第三单元 倍数与因数（14种类型70道）期末专项训练-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

第三单元 倍数与因数 （14种类型70道） 目录 题型一：因数和倍数的认识 1 题型二：找一个数的倍数及倍数的特征 2 题型三：根据倍的特征解决问题 5 题型四：2、3、5倍数的特征 7 题型五：奇数和偶数的认识 9 题型六：运算性质（奇数和偶数） 10 题型七：9的倍数的特征 12 题型八：找一个数的因数及因数的特征 14 题型九：根据因数的特征解决问题 17 题型十：因数和倍数的综合应用 19 题型十一：质数和合数的认识 21 题型十二：质数和合数的综合运用 24 题型十三：质因数的含义 26 题型十四：分解质因数 27 题型一：因数和倍数的认识 1．因为5×6＝30，所以6和5是30的( )，30是6和5的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数；如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；据此解答。 【详解】根据分析可知：因为5×6＝30，所以6和5是30的因数，30是6和5的倍数。 2．因为3÷0.5＝6，所以3是0.5的倍数，0.5是3的因数。( ) 【答案】× 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非零自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数；据此解答即可。 【详解】因数和倍数是指非零自然数范围，0.5是小数，所以不在此研究范围之内，原题说法错误。 故答案为：× 3．一个数最大的因数是27，这个数是( )；一个数最小的倍数是24，这个数是( )。 【答案】 27 24 【分析】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数最大的因数是27，这个数是27；一个数最小的倍数是24，这个数是24。 4．下面各数中，不是32的因数的数是（    ）。 A．12 B．8 C．16 【答案】A 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【详解】A．12不是32的因数； B．8×4＝32，8是32的因数； C．16×2＝32，16是32的因数。 不是32的因数的数是12。 故答案为：A 5．根据算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。          【答案】见详解 【分析】根据因数倍数概念：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】14和6是84的因数，84是14和6的倍数。 20和7是140的因数，140是20和7的倍数。 9和5是45的因数，45是9和5的倍数。 题型二：找一个数的倍数及倍数的特征 6．40以内9的倍数有( )个。 【答案】4 【分析】求9的倍数，就是用9依次乘1，2，3，4…并判断结果是否在40以内，从而确定40以内9的倍数个数。 【详解】9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 当9×5＝45时，45已经超过40了。 所以40以内9的倍数有9，18，27，36，共4个。 40以内9的倍数有4个。 7．27以内4的倍数有( )。 【答案】 4、8、12、16、20、24 【分析】根据倍数的定义，一个整数能被4整除就是4的倍数，用4依次乘1、2、3……，并判断结果是否小于27来确定。 【详解】4的倍数有： 4×1＝4 4×2＝8 4×3＝12 4×4＝16 4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28（超过27，舍去） 所以27以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24。 8．按要求填一填，画一画。 （1）25以内的4的倍数               25以内的6的倍数 （2）25以内，（    ）既是4的倍数，又是6的倍数。 【答案】（1）见详解； （2）12、24 【分析】求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，分别求出符合条件的4的倍数和6的倍数，最后找出25以内它们公有的倍数，据此解答。 【详解】（1）4×1＝4 4×2＝8 4×3＝12 4×4＝16 4×5＝20 4×6＝24 25以内的4的倍数：4，8，12，16，20，24。 6×1＝6 6×2＝12 6×3＝18 6×4＝24 25以内的6的倍数：6，12，18，24。 （2）由上可知，25以内，12、24既是4的倍数，又是6的倍数。 9．如果一个数的因数中有6，那么这个数一定是6的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】如果整数a除以整数b（b≠0）的商是整数且没有余数，就说a是b的倍数，b是a的因数。若一个数的因数中有6，则这个数能被6整除，因此，该数一定是6的倍数。 【详解】一个数的因数中有6，这个数能被6整除，该数一定是6的倍数。原说法正确。 故答案为：√ 10．十一假期，淘气和爸爸妈妈去青岛旅游，拍了一些照片，数量比40张多，比50张少。放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。他们拍了多少张照片？ 【答案】49张 【分析】由题可知，如果每4张分为一组，那么还多1张，即把照片总数去掉1张后照片总数就是4的倍数，因为原照片总数比40张多，比50张少，所以，照片的总数可能是4×11＋1或4×12＋1，再根据每5张分为一组，那么还少1张确定张数即可。 【详解】4×11＋1 ＝44＋1 ＝45（张） 4×12＋1 ＝48＋1 ＝49（张） 45÷5＝9（组） 49÷5＝9（组）……4（张） 所以，这些照片是49张。 答：这些照片是49张。 题型三：根据倍的特征解决问题 11．一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【答案】28米；理由见详解 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 【点睛】找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 12．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【详解】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 【点睛】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 13．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 【答案】5千克装或3千克装；9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；如果刚好把菜籽油装完，那么菜籽油的总质量是油桶可以装菜籽油质量的倍数，需要油桶的数量＝菜籽油的总质量÷每个油桶可以装菜籽油的质量，据此解答。 【详解】45÷5＝9（个） 45÷3＝15（个） 由上可知，45是5和3的倍数，则用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要5千克装的油桶9个或3千克装的油桶15个。 答：用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶。 【点睛】本题主要考查因数、倍数的应用，掌握因数、倍数的意义是解答题目的关键。 14．小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 【答案】能正好装完；还可以10千克一包，装9包 【分析】如果90能被15整除，则能正好装完，只要每包的千克数是90合适的因数即可正好分装完，据此解答。 