期末复习专题05：分数的意义（思维导图+考点清单+易错归纳+典例精析）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

该小学数学期末复习讲义以“分数的意义”为核心，通过思维导图系统梳理知识体系，考点清单涵盖分数意义、与除法关系、基本性质等五大模块，每个考点明确核心定义、关键要点及适用场景，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义特色在于易错归纳与分层典例设计，如“分率与具体数量辨析”“假分数与带分数互化”等题型，培养学生抽象能力与推理意识。基础题巩固概念，综合题提升应用，助力不同层次学生发展，同时为教师提供精准教学依据，支持学生自主复习与能力提升。

期末复习专题05：分数的意义 思维导图 考点清单 考点一、分数的意义 1.核心定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。单位“1”可以是一个物体、一个计量单位或多个物体组成的整体。 2.分数各部分名称：分数线（表示平均分）、分母（表示平均分的份数）、分子（表示取的份数）。如中，5是分母，3是分子。 3.关键要点： 强调“平均分”：只有平均分才能用分数表示，如“把3个苹果分成5份，每份是”说法错误（未体现平均分）。 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。如的分数单位是，它有3个这样的分数单位。 4.适用场景：表示部分与整体的关系（如全班人数的）、具体数量（如米）。 考点二、分数与除法的关系 1.核心定义：被除数÷除数=（除数≠0），用字母表示为（）。 2.关键要点： 区别与联系：分数是一个数，除法是一种运算；分数线相当于除号，分母相当于除数，分子相当于被除数。 商与分数的互化：如，。 3.适用场景：解决“一个数是另一个数的几分之几”（如男生人数是女生人数的）、“把一些物体平均分成若干份，求每份是多少”（如把5米长的绳子平均分成7段，每段长米）。 考点三、分数的基本性质 1.核心定义：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 2.字母表示：（）。 3.关键要点： “同时”“相同的数”“0除外”：三者缺一不可。如分子乘2，分母乘3，得到，分数大小改变，不符合基本性质。 与商不变性质的联系：分数的基本性质是商不变性质的另一种表现形式。 4.适用场景：约分、通分、分数大小比较。 考点四、真分数与假分数 1.真分数：分子比分母小的分数，真分数小于1，如、。 2.假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数，假分数大于或等于1，如、。 3.带分数：由整数和真分数组成的分数，是假分数的另一种形式，如。 4.关键要点：假分数与带分数的互化方法，如（），（）。 考点五、分数的大小比较 1.同分母分数：分子大的分数大，如。 2.同分子分数：分母小的分数大，如。 3.异分母分数：先通分转化为同分母分数再比较，如比较和，通分后为和，则。 4.关键要点：通分的方法，找分母的最小公倍数作为公分母，如3和4的最小公倍数是12。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.对“单位‘1’”的理解错误 错误表现：认为单位“1”只能是一个物体，如“把一堆苹果分成5份，每份是”（未强调“平均分”）。 正确做法：明确单位“1”可以是一个整体（如1米、一个班级），且必须是“平均分”，通过举例强化理解。 2.混淆分数的意义与具体数量 错误表现：分不清“米”（具体数量）和“一根绳子的”（分率）。如“一根绳子长2米，用去，还剩多少米？”误算为米。 正确区分：分数带单位表示具体数量，不带单位表示分率。正确计算：米。 3.分数单位的认识错误 错误表现：认为的分数单位是（混淆分子和分母的作用）。 正确认识：分数单位由分母决定，分母是几，分数单位就是。的分数单位是，它有5个这样的分数单位。 二、操作计算类易错点 1.约分不彻底 错误表现：将约分为（未约成最简分数）。 正确做法：约分时找分子和分母的最大公因数，12和18的最大公因数是6，。 2.通分方法错误 错误表现：通分时用分母的乘积作为公分母，如比较和时用24作公分母（不够简便）。 正确方法：先求分母的最小公倍数，用最小公倍数作公分母（如4和6的最小公倍数是12）。 3.假分数与带分数互化错误 错误表现：将化成带分数时写成（混淆商和余数的位置）。 正确步骤：，商3是整数部分，余数1是分子，分母不变，即。 三、实际应用类易错点 1.分数与除法关系应用错误 错误表现：“把5米长的绳子平均分成8段，每段占全长的”（后半句错误）。 正确辨析：求具体数量用总数量÷份数（米），求分率用1÷份数（）。 2.分数大小比较忽略通分前提 错误表现：比较和时，直接认为“3＞2且5＞3，所以”。 正确做法：通分后比较，，，则。 3.分数与小数互化计算错误 错误表现：化成小数误算为0.58（正确结果0.625）；化成分数写成（未约分）。 