24.2圆的基本性质3圆心角弧弦弦心距间关系课件 2023-2024学年沪科版数学九年级下册

第24章 圆 24.2 圆的基本性质 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 圆的旋转不变性、圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论 弧的度数与该弧所对圆心角的度数的关系 知识点 圆的旋转不变性、圆心角 知1－讲 1 1. 圆的旋转不变性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 圆具有旋转不变性，即把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 知1－讲 2. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 如图24.2-22， ∠ AOB 是AB 所对的圆心角，AB是∠ AOB 所对的弧.一条弧所对的圆心角只有一个. ︵ ︵ 知1－讲 特别提醒 圆心角满足的条件： 1. 顶点在圆心； 2. 两条边和圆相交. 其中“顶点在圆心”是圆心角的必备条件. 知1－练 如图24.2-23， 已知A，B 是⊙ O 上的两点， ∠ AOB=120°，则OA ∶ AB 的值为( ) A. B. C. D. 例 1 6 知1－练 解题秘方：过点O 作垂直于弦的线段，结合勾股定理求解. 教你一招 特殊的圆心角所对的弦与半径之间的特殊关系： 1. 60°的圆心角所对的弦等于半径； 2. 90°的圆心角所对的弦等于半径的 倍； 3. 120°的圆心角所对的弦等于半径的倍. 7 知1－练 解：如图24.2-23，过点O 作ON ⊥ AB 于点N， 则AN= AB. ∵∠ AOB=120°，OA=OB， ∴∠ A= ∠ B=30°. 设ON=a，则OA=2a.∵ OA2－ON 2=AN 2， ∴ AN= a. ∴ AB=2 a.∴ = = . 答案：C 8 知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 知2－讲 2 1. 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 2. 示例 如图24.2-24，若∠ AOB= ∠ A′OB′， OC ⊥ AB，OC ′⊥ A ′B ′， 则AB = A′B′， AB=A′B′，OC=OC′. ︵ ︵ 知2－讲 警示误区 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 如图24.2-25，两个圆的圆心相同， AB 与A′B′ 所对的圆心角相等， 但 AB≠A′B′，AB ≠ A′B′. ︵ ︵ ︵ ︵ 知2－练 如图24.2-26，AB，CD 是⊙ O 的两条直径，弦CE ∥ AB. 求证：BC = AE . 例2 ︵ ︵ 解题秘方：构造圆心角，利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”证明. 知2－练 证明：如图24.2-26，连接OE. ∵ OE=OC， ∴∠ C= ∠ E. ∵ CE ∥ AB， ∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE. ∴∠ BOC= ∠ AOE. ∴BC = AE . ︵ ︵ 知2－练 技巧总结 由例2的结论可知：在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等. 以后若遇到圆的两条平行弦，可考虑运用它们所夹的弧相等证明两条弧所对的弦、圆心角、所对弦的弦心距分别相等. 知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论 知3－讲 3 1. 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等(即“知一导三”). 上述推论可简记为： 在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等. 知3－讲 2. 示例 如图24.2-27，OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ CD 于点F. 下列四个式子： ①∠ AOB= ∠ COD；②AB = CD； ③ AB=CD；④ OE=OF. 其中有一个式子成立，则其他三个式子也成 立，即∠ AOB= ∠ COD AB = CD AB=CD OE=OF. ︵ ︵ ︵ ︵ 知3－讲 图示 此推论可表示为：在同圆或等圆中， 知3－练 [模拟·上海] 如图24.2-28，O 是AD所在圆的圆心. 已 知点B，C 将AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是( ) A. AC =2 CD B. AC=2CD C. ∠ AOC=2 ∠ COD D. S 扇形AOC=2S 扇形COD 例 3 ︵ ︵ ︵ ︵ 知3－练 解题秘方：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论进行判断. 解法提醒 在同一个圆中，弧、弦、圆心角和弦心距中只要有一组量相等，就能推出其他几组量分别相等. 线段有和差，弧也有和差. 知3－练 解：如图24.2-28，连接AB，BC，OB. ∵点B，C 将AD三等分， ∴AB