7.85（米）； 7.85×7.85＝61.6225（平方米）； 78.5＞61.6225＞61.6224； 圆的面积最大； 故答案为：C。 【点睛】熟记周长相等的情况下，圆的面积最大。 典例十二：含圆的组合图形的面积 【例题1】计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】13.76平方米 【分析】 由图可知，红线部分是一个正方形，正方形的边长等于圆的直径，，①和②合在一起是一个整圆，这个圆的直径是8米，，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，据此解答。 【详解】8×8－3.14×（8÷2）2 ＝8×8－3.14×42 ＝8×8－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（平方米） 所以，阴影部分的面积是13.76平方米。 【例题2】求下面阴影部分的面积和周长。 【答案】3.87cm2；15.42cm 【分析】图中空白的部分相当于直径为6cm的半圆，半圆的半径是（6÷2）cm，长方形的长是6cm，长方形的宽是（6÷2）cm。 阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积，长方形的面积＝长×宽，半圆的面积＝圆的面积÷2，圆的面积S＝πr2； 阴影部分的周长相当于长方形的长与圆的周长的一半，圆的周长C＝πd。代入数据计算即可。 【详解】6÷2＝3（cm） 6×3－3.14×32÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－28.26÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（cm2） 6＋3.14×6÷2 ＝6＋18.84÷2 ＝6＋9.42 ＝15.42（cm） 所以，阴影部分的面积是3.87cm2，阴影部分的周长是15.42cm。 【例题3】求阴影部分的周长和面积。 【答案】25.12cm、25.12cm2；90.24cm、119.04cm2 【分析】第一幅图：2个小半圆可以拼成一个完整的圆，阴影部分的周长＝半径4cm的圆周长的一半＋直径4cm的圆周长，圆周长的一半＝圆周率×半径，圆的周长＝圆周率×直径；阴影部分的面积＝半径4cm的半圆的面积，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2； 第二幅图：左右两个半圆可以拼成一个圆，阴影部分的周长＝圆的周长＋长方形的长×2；阴影部分的面积＝长方形面积－圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】3.14×4＋3.14×4 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（cm2） 3.14×16＋20×2 ＝50.24＋40 ＝90.24（cm） 20×16－3.14×（16÷2）2 ＝320－3.14×82 ＝320－3.14×64 ＝320－200.96 ＝119.04（cm2） 第一个阴影部分的周长和面积分别是25.12cm、25.12cm2；第二个阴影部分的周长和面积分别是90.24cm、119.04cm2。 典例十三：方中圆和圆中方的面积问题 【例题1】在一个长4分米，宽2分米的长方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 6.28 3.14 【分析】在一个长方形中画一个最大的圆，即用长方形较小的宽为直径作圆，此时半径就是宽的一半。根据圆的周长＝，圆面积＝，可得出答案。 【详解】画出最大的圆直径为2分米，则周长为： （分米） 面积为： （平方分米） 即这个圆的周长是6.28分米，面积是3.14平方分米。 【例题2】中国建筑中经常能见到如下图的设计。如果图中圆的面积是6.28m2，那么整个图形中所有涂色部分的面积是( )m2。 【答案】5.72 【分析】设圆的半径为r米。根据圆面积＝πr2，代入圆的面积，可求得r2，根据大正方形的边长为圆的直径2r，正方形的面积＝边长×边长，代入r2，即可求得大正方形的面积，用大正方形的面积减去圆的面积，即可求得四个角的涂色面积。将小正方形对角线连上，切成四个相同的等腰直角三角形，两个腰即为对角线的一半是圆的半径，利用三角形的面积＝底×高÷2，计算出一个三角形的面积后乘4，可求得小正方形的面积（用r2）表示，代入r2，可求得小正方形的面积，与四个角的涂色面积相加，即可求得整个图形中所有涂色部分的面积是多少。 【详解】解：设圆的半径为r。 3.14×r2＝6.28 r2＝6.28÷3.14 r2＝2 2r×2r＝4r2 4×2＝8（m2） 8－6.28＝1.72（m2） r×r÷2×4 ＝r2÷2×4 ＝2÷2×4 ＝1×4 ＝4（m2） 1.72＋4＝5.72（m2） 整个图形中所有涂色部分的面积是5.72m2。 【点睛】本题关键在于不需要计算出r是多少，计算出r2即可。