【详解】90÷15＝6（包） 90的因数有1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。 每包选择合适的千克数即可，可以10千克一包。 90÷10＝9（包） 答：如果每15千克装一包，能正好装完；还可以10千克一包，装9包。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 15．欣欣到文具店买钢笔，钢笔上的标价为整数但模糊不清，她买了3支相同的钢笔，售货员说应付22元，欣欣认为不对，请你说明欣欣是如何作出判断的。 【答案】售货员的说法错误；判断方法见详解 【分析】根据单价×数量＝总价，所以总价应该是数量的倍数，22不是3的倍数，据此解答。 【详解】22÷3＝7（元）……1（元） 答：钢笔上的标价为整数，买了3支相同的钢笔，付的钱应该是3的倍数，但22不是3的倍数。所以售货员的说法错误。 题型四：2、3、5倍数的特征 16．在7、2、0、5中选三个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 750 270 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数，由此即可填空。 【详解】组成的数同时被2、3、5整除的三位数，则个位一定为0，为了使得这个数能被3整除，2＋7＝9，7＋5＝12，9和12均为3的倍数，则剩下的两位是2和7或5和7，即这个三位数最大是750，最小是270。 17．134减去一个数后，得到的结果既是3的倍数，又是5的倍数，还是一个偶数，得到的结果最大是( )，减去的这个数最小是( )。 【答案】 120 14 【分析】同时是3和5倍数的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，因为得到的结果还是一个偶数，所以个位数字只能是0，则减去的这个数可以是4、14、24、34…最后根据3的倍数特征判断减去的这个数最小是几，当减去的数最小时，得到的结果最大，据此解答。 【详解】当减去的这个数是4时，134－4＝130，1＋3＋0＝4，4不是3的倍数，则130不是3的倍数； 当减去的这个数是14时，134－14＝120，1＋2＋0＝3，3是3的倍数，则120既是3的倍数，又是5的倍数，还是一个偶数，所以减去的这个数最小是14，得到的结果最大是120。 18．一个四位数，同时是2、3、5的倍数，这个数的千位上是1，十位上是6，这个四位数最小是( )。 【答案】1260 【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；2、5的倍数特征：个位上是0的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除；所以这个四位数的千位上是1，十位上是6，个位是0，而百位上可能是2，5，8，题中取最小值，则百位应为2，据此解答。 【详解】由分析可得，一个四位数，同时是2、3、5的倍数，这个数的千位上是1，十位上是6，这个四位数最小是1260。 19．在12，20，16，39，35，60中，2的倍数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2，3，5的倍数的有( )。 【答案】 12、20、16、60 20、35、60 12、39、60 60 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数； 3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 5的倍数的特征：个位上的数字是0或5的数； 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此填空即可。 【详解】1＋2＝3，3是3的倍数；2＋0＝2，2不是3的倍数；1＋6＝7，7不是3的倍数；3＋9＝12，12是3的倍数；3＋5＝8，8不是3的倍数；6＋0＝6，6是3的倍数。 所以在12，20，16，39，35，60中，2的倍数有12、20、16、60，5的倍数有20、35、60，3的倍数有12、39、60，同时是2，3，5的倍数的有60。 20．在□内填入合适的数。（写出1个合适的数） (1)24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 (2)5□0，□内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 (3)27□，□内填( )同时是2、3、5的倍数。 【答案】(1)0 (2)1 (3)0 【分析】（1）同时是3和5倍数的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数； （2）同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数； （3）同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【详解】（1）□内填5时，2＋4＋5＝11，11不是3的倍数，不符合条件； □内填0时，2＋4＋0＝6，6是3的倍数，240也是5的倍数，所以□内填0既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0一定是2的倍数。 □内填0时，5＋0＋0＝5，5不是3的倍数，不符合条件； □内填1时，5＋1＋0＝6，6是3的倍数，符合条件； □内填2时，5＋2＋0＝7，7不是3的倍数，不符合条件； □内填3时，5＋3＋0＝8，8不是3的倍数，不符合条件； □内填4时，5＋4＋0＝9，9是3的倍数，符合条件； □内填5时，5＋5＋0＝10，10不是3的倍数，不符合条件； □内填6时，5＋6＋0＝11，11不是3的倍数，不符合条件； □内填7时，5＋7＋0＝12，12是3的倍数，符合条件； □内填8时，5＋8＋0＝13，13不是3的倍数，不符合条件； □内填9时，5＋9＋0＝14，14不是3的倍数，不符合条件。 综上所述，5□0，□内填1、4、7既是2的倍数又是3的倍数。（任选其一） （3）分析可知，27□同时是2、3、5的倍数，□内只能填0。 题型五：奇数和偶数的认识 21．有三个连续偶数，中间的一个数是m，那么最小的偶数是（    ）。 A．m＋2 B．m－2 C．m－4 【答案】B 【分析】根据像0，2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。“相邻的两个偶数相差2”可知：中间的一个偶数是m，则它前面的偶数是m－2，它后面的一个偶数是m＋2；进而得出结论。 【详解】据分析可知，有三个连续偶数，中间的一个数是m，那么最小的偶数是m－2。 故答案为：B 22．有三个连续奇数，若中间的奇数是m，则另外两个奇数是( )和( )。 【答案】 m－2 m＋2/2＋m 【分析】奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。自然数中，相邻两个奇数之间相差2，据此解答。 【详解】三个连续奇数，若中间的奇数是m，则另外两个奇数是m－2和m＋2。 23．一张纸牌正面朝上，翻动一次反面朝上，像这样翻动10次，( )面朝上；翻动219次，( )面朝上。 【答案】 正 反 【分析】根据题意可知，翻动一次，反面朝上，两次，正面朝上，由此可知，翻动次数为奇数时反面朝上，翻动次数为偶数时正面朝上，据此解答。 【详解】10是偶数，所以翻动10次，正面朝上；219是奇数，所以翻动219次，反面朝上。 24．学校舞蹈、车模、书法这三个社团的人数正好是三个连续的奇数，已知三个社团共有87人，这三个社团中最少的是( )人，最多的是( )人。 【答案】 27 31 【分析】相邻的奇数之间相差2，总人数÷3＝中间奇数，中间奇数－2＝较小奇数，中间奇数＋2＝较大奇数，据此分析。 【详解】87÷3＝29（人） 29－2＝27（人） 29＋2＝31（人） 这三个社团中最少的是27人，最多的是31人。 