7.2.1平行的概念 导学案2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“平行线的概念”，核心涵盖平行线三要素、基本事实、传递性及画法。通过回顾同一平面内直线位置关系，结合铁轨、黑板对边等生活实例导入，以学习支架连接旧知与新知，引导学生逐步构建概念体系。 特色在于以生活实例抽象概念培养数学眼光，通过动手画图、辨析正误发展几何直观与推理意识，用规范几何语言表达传递性等培养数学语言。课前预习、课堂探究、课后练习闭环设计，助力学生自主学习，提升核心素养，便于教师教学评估。

7.2.1平行线的概念 一、学习目标 1.准确理解平行线的概念，明确 “在同一平面内”“不相交”“两条直线” 三个关键要素； 2.理解平行线的基本事实（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）； 3.理解平行的传递性（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）。 4.能够过直线外一点画已知直线的平行线。 二、课前预习 回顾：在同一平面内，两条直线的位置关系有______和______；若两条直线有且只有一个公共点，称为______；若两条直线没有公共点，可能是______（需结合位置关系思考）。 观察生活中的图形：铁轨的两条铁轨、黑板的对边、电梯的扶手等，这些图形中的两条直线有什么共同特征？________________________ 阅读教材，填空： 平行线的定义：在______内，______的两条直线叫做平行线。 平行线的表示方法：若直线 AB 与直线 CD 平行，记作______，读作______。 基本事实：经过直线外一点，有且只有______条直线与这条直线平行。 传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也___________. 尝试判断： （1）不相交的两条直线一定是平行线（ ） （2）在同一平面内，不平行的两条直线一定相交（ ） （3）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行（ ） （4）如果直线a//b,a//c,那么b//c. ( ) 动手操作：用直尺和三角板尝试画一条经过点 P（不在直线 l 上）且与直线 l 平行的直线，你能画出几条？若点 P 在直线 l上，还能画出与 l 平行的直线吗？（可结合教材画图方法练习） 三、课堂学习 （一）探究新知，深化理解 1.用一根钉子钉住两个木条，木条为什么可以绕着钉子任意旋转，这个现象请用几何知识来解释为： ____________________________________________________; 2. 用两根钉子能把一根木条稳稳的钉在墙上，这个现象可以用几何知识解释为：_________________ 3. 用一根木条c 钉住两根木条a、b，若将木条b固定不动，旋转木条a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与直线b相交. 想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢?___________________________ （二）知识点讲解 知识点1：平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 如图，AB与CD平行，记作:AB∥CD ，或CD∥AB，读作：AB平行于CD或_____________． 知识点2：平行线的画法 知识点３：平行线的基本事实 思考：过直线l外一点A，能画____条直线与直线l平行. 基本事实：经过直线外一点，有且只有1条直线与这条直线平行． 知识点4：平行线的传递性 作图：已知直线 a，点B C、是直线a外的两点， （1）过点 B 画直线 a 的平行线，记为 l₁； （2）过点 C画直线 a 的平行线，记为 l₂； （3）观察直线 l₁与 l₂的位置关系，它们是否平行？为什么？ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 几何语言： ∵a//c，b//c ∴_______________ （三）例题讲解，应用新知 例 1 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线； （2）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）若直线 a∥b，直线 c∥b，则 a∥c； （4）两条不平行的直线一定相交。 例 2 如图，在同一平面内，直线 AB∥CD，直线 EP 与 AB 交于点 P，判断直线 EP 与 CD 的位置关系，并说明理由。 例 3如图 ，点 P 在直线 l 外，过点 P 作 l 的平行线 l ₁；再过 l ₁外一点 Q作 l ₁的平行线 l ₂，判断 l ₂与 l 的位置关系，并说明依据。 例4如图，用直尺和三角尺画平行线： (1)过点A画MN//BC; (2)过点C画CE//DA,与AB交于点E;过点C画CF//DB,与AB的延长线交于点F. 四、课堂练习 1．下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（ ） ①若线段与没有交点，则 ②相等的角是对顶角 ③平行于同一条直线的两条直线平行 ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ⑤过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离 A．①③⑤ B．③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 3.下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 5．