先求出小正方形的面积，再与四个角的涂色面积相加，即可求得整图形中所有涂色部分的面积是多少。 【例题3】下面四幅图中，正方形的边长都是10cm。关于四幅图中阴影面积的大小，说法（    ）是正确的。 A．四幅图的阴影部分面积都相等 B．甲、丙的阴影部分面积相等，但与乙、丁的阴影部分面积不相等 C．丁的阴影部分面积最小 D．乙的阴影部分面积最大 【答案】A 【分析】图甲，圆的直径等于正方形的边长10cm，甲的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积； 图乙，2个圆的直径之和等于正方形的边长10cm，据此得出1个圆的半径是10÷2÷2＝2.5cm；乙的阴影面积＝正方形的面积－4个圆的面积； 图丙，半圆的直径等于正方形的边长10cm，丙的阴影面积＝正方形的面积－2个半圆的面积； 图丁，圆的半径等于正方形的边长10cm，丁的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积的； 根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出四幅图阴影部分的面积，再比较大小，得出结论。 【详解】甲的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝10×10－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 乙的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2÷2）2×4 ＝10×10－3.14×2.52×4 ＝10×10－3.14×6.25×4 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 丙的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2）2÷2×2 ＝10×10－3.14×52÷2×2 ＝10×10－3.14×25÷2×2 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 丁的阴影面积： 10×10－3.14×102× ＝10×10－3.14×100× ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 综上所述，四幅图的阴影部分面积都相等。 故答案为：A 典例十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例题1】如下图，求阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】14.13 cm2 【分析】阴影部分是3个扇形，每个扇形的半径都是3cm，且这3个扇形的圆心角之和等于三角形的内角和180°，因此3个扇形可以拼成一个半圆。根据半圆面积公式：面积＝πr2÷2（π取3.14）求出阴影部分的面积。 【详解】3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 所以阴影部分的面积为14.13 cm2。 【例题2】计算图1涂色部分的周长、图2涂色部分的面积。 【答案】25.12cm；15.25cm2 【分析】（1）图1是边长为8cm的正方形，涂色部分的周长由4个“扇形弧边”组成。观察可知，4个扇形的半径均为正方形边长的一半（cm），且4个扇形可拼接成一个完整的圆（每个扇形是90°，4个扇形总和为360°）。因此，涂色部分的周长等于一个半径为4cm的圆的周长。再根据圆的周长公式（取3.14），代入数据即可。 （2）图2是一个直径为10cm的半圆，内部包含一个直角三角形（直角边为8cm、6cm）。涂色部分的面积＝半圆的面积－直角三角形的面积，再根据半圆的面积公式（取3.14），，代入数据即可。 【详解】（1）（cm） （cm） （2） （cm2） （cm2） （cm2） 【例题3】求涂色部分的面积（π取3.14）。 【答案】16平方厘米 【分析】 如图，通过割补，将阴影部分转化成一个边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据即可解答。 【详解】4×4＝16（平方厘米） 涂色部分的面积是16平方厘米。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题05：圆 思维导图 考点清单 考点一：圆的各部分名称及定义 圆的定义：平面上到一个固定点（圆心）的距离都相等的所有点围成的封闭图形叫做圆。 各部分名称： 圆心（用字母O表示）：决定圆的位置； 半径（用字母r表示）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小； 直径（用字母d表示）：通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆内最长的线段。 