25．在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字。在这串数中，是否会出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134… 【答案】不会 【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。按照“从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字”，第五个数是6（偶数），第六个数是1（奇数），第七个数是9（奇数）……， 继续往下，发现总结规律，用规律判断即可。 【详解】仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数从第五个数依次写出来，得到：偶数、奇数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数……可以看出，这串数是按照一个偶数、四个奇数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。 答：不会出现相邻的四个数是“2000”。 【点睛】发现数的奇偶排列规律是按照一个偶数、四个奇数循环出现的，是解答此题的关键。 题型六：运算性质（奇数和偶数） 26．2142＋偶数的和是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．无法判断 【答案】A 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。偶数＋偶数＝偶数，据此选择。 【详解】2142是偶数，因为偶数＋偶数＝偶数，所以2142＋偶数的和是偶数。 故答案为：A 27．在括号里填上“奇”或“偶”。 奇数－奇数＝( )数    奇数＋偶数＝( )数 奇数×奇数＝( )数    奇数×偶数＝( )数 【答案】 偶 奇 奇 偶 【分析】奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数（大数减小数），奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，根据奇数、偶数的运算性质解答即可。 【详解】奇数－奇数＝偶数，比如：5－3＝2； 奇数＋偶数＝奇数，比如：1＋2＝3； 奇数×奇数＝奇数，比如：3×5＝15； 奇数×偶数＝偶数，比如：3×4＝12。 28．美术社团一共有25名同学，老师要把他们分成两个大组，如果第一个大组的人数是奇数，那么第二个大组的人数一定是（    ）。 A．质数 B．奇数 C．偶数 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质： 偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数； 偶数－偶数＝偶数，奇数－奇数＝偶数，奇数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数。 【详解】美术社团总人数25是奇数，第一个大组的人数是奇数，根据“奇数－奇数＝偶数”可知，第二个大组的人数一定是偶数。 故答案为：C 29．新星小学五（2）班有学生30名，现在派他们到两个社区参加劳动，第一个社区只能派奇数名同学，第二个社区派的人数为奇数还是偶数？为什么？ 【答案】奇数，因为奇数＋奇数＝偶数。 【分析】根据题意，总人数30是偶数，根据奇数和偶数的性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，第一个社区只能派奇数名同学，那么第二个社区必须是奇数，因为奇数加奇数才是偶数，据此解答。 【详解】新星小学五（2）班有学生30名，总人数是偶数。若第一个社区只能派奇数名同学，第二个社区派的人数为奇数，因为奇数＋奇数＝偶数。 答：第二个社区派的人数是奇数，因为奇数＋奇数＝偶数。 【点睛】本题考查了奇数和偶数的运算性质，本题关键是根据奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数来判断。 30．奇数与偶数的积是奇数还是偶数？请选用自己喜欢的方法进行探索，并写出探索的过程和结论。（举例说明时，一般要举出3个以上不同的例子） 【答案】一个奇数与一个偶数相乘： 3×4＝12，12是偶数； 6×7＝42，42是偶数； 8×9＝72，72是偶数； 4×7＝28，28是偶数。 奇数与偶数的积是偶数。 【分析】根据偶数与奇数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；可以通过举例证明。 【详解】一个奇数与一个偶数相乘： 3×4＝12，12是偶数； 6×7＝42，42是偶数； 8×9＝72，72是偶数； 4×7＝28，28是偶数。 奇数与偶数的积是偶数。（举例不唯一） 【点睛】此题考查的目的是理解偶数与奇数的意义。 题型七：9的倍数的特征 31．一个自然数各位上的数的和能被9整除，这个数是9的倍数。　 　。 【答案】√ 【分析】解这题可先求出9的倍数，（按求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1，2，3，4，5，6…，），然后观察这些数的特征是不是各位上的数的和能被9整除，即可解出。 【详解】9的倍数有9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117…； 各位上的和分别是：9，1＋8＝9，2＋7＝9，3＋6＝9，4＋5＝9，5＋4＝9，6＋3＝9，7＋2＝9，8＋1＝9，9＋0＝9，9＋9＝18，1＋0＋8＝9，1＋1＋7＝9……； 经观察9的倍数各位上的数的和能被9整除，所以一个自然数各位上的数的和能被9整除，这个数是9的倍数，原说法正确。 故答案为：√ 32．用三张数字卡片摆三位数，摆出的数（    ）。 A．可能是2的倍数 B．一定是3的倍数 C．可能是5的倍数 D．一定是9的倍数 【答案】B 【分析】用三张数字卡片摆成的三位数有：246、264、426、462、642、624，再结合2、3、5、9的倍数特征选择即可。 【详解】用着三张卡片摆出的三位数有：246、264、426、462、642、624共6个数； A．根据2的倍数特征可知：246、264、426、462、642、624均为2的倍数，原说法不正确； B．根据3的倍数特征可知：246、264、426、462、642、624均为3的倍数，原说法正确； C．根据5的倍数特征可知：246、264、426、462、642、624均不是5的倍数，原说法不正确； D．根据9的倍数特征可知：246、264、426、462、642、624均不是9的倍数，原说法不正确； 故答案为：B 【点睛】解题时要明确9的倍数的特征是：整数各数位数字和是9的倍数。 33．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。 【答案】49320 【分析】一个数是9的倍数，那么它各个数位上的数字之和就应该是9的倍数，4＋3＋2＝9本身就是9的倍数，所以方框中的两个数之和也是9的倍数，和可以是9，也可以是18。 【详解】当方框里的两个数的和是9时，方法比较多，比如49320； 49320÷9＝5480，确实可以整除。 【点睛】本题考查的是9的整除特征，3和9的整除特征都是通过各位数字之和来判断的。 34．四个连续自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个连续自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是( )、( )、( )、( )。 【答案】 159 160 161 162 【分析】因为无论5的倍数是多少，它的个位数就0或者5两个数字。因为是自然数，所以前面一个数个位是9或者4，后面一个数个位是1或者6，最后一个数个位是2或者7，据此分类讨论。 