在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必＿＿＿＿．请说明理由。 6.如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 7．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 8．同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个． 9.如图，点是的边上的一点， (1)过点画的垂线，交于点 (2)过点画的垂线，垂足为 (3)过点画的平行线 (4)若每个小正方形的边长是，则点到的距离是 (5)线段，，的大小关系是 （用连接） 10.已知：及内部一点P． (1)过点P画直线交于点C； (2)过点P画垂线于点D； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 11．如图，D为三角形边上一点，请按以下要求，完成作图，并保留作图痕迹． ①过D点作线段所在直线的垂线段； ②过B点作线段所在直线的垂线； ③连接线段，并过点作线段所在直线的平行线； ④过D点作一直线，使它能将三角形的面积平分成两份，并说明作图方法． 12．如图，D是的边的中点． (1)过点D分别画的平行线，交于点F，E，度量并比较与，与的大小． (2)连接，运用直尺和三角板检验和的位置关系；度量并比较下列三组线段的大小：和，和，和．你能得出什么结论吗？ 五、课后练习 1．下列命题中：①在同一平面内，不重合的两条直线不平行就相交； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线平行于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． 真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 3.看图，写出相应的语句． 4．如图，点、点分别在的两边上，按要求作图并回答问题： (1)过点作边的垂线，交于点； (2)过点作边的垂线，交的延长线于点； (3)过点作的平行线交于点； (4)比较、、三条线段的长度．请将解答过程补充完整． 解：（作图可知） ___________①___________．（垂直的定义） ，（作图可知） ，（②此处填推理的依据） ，（等式的基本事实） ，（垂直的定义） ，（③此处填推理的依据） 同理，（作图可知） ，（此处推理的依据同③） ．（④此处填推理的依据） 5．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 6. 在如图所示的方格纸上 (1)过点画直线的平行线． (2)作交于点． 7. 作图： (1)过点作的垂线； (2)过点作的垂线段； (3)过点作的平行线． 8．读句画图：如图，直线与直线相交于C，根据下列语句画图： (1)过点P作，交于点Q； (2)过点P作出点P到直线的最短路线，并说明数学道理； (3)若，猜想是多少度？并说明理由． 9.如图，P是外一点． (1)过点P画直线，与相交于点C． (2)过点P画直线，与的反向延长线相交于点D． (3)分别量出，，，的度数，你有什么发现？ 10．按要求画平行线，已知． (1)过A点作，过C点作交于点E． (2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F． 学科网（北京）股份有限公司 A B D C A B D C $ 7.2.1平行线的概念 一、学习目标 1.准确理解平行线的概念，明确 “在同一平面内”“不相交”“两条直线” 三个关键要素； 2.理解平行线的基本事实（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）； 3.理解平行的传递性（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）。 4.能够过直线外一点画已知直线的平行线。 二、课前预习 回顾：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行；若两条直线有且只有一个公共点，称为相交；若两条直线没有公共点，可能是平行（需结合位置关系思考）。 观察生活中的图形：铁轨的两条铁轨、黑板的对边、电梯的扶手等，这些图形中的两条直线有什么共同特征？没有交点 阅读教材，填空： 平行线的定义：在在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的表示方法：若直线 AB 与直线 CD 平行，记作AB//CD，读作直线AB平行于直线CD。 基本事实：经过直线外一点，有且只有1条直线与这条直线平行。 传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 尝试判断： （1）不相交的两条直线一定是平行线（ ）错的 （2）在同一平面内，不平行的两条直线一定相交（ ）对的 （3）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行（ ）错的 （4）如果直线a//b,a//c,那么b//c. ( )对的 动手操作：用直尺和三角板尝试画一条经过点 P（不在直线 l 上）且与直线 l 平行的直线，你能画出几条？若点 P 在直线 l上，还能画出与 l 平行的直线吗？（可结合教材画图方法练习） 三、课堂学习 （一）探究新知，深化理解 1.用一根钉子钉住两个木条，木条为什么可以绕着钉子任意旋转，这个现象请用几何知识来解释为： 过一点有无数条直线; 2. 用两根钉子能把一根木条稳稳的钉在墙上，这个现象可以用几何知识解释为：两点确定一条直线 3. 用一根木条c 钉住两根木条a、b，若将木条b固定不动，旋转木条a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与直线b相交. 想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置吗?有，平行 （二）知识点讲解 知识点1：平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 如图，AB与CD平行，记作:AB∥CD ，或CD∥AB，读作：AB平行于CD或CD平行于AB． 知识点2：平行线的画法 知识点３：平行线的基本事实 思考：过直线l外一点A，能画1条直线与直线l平行. 基本事实：经过直线外一点，有且只有1条直线与这条直线平行． 知识点4：平行线的传递性 作图：已知直线 a，点B C、是直线a外的两点， （1）过点 B 画直线 a 的平行线，记为 l₁； （2）过点 C画直线 a 的平行线，记为 l₂； （3）观察直线 l₁与 l₂的位置关系，它们是否平行？为什么？ 【答案】平行 传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 几何语言： ∵a//c，b//c ∴b//c （三）例题讲解，应用新知 例 1 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线； （2）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）若直线 a∥b，直线 c∥b，则 a∥c； （4）两条不平行的直线一定相交。 【答案】B 例 2 如图，在同一平面内，直线 AB∥CD，直线 EP 与 AB 交于点 P，判断直线 EP 与 CD 的位置关系，并说明理由。 【答案】EF与CD相交，若是平行，则过点P有两条直线平行于CD，这与平行的基本事实矛盾. 例 3如图 ，点 P 在直线 l 外，过点 P 作 l 的平行线 l ₁；再过 l ₁外一点 Q作 l ₁的平行线 l ₂，判断 l ₂与 l 的位置关系，并说明依据。 【答案】平行，因为l ₂// l ₁,l //l ₁所以l ₂// l. 例4如图，用直尺和三角尺画平行线： (1)过点A画MN//BC; (2)过点C画CE//DA,与AB交于点E;过点C画CF//DB,与AB的延长线交于点F. 【答案】 . 四、课堂练习 1．下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的有关内容，掌握平行公理即推论是解题关键． 根据平行线的定义及平行公理，对选项逐一分析即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系为相交，平行，故原说法正确； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行，说法错误； ④如果，，那么，说法正确； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线，说法错误． 综上所述，正确的有②④，共个 故选：B． 2．下列说法正确的是（ ） ①若线段与没有交点，则 ②相等的角是对顶角 ③平行于同一条直线的两条直线平行 ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ⑤过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离 A．①③⑤ B．③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念，牢固掌握相关概念及性质是关键． 根据平行的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念判断即可． 【详解】解：同一平面内，若线段与没有交点，则，故①说法错误； 由对顶角的性质知：对顶角相等，则相等的角一定不是对顶角，故②说法错误； 由平行公理的推论知：平行于同一条直线的两条直线平行，故③说法正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误； 过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离，故⑤说法正确； 所以正确的说法有③⑤． 故选：B． 3.下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线．根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：因为选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D， 故选：D． 4．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了画垂线和平行线，同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条，据此可得答案． 【详解】解：同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条， ∴， ∴， 故选：B． 5．在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必＿＿＿＿．请说明理由。 6.如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 7．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【答案】 相交 垂直 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故填：相交；垂直． 8．同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个． 【答案】0或1 【分析】根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可． 【详解】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有两种，是平行和相交， 即两条不重合的直线的交点有0或1个． 故答案为：0或1． 【点睛】本题主要考查对平行线和相交线的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 9.如图，点是的边上的一点， (1)过点画的垂线，交于点 (2)过点画的垂线，垂足为 (3)过点画的平行线 (4)若每个小正方形的边长是，则点到的距离是 (5)线段，，的大小关系是 （用连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【分析】本题考查垂线、平行线的画法，熟练掌握“垂线段最短”是解题关键． （1）根据题意画垂线； （2）根据题意画垂线； （3）根据题意画平行线； （4）根据点到直线距离的定义即可求解； （5）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，则是的垂线； （2）解：如图，过点画的垂线，垂足为； （3）解：如图，过点画的平行线； （4）由题意即点到的距离，且， （5）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 10.已知：及内部一点P． (1)过点P画直线交于点C； (2)过点P画垂线于点D； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是画平行线与垂线，互余的含义，平行线的性质，熟练的利用三角尺与直尺进行基本的画图是解本题的关键． （1）利用三角尺与直尺根据题意画平行线即可； （2）利用三角尺画垂线即可； （3）由平行线的性质证明，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，线段即为所求； ； （3）解：， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，D为三角形边上一点，请按以下要求，完成作图，并保留作图痕迹． ①过D点作线段所在直线的垂线段； ②过B点作线段所在直线的垂线； ③连接线段，并过点作线段所在直线的平行线； ④过D点作一直线，使它能将三角形的面积平分成两份，并说明作图方法． 【答案】见解析 【分析】题考查了垂线、平行线的画图以及平行线的性质的运用．根据垂线、平行线的画图完成①②③，根据平行线的性质和中线的性质即可完成等积作图． 【详解】解：如图，①过D点作线段所在直线的垂线段； ②过B点作线段所在直线的垂线； ③连接线段，并过点作线段所在直线的平行线； ④过D点作一直线，使它能将三角形的面积平分成两份，如图，即为所求， 说明：取的中点，过作的平行线，交于点L，，相交于点， ∵， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， ∴直线把三角形的面积平分成两份． 12．如图，D是的边的中点． (1)过点D分别画的平行线，交于点F，E，度量并比较与，与的大小． (2)连接，运用直尺和三角板检验和的位置关系；度量并比较下列三组线段的大小：和，和，和．你能得出什么结论吗？ 【答案】(1)图见解析，； (2)，，三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半 【分析】本题考查画平行线，线段的度量，熟练掌握平行线的画法是解题的关键： （1）利用直尺和三角板，画出平行线，度量后，比较线段的大小关系即可； （2）利用直尺和三角板可验证，度量可以得到，进而得到三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： 通过度量可知：； （2）通过验证可知：； 通过度量可知：； 故可得到结论：三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半． 五、课后练习 1．下列命题中：①在同一平面内，不重合的两条直线不平行就相交； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线平行于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． 真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题真假，两直线的位置关系，点到直线的距离，根据平面内两直线的位置关系，垂线的定义和点到直线间的距离，逐一进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，不重合的两条直线不平行就相交，原命题是真命题； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：A． 2．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 3.看图，写出相应的语句． 【答案】（1）点P在直线l上，点Q在直线l外；（2）直线，交于点O，点P在内；（3）直线a，直线b，直线c交于一点Q 【分析】本题主要考查了点与直线的关系，直线与直线的位置关系等知识，根据几何图来一一描述图形即可． 【详解】解：（1）点P在直线l上，点Q在直线l外； （2）直线，交于点O，点P在内； （3）直线a，直线b，直线c交于一点Q． 4．如图，点、点分别在的两边上，按要求作图并回答问题： (1)过点作边的垂线，交于点； (2)过点作边的垂线，交的延长线于点； (3)过点作的平行线交于点； (4)比较、、三条线段的长度．请将解答过程补充完整． 解：（作图可知） ___________①___________．（垂直的定义） ，（作图可知） ，（②此处填推理的依据） ，（等式的基本事实） ，（垂直的定义） ，（③此处填推理的依据） 同理，（作图可知） ，（此处推理的依据同③） ．（④此处填推理的依据） 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3)见解析 (4)①；②两直线平行，同位角相等；③垂线段最短；④不等式的基本事实 【分析】本题考查了作垂线，垂线段最短，平行线的性质，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据作垂线的方法，进行作答即可． （2）根据作垂线的方法，进行作答即可． （3）根据作平行线的方法，进行作答即可． （4）联系作图过程以及题干已有的过程，运用垂线段最短，平行线的性质，不等式的性质等知识内容进行补充，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，垂线如图所示： （2）解：垂线如图所示； （3）解：过点作的平行线交于点如图所示； （4）解：（作图可知） （垂直的定义） ，（作图可知） ，（两直线平行，同位角相等） ，（等式的基本事实） ，（垂直的定义） ，（垂线段最短） 同理，（作图可知） ，（垂线段最短） ．（不等式的基本事实） 5．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查直线的位置关系，长方体，解题的关键是熟练掌握长方体的性质． （1）根据长方形的性质，判断长方体两条棱之间的位置关系即可； （2）根据图形，写出答案即可． 【详解】（1）解：∵长方体的各个面均为长方形，长方形对边平行，邻边互相垂直， ∴，，，，， ∴，， 故答案为：①，②，③，④； （2）解：由图可知，与不是平行线， ∵与不在同一平面内，与所在的直线不相交，也不平行， ∴在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线， 故答案为：⑤不是，⑥同一平面． 6. 在如图所示的方格纸上 (1)过点画直线的平行线． (2)作交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用方格纸的网格特性以及平行线、垂线的作图．借助网格的“平行关系”来画平行线：利用方格纸的“垂直网格”(横线与竖线互相垂直)，结合“垂线的定义(两条直线相交成直角时，互相垂直)”作图． （1）观察直线的“走向”：看经过了多少个横向、纵向的格子，确定其斜率(或说倾斜规律)过点，按照的“走向”，沿着网格线画出直线，使得与的倾斜程度完全相同(即平行)； （2）观察直线的方向，找到与“成直角”的网格方向． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求， 利用格点特点，由于格点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到点， 则把点进行同样的平移可得到格点，则直线； （2）如图所示，直线即为所求， 把线段逆时针旋转得到，再延长交于，则． 7. 作图： (1)过点作的垂线； (2)过点作的垂线段； (3)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画垂线，平行线，解题的关键是理解题意，正确作出图形； （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线段的定义画出图形； （3）根据平行线的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，直线即为所求． 8．读句画图：如图，直线与直线相交于C，根据下列语句画图： (1)过点P作，交于点Q； (2)过点P作出点P到直线的最短路线，并说明数学道理； (3)若，猜想是多少度？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，垂线段最短 (3)，见解析 【分析】此题考查平行线的画法，垂线的画法，垂线段最短，平行线的性质定理，正确利用平行线的性质解题，掌握各种线的画法． （1）利用直尺和三角板画平行线； （2）利用直尺和三角板画出垂线段； （3）根据平行线的性质即可求出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 数学道理是直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短． （3）解：∵， ∴． 9.如图，P是外一点． (1)过点P画直线，与相交于点C． (2)过点P画直线，与的反向延长线相交于点D． (3)分别量出，，，的度数，你有什么发现？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，，，发现：如果两个角的两边分别互相平行，则这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查了画平行线，平行线的性质，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）用三角板和直尺画平行线即可； （2）用三角板和直尺画平行线即可； （3）用量角器量出对应的角度可知，如果两个角的两边分别互相平行，则这两个角相等或互补． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，直线即为所求； （3）量得，，，，发现：如果两个角的两边分别互相平行，则这两个角相等或互补． 10．按要求画平行线，已知． (1)过A点作，过C点作交于点E． (2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了用直尺和三角板过已知点画平行线，用直尺和三角板作平行线的步骤：一放，二靠，三推，四画，正确操作是解本题的关键． （1）首先将三角板的一边与重合（一放），直尺靠紧三角板的另一边（二靠），沿直尺平移三角板（三推），使三角板原来与重合的边经过点，过点A沿三角板的这边画直线（四画），同理，过点C作，交于点E．按此操作即可求解． （2）平行线作法与（1）相同． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示， 学科网（北京）股份有限公司 A B D C A B D C $