核心关系：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的 2 倍，即d = 2r或r = 示例：一个圆的半径是 3cm，它的直径是3×2 = 6cm；若直径是 10dm，半径是10÷2 = 5dm。 考点二：圆的基本性质 半径的性质：在同圆或等圆中，所有的半径长度都相等； 直径的性质：在同圆或等圆中，所有的直径长度都相等； 圆的特征：圆是曲线图形，没有顶点和边，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径； 易混淆辨析：圆内任意两点间的线段中，直径最长；半圆的直径等于整圆的直径，半圆的半径也等于整圆的半径。 考点三：圆的画法 工具：圆规、直尺； 步骤： 定圆心：用直尺画出一个点作为圆心O； 定半径：将圆规的一只脚固定在圆心，另一只脚张开，量出所需的半径长度（如 3cm）； 画圆：以圆心为固定点，旋转圆规一周，即可画出一个完整的圆。 关键注意：画圆时，圆规两脚间的距离始终等于半径，不能随意改变；确定圆心后，旋转时要保持圆心固定。 考点四：圆的对称性 轴对称图形特征：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴； 对称轴的定义：圆的对称轴是直径所在的直线（注意：是 “直线”，不是 “直径” 本身）； 特殊情况：半圆是轴对称图形，但只有 1 条对称轴（经过圆心且垂直于半圆直径的直线）。 考点五：扇形的认识 扇形的定义：由圆的两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形； 扇形的组成： 2 条半径（扇形的两条边）； 1 段弧（圆上的一部分曲线）； 圆心角（两条半径的夹角，顶点在圆心）； 核心特征：扇形的大小由圆心角的大小和半径的长度决定（同圆或等圆中，圆心角越大，扇形越大）。 考点六：圆的周长 定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 圆周率（π）：圆的周长与它直径的比值，是一个无限不循环小数（π≈3.1415926…），通常取近似值 3.14（注意：π≠3.14，3.14 是近似值）。 核心公式： 基本公式：C = πd（d为直径）或C = 2πr（r为半径）； 变形公式：d = C÷π，r = C÷(2π)。 拓展应用： 半圆的周长：C_{半圆} = πr + 2r（或πd÷2 + d），需包含直径的长度； 滚动距离：圆形物体滚动一周的路程等于其周长（如车轮滚动一周前进的距离）。 应用场景：求圆形物体的外围长度（如圆形花坛围栅栏、树干的周长）、滚动距离等。 示例：一个圆的直径是 6cm，它的周长是3.14×6 = 18.84cm；一个圆的周长是 25.12dm，它的半径是25.12÷(2×3.14) = 4dm。 考点七：圆的面积 定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 推导过程：把一个圆平均分成若干偶数份，拼成一个近似的长方形（分的份数越多，越接近长方形）；长方形的长 = 圆周长的一半（πr），宽 = 圆的半径（r），因此圆的面积S = 长方形面积 = 长×宽 = πr×r = πr²。 核心公式： 基本公式：S = πr²（r为半径）； 变形公式：r² = S÷π。 拓展应用： 圆环面积（两个同心圆之间的面积）：S_{环} = π(R² - r²)（R为外圆半径，r为内圆半径）； 半圆面积：S_{半圆} = πr²÷2； 组合图形面积：通过 “整体减部分” 或 “部分加部分” 计算（如圆与正方形、长方形的组合）。 应用场景：求圆形物体的占地面积（如圆形草坪的面积、光盘的面积）、阴影部分面积（组合图形中）等。 示例：一个圆的半径是 5m，它的面积是3.14×5² = 78.5m²；一个圆环的外圆半径是 4cm，内圆半径是 2cm，圆环面积是3.14×(4² - 2²) = 37.68cm²。 易错归纳 一、概念理解误区 混淆直径的定义 错误：认为 “两端都在圆上的线段就是直径”（忽略 “经过圆心” 这一关键条件）； 正确：直径必须同时满足两个条件 ——①两端都在圆上；②经过圆心，缺少任何一个条件都不是直径。 忽略 “同圆或等圆” 前提 错误：认为 “所有圆的半径都相等”“直径是半径的 2 倍”（未限定同圆或等圆）； 正确：只有在同圆或等圆中，所有半径才相等、所有直径才相等，直径与半径的 2 倍关系才成立。 误解圆的对称轴 错误：认为 “圆的对称轴是直径”“半圆有无数条对称轴”； 正确：圆的对称轴是直径所在的直线（直径是线段，对称轴是直线）；半圆只有 1 条对称轴。 扇形的组成判断错误 错误：认为 “由两条线段和一段弧围成的图形就是扇形”（忽略 “两条线段必须是圆的半径”）； 正确：扇形的两条边必须是同一个圆的半径，且顶点在圆心，否则不是扇形。 混淆圆的周长和面积的意义 错误：①认为 “求圆形花坛的占地面积是求周长”；②将周长和面积的单位混用（如周长结果写 cm²）； 正确：周长是曲线的长度（一维量，单位：cm、m 等长度单位），面积是平面的大小（二维量，单位：cm²、m² 等面积单位），二者意义不同，单位不同，不可混淆。 