【详解】四个连续自然数个位为： （1）9，0，1，2，而个位数为2的9的最小倍数只能是8×9＝72，或者18×9＝162或者28×9……，再比较前面的条件能3，5，7倍数，明显69，70，71，72不行，个位为9，0，1，2的四个连续自然数中最小的是159，160，161，162； （2）4、5、6、7，而个位数为7的9的最小倍数只能是3×9＝27，或者13×9＝117或者23×9＝207……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显24、25、26、27； 114、115、116、117和204、205、206、 207；都不成立。 由以上可得这四个连续的自然数最小是159，160，161，162； 【点睛】解答此题的突破点在5的倍数上，找出了突破口再结合题意，分别求出各数，进而得出结论。 35．在□内填入合适的数． （1）24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，□内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填( )既是3的倍数又是9的倍数。 【答案】 0 1、4、7 3 【分析】（1）要使24□是5的倍数，则□是0或5，由于24□又是3的倍数，则2＋4＋□的和是3的倍数，所以□只能填0。 （2）5□0的个位上是偶数，所以5□0是2的倍数，要使5□0是3的倍数，则5＋□＋0的和是3的倍数，所以□里可以填1、4、7。 （3）要□69是9的倍数，则□＋6＋9的和是9的倍数，所以□里只能填3，9是3的倍数，所以369是9的倍数就一定是3的倍数。 【详解】（1）根据分析可知，24□，□内填0既是3的倍数又是5的倍数。 （2）根据分析可知，5□0，□内填1、4、7既是2的倍数又是3的倍数。 （3）根据分析可知，□69，□内填3既是3的倍数又是9的倍数。 题型八：找一个数的因数及因数的特征 36．下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．17 B．63 C．81 D．97 【答案】B 【分析】如果自然数a和自然数b的乘积是c，即a×b＝c，那么a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。 先分别找出每个选项中数的所有因数，数出因数的个数，再比较哪个数的因数个数最多。据此解答。 【详解】A．17＝1×17，所以17的因数有：1，17；共2个； B．63＝1×63＝3×21＝7×9，所以63的因数有：1，3，7，9，21，63；共6个； C．81＝1×81＝3×27＝9×9，所以81的因数有：1，3，9，27，81；共5个； D．97＝1×97，所以97的因数有：1，97；共2个； 6＞5＞2，所以因数个数最多的是63。 故答案为：B 37．一个数既是6的倍数，又是24的因数，符合条件的数有：( )。 【答案】6，12，24 【分析】一个数的因数个数是有限的，先找出24的所有因数，再从中找出6的倍数即可。 【详解】24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，其中6的倍数有6、12、24。 所以符合条件的数有：6，12，24。 38．小东爸爸的年龄是介于30与50之间的一个偶数，且十位数字与个位数字的乘积是12，小东爸爸今年( )岁。 【答案】34 【分析】这道题要确定小东爸爸的年龄，需要结合年龄的范围、偶数的特征以及十位与个位数字的乘积这些条件来分析。首先明确年龄在30到50之间，所以十位数字只能是3或4；然后根据十位数字与个位数字的乘积是12，找出可能的数字组合；最后依据偶数的特征（个位是0、2、4、6、8），筛选出符合条件的年龄。 【详解】根据分析： （1）确定十位数字的可能值：因为小东爸爸的年龄介于30与50之间，所以这个数的十位数字只能是3或者4。 （2）找出十位与个位数字乘积为12的组合：当十位数字是3时，个位数字为，此时这个数是34。当十位数字是4时，个位数字为，此时这个数是43。 （3）根据偶数特征筛选：偶数是能被2整除的数，其个位数字为0、2、4、6、8。34的个位是4，是偶数，符合要求；43的个位是3，不是偶数，不符合要求。 所以，小东爸爸今年34岁。 39．圈一圈。 （1）圈出6的倍数：20  12  48  16  25  36 （2）圈出48的因数：8  12  14  18  26  16 【答案】（1）圈出：12；48；36 （2）圈出：8；12；16 【分析】（1）根据求一个数的倍数的方法，用6分别乘1，2，3，4，5，…求出6的倍数，能在题中圈出的有12，48和36，据此解答； （2）根据求一个数因数的方法，能整除48的数，就是48的因数，据此解答。 【详解】（1）6×2＝12，6×6＝36，6×8＝48 所以这些数中6的倍数有12，36和48 （2）48÷8＝6，48÷12＝4，48÷14＝3……6，48÷18＝2……12，48÷26＝1……22，48÷16＝3 所以这些数中48的因数有8，12和16 40．校园秋季运动会即将召开，五（3）班要为参赛同学编制号码。乐乐选的号码满足三个条件：（1）编号是小于50的整数；（2）编号是6的倍数；（3）编号的因数个数大于5个。符合条件的号码有哪些？请写出来。 【答案】12、18、24、30、36、42、48 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此先找出50以内6的倍数，再找出因数个数大于5个的即可。 【详解】6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 50以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 6＝1×6＝2×3 6的因数有1、2、3、6，共4个。 12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个。 18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个。 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，共8个。 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个。 42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，共8个。 48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个。 答：符合条件的号码有12、18、24、30、36、42、48。 题型九：根据因数的特征解决问题 41．周末超市开展“酸奶促销”活动，张阿姨要包装24盒酸奶，有多种包装规格，要求每箱装的盒数相同且不能单独一盒装一箱或所有的装一箱。请问：张阿姨有多少种不同的包装选择？每种包装每箱装几盒？ 【答案】6种；2、3、4、6、8或12盒 【分析】每箱盒数相同，即每箱盒数是24的因数，且不能一盒装一箱、不能24盒装一箱。因数是指能整除24且无余数的整数，按“成对找因数”的方法，找出24的所有因数，再确定符合条件的因数即可。 【详解】1×24＝24 2×12＝24 3×8＝24 4×6＝24 排除“1”和“24”，剩余2、3、4、6、8、12，共6个。 答：张阿姨有6种不同的包装选择；每种包装每箱可以装2、3、4、6、8或12盒。 42．为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 【答案】6种 【分析】每行的人数是36的因数，且这些因数最小是2，最大不超过15。 【详解】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 每行人数 2 3 4 6 9 12 行数 18 12 9 6 4 3 答：有6种排队方法。 【点睛】本题考查了找一个数的因数。 43．刘老师带领五年级一班的同学去植树，一共植树148棵，已知刘老师和每个同学植的树都一样多，五年级一班的同学正好能站成三路纵队。你知道每人植了几棵树吗？五年级一班有多少个同学？ 【答案】4棵树；36个同学 【分析】刘老师和每个同学植的树都一样多，总植树148棵，是“总人数×每人植树棵数”的结果，先找148的因数：1、2、4、37、74、148。总人数是老师1人＋同学人数，同学能站三路纵队，即同学人数是3的倍数，所以总人数是3的倍数＋1。 如果总人数148：同学有148－1＝147人（不是3的倍数）；总人数74：同学有74－1＝73人（不是3的倍数）；总人数37：同学是37－1＝36人（36是3的倍数，符合班级人数）；总人数4：同学4－3＝3人（太少，不合理）。所以总人数应是37人，每人植树148÷37＝4棵。 【详解】148的因数：1、2、4、37、74、148。 同学人数是3的倍数，所以总人数是3的倍数＋1。 总人数37：同学是37－1＝36（人）（36是3的倍数） 148÷37＝4（棵） 答：每人植了4棵树，五年级一班有36个同学。 44．食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装9个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？请用因数倍数的知识说明。 【答案】A包装盒 【分析】如果一个数能整除56，那么这个数就是56的因数，对应的包装盒就能正好装完。据此解答即可。 【详解】A包装盒每盒装4个，56÷4＝14，没有余数，说明56能被4整除，所以4是56的因数，即56是4的倍数，所以用A包装盒包装，装14盒，能正好把56个月饼装完； B包装盒每盒装6个，56÷6＝9……2，有余数2，说明56不能被6整除，所以6不是56的因数，即56不是6的倍数，所以用B包装盒包装，装9盒，剩下2个，不能正好把56个月饼装完； C包装盒每盒装9个，56÷9＝6……2，有余数2，说明56不能被9整除，所以9不是56的因数，即56不是9的倍数，所以用C包装盒包装，装6盒，剩下2个，不能正好把56个月饼装完。 答：选用A包装盒正好能把56个月饼装完。 45．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等，每行人数不少于4人，不多于10人。五（1）班有48名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？ 【答案】可以排12行、8行、6行，共有3种站队方法。 【分析】本题考查因数的认识与应用。48名同学可以排几行，也就是求48的因数，再根据题目信息筛选出符合的因数，然后用总人数符合条件的每行的人数算出行数。 【详解】因为48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。又因为每行人数不少于4人，不多于10人，只有4、6、8符合。 （行） （行） （行） 答：可以排成12行、8行或6行，共有3种站队的方法。 题型十：因数和倍数的综合应用 46．五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 【答案】6种 【分析】找到所有54的因数，即可求出要求每行种树的棵数相等，有几种不同的种法。 【详解】54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54，因为每行多于1棵少于54棵，所以排除1和54； 54＝2×27，可种2行，每行27棵；可种27行，每行2棵； 54＝3×18，可种3行，每行18棵；可种18行，每行3棵； 54＝6×9，可种6行，每行9棵；可种9行，每行6棵； 答：有6种不同的种法。 47．一个数既是12的倍数，又是72的因数，这个数可能是多少？ 【答案】12、24、36、72 【分析】根据找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此求出72的因数，再在其中找出12的倍数即可。 【详解】72÷1＝72 72÷2＝36 72÷3＝24 72÷4＝18 72÷6＝12 72÷8＝9 则72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72，其中是12的倍数的有：12、24、36、72。 答：这个数可能是：12、24、36、72。 48．阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【答案】24元 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 【详解】48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 【点睛】关键是理解因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的求法。 49．猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】0592－5056831 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 【详解】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 【点睛】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 50．请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 【答案】2136 【分析】整数a除以整数b（b不为0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a，a称为b的倍数，b称为a的因数。 【详解】6的因数有1、2、3、6，所以a、b、c、d代表1、2、3、6中的数字； a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数，那么组成的数是21，说明a是2，b是1； 4和9都是c，d组成的数cd的因数，说明c是3，d是6。 所以门牌号是2136。 【点睛】本题考查因数与倍数，解答本题的关键是掌握因数与倍数的概念。 题型十一：质数和合数的认识 51．20以内的自然数中，既是质数又是偶数的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】先找出20以内的偶数，根据质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数的数叫做质数。再从这些偶数中筛选出质数，即可得到既是质数又是偶数的数，再数出一共有几个即可，据此解答。 【详解】20以内的偶数有：0、2、4、6、8、10、12、14、16、18； 0不是质数（质数是大于1的自然数）； 2的因数只有1和2，所以2是质数； 4的因数有1、2、4，所以4不是质数； 6的因数有1、2、3、6，所以6不是质数； 8的因数有1、2、4、8，所以8不是质数； 10的因数有1、2、5、10，所以10不是质数； 12的因数有1、2、3、4、6、12，所以12不是质数； 14的因数有1、2、7、14，所以14不是质数； 16的因数有1、2、4、8、16，所以16不是质数； 18的因数有1、2、3、6、9、18，所以18不是质数； 综上，20以内的自然数中，既是质数又是偶数的数是2； 20以内的自然数中，既是质数又是偶数的有1个。 故答案为：B 52．一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定不是（    ）。 A．质数 B．合数 C．偶数 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，正方形的周长＝边长×4，已知边长是质数，因此周长可以表示为“质数×4”。由于4是合数，质数只有1和它本身两个因数，合数至少有3个因数，两者相乘的结果，因数会包含质数的因数、合数的因数，因此“质数×合数”的结果一定是合数。同时，4是偶数，“质数×偶数”的结果一定是偶数。所以正方形的周长一定是合数、偶数，一定不是质数，据此解答。 【详解】根据分析可知，周长＝质数×4（4是合数，也是偶数），所以“质数×4”的结果既是合数，也是偶数，因此周长一定不是质数。 故答案为：A 53．20的因数有： ；其中是质数的有： ；是合数的有： ；是偶数的有： ；是奇数的有： 。 【答案】 1，2，4，5，10，20 2，5 5 2，4，10，20 1，5 【分析】根据因数的定义，通过配对法1×20＝20，2×10＝20，4×5＝20，得出20的因数有1、2、4、5、10、20；再依据质数（除1和自身无其他因数）、合数（除1和自身有其他因数）的定义，从这些因数里找出质数是2、5，合数是4、10、20；最后按偶数（能被2整除）、奇数（不能被2整除）的定义，确定偶数是2、4、10、20，奇数是1、5。 【详解】1×20＝20，2×10＝20，4×5＝20，20的因数有1，2，4，5，10，20；质数是2，5；合数是4，10，20；偶数是2，4，10，20；奇数是1，5。 54．27的所有因数有( )，这些因数中质数是( )，最小的合数是( )，既是合数又是奇数的数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 【答案】 1、3、9、27 3 9 9、27 1 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【详解】27＝1×27＝3×9 27的所有因数有1、3、9、27，这些因数中质数是3，最小的合数是9，既是合数又是奇数的数是9、27，既不是质数也不是合数的数是1。 55．将 4，1，5，11，12，25，37，54，102，2025按要求填入下面的圈内。 【答案】见详解 【分析】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数； 自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数。据此逐一分析。 【详解】4÷2＝2，4是偶数；4＝2×2，4是合数。 1不是2的倍数，是奇数；1只有它本身1个因数，既不是质数也不是合数。 5÷2＝2……1，5是奇数；5＝1×5，只有1和它本身两个因数，是质数。 11÷2＝5……1，11是奇数；11＝1×11，只有1和它本身两个因数，是质数。 12÷2＝6，12是偶数；12＝2×6＝3×4，12是合数。 25÷2＝12……1，25是奇数；25＝5×5，25是合数。 37÷2＝18……1，37是奇数；37＝1×37，只有1和它本身两个因数，是质数。 54÷2＝27，54是偶数；54＝2×27＝3×18＝6×9，54是合数。 102÷2＝51，102是偶数；102＝2×51＝3×34＝6×17，102是合数。 2025÷2＝1012……1，2025是奇数；2025＝3×675＝5×405，2025是合数。 如下： 题型十二：质数和合数的综合运用 56．如果m是奇数（1除外），n是偶数（0除外），下列算式中，结果一定是合数的是（    ）。 A．m＋n B．mn C．2m－n 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．设m＝3，n＝2，m＋n＝3＋2＝5，5是质数，不是合数，不符合题意； B．mn的因数除了1和mn以外，至少还有m、n，所以mn的积一定是合数，符合题意； C．设m＝3，n＝4，2m－n＝2×3－4＝2，2是质数，不是合数，不符合题意。 故答案为：B 57．a×b＝c（a、b为不同的非零自然数），下列说法正确的是（    ）。 A．c一定是合数 B．a和b是c的因数 C．a、b的最小公倍数是c D．a是b与c的最大公因数 【答案】B 【分析】A．一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 B．在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 C．几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是它们的最大公因数；几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数； D．成倍数关系的两个数，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】A．如：1×2＝2，2是质数；所以c不一定是合数，原题说法错误； B．根据因数和倍数的概念，可知a和b是c的因数，原题说法正确； C．如：2×4＝8，2和4的最小公倍数是4，所以a、b的最小公倍数不一定是c，原题说法错误； D．如：3×4＝12，12和4的最大公因数是4，所以a不一定是b与c的最大公因数，原题说法错误。 故答案为：B 58．如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 【答案】A 【分析】质数是指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数本身外，再没有其他的因数；合数是指一个数除了1和它本身以外还有别的因数的数；而自然数1，只有一个因数1，所以1既不是质数也不是合数。根据由此判断即可。 【详解】A．质数乘合数等于合数； B．质数减合数可能是质数，也可能是1，结果不是合数； C．根据质数加合数可能是质数，也可能是合数，即结果不一定是合数； D．质数÷合数不是整数，不可能是合数。 故答案为：A 59．一个三位数，百位上的数是最大的一位数，个位上的数是最小的质数，要使这个数是3的倍数，这个数最小是（    ）。 A．902 B．912 C．972 【答案】B 【分析】根据题意，最大的一位数是9，即百位上的数是9，最小的质数是2，即个位上的数是2，根据3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此判断十位上的数，从而得解。 【详解】根据分析得，这个三位数百位上是9，个位上是2； A．9＋0＋2＝11，11不是3的倍数，不满足题意； B．9＋1＋2＝12，12是3的倍数，满足题意； C．9＋7＋2＝18，18是3的倍数，满足题意； 912＜972 所以这个三位数最小是912。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查质数的定义以及3的倍数的特征。 60．猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 【答案】2304809或2314809 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；0和1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【详解】最小的质数的质数是2，因数只有1和3的数是3，既不是合数也不是质数是0或1，最小的合数是4，最大的因数是8的数是8，最小的自然数0，既是奇数又是合数的数是9。 所以小红家的电话号码是2304809或2314809。 【点睛】本题考查了质数、合数、因数、奇数的认识。 题型十三：质因数的含义 61．因为156＝52×3，所以52和3都是156的质因数。( ) 【答案】× 【分析】质因数需满足两个条件：是原数的因数且本身是质数。3是质数且是156的因数，但52是合数，不符合质因数的定义。 【详解】根据质因数的定义，质因数必须是质数且是原数的因数。156＝52×3中，3是质数且能整除156，因此3是156的质因数；但52＝2×2×13，是合数，不符合质数的条件，因此52不是156的质因数。故原题说法错误。 故答案为：× 62．在42＝6×7中， 和 都是 的因数， 是 的质因数。 【答案】 6 7 42 7 42 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的；以及质因数的意义：如果一个整数的因数是质数，为质数的因数叫做质因数；据此解答。 【详解】在42＝6×7中，6和7都是42的因数，7是42的质因数。 【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 63．在27＝3×9中，( )和( )都是( )的因数，( )是( )的质因数。 