正确步骤：分数化小数时仔细计算除法；小数化分数后要约成最简分数，如。 典例精析 典例一：分数的意义 【例题1】用阴影部分表示图中的分数。                                   【答案】图见详解 【分析】根据分数的意义：表示将单位“1”平均分成4份，其中的3份可以用来表示。表示将单位“1”平均分成5份，其中的2份可以用来表示。 第一幅图，将4个圆看作单位“1”，平均分成4份，则每份1个，将其中的3份涂色； 第二幅图，将10个□看作单位“1”，平均分成5份，则每份10÷5＝2（个），将其中的2份涂色，据此作图即可。 【详解】涂3个○表示；涂4个□表示。 【例题2】如图，甲、乙两根彩带都被遮住了一部分，露出部分的长度分别是和，且长度相等。比较甲、乙两根彩带的长度，（    ）。 A．甲＜乙 B．甲＝乙 C．甲＞乙 D．无法比较 【答案】C 【分析】通过观察图片可知，甲的等于乙的，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，因此甲里面有8个，乙里面有12个，甲的3份等于乙的5份，所以甲比乙长，据此解答。 【详解】由分析可得，比较甲、乙两根彩带的长度，是甲＞乙 故答案为：C 【例题3】在图中用阴影表示各数。 【答案】答案见详解 【分析】：把整个图形看作单位“1”，平均分成了3份，将其中的2份涂色； 0.25：把整个图形看作单位“1”，平均分成了100份，将其中的25份涂色。 【详解】表示如下： 典例二：单位“1”的认识与确定 【例题1】在“血液约占人体体重的”里，把（    ）看成单位“1”。 A．血液 B．人体体重 C．无法判断 【答案】B 【分析】一个整体可以用自然数1表示，我们通常把它叫做单位“1”。单位“1”通常是“占”“是”“相当于”等词后面的量。题干中“血液约占人体体重的”中，“占”后面是“人体体重”，因此单位“1”是人体体重。 【详解】根据分数的定义，单位“1”是被平均分的整体。题目中“血液约占人体体重的”表示将“人体体重”平均分成25份，血液占其中的2份，因此单位“1”是人体体重。 故答案为：B 【例题2】把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比较（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较 【答案】B 【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，已知第二段占全长的，那么第一段绳子占全长的。第一段绳子占全长的，第二段绳子占全长的。同分母分数大小比较，要看分子大小，分子大的就该分数大。和是同分母，因为3＞2，所以＜，这意味着第二段绳子占全长的份数更多。 【详解】由分析可知：第一段绳子占全长的，第二段绳子占全长的，＜，所以第二段绳子更长。 故答案为：B 【例题3】丽丽用一根彩带做幸运星。已经用去了彩带的，还剩下米。用去的跟剩下的比，谁更长一些？（    ） A．用去的 B．剩下的 C．一样长 D．无法比较 【答案】A 【分析】把这根彩带的全长看作单位“1”，用去了全长的，求出还剩全长，然后再和进行比较即可。 【详解】 因为，所以用去的长。 故答案为：A 典例三：分数单位的认识与确定 【例题1】在分数、、、中，分数单位是的数有( )个。 【答案】2 【分析】根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。据此判断出每个分数的分数单位即可。 【详解】的分数单位是；的分数单位是；的分数单位是；的分数单位是。分数单位是的数有2个，分别是和。 【例题2】表示把单位“1”平均分成 份，表示其中的 份；的分数单位是 ，它由 个这样的分数单位组成。 【答案】 5 3 3 【分析】把整体平均分为若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数。 分母是几分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位。 【详解】表示把单位“1”平均分成5份，表示其中的3份；的分数单位是，它由3个这样的分数单位组成。 【例题3】的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，减少( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 41 15 【分析】分数单位是指将单位“1”平均分成几份，则其中的一份即为分数单位。一个分数的分子是多少则就有几个分数单位；最小的质数是2，运用分数减法计算得出答案。 【详解】的分数单位是；，则它有41个这样的分数单位；最小的质数是2，，减少15个这样的分数单位就是最小的质数。 典例四：同分子分数的大小比较 【例题1】在、和中，分数单位最大的是( )。 【答案】 【分析】一个分数的分母是几，这个分数的分数单位就是几分之一，同分子的分数比大小：分母大的分数反而小。 【详解】的分数单位是， 的分数单位是， 的分数单位是， 分数单位最大的是。 【例题2】分母越大，分数单位越小。( ) 【答案】√ 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数就是它的分数单位；分子都是1的分数比较大小，分母小的分数大；依此判断。 【详解】 由此可知，分母越大，分数单位越小。 故答案为：√ 【例题3】里面有( )个，里面有( )个，( )。 【答案】 4 7 ＞ 【分析】根据分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫做分数，表示其中一份的数，叫做分数单位；分子是几，就有几个这样的分数单位；再根据同分母分数比较大小的方法，进行解答。 【详解】里面有4个，里面有7个，＞。 【点睛】本题考查分数的意义，分数单位，以及同分母分数比较大小。 典例五：真分数、假分数、带分数的认识 【例题1】已知a是一个不为零的数，若是假分数，那么一定是真分数。( ) 【答案】× 【分析】根据假分数的意义：分子大于或等于分母的分数是假分数，那么大于4或者等于4，当等于4的时候，是假分数，据此判断。 【详解】若是假分数，则a≥4。当a＝4时是假分数，当a＞4时是真分数，原说法错误。 故答案为：× 【例题2】假分数不一定大于1。( ) 【答案】√ 【分析】真分数：分子小于分母的分数是真分数，真分数小于1；假分数：分子大于或等于分母的分数是假分数，假分数的最小值是1，据此即可判断。 【详解】由分析可知： 假分数不一定大于1，原题说法正确。 故答案为：√ 【例题3】以7为分母，写出3个真分数：( )、( )、( )；再写出3个假分数：( )、( )、( )。 【答案】 【分析】真分数的分子比分母小；假分数的分子和分母相等或分子比分母大；据此解答。 【详解】由真分数、假分数的意义可知：以7为分母的3个真分数有：、、 （答案不唯一） ；以7为分母的3个假分数有：、、。（答案不唯一） 典例六：分数与除法的关系 【例题1】把同样的5张饼平均分给4个小朋友，每个小朋友分到这些饼的( )，每个小朋友分到( )张。 【答案】 //1.25 【分析】把5张饼看作单位“1”，平均分给4个小朋友，也就是平均分成4份，每份就是5张饼的； 要求每个小朋友分到多少张饼，就用饼的总数量÷小朋友的总人数＝每个小朋友分得的数量。 【详解】1÷4＝ 5÷4＝（张） 把同样的5张饼平均分给4个小朋友，每个小朋友分到这些饼的，每个小朋友分到张。 【例题2】李师傅5分钟能做6个零件，他平均每分钟能做( )个零件，平均做一个零件要用( )分钟。 【答案】 【分析】①用6个零件除以用的时间5分钟，即可求出他平均每分钟能做几个零件； ②用时间5分钟除以所做零件个数6个，即可求出平均做一个零件要用几分钟。 【详解】①6÷5＝（个），即他平均每分钟能做个零件； ②5÷6＝（分钟），即平均做一个零件要用分钟。 【例题3】下面长方形的面积是3公顷，先分一分，再涂色表示出公顷。 【答案】见详解 【分析】把长方形的面积看作单位“1”，平均分成8份，则每份表示3÷8＝公顷，据此涂色其中的1份作图即可。 【详解】如图： 典例七：假分数与带分数或整数的互化 【例题1】的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就是2。 【答案】 6 4 【分析】一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。 先把2化成分母是5的假分数是，再用的分子减去的分子即可求出再添上几个这样的分数单位就是2。 【详解】的分母是5，分子是6，所以的分数单位是，它有6个这样的分数单位； 2＝，10－6＝4（个），所以，再添上4个这样的分数单位就是2。 【例题2】当是真分数时，是( )（只填一个数即可）；当可以化成整数3时，是( )。 【答案】 1 27 【分析】在分数中，分子小于分母的分数叫作真分数。当分子是分母的整数倍时，用分子除以分母，可将分数化成整数。据此解答。 【详解】根据真分数的概念可知，0＜m＜9，即m是1至8的自然数，m可以是1。 由可以化成整数3可知，m÷9＝3，则m＝9×3，m＝27。 所以，当是真分数时，是1（答案不唯一）；当可以化成整数3时，是27。 【例题3】在中（a是自然数），当a是( )时，它是最小的假分数；当a是( )时，分数值是4。 【答案】 3 12 【分析】假分数的分子大于或等于分母，假分数大于等于1。当假分数分子和分母相等时，这个分数是最小的假分数； 分数值是分子除以分母的商，那么用分数值4乘分母，可求出分子。 【详解】4×3＝12 所以，在中（a是自然数），当a是3时，它是最小的假分数；当a是12时，分数值是4。 【点睛】本题考查了假分数，掌握假分数的概念、假分数化整数是解题的关键。 典例八：求一个数占另一个数的几分之几 【例题1】妈妈在超市购买了两种水果，苹果有3千克，桃有11千克。桃的质量是苹果的多少倍？苹果的质量占这些水果的几分之几？ 【答案】倍； 【分析】求一个数是另一个数的几倍，用除法，即桃的质量除以苹果的质量。