半圆周长与圆周长的一半混淆 错误：认为 “半圆的周长 = 圆周长的一半”（即πr）； 正确：半圆的周长是圆周长的一半加直径，即πr + 2r（或πd÷2 + d），因为半圆包含一条直边（直径）。 二、操作与计算错误 画圆时操作失误 错误：①画圆时圆规两脚间的距离未固定，导致半径不一致；②旋转圆规时圆心移动，画出的不是标准的圆； 正确：画圆前先固定圆心，圆规两脚间的距离就是半径，旋转时保持圆心不动，确保半径始终不变。 直径与半径换算错误 错误：①已知半径求直径时，用半径除以 2（如r = 4cm，误算d = 4÷2 = 2cm）；②已知直径求半径时，用直径乘 2（如d = 6dm，误算r = 6×2 = 12dm）； 正确：牢记换算关系d = 2r、r = \frac{d}{2}，已知半径求直径用乘法，已知直径求半径用除法。 周长和面积公式混淆 错误：①求周长时用面积公式（如C = πr²）；②求面积时用周长公式（如S = 2πr）；③计算面积时漏算半径的平方（如r = 3cm，误算为3×3.14）； 正确：牢记公式区别：周长公式含 “d” 或 “2r”，面积公式含 “r²”；计算面积时先算r²（半径 × 半径），再乘π。 圆周率（π）的取值错误 错误：①将π直接等同于 3.14（忽略题目要求，如 “π取 3” 或 “保留两位小数”）；②计算时随意改变π的取值（如前面用 3.14，后面用 3）； 正确：按题目要求取值，无要求时通常取 3.14，计算过程中保持π取值一致，最终结果按要求保留小数位数。 单位不统一导致错误 错误：①已知直径是 2m，求面积时直接用2²×3.14（未先求半径）；②直径 50cm 误按 50m 计算，导致结果偏差； 正确：①计算前统一单位（如直径 50cm，保持单位一致或转化为 0.5m）；②严格区分长度单位和面积单位，避免混用。 三、解决问题误区 利用圆的性质解决实际问题时出错 错误：①给圆形花坛围栅栏，计算长度时误算成圆的面积（如已知半径求栅栏长度，用S = πr²计算）；②判断能否通过圆形洞口时，忽略直径是圆内最长线段； 正确：围栅栏、绕圆形物体一周等求的是圆的周长；判断物体能否通过圆形洞口，需比较物体宽度与洞口直径（物体宽度≤直径才能通过）。 画指定条件的圆时遗漏要求 错误：要求 “以点 A 为圆心，画一个半径 3cm 的圆”，却未标注圆心O和半径r = 3cm； 正确：画完圆后，必须标注圆心（用字母O表示）、半径（用字母r表示并注明长度）或直径（用字母d表示并注明长度）。 组合图形面积 / 周长计算错误 错误：①求圆环面积时，误算为π(R - r)²（正确是π(R² - r²)）；②求 “外方内圆” 阴影面积时，误将正方形边长当作圆的半径（正方形边长 = 圆的直径）；③求阴影部分面积时，多算或漏算重叠部分； 正确：①组合图形计算前先分析结构（整体与部分的关系）；②牢记特殊组合的关键条件（如外方内圆，正方形边长 = 圆直径；外圆内方，正方形对角线 = 圆直径）；③分步计算，先算各部分面积 / 周长，再按逻辑组合。 半径与直径混淆应用 错误：①已知直径求周长时，误用公式C = 2πd（正确是C = πd）；②已知周长求半径时，误算为C÷π（正确是C÷(2π)）；③求面积时，直接用直径代入公式（如d = 4cm，误算为π×4²）； 正确：①看清题目给出的是半径（r）还是直径（d）；②若给直径，需先转化为半径（r = d÷2）再代入面积公式；③牢记公式中各字母的含义，避免张冠李戴。 四、书写规范问题 符号书写错误 错误：①将半径符号 “r” 写成 “R”（大小写混淆）；②直径符号 “d” 漏写或写成其他字母； 正确：统一用小写字母表示，半径r、直径d、圆心O，书写时规范标注。 单位标注遗漏或错误 错误：①计算半径或直径后未带单位（如r = 5，未写 “cm”）；②面积结果写长度单位（如78.5cm）； 正确：计算时先统一单位，结果必须标注相应单位（周长用长度单位，面积用面积单位），确保单位规范。 书写与计算错误 错误：将 “r²” 写成 “r×2”（如r = 5，误算为5×2 = 10，而非5×5 = 25）； 正确：“r²” 表示半径乘半径，书写时需明确是平方运算，计算时先算平方再乘π。 典例精析 典例一：圆的概念及特点 【例题1】用圆规画一个直径20cm的圆，圆规两脚间的距离应是( )cm。 【例题2】在一张边长是8cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径是 cm。 【例题3】如图中，大半圆的半径是( )厘米，小半圆的半径是( )厘米。 典例二：画圆 【例题1】按要求用圆规画圆，并用字母标出o，r，d标出它的圆心、半径、直径。 r＝2cm 【例题2】画图：圆心是点B，直径是5厘米。 【例题3】两个小伙伴去吃披萨，给服务员说要1个12寸的披萨，服务员说没有12寸的，给你们每人一个6寸的，可以吗？请你在下面方框中画图说明。 典例三：与圆相关的轴对称图形 【例题1】画出下面图形的对称轴。 【例题2】画出下面图形的所有对称轴。 【例题3】画出下列图形的对称轴。 典例四：圆的周长 【例题1】圆的半径扩大到原来的2倍，直径也扩大到原来的( )倍，周长也扩大到原来的( )倍。 