【答案】 3 9 27 3 27 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【详解】因为27＝3×9，所以3和9都是27的因数，3是27的质因数。 【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 64．34＝2×17，2和17都是34的( )数，也都是34的( )数。 【答案】 因 质因 【分析】整数a乘整数b得到整数c，整数a和整数b都称作整数c的因数，反之，整数c是整数a和整数b的倍数，如果一个数的因数是质数，那么它就是这个数的质因数，据此填空。 【详解】34＝2×17，2和17都是34的因数，也都是34的质因数。 【点睛】此题考查了因数与质因数的认识，掌握概念认真解答即可。 65．18＝2×9，2和9都是18的因数吗？都是18的质因数吗？为什么？ 【答案】是；不是，因为2是18的因数，同时2也是质数，根据定义所以说2是18的质因数；9是18的因数，但9不是质数，根据定义所以说9不是18的质因数。 【分析】因数是指整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数；如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数，据此解答。 【详解】因为18＝2×9，所以18÷2＝9，18÷9＝2，那么2和9就是18的因数；2和9不都是18的质因数，因为2是18的因数，同时2也是质数，根据定义所以说2是18的质因数；9是18的因数，但9不是质数，根据定义所以说9不是18的质因数。 【点睛】此题考查的是因数和质因数，解题时注意它们之间的区别。 题型十四：分解质因数 66．把下面各数分解质因数。 78    33    58    46 【答案】78＝2×3×13；33＝3×11；58＝2×29；46＝2×23 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 78＝2×3×13 33＝3×11 58＝2×29 46＝2×23 67．用短除法把下面各数分解质因数。 45                        51                        60 【答案】见详解 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到。如4＝2×2，15＝3×5。其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，这个求质因数的过程叫作分解质因数。据此解答。 【详解】45＝3×3×5         51＝3×17          60＝2×2×3×5                   68．将下列各数分解质因数。 56        105            84 【答案】56＝2×2×2×7；105＝5×3×7；84＝2×2×3×7 【分析】把一个合数用质数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。用“短除法”分解质因数方法：先用一个能整除这个合数的最小质数去除，如果所得的商是合数，继续用一个能整除这个商最小的质数去除，直到得出的商是质数，最后把各个除数与最后的商写成连成形式。 【详解】    56＝2×2×2×7      105＝5×3×7     84＝2×2×3×7 69．把下面各数分解质因数。 36         56         140         250 【答案】36＝2×2×3×3 56＝2×2×2×7 140＝2×2×5×7 250＝2×5×5×5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 36＝2×2×3×3 56＝2×2×2×7 140＝2×2×5×7 250＝2×5×5×5 70．用短除法把下面各数分解质因数。 48    63    57 【答案】见详解 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。用短除法分解质因数，把这个数写在短除号里面，除以它的质因数，一直除到所得的商是质数为止，把所有的除数和最后的商连乘起来即可。 【详解】48＝2×2×2×2×3     63＝3×3×7      57＝3×19                第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 倍数与因数 （14种类型70道） 目录 题型一：因数和倍数的认识 1 题型二：找一个数的倍数及倍数的特征 1 题型三：根据倍的特征解决问题 2 题型四：2、3、5倍数的特征 3 题型五：奇数和偶数的认识 3 题型六：运算性质（奇数和偶数） 4 题型七：9的倍数的特征 4 题型八：找一个数的因数及因数的特征 5 题型九：根据因数的特征解决问题 6 题型十：因数和倍数的综合应用 7 题型十一：质数和合数的认识 8 题型十二：质数和合数的综合运用 8 题型十三：质因数的含义 9 题型十四：分解质因数 9 题型一：因数和倍数的认识 1．因为5×6＝30，所以6和5是30的( )，30是6和5的( )。 2．因为3÷0.5＝6，所以3是0.5的倍数，0.5是3的因数。( ) 3．一个数最大的因数是27，这个数是( )；一个数最小的倍数是24，这个数是( )。 4．下面各数中，不是32的因数的数是（    ）。 A．12 B．8 C．16 5．根据算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。          题型二：找一个数的倍数及倍数的特征 6．40以内9的倍数有( )个。 7．27以内4的倍数有( )。 8．按要求填一填，画一画。 （1）25以内的4的倍数               25以内的6的倍数 （2）25以内，（    ）既是4的倍数，又是6的倍数。 9．如果一个数的因数中有6，那么这个数一定是6的倍数。( ) 10．十一假期，淘气和爸爸妈妈去青岛旅游，拍了一些照片，数量比40张多，比50张少。放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。他们拍了多少张照片？ 题型三：根据倍的特征解决问题 11．一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 12．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 13．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 14．小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 15．欣欣到文具店买钢笔，钢笔上的标价为整数但模糊不清，她买了3支相同的钢笔，售货员说应付22元，欣欣认为不对，请你说明欣欣是如何作出判断的。 题型四：2、3、5倍数的特征 16．在7、2、0、5中选三个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数最大是( )，最小是( )。 17．134减去一个数后，得到的结果既是3的倍数，又是5的倍数，还是一个偶数，得到的结果最大是( )，减去的这个数最小是( )。 18．一个四位数，同时是2、3、5的倍数，这个数的千位上是1，十位上是6，这个四位数最小是( )。 19．在12，20，16，39，35，60中，2的倍数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2，3，5的倍数的有( )。 20．在□内填入合适的数。（写出1个合适的数） (1)24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 (2)5□0，□内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 (3)27□，□内填( )同时是2、3、5的倍数。 题型五：奇数和偶数的认识 21．有三个连续偶数，中间的一个数是m，那么最小的偶数是（    ）。 A．m＋2 B．m－2 C．m－4 22．有三个连续奇数，若中间的奇数是m，则另外两个奇数是( )和( )。 23．一张纸牌正面朝上，翻动一次反面朝上，像这样翻动10次，( )面朝上；翻动219次，( )面朝上。 24．学校舞蹈、车模、书法这三个社团的人数正好是三个连续的奇数，已知三个社团共有87人，这三个社团中最少的是( )人，最多的是( )人。 25．在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字。在这串数中，是否会出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134… 题型六：运算性质（奇数和偶数） 26．2142＋偶数的和是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．无法判断 27．在括号里填上“奇”或“偶”。 奇数－奇数＝( )数    奇数＋偶数＝( )数 奇数×奇数＝( )数    奇数×偶数＝( )数 28．美术社团一共有25名同学，老师要把他们分成两个大组，如果第一个大组的人数是奇数，那么第二个大组的人数一定是（    ）。 A．质数 B．奇数 C．偶数 29．新星小学五（2）班有学生30名，现在派他们到两个社区参加劳动，第一个社区只能派奇数名同学，第二个社区派的人数为奇数还是偶数？为什么？ 30．奇数与偶数的积是奇数还是偶数？请选用自己喜欢的方法进行探索，并写出探索的过程和结论。（举例说明时，一般要举出3个以上不同的例子） 题型七：9的倍数的特征 31．一个自然数各位上的数的和能被9整除，这个数是9的倍数。　 　。 32．用三张数字卡片摆三位数，摆出的数（    ）。 A．可能是2的倍数 B．一定是3的倍数 C．可能是5的倍数 D．一定是9的倍数 33．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。 34．四个连续自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个连续自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是( )、( )、( )、( )。 35．在□内填入合适的数． （1）24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，□内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填( )既是3的倍数又是9的倍数。 题型八：找一个数的因数及因数的特征 36．下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．17 B．63 C．81 D．97 37．一个数既是6的倍数，又是24的因数，符合条件的数有：( )。 38．小东爸爸的年龄是介于30与50之间的一个偶数，且十位数字与个位数字的乘积是12，小东爸爸今年( )岁。 39．圈一圈。 （1）圈出6的倍数：20  12  48  16  25  36 （2）圈出48的因数：8  12  14  18  26  16 40．校园秋季运动会即将召开，五（3）班要为参赛同学编制号码。乐乐选的号码满足三个条件：（1）编号是小于50的整数；（2）编号是6的倍数；（3）编号的因数个数大于5个。符合条件的号码有哪些？请写出来。 题型九：根据因数的特征解决问题 41．周末超市开展“酸奶促销”活动，张阿姨要包装24盒酸奶，有多种包装规格，要求每箱装的盒数相同且不能单独一盒装一箱或所有的装一箱。请问：张阿姨有多少种不同的包装选择？每种包装每箱装几盒？ 42．为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 43．刘老师带领五年级一班的同学去植树，一共植树148棵，已知刘老师和每个同学植的树都一样多，五年级一班的同学正好能站成三路纵队。你知道每人植了几棵树吗？五年级一班有多少个同学？ 44．食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装9个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？请用因数倍数的知识说明。 45．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等，每行人数不少于4人，不多于10人。五（1）班有48名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？ 题型十：因数和倍数的综合应用 46．五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 47．一个数既是12的倍数，又是72的因数，这个数可能是多少？ 48．阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 49．猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 50．请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 题型十一：质数和合数的认识 51．20以内的自然数中，既是质数又是偶数的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．4 52．一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定不是（    ）。 A．质数 B．合数 C．偶数 D．无法确定 53．20的因数有： ；其中是质数的有： ；是合数的有： ；是偶数的有： ；是奇数的有： 。 54．27的所有因数有( )，这些因数中质数是( )，最小的合数是( )，既是合数又是奇数的数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 55．将 4，1，5，11，12，25，37，54，102，2025按要求填入下面的圈内。 题型十二：质数和合数的综合运用 56．如果m是奇数（1除外），n是偶数（0除外），下列算式中，结果一定是合数的是（    ）。 A．m＋n B．mn C．2m－n 57．a×b＝c（a、b为不同的非零自然数），下列说法正确的是（    ）。 A．c一定是合数 B．a和b是c的因数 C．a、b的最小公倍数是c D．a是b与c的最大公因数 58．如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 59．一个三位数，百位上的数是最大的一位数，个位上的数是最小的质数，要使这个数是3的倍数，这个数最小是（    ）。 A．902 B．912 C．972 60．猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 题型十三：质因数的含义 61．因为156＝52×3，所以52和3都是156的质因数。( ) 62．在42＝6×7中， 和 都是 的因数， 是 的质因数。 63．在27＝3×9中，( )和( )都是( )的因数，( )是( )的质因数。 64．34＝2×17，2和17都是34的( )数，也都是34的( )数。 65．18＝2×9，2和9都是18的因数吗？都是18的质因数吗？为什么？ 题型十四：分解质因数 66．把下面各数分解质因数。 78    33    58    46 67．用短除法把下面各数分解质因数。 45                        51                        60 68．将下列各数分解质因数。 56        105            84 69．把下面各数分解质因数。 36         56         140         250 70．用短除法把下面各数分解质因数。 48    63    57 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $