第八单元 数学广角——数与形（1种类型15道）期末专项训练-2025-2026学年六年级上册数学（人教版）

第八单元 数学广角——数与形 （1种类型15道） 目录 题型一、归纳递推 1 题型一、归纳递推 1．将黑、白棋子按一层白、一层黑、一层白、一层黑……排成正三角形的形状，如图：当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排了( )层，排成这个正三角形一共用了( )颗棋子。 【答案】 10 55 【分析】①根据图中可知，有两层时黑色棋子比白色棋子多1颗棋子；有三层时黑色棋子比白色棋子少；有四层时黑色棋子比白色棋子多2颗棋子；有五层时黑色棋子比白色棋子少；有六层时黑色棋子比白色棋子多3颗棋子；根据这样的规律可知： 当有偶数层时，黑色棋子比白色棋子多（层数÷2）颗棋子；当有奇数层时，黑色棋子比白色棋子少，据此规律解答； ②棋子的总数＝1＋2＋3＋……＋层数即可求解。 【详解】①（层），即正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排10层； ② （颗） 则这个正三角形一共用了55颗棋子。 2．画直线把一个圆分成尽可能多的块数（如图）请仔细观察，找出其中的规律。按照你发现的规律，6条直线最多能把圆分成( )块。 【答案】22 【分析】观察可得规律是：0条直线能把圆分成1块，1条直线能把圆分成（1＋1）块，2条直线能把圆分成（1＋1＋2）块，3条直线能把圆分成（1＋1＋2＋3）块，……n条直线能把圆分成（1＋1＋2＋3＋…＋n）块，据此分析。 【详解】当n＝6时 1＋1＋2＋3＋…＋n ＝1＋1＋2＋3＋…＋6 ＝1＋（1＋6）×6÷2 ＝1＋7×6÷2 ＝1＋21 ＝22（块） 6条直线最多能把圆分成22块。 3．如图所示，用小木棒摆正方形。 按这样的规律，摆8个正方形需要小木棒( )根，摆n个正方形需要小木棒( )根。（用含字母“n”的式子表示） 【答案】 25 （3n＋1）/（1＋3n） 【分析】看图可知，1个正方形需要4根小木棒，4＝1×3＋1；2个正方形需要7根小木棒，7＝2×3＋1；3个正方形需要10根小木棒，10＝3×3＋1……由此可知，小木棒的根数＝正方形的个数×3＋1。 【详解】3×8＋1 ＝24＋1 ＝25（根）； n×3＋1＝（3n＋1）（根） 摆8个正方形需要小木棒25根，摆n个正方形需要小木棒（3n＋1）根。 4．将一些五角星如下图摆放，照这样的规律继续摆下去，第7幅图中共有( )颗五角星，第n幅图中共有( )颗五角星。 【答案】 25 4n－3 【分析】由图可知，第1幅图中共有1颗五角星，第2幅图中共有（1＋4）颗五角星，第3幅图中共有（1＋4×2）颗五角星，第4幅图中共有（1＋4×3）颗五角星……每次增加4颗五角星，那么第n幅图中共有[1＋4×（n－1）]颗五角星，最后求出n＝7时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4×1 ＝1＋4n－4 ＝4n－4＋1 ＝（4n－3）颗 当n＝7时。 4n－3 ＝4×7－3 ＝28－3 ＝25（颗） 所以，第7幅图中共有25颗五角星，第n幅图中共有（4n－3）颗五角星。 5．用小棒按下图方式搭图形，第6个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 【答案】 26 4n＋2/2＋4n 【分析】由图可知，第1个图形需要6根小棒，第2个图形需要（6＋4）根小棒，第3个图形需要（6＋4×2）根小棒……每次增加4根小棒，以此类推，第n个图形需要[6＋4×（n－1）]根小棒，最后求出n＝6时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4×1 ＝6＋4n－4 ＝4n＋6－4 ＝（4n＋2）根 当n＝6时。 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（根） 所以，第6个图形需要26根小棒，第n个图形需要（4n＋2）根小棒。 6．下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑧个图形中正方形的数量是( )个。 【答案】44 【分析】由图可知，第①个图形有2个正方形，第②个图形有（2＋3）个正方形，第③个图形有（2＋3＋4）个正方形，第④个图形有（2＋3＋4＋5）个正方形……以此类推，正方形的个数为从2开始连续自然数的和，是第几个图形算式中就有几个加数，据此解答。 【详解】2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝（2＋3＋4＋5）＋（6＋7＋8＋9） ＝14＋30 ＝44（个） 所以，第⑧个图形中正方形的数量是44个。 7．观察下列图形的构成规律，按照此规律，第10个图形中★的个数为( )个；第n幅图中★的个数为( )个。 【答案】 31 1＋3n/3n＋1 【分析】图形1：数出★的个数为4个，可写成3×1＋1； 图形2：数出★的个数为7个，可写成3×2＋1； 图形3：数出★的个数为10个，可写成3×3＋1； 通过观察上述规律，发现第几个图形中★的个数就是3乘几加1。 【详解】第10个图形中★的个数就是3乘10加1，即3×10＋1＝30＋1＝31个； 第n幅图中★的个数就是3乘n加1，即3×n＋1＝（3n＋1）个； 所以按照此规律，第10个图形中★的个数为31个；第n幅图中★的个数为（3n＋1）个。 8．如图，用小棒摆一个正六边形，摆4个正六边形需要 根小棒；摆51个小正六边形需要 根小棒；用1001根小棒，可以摆 个小正六边形。 【答案】 21 256 200 【分析】摆1个正六边形时，需要6根小棒，可表示为5×1＋1； 摆2个正六边形时，第二个正六边形与第一个正六边形共用1根小棒，所以需要6＋5＝11根小棒，可表示为5×2＋1； 摆3个正六边形时，第三个正六边形与第二个正六边形共用1根小棒，所以需要11＋5＝16根小棒，可表示为5×3＋1； 由此发现，摆几个正六边形所需小棒的数量就为5乘几再加1。 【详解】摆4个正六边形所需小棒的数量就为5乘4再加1： 5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 所以摆4个正六边形需要21根小棒； 摆51个正六边形所需小棒的数量就为5乘51再加1： 5×51＋1 ＝255＋1 ＝256（根） 所以摆51个小正六边形需要256根小棒； 用1001减1，再除以5就是所摆小正方形的个数： （1001－1）÷5 ＝1000÷5 ＝200（个） 所以用1001根小棒，可以摆200个小正六边形。 9．探索规律。 涂色正方形个数 1 2 3 … a 空白正方形个数 8 13 18 … 请你观察图形规律，当涂色正方形的个数是6时，空白正方形的个数是( )；若涂色正方形的个数是a，空白正方形的个数是( )（用含有字母的式子表示）。 【答案】 33 5a＋3/3＋5a 【分析】由图可知，涂色正方形的个数为1时，正方形的总个数为9，空白正方形的个数为（9－1）；涂色正方形的个数为2时，正方形的总个数为（9＋6），空白正方形的个数为（9＋6－2）；涂色正方形的个数为3时，正方形的总个数为（9＋6×2），空白正方形的个数为（9＋6×2－3）……以此类推，涂色正方形的个数为a时，正方形的总个数为[9＋6×（a－1）]，空白正方形的个数为[9＋6×（a－1）－a]，最后求出a＝6时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】9＋6×（a－1）－a ＝9＋6a－6－a ＝（6a－a）＋（9－6） ＝5a＋3 当a＝6时。 5a＋3 ＝5×6＋3 ＝30＋3 ＝33 所以，当涂色正方形的个数是6时，空白正方形的个数是33，若涂色正方形的个数是a，空白正方形的个数是（5a＋3）。 10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 (1)( )。 (2)( )。 (3)( )。 【答案】(1)121 (2)256 (3)n2 【分析】观察给出的等式：1＝12；1＋2＋1＝4＝22；1＋2＋3＋2＋1＝9＝32；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42；可以发现规律：从1开始连续加到某一个数m，再倒着连续加到1，所得的和等于m2，即1＋2＋3＋…＋m＋…＋3＋2＋1＝m2。 【详解】（1）观察算式1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到11，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于112，112＝11×11＝121，所以1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝121。 （2）观察算式1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到16，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于162，162＝16×16＝256，所以1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1＝256。 （3）观察算式1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到n，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于n2，所以1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2。 11．用小棒摆五边形，如图：按这个规律，摆n个五边形( )根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆( )个五边形。 【答案】 4n＋1 24 【分析】看图可知，摆1个五边形需要5根小棒，5＝1×4＋1；摆2个五边形需要9根小棒，9＝2×4＋1；摆3个五边形需要13根小棒，13＝3×4＋1…由此可知，小棒根数＝摆几个五边形就用几×4＋1，五边形个数＝（小棒根数－1）÷4，据此分析。 【详解】摆1个五边形小棒根数：1×4＋1＝4＋1＝5（根） 摆2个五边形小棒根数：2×4＋1＝8＋1＝9（根） 摆3个五边形小棒根数：3×4＋1＝12＋1＝13（根） …… 第n个图形小棒的根数是：n×4＋1＝（4n＋1）根 （97－1）÷4 ＝96÷4 ＝24（个） 按这个规律，摆n个五边形（4n＋1）根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆24个五边形。 12．如图，搭10个六边形要( )根小棒，照这样摆下去，搭n个六边形，需要( )根小棒。201根木棒可以摆( )个六边形。 【答案】 51 5n＋1 40 【分析】摆1个六边形需要6根小棒，可以写成：5×1＋1； 摆2个六边形需要11根小棒，可以写成：5×2＋1； 摆3个六边形需要11根小棒，可以写成：5×3＋1； 由此可知，每增加一个六边形，就增加5个小棒； 搭10个六边形要（10×5＋1）根小棒； 那么摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒； 求201根小棒可以摆多少个六边形，用（201－1）÷5，即可解答。 【详解】由分析可知： 搭10个六边形需要： 10×5＋1 ＝50＋1 ＝51（根） （201－1）÷5 ＝200÷5 ＝40（个） 所以，搭10个六边形要51根小棒，照这样摆下去，搭n个六边形，需要5n＋1根小棒。201根木棒可以摆40个六边形。 13．如下图，1张桌子可以坐6人，2张桌子拼起来可以坐10人，5张这样的桌子拼起来能够坐下( )人；要想坐下38人，至少需要( )张这样的桌子拼起来。 【答案】 22 9 【分析】1张桌子可以坐6人，6＝1×4＋2；2张桌子拼起来可以坐10人，10＝2×4＋2…由此可知坐下的人数＝桌子数×4＋2；桌子数＝（坐下的人数－2）÷4，据此列式计算。 【详解】5×4＋2 ＝20＋2 ＝22（人） （38－2）÷4 ＝36÷4 ＝9（张） 5张这样的桌子拼起来能够坐下22人；要想坐下38人，至少需要9张这样的桌子拼起来。 14．下面图形中每个小三角形边长都为1，认真观察，填出后面三角形的个数和图形的周长。 ……第10个图形……第n个图形 三角形的个数： 1      4     9           16    ( )         ( ) 图形的周长： 3       6     9          12    ( )      ( ) 【答案】 100 n2 30 3n 【分析】观察可知，第1个图形有1个小三角形，1＝12，周长是3，3＝1×3；第2个图形有4个小三角形，4＝22，周长是6，6＝2×3；第3个图形有9个小三角形，9＝32，周长是9，9＝3×3…由此可知，三角形的个数＝第几个图形就是几的平方；图形的周长＝第几个图形就用几×3，据此分析。 【详解】102＝10×10＝100（个）、10×3＝30 n×3＝3n ……第10个图形……第n个图形 三角形的个数： 1      4     9           16           100              n2 图形的周长： 3      6     9           12            30             3n 15．按照下面3幅图的规律继续画图（如图），第n幅图形长( )cm。 【答案】4（n＋1）/（4n＋4）/（4＋4n） 【分析】看图可知，第1幅图长8cm，8＝（1＋1）×（8÷2）；第2幅图长12cm，12＝（2＋1）×（8÷2）；第3幅图长16cm，16＝（3＋1）×（8÷2）…由此可知，后一幅图比前一幅图的长度多一个半圆的半径的长，总长度＝（第几幅图就用几＋1）×半径，据此分析。 【详解】（n＋1）×（8÷2）＝4（n＋1） 第n幅图形长4（n＋1）cm。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角——数与形 （1种类型15道） 目录 题型一、归纳递推 1 题型一、归纳递推 1．将黑、白棋子按一层白、一层黑、一层白、一层黑……排成正三角形的形状，如图：当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排了( )层，排成这个正三角形一共用了( )颗棋子。 2．画直线把一个圆分成尽可能多的块数（如图）请仔细观察，找出其中的规律。按照你发现的规律，6条直线最多能把圆分成( )块。 3．如图所示，用小木棒摆正方形。 按这样的规律，摆8个正方形需要小木棒( )根，摆n个正方形需要小木棒( )根。（用含字母“n”的式子表示） 4．将一些五角星如下图摆放，照这样的规律继续摆下去，第7幅图中共有( )颗五角星，第n幅图中共有( )颗五角星。 5．用小棒按下图方式搭图形，第6个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 6．下面图形都是由面积为1的正方形组成的，观察图形的变化规律，第⑧个图形中正方形的数量是( )个。 7．观察下列图形的构成规律，按照此规律，第10个图形中★的个数为( )个；第n幅图中★的个数为( )个。 8．如图，用小棒摆一个正六边形，摆4个正六边形需要 根小棒；摆51个小正六边形需要 根小棒；用1001根小棒，可以摆 个小正六边形。 9．探索规律。 涂色正方形个数 1 2 3 … a 空白正方形个数 8 13 18 … 请你观察图形规律，当涂色正方形的个数是6时，空白正方形的个数是( )；若涂色正方形的个数是a，空白正方形的个数是( )（用含有字母的式子表示）。 10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 (1)( )。 (2)( )。 (3)( )。 11．用小棒摆五边形，如图：按这个规律，摆n个五边形( )根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆( )个五边形。 12．如图，搭10个六边形要( )根小棒，照这样摆下去，搭n个六边形，需要( )根小棒。201根木棒可以摆( )个六边形。 13．如下图，1张桌子可以坐6人，2张桌子拼起来可以坐10人，5张这样的桌子拼起来能够坐下( )人；要想坐下38人，至少需要( )张这样的桌子拼起来。 14．下面图形中每个小三角形边长都为1，认真观察，填出后面三角形的个数和图形的周长。 ……第10个图形……第n个图形 三角形的个数： 1      4     9           16    ( )         ( ) 图形的周长： 3       6     9          12    ( )      ( ) 15．按照下面3幅图的规律继续画图（如图），第n幅图形长( )cm。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $