24.2圆的基本性质（4）课件 2025-2026学年 沪科版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦圆的基本性质，核心讲解圆心角概念及同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系。通过复习圆的中心对称与旋转不变性导入，以旋转实验为支架衔接旧知与新知，引导学生逐步构建知识脉络。 其特色在于以几何直观和推理意识为核心，通过旋转实验推导等量关系培养数学眼光，例题结合等边三角形、角平分线等情境训练逻辑思维，练习强调“同圆或等圆”条件强化应用意识。学生能深化理解，教师可高效开展教学。

24.2 圆的基本性质(4) 课件说明 教学目标： 1.了解圆心角的概念； 2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 　 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 　 其余各组量也相等． 教学重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系． 　　圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ · 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心， 它具有旋转不变性. 复习旧知 · 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A ∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB. 学习新知 4 4 　　把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个圆也被分成了 360 份． 则每一份这样的弧叫做 1°的圆心角对着 1°的弧， 1°的弧对着 1°的圆心角. 这样， 1°的弧 1° n°的弧 n° 1°弧． n°的圆心角对着 n°的弧， n°的弧对着 n°的圆心角. 1°的弧 1° n°的弧 n° 弧的度数和它所对圆心角的度数相等. 圆心角 弧 弦 这四个量之间会有什么关系呢？ ∠AOB AB AB ︵ 弦心距 O A B C OC 任意给圆心角，对应出现三个量： 7 7 · O A B A1 B1 ∵ ∠AOB=∠A1OB1 ∴AB=A1B1 ， 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ AB=A1B1 ︵ ︵ 8 8 · O A B A1 B1 ∵ ∠AOB=∠A1OB1 ∴AB=A1B1 ， 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ C1 C AB=A1B1， ︵ ︵ OC=OC1 9 9 O α A B A1 B1 α 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等. 圆心角定理 10 10 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弧____， 所对的弦心距 ； 　　 　　同样，还可以得到： 　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___，所对的弦___； 　　 相等 相等 相等 相等 相等 所对的弦心距 ； 相等 在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等，那么它们所对的圆心角___，所对的弧___， 所对的弦 . 相等 相等 相等 同圆或等圆中，两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等. O A1 B1 A B α α C C1 12 12 O B C A 证明： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=CA.　　 ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC 例1.已知：如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.　　 求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°. 连接OA，OB，OC， =120°. = ×360° 1 3 例题 13 13 O F C A D 例2. 已知：如图，点O是∠A平分线上的点，⊙O分别交∠A两边于点C，D和点E，F.　　 求证：CD=EF. 过点O作OK⊥CD、OK′⊥EF， E K′ K ∴ OK=OK′， ∴CD=EF. 证明： 垂足分别为K、K′. ∵点O是∠FAD平分线上的点， 14 14 O E C A D B 例3. 如图，AB，CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE∥AB，CE为40°，求∠BOD的度数.　 解： 连接OE， ∵CE ︵ 为40°， ∴∠COE=40°. ∵OC=OE， ∴∠C= ∵CE∥AB， ∴∠AOD=∠C=70°. ∴∠BOD= ∠AOB－ ∠AOD =110°. 180°－40° 2 =70°. 15 15 　　1..已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， D O C A B ∵“∠AOB=∠COD， ∴ AB=CD”， ︵ ︵ 这种说法对吗？ 请说明理由. 这种说法不对. 结论成立的条件是： 在同圆或等圆中． 练习巩固 　　2.圆的一条弦把圆周分成度数比为1:2的两条弧，如果该圆的半径为5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角． A B O ∴弦 AB 所对的劣弧为圆的　，　　　 解： ∴∠AOB=120°. ∵ OA=OB， ∴∠A=30°. 过点O作OE⊥AB于E， ∴AB=2AE = E 3 . 5 1 3 ∴AB为120°，　 ︵ 答：弦长为 ，劣弧所对的圆心角为120°． 3 5 如图， ∵弦把圆周分成度数比为1:2的两条弧， 在Rt△OEA中， ∴AE= cos∠OAB= AE OA 5cos30° = 5× 2 3 = 3 5 2 解法2 　　2.圆的一条弦把圆周分成度数比为1:2的两条弧，如果该圆的半径为5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角． A B O ∴弦 AB 所对的劣弧为圆的　，　　　 解： ∴∠AOB=120°. ∵ OA=OB， ∴∠A=30°. 过点O作OE⊥AB于E， ∴OE=2.5.　 ∵ OA=5， ∴AE= ∴AB=2AE = E OA2－OE2 = 52－2.52 = 3 . 5 1 3 ∴AB为120°，　 ︵ 3 5 2 答：弦长为 ，劣弧所对的圆心角为120°． 3 5 如图， ∵弦把圆周分成度数比为1:2的两条弧， 　　(1)本节课学习了哪些内容？ 　　(2)圆心角、弧、弦之间有哪些关系？ 课堂小结 1.如图，在⊙O中，AB=AC， ∠AOB=100°，则∠AOC=( ). ︵ ︵ B  A. 80°      B. 100°     C.40°        D.50° O A B C 2.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE.若弦BE=3，则弦CE= . O B C D A E 3 巩固提高 3.如图，AB和CD是⊙O的两条弦，M，N分别是AB，CD的中点，且∠OMN= ∠ONM. 求证：AB=CD. O B C D A M N 证明： ∵ M，N分别是AB，CD的中点， ∴OM⊥AB， ON⊥CD. ∴OM，ON 分别是弦AB，CD的弦心距. ∵∠OMN= ∠ONM， ∴OM= ON. ∴AB=CD. 谢谢 $