【例题2】2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，中国人民银行发行纪念抗战胜利80周年普通纪念币一枚，这枚纪念币面额10元，直径是27毫米，半径是( )毫米，周长是( )毫米。 【例题3】小飞要在一张边长为8cm的正方形纸片上剪一个最大的圆做学具，这个学具圆的直径应该是( )cm，这个学具圆的周长是( )cm。 典例五：半圆的周长 【例题1】如图从甲地到乙地有A，B两条路可走，这两条路的长度( )。 【例题2】一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm。 【例题3】在一个长是10厘米，宽是8厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是　 　厘米，如果画一个最大的半圆，这个半圆的周长是　 　厘米。 典例六：圆的周长的应用 【例题1】把4个底面半径5厘米的圆柱形罐头按正方形捆扎3圈，接头处长15厘米，计算所需绳子长度。 【例题2】现有4个底面半径4厘米、高10厘米的圆柱形礼品盒，按“2×2”的方式叠放（2层，每层2个，呈正方形排列），用绳子沿外围多层捆扎1圈，打结处消耗绳子10厘米。计算捆扎所需绳子的总长度。 【例题3】张叔叔骑车去湿地公园游玩，途中需要骑车通过一座长1800米的大桥，如果车轮平均每分钟转80圈，那么他10分钟能通过这座大桥吗？ 典例七：含圆的组合图形的周长 【例题1】求阴影分的周长。（单位：分米） 【例题2】求阴影部分的周长。 【例题3】求阴影部分的周长。 典例八：圆的面积 【例题1】在一个周长为80cm的正方形纸片上，要剪一个半径最大的圆，这个圆的面积是( )cm2。 【例题2】下图中长方形的周长是( )dm；一个圆的面积是( )dm2。 【例题3】如图，把一个圆分成若干等份，然后把它剪开，按照如图的样子拼起来，拼成一个近似长方形，这个图形的周长比原来圆的周长增加了8厘米，拼成的长方形的长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 典例九：圆的面积的应用 【例题1】世纪钟是天津最具关注度的标志性建筑，它的分针长约4米，从8时到9时，分针针尖走过了多少米？分针扫过的面积是多少平方米？ 【例题2】冰冰去参观博物馆，看到一枚古铜钱（如图）。铜钱的直径为2.4厘米，中间的正方形边长为0.4厘米。这枚铜钱的面积是多少平方厘米？ 【例3】一只羊被30米长的绳子拴在了正方形建筑物的一个顶点上，建筑物的边长是20米，周围全是草地。这只羊能吃到草的草地面积是多少平方米？（π≈3） 典例十：圆环的面积 【例题1】学校有个圆形花坛，直径是10米。绕着花坛有一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【例题2】一种钢管的横截面如下图，它的内圆半径是2厘米，外圆半径是4厘米，它的横截面面积是多少？ 【例题3】公园要修建一个圆形花坛，花坛的直径是40米，在花坛周边铺10米宽的草坪。 （1）花坛和草坪整个场地的占地面积是多少？ （2）如果铺1平方米草坪需要10元，那么铺草坪需要多少元？ 典例十一：求最大面积 【例题1】在正方形里面画一个最大的圆，圆面积是正方形面积的　 　，在圆里面画一个最大的正方形，正方形面积是圆面积的　 　．（结果中的π保留，不必取近似值计算） 【例题2】在一个周长是24厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【例题3】用31.4米长的绳子，分别围成圆形、长方形或者正方形，面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 典例十二：含圆的组合图形的面积 【例题1】计算下面图形阴影部分的面积。 【例题2】求下面阴影部分的面积和周长。 【例题3】求阴影部分的周长和面积。 典例十三：方中圆和圆中方的面积问题 【例题1】在一个长4分米，宽2分米的长方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长( )分米，面积是( )平方分米。 【例题2】中国建筑中经常能见到如下图的设计。如果图中圆的面积是6.28m2，那么整个图形中所有涂色部分的面积是( )m2。 【例题3】下面四幅图中，正方形的边长都是10cm。关于四幅图中阴影面积的大小，说法（    ）是正确的。 A．四幅图的阴影部分面积都相等 B．甲、丙的阴影部分面积相等，但与乙、丁的阴影部分面积不相等 C．丁的阴影部分面积最小 D．乙的阴影部分面积最大 典例十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例题1】如下图，求阴影部分的面积（单位：cm）。 【例题2】计算图1涂色部分的周长、图2涂色部分的面积。 【例题3】求涂色部分的面积（π取3.14）。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $