全概率公式与贝叶斯公式讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦概率统计核心考点，围绕全概率公式与贝叶斯公式，按“知识梳理-题型突破-分层训练”逻辑架构展开，通过定义辨析、步骤归纳、例题精讲、真题演练等环节，帮助学生构建概率问题解题框架，突破公式应用难点，体现复习教学的系统性和针对性。 讲义特色在于情境化例题与分层练习结合，如以AI换脸、产品供应等实例培养学生用数学眼光观察现实问题的能力，通过题型归类和方法总结强化数学思维，设置基础到综合的练习梯度保障复习效果，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第九讲 全概率公式与贝叶斯公式 〖知识梳理〗 1、全概率公式 (1)一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）． (2)利用全概率公式求解概率的步骤 2、贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，P（B）>0，有P（Ai|B）＝＝， 常用结论 (1)最简单的全概率公式:一般地,如果样本空间为Ω,A,B为事件,那么BA,B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,从而P(B)=P(BA)+P(B).当P(A)>0,且P()>0时,P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). (2)最简单的贝叶斯公式:一般地,当0<P(A)<1且P(B)>0时,有P(A|B)==. 〖例题讲解〗 题型一 全概率公式 例1 (1)某小组有20名射手，其中一、二，三、四级射手分别有2，6，9，3名．若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32．若随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为 ． (2)已知事件，相互独立，且，，则 ． (3)已知甲盒中有4个白球,1个红球,乙盒中有4个白球,2个红球,这些球除颜色外完全相同.先从甲盒中任取2个球放入乙盒,再从乙盒中任取1个球,则从乙盒中取出的是红球的概率为　　　　. 题型二 贝叶斯公式 例2 (1)人工智能领域大量用到了贝叶斯公式:P(A|B)=.AI换脸是一项深度伪造技术,某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频,“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下,它有98%的可能鉴定为“AI”;它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下,它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”,则该视频是“AI”合成的可能性约为(　 ) A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4% (2)一种产品由甲、乙、丙三家工厂供应,由长期的经验知,甲、乙、丙三家工厂的正品率分别为0.95,0.9,0.8,甲、乙、丙三家工厂的产品数所占比例为2∶3∶5.现取到一件产品为正品,则它是由甲、乙、丙三家工厂中　　　　(填“甲”或“乙”或“丙”)厂生产的可能性最大. (3)甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件，，，分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则 ， ． 〖课堂练习〗 1.已知P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=　　　　.  2.某射手射击三次,记事件Ai=“第i次命中目标”(i=1,2,3),P(A1)=,=3,P(Ai+1|)=(i=1,2),则P(A3)=　　　　.  3.在数字通信中,信号由数字0和1组成.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.若发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为　　　　.  4.某病毒会造成“持续的人传人”,即存在A传B,B又传C,C又传D的传染现象,那么A,B,C就被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会,参加宴会的人中有4名第一代传播者,2名第二代传播者,2名第三代传播者,若小明参加宴会仅和感染的8个人中的一个有所接触,则小明被感染的概率为　　　　.  5.某货车为某书店运送10箱书籍,其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书,到达目的地时发现丢失1箱,但不知丢失的是哪1箱.现从剩下的9箱中随机打开2箱,结果是1箱语文书、1箱数学书,则丢失的一箱是英语书的概率为　　　　.  6.越来越多的人喜欢参加户外极限运动,据调查数据显示,A,B两个地区分别有3%,8%的人参加户外极限运动,两个地区的总人口数的比为2∶3.若从这两个地区中任意选取一人,则此人参加户外极限运动的概率为p1,若此人参加户外极限运动,则此人来自A地区的概率为p2,那么(　 ) A.p1=,p2= B.p1=,p2= C.p1=,p2= D.p1=,p2= 7.在一个抽奖游戏中,主持人在编号分别为1,2,3的空箱(外观相同)中随机选择一个箱子放入奖品,并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是:抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个,在开箱之前,主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子(若此时两个箱子都是空的,则从中随机选取一个),并给抽奖人第二次选择箱子的机会,然后,主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.若奖品在打开的箱子里,则奖品由抽奖人获得;否则,抽奖人未获得奖品.已知抽奖人第一次选择了1号箱. (1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率. (2)若主持人打开的空箱子是3号箱,请问抽奖人是坚持选择1号箱,还是改选2号箱?请你给出建议,并说明理由. 〖反馈练习〗 1.已知事件A,B满足P(A)=P(),P(B)=0.3,P(B|)=0.4,则P(B|A)=(　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 2.某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎,第一批占60%,次品率为5%;第二批占40%,次品率为4%.现从仓库中任抽取1个轮胎,则这个轮胎是合格品的概率是(　 ) A.0.046 B.0.90 C.0.952 D.0.954 3.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球,第一次从中随机摸出一个球,观察其颜色后放回,同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球,第二次再从中随机摸出一个球,则此次摸出的是黄球的概率为(　 ) A. B. C. D. 4.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车、客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01,今有一辆汽车中途停车修理(该汽车只可能是货车或客车),则该汽车是货车的概率为(　 ) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.3 5.甲、乙是同班同学,他们的家之间的距离很近,放学之后经常结伴回家,有时也单独回家.如果第一天他俩结伴回家,那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5;如果第一天他俩单独回家,那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6.已知第二天他俩单独回家的概率为0.46,则第一天他俩结伴回家的概率为(　 ) A.0.4 B.0.5 C.0.54 D.0.6 6.已知P(A)=0.4,P(B|A)=0.2,P(B|)=0.3,则P()=　　　　　.  7.某校高三(1)班和(2)班各有40名同学,其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人,现从这两个班中随机抽取一名同学,若抽到的是参加数学兴趣社团的学生,则他来自高三(1)班的概率是　　　　.  8.甲口袋中有3个红球和2个白球,乙口袋中有4个红球和3个白球,先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋,分别用事件A1,A2表示从甲口袋取出的球是红球、白球;再从乙口袋中随机取出1个球,用事件B表示从乙口袋取出的球是红球,则P(A2|B)=(　 ) A. B. C. D. 9.已知地区A,B,C分别有6%,5%,4%的人患了流感,且这三个地区的人口数的比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一人,则下列说法正确的是(　 ) A.这个人患流感的概率为0.15 B.此人选自A地区且患流感的概率为0.375 C.若此人患流感,则此人选自A地区的概率为 D.若从这三个地区共任意选取100人,则这100人中患流感的人数约为4 10.(多选题)中国象棋是一种益智游戏,也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛,李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中,甲、乙两组的人数之比为2∶1,李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛,下列说法正确的是(　 ) A.李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B.李明获胜的概率为 C.若李明获胜,则对手来自甲组的概率为 D.若李明获胜,则对手来自乙组的概率为 11.(多选题)为加强学生体质健康,某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏,每次由其中一人投篮,规则如下:若投中,则继续投篮,若未投中,则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为,由掷两枚质地均匀硬币的方式确定第一次投篮的人选(一正一反向上是甲投篮,同正或同反向上是乙投篮),以下选项正确的是(　 ) A.第一次投篮的人是甲的概率为 B.第三次投篮的人是乙的概率为 C.已知第二次投篮的人是乙的情况下,第一次投篮的人是甲的概率为 D.设第n次投篮的人是甲的概率为an,则6an+an-1=3(n≥2,n∈N*) 12.若甲筐中有5个苹果,3个梨子,2个橙子,乙筐中有x个苹果、1个梨子、2个橙子,现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐,再从乙筐中随机取出一个水果,记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A,若P(A)≥,则整数x的最小值为　　　　.  13. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息地无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为　　　　.  14.现有完全相同的甲、乙两个箱子(如图),其中甲箱装有2个黑球和4个白球,乙箱装有2个黑球和3个白球,这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子,再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率; (2)若已知摸出的球是黑球,请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 15.在杭州亚运会上,中国羽毛球队延续了传统优势项目,以4金3银2铜的成绩傲视亚洲.在旧制的羽毛球赛中,只有发球方赢得这一球才可以得分,即若发球方在此回合的争夺中输球,则双方均不得分.但发球方输掉此回合后,下一回合改为对方发球. (1)在旧制羽毛球赛中,某运动员每一回合比赛赢球的概率均为,且各回合相互独立.若第一回合该运动员发球,求第二回合比赛有运动员得分的概率. (2)羽毛球比赛中,先获得第一分的运动员往往会占据心理上的优势,给出以下假设: 假设1:各回合比赛相互独立; 假设2:比赛双方运动员甲和乙的实力相当,即每回合比赛中甲获胜的概率均为. 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率,并说明旧制是否合理? 参考答案 1.A　[解析] 因为P(A)=P(),P(A)+P()=1,所以P(A)=P()=0.5,因为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×P(B|A)+0.5×0.4=0.3,所以P(B|A)=0.2.故选A. 2.D　[解析] 用事件A表示“抽中第一批”,事件B表示“抽中合格品”,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=0.6×(1-0.05)+0.4×(1-0.04)=0.57+0.384=0.954.故选D. 3.B　[解析] 设事件A为“第一次摸出的球是白球”,事件B为“第二次摸出的球是黄球”,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=×+×=+=.故选B. 4.A　[解析] 设事件A1=“该汽车是货车”,事件A2=“该汽车是客车”,事件B=“一辆汽车中途停车修理”,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),故该汽车是货车的概率为P(A1|B)= ===0.8.故选A. 5.D　[解析] 设第一天他俩结伴回家的概率为p,则由全概率公式可得0.5p+0.6(1-p)=1-0.46,即-0.1p+0.6=0.54,解得p=0.6. 6.0.74　[解析] 因为P(A)=0.4,P(B|A)=0.2,P(B|)=0.3,所以P()=0.6,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.4×0.2+0.6×0.3=0.26,所以P()=1-P(B)=1-0.26=0.74. 7.　[解析] 设事件A为“抽到的学生来自高三(1)班”,事件B为“抽到的学生来自高三(2)班”,事件C为“抽到的学生参加数学兴趣社团”,则P(A)=,P(B)=,P(C|A)==,P(C|B)==,由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=,由乘法公式得P(AC)=P(A)P(C|A)=×=,由条件概率公式得P(A|C)===. 8.A　[解析] 由题可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,P(A2)=,P(B|A2)==,则P(A2|B)====. 9.C　[解析] 记事件D为“选取的这个人患流感”,事件E为“此人选自A地区”,事件F为“此人选自B地区”,事件G为“此人选自C地区”,则由题意可得P(E)==0.25,P(F)==0.35,P(G)==0.4,P(D|E)=0.06,P(D|F)=0.05,P(D|G)=0.04.由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.25×0.06+0.35×0.05+0.4×0.04=0.048 5,故A错误;P(E)==0.25,P(D|E)=0.06,则此人选自A地区且患流感的概率为P(E)·P(D|E)=0.25×0.06=0.015,故B错误;由贝叶斯公式可得P(E|D)===,故C正确;从这三个地区任意选取1人,此人患流感的概率为0.048 5,任意选取100人,设这100人中患流感的人数为X,则X~B(100,0.048 5),所以E(X)=100×0.048 5=4.85,故D错误.故选C. 10.ABC　[解析] 设事件A为“李明与甲组选手比赛”,事件B为“李明与乙组选手比赛”,事件C为“李明获胜”,则由题可知P(A)=,P(B)=.对于A,李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)=P(A)P(C|A)=×0.6=,故A正确;对于B,李明获胜的概率为P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×0.6+×0.5=,故B正确;对于C,若李明获胜,则对手来自甲组的概率为P(A|C)===,故C正确;对于D,若李明获胜,则对手来自乙组的概率为P(B|C)====,故D错误.故选ABC. 11.CD　[解析] 对于A,第一次投篮的人是甲的概率为=,故A错误;对于C,设A,B分别表示“第一次投篮的人是甲”和“第二次投篮的人是乙”,则P(A|B)====,故C正确;对于B,D,用An表示“第n次投篮的人是甲”,则当n≥2时,an=P(An)=P(An|An-1)P(An-1)+P(An|)P()=an-1+(1-an-1)=-an-1,故a1=,an=-an-1(n≥2),则a2=,a3=,6an+an-1=3(n≥2),所以第三次投篮的人是乙的概率为1-=,故B错误,D正确.故选CD. 12.3　[解析] 记A1,A2,A3分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子,则A1,A2,A3互斥,所以P(A)=P(A1)P(A|A1)+P(A2)P(A|A2)+P(A3)P(A|A3)=×+×+×=≥,解得x≥3,故整数x的最小值为3. 13.　[解析] 设粒子从i号仓出发最终从1号仓到达容器外的概率为Pi,则得P1=. 14.解:(1)记事件A表示“球取自甲箱”,事件表示“球取自乙箱”,事件B表示“取得黑球”,则P(A)=P()=,P(B|A)==,P(B|)=, 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=. (2)该球取自乙箱的可能性更大,理由如下:该球取自甲箱的概率P(A|B)===,该球取自乙箱的概率P(|B)===, 因为P(A|B)<P(|B),所以该球取自乙箱的可能性更大. 15.解:(1)用事件A1表示“第一回合该运动员赢球”,事件A2表示“第二回合该运动员赢球”,事件B表示“第二回合比赛有运动员得分”, 由已知得P(A1)=,P(A2)=,P()=,P()=,P(B|A1)=P(A2),P(B|)=P(),则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P()P(B|)=P(A1)P(A2)+P()P()=×+×=,即第二回合比赛有运动员得分的概率为. (2)设运动员甲先发球,记事件Mi表示第i回合运动员甲赢球,记事件M表示运动员甲先得第一分,则M=M1∪(M2M3)∪(M2M4M5)∪…, 则P(M)=+++…, 所以P(M)>,即第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于, 则比赛双方运动员实力相当的情况下,先发球者更大概率占据心理上的优势,所以旧制不合理. 01 学科网（北京）股份有限公司 $