已知苹果有3千克，桃有11千克，用11除以3即可得出桃的质量是苹果的几倍。 求苹果的质量占这些水果的几分之几，先计算水果的总质量，即苹果质量与桃质量之和：3＋11＝14千克。然后用苹果的质量除以总质量，得到苹果质量占比，即用3除以14。 【详解】 3＋11＝14（千克） 答：桃的质量是苹果的倍，苹果的质量占这些水果的。 【例题2】妈妈在超市购买了两种水果，苹果有3千克，桃有11千克。桃的质量是苹果的多少倍？苹果的质量占这些水果的几分之几？ 【答案】倍； 【分析】求桃的质量是苹果的多少倍，用桃的质量除以苹果的质量；求苹果的质量占这些水果的几分之几，用苹果的质量除以两种水果的总质量。 【详解】11÷3＝ 3÷（3＋11） ＝3÷14 ＝ 答：桃的质量是苹果的倍，苹果的质量占这些水果的。 【例题3】妈妈的年龄是爸爸年龄的多少倍？爸爸的年龄是妈妈年龄的几分之几？ 【答案】； 【分析】要解决妈妈年龄是爸爸年龄的多少倍以及爸爸年龄是妈妈年龄的几分之几的问题，根据“求一个数是另一个数的几倍或几分之几，用除法计算”。已知妈妈35岁，爸爸38岁，公式为：倍数（或几分之几）＝比较量÷标准量。这里求妈妈年龄是爸爸年龄的倍数时，妈妈年龄是比较量，爸爸年龄是标准量；求爸爸年龄是妈妈年龄的几分之几时，爸爸年龄是比较量，妈妈年龄是标准量。据此解答。 【详解】35÷38＝ 38÷35＝ 答：妈妈的年龄是爸爸年龄的倍，爸爸的年龄是妈妈年龄的。 典例九：分数的基本性质 【例题1】的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该( )。 【答案】增加27 【分析】根据分数的基本性质，分数的分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，本题中，要将分子增加6转化成分子乘以几，再确定分母的变化。 【详解】2＋6＝8 8÷2＝4 4×9－9 ＝36－9 ＝27 所以分母应增加27（或乘4）。 【例题2】的分子加上8，要使分数大小不变，分母应该（    ）。 A．加上8 B．乘2 C．加上15 D．乘3 【答案】D 【分析】分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数，分数大小不变。分子加上8后变为12，相当于分子乘3，根据分数的基本性质解答即可。 【详解】 15×3－15 ＝45－15 ＝30 的分子加上8，根据分数的基本性质分子扩大到原来的3倍，要使分数大小不变，分母应该乘3或加上30。 故答案为：D 【例题3】一个分数的分子和分母的和是69，当分子和分母同时减去7时，化简得到。原来这个分数是多少？ 【答案】 【分析】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。根据题意，一个分数的分子和分母的和是69，当分子和分母同时减去7时，分子和分母的和是（69－7－7），化简后得到的分数是，用（69－7－7）除以（3＋8）即可求出分子分母缩小的倍数，用的分子分母同时乘缩小的倍数，可以得出化简前的分数，用这个分数的分子和分母同时加上7，可以得出原来的分数。 【详解】69－7－7 ＝62－7 ＝55 55÷（3＋8） ＝55÷11 ＝5 答：原来这个分数是。 【点睛】本题考查分数的性质，明确分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变是正确解答本题的关键。 典例十：公因数与最大公因数 【例题1】在下面的圈里填上适当的数。 【答案】见详解 【分析】因数是指能够整除一个数的数，24÷1＝24，24÷2＝12，24÷3＝8，24÷4＝6，24÷6＝4，24÷8＝3，24÷12＝2，24÷24＝1，所以24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。 找出36的因数：36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，36÷9＝4，36÷12＝3，36÷18＝2，36÷36＝1，所以36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 公因数是指两个数共有的因数，所以24和36的公因数有1，2，3，4，6，12。 【详解】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24 36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36 24和36的公因数：1，2，3，4，6，12 【例题2】找出下列每组数的最大公因数。 27和36    44和99 【答案】9；11 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】27＝3×3×3 36＝2×2×3×3 3×3＝9 27和36的最大公因数是9； 44＝2×2×11 99＝3×3×11 44和99的最大公因数是11。 【例题3】如果甲数＝乙数×8（甲乙两数均为大于0的自然数），那么甲乙两数的最大公因数是（    ）。 A．甲数 B．乙数 C．8 D．1 【答案】B 【分析】几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。几个数的公因数中最大的一个公因数，叫做这几个数的最大公因数。如果两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数。据此解答。 【详解】甲数＝乙数×8 甲数÷乙数＝8 甲数是乙数的8倍（甲乙两数均为大于0的自然数），那么甲乙两个数成倍数关系，所以甲、乙两数的最大公因数是乙数。 故答案选：B 典例十一：用最大公因数解决实际问题 【例题1】插花师计划用36朵百合和48朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？ 【答案】12束 【分析】求出百合和玫瑰数量的最大公因数是最多做的花束数量。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】     （束） 答：最多可以做12束花。 【例题2】有两根绳子，一根长42米，另一根长48米。现在要把它们剪成同样长的小段，每小段的长要尽可能长，且两根绳子都没有剩余。每小段绳子长多少米？ 【答案】6米 【分析】要把两根不同长度的绳子剪成同样长且无剩余的小段，每小段的长度就是这两根绳子长度的公因数，要求每小段尽可能长，也就是求它们的最大公因数。把42和48分解质因数后，把公有的相同质因数相乘得到的积就是42和48的最大公因数，即可解答。 【详解】42＝2×3×7 48＝2×2×2×2×3 42和48的最大公因数是：2×3＝6。 答：每小段绳子长6米。 【例题3】有两根绳子，一根长42米，另一根长48米。现在要把它们剪成同样长的小段，每小段的长要尽可能长，且两根绳子都没有剩余。每小段绳子长多少米？ 【答案】6米 【分析】求出两根绳子长度的最大公因数，就是每小段最长有多长，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】42＝2×3×7 48＝2×2×2×2×3 2×3＝6（米） 答：每小段绳子长6米。 典例十二：约分 【例题1】一个分数化简成最简分数是，如果把原分数的分子扩大4倍后是48，那么原分数的分母是( )。 【答案】39 【分析】先求出原分数的分子，根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变。再与化简后的分数比较，即可知分子乘上了几，分母就乘上几，由此得出答案。 【详解】 一个分数化简成最简分数是，如果把原分数的分子扩大4倍后是48，那么原分数的分母是39。 【例题2】在成都第31届世界大学生夏季运动会中，中国代表团水上项目表现卓越。中国游泳队一共收获了18枚金牌，其中张雨霏一人便收获了9枚金牌。张雨霏个人获得的金牌数占中国游泳队金牌总数的几分之几？（列出算式，结果化成最简分数） 【答案】 【分析】张雨菲获得9枚金牌，中国游泳队共获得18枚金牌，用9除以18得到分数，再化简为最简分数可得出答案。 【详解】 答：张雨霏个人获得的金牌数占中国游泳队金牌总数的。 【例题3】把下面的分数约分成最简分数。                                  【答案】；；；； 【分析】最简分数：分子和分母的公因数只有1的时候是最简分数，利用约分的方法：用分子、分母的公因数（或最大公因数）分别去除分子和分母，直到分子、分母是互质数，即直到得到最简分数为止。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 典例十三：公倍数与最小公倍数 【例题1】如果a的最大因数是23，b的最小倍数是3，那么a＋b是( )；a－b是( )。 【答案】 26 20 【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身。由此可得a，b的值，进而可求得a＋b和a－b的值。 【详解】因为a的最大因数是23，b的最小倍数是3，所以a＝23，b＝3，所以a＋b＝23＋3＝26，a－b＝23－3＝20。 【例题2】一个数的最大因数是25，那么这个数的最小倍数是( )。 【答案】25 【分析】根据一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，进行解答。 【详解】一个数的最大因数是25，那么这个数的最小倍数是25。 【例题3】直接写出下面每组数的最小公倍数。 4和8                3和5            6和9             8和10 【答案】8；15；18；40 【分析】用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数：把两个数公有的质因数与每个数独有质因数相乘，积就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数。 【详解】4和8是倍数关系，所以4和8的最小公倍数是8； 3和5是互质数，所以3和5的最小公倍数 3×5＝15； 6＝2×3，9＝3×3，所以6和9的最小公倍数是2×3×3＝18； 8＝2×2×2，10＝2×5，所以8和10的最小公倍数是2×2×2×5＝40。 典例十四：用最小公倍解决实际问题 【例题1】汉字书法被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”，小明要誊写一篇毛笔字，这篇毛笔字的字数在50～70之间，无论是一列3个字还是一列5个字，最后都剩下1个字，这篇毛笔字一共有多少个字？ 【答案】61个 【分析】根据题意，无论是一列3个字还是一列5个字，最后都剩下1个字，说明总字数比3、5的公倍数还多1；先求出3和5的最小公倍数，再求最小公倍数在50～70之间的倍数，最后加上1，就是这篇毛笔字的总字数。 【详解】3和5的最小公倍数是：3×5＝15 15×4＝60 60＋1＝61（个） 50＜61＜70 答：这篇毛笔字一共有61个字。 【例题2】田田班上有39~51人，田田发现每次体育课排队时，无论是排3行，还是排5行，都能正好排完，请问田田班上一共有多少人？ 【答案】45名 【分析】无论是排3行，还是排5行，都能正好排完，说明田田班的人数是3的倍数和5的倍数，先求出3和5的最小公倍数，再通过最小公倍数确定39~51之间的公倍数即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】3×5＝15（人） 15×2＝30（人） 15×3＝45（人） 39＜45＜51 答：田田班上一共有45人。 【例题3】乐乐和明明在玩“青蛙跳跃”游戏，乐乐的“青蛙”每次跳10厘米，明明的“青蛙”每次跳15厘米，两人的“青蛙”同时从起点开始跳，每两次跳跃间隔时间相同。在游戏中，每隔12厘米有一个陷阱，当第一只“青蛙”掉进陷阱时，另一只“青蛙”与最近的陷阱的距离是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】 已知明明的“青蛙”每次跳15厘米，每隔12厘米有一个陷阱，先求出15和12的最小公倍数是60，即明明的“青蛙”每跳60厘米就会掉进陷阱，再用除法求出此时明明跳了4次； 已知乐乐的“青蛙”每次跳10厘米，每隔12厘米有一个陷阱，先求出10和12的最小公倍数是60，即乐乐的“青蛙”每跳60厘米就会掉进陷阱，再用除法求出此时乐乐跳了6次； 由此确定明明的“青蛙”先掉进陷阱，明明的“青蛙”跳4次时，乐乐的“青蛙”跳了（10×4）厘米，离的最近的陷阱是第3个陷阱，离起点的距离是（12×3）厘米，用减法求出乐乐的“青蛙”离最近的陷阱的距离。 【详解】 15＝3×5 12＝2×2×3 15和12的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 即明明的“青蛙”每跳60厘米就会掉进陷阱； 60÷15＝4（次） 即明明的“青蛙”第4次跳跃时掉进陷阱。 10＝2×5 12＝2×2×3 10和12的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 即乐乐的“青蛙”每跳60厘米就会掉进陷阱； 60÷10＝6（次） 即乐乐的“青蛙”第6次跳跃时掉进陷阱。 4＜6 10×4－12×3 ＝40－36 ＝4（厘米） 答：另一只“青蛙”与最近的陷阱的距离是4厘米。 典例十五：通分的认识及应用 【例题1】把下面各组中的分数通分。 和    和    和 【答案】，；，；， 【分析】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫通分。通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。通分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】， ， ， 【例题2】把下面每组分数进行通分，再比较大小。 和        和        和 【答案】，，； ，，； ，，。 【分析】用两个分数分母的最小公倍数作公分母，然后根据分数的基本性质，把异分母分数分别化成以公分母为分母的分数，再根据同分母分数大小的比较方法去比较，分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。据此解答。 【详解】 因为，所以 因为，所以 因为，所以 【例题3】先通分，再比较各组分数的大小。 和        和         和 【答案】； ；； ；； 【分析】根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程叫做通分；据此将各组中的分数通分后化为同分母的分数，再比较大小即可。 【详解】和 ＝＝ 因为＜，所以＜ 和 ＝＝ ＝＝ 因为＜，所以＜ 和 ＝＝ ＝＝ 因为＞，所以＞ 典例十六：异分母异分子分数的大小比较 【例题1】乐乐、贝贝和明明同时默写同一首诗，乐乐用了0.1时，贝贝用了时，明明用了时，（    ）最先默写完。 A．乐乐 B．贝贝 C．明明 D．无法比较 【答案】A 【分析】先将0.1化为分数，再将、、通分并比较大小，最小的即用时最少，就最先默写完。 【详解】0.1＝ 乐乐最先默写完。 故答案为：A 【例题2】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3        ( )          ( )          ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＞ 【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变；同分母分数比较大小：分子大的分数就大；同分子分数比较大小：分母大的分数反而小； （1）整数化分数：先确定分母，再用分母乘整数等于所化分数的分子，据此把3化成分母是3的分数，再根据同分母分数比较大小的方法比较即可； （2）带分数化假分数：分母不变，用带分数的整数部分乘分母再加上分子等于假分数的分子，据此把化成假分数再比较大小即可； （3）先根据分数的基本性质把化成分母是18的分数，再根据同分母分数比较大小的方法比较大小即可； （4）先根据分数的基本性质把化成分子是4的分数，再根据同分子分数比较大小的方法比较大小即可。 【详解】3＝，因为＜，所以＜3； ＝，因为＝，所以＝； ＝，因为＞，所以＞； ＝，因为＞，所以＞。 ＜3；＝；＞；＞。 【例题3】王大爷在一块农田里种植农作物。小麦种植区占整个农田的，玉米种植区占整个农田的，大豆种植区占整个农田的。哪个农作物的占地面积最大？ 【答案】小麦 【分析】把整个农田的面积看作单位“1”， 要比较哪个农作物占地面积最大，就是比较、、这三个分数的大小。先将分母不同的分数化为同分母分数，再根据同分母分数比较大小的方法进行比较。 同分母分数比较大小的方法：同分母分数比较大小，分子大的分数大。 【详解】， ＞＞ 答：小麦的占地面积最大。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题05：分数的意义 思维导图 考点清单 考点一、分数的意义 1.核心定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。单位“1”可以是一个物体、一个计量单位或多个物体组成的整体。 2.分数各部分名称：分数线（表示平均分）、分母（表示平均分的份数）、分子（表示取的份数）。如中，5是分母，3是分子。 3.关键要点： 强调“平均分”：只有平均分才能用分数表示，如“把3个苹果分成5份，每份是”说法错误（未体现平均分）。 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。如的分数单位是，它有3个这样的分数单位。 4.适用场景：表示部分与整体的关系（如全班人数的）、具体数量（如米）。 考点二、分数与除法的关系 1.核心定义：被除数÷除数=（除数≠0），用字母表示为（）。 2.关键要点： 区别与联系：分数是一个数，除法是一种运算；分数线相当于除号，分母相当于除数，分子相当于被除数。 商与分数的互化：如，。 3.适用场景：解决“一个数是另一个数的几分之几”（如男生人数是女生人数的）、“把一些物体平均分成若干份，求每份是多少”（如把5米长的绳子平均分成7段，每段长米）。 考点三、分数的基本性质 1.核心定义：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 2.字母表示：（）。 3.关键要点： “同时”“相同的数”“0除外”：三者缺一不可。如分子乘2，分母乘3，得到，分数大小改变，不符合基本性质。 与商不变性质的联系：分数的基本性质是商不变性质的另一种表现形式。 4.适用场景：约分、通分、分数大小比较。 考点四、真分数与假分数 1.真分数：分子比分母小的分数，真分数小于1，如、。 2.假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数，假分数大于或等于1，如、。 3.带分数：由整数和真分数组成的分数，是假分数的另一种形式，如。 4.关键要点：假分数与带分数的互化方法，如（），（）。 考点五、分数的大小比较 1.同分母分数：分子大的分数大，如。 2.同分子分数：分母小的分数大，如。 3.异分母分数：先通分转化为同分母分数再比较，如比较和，通分后为和，则。 4.关键要点：通分的方法，找分母的最小公倍数作为公分母，如3和4的最小公倍数是12。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.对“单位‘1’”的理解错误 错误表现：认为单位“1”只能是一个物体，如“把一堆苹果分成5份，每份是”（未强调“平均分”）。 正确做法：明确单位“1”可以是一个整体（如1米、一个班级），且必须是“平均分”，通过举例强化理解。 2.混淆分数的意义与具体数量 错误表现：分不清“米”（具体数量）和“一根绳子的”（分率）。如“一根绳子长2米，用去，还剩多少米？”误算为米。 正确区分：分数带单位表示具体数量，不带单位表示分率。正确计算：米。 3.分数单位的认识错误 错误表现：认为的分数单位是（混淆分子和分母的作用）。 正确认识：分数单位由分母决定，分母是几，分数单位就是。的分数单位是，它有5个这样的分数单位。 二、操作计算类易错点 1.约分不彻底 错误表现：将约分为（未约成最简分数）。 正确做法：约分时找分子和分母的最大公因数，12和18的最大公因数是6，。 2.通分方法错误 错误表现：通分时用分母的乘积作为公分母，如比较和时用24作公分母（不够简便）。 正确方法：先求分母的最小公倍数，用最小公倍数作公分母（如4和6的最小公倍数是12）。 3.假分数与带分数互化错误 错误表现：将化成带分数时写成（混淆商和余数的位置）。 正确步骤：，商3是整数部分，余数1是分子，分母不变，即。 三、实际应用类易错点 1.分数与除法关系应用错误 错误表现：“把5米长的绳子平均分成8段，每段占全长的”（后半句错误）。 正确辨析：求具体数量用总数量÷份数（米），求分率用1÷份数（）。 2.分数大小比较忽略通分前提 错误表现：比较和时，直接认为“3＞2且5＞3，所以”。 正确做法：通分后比较，，，则。 3.分数与小数互化计算错误 错误表现：化成小数误算为0.58（正确结果0.625）；化成分数写成（未约分）。 正确步骤：分数化小数时仔细计算除法；小数化分数后要约成最简分数，如。 典例精析 典例一：分数的意义 【例题1】用阴影部分表示图中的分数。                                    【例题2】如图，甲、乙两根彩带都被遮住了一部分，露出部分的长度分别是和，且长度相等。比较甲、乙两根彩带的长度，（    ）。 A．甲＜乙 B．甲＝乙 C．甲＞乙 D．无法比较 【例题3】在图中用阴影表示各数。 典例二：单位“1”的认识与确定 【例题1】在“血液约占人体体重的”里，把（    ）看成单位“1”。 A．血液 B．人体体重 C．无法判断 【例题2】把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比较（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较 【例题3】丽丽用一根彩带做幸运星。已经用去了彩带的，还剩下米。用去的跟剩下的比，谁更长一些？（    ） A．用去的 B．剩下的 C．一样长 D．无法比较 典例三：分数单位的认识与确定 【例题1】在分数、、、中，分数单位是的数有( )个。 【例题2】表示把单位“1”平均分成 份，表示其中的 份；的分数单位是 ，它由 个这样的分数单位组成。 【例题3】的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，减少( )个这样的分数单位就是最小的质数。 典例四：同分子分数的大小比较 【例题1】在、和中，分数单位最大的是( )。 【例题2】分母越大，分数单位越小。( ) 【例题3】里面有( )个，里面有( )个，( )。 典例五：真分数、假分数、带分数的认识 【例题1】已知a是一个不为零的数，若是假分数，那么一定是真分数。( ) 【例题2】假分数不一定大于1。( ) 【例题3】以7为分母，写出3个真分数：( )、( )、( )；再写出3个假分数：( )、( )、( )。 典例六：分数与除法的关系 【例题1】把同样的5张饼平均分给4个小朋友，每个小朋友分到这些饼的( )，每个小朋友分到( )张。 【例题2】李师傅5分钟能做6个零件，他平均每分钟能做( )个零件，平均做一个零件要用( )分钟。 【例题3】下面长方形的面积是3公顷，先分一分，再涂色表示出公顷。 典例七：假分数与带分数或整数的互化 【例题1】的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就是2。 【例题2】当是真分数时，是( )（只填一个数即可）；当可以化成整数3时，是( )。 【例题3】在中（a是自然数），当a是( )时，它是最小的假分数；当a是( )时，分数值是4。 典例八：求一个数占另一个数的几分之几 【例题1】妈妈在超市购买了两种水果，苹果有3千克，桃有11千克。桃的质量是苹果的多少倍？苹果的质量占这些水果的几分之几？ 【例题2】妈妈在超市购买了两种水果，苹果有3千克，桃有11千克。桃的质量是苹果的多少倍？苹果的质量占这些水果的几分之几？ 【例题3】妈妈的年龄是爸爸年龄的多少倍？爸爸的年龄是妈妈年龄的几分之几？ 典例九：分数的基本性质 【例题1】的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该( )。 【例题2】的分子加上8，要使分数大小不变，分母应该（    ）。 A．加上8 B．乘2 C．加上15 D．乘3 【例题3】一个分数的分子和分母的和是69，当分子和分母同时减去7时，化简得到。原来这个分数是多少？ 典例十：公因数与最大公因数 【例题1】在下面的圈里填上适当的数。 【例题2】找出下列每组数的最大公因数。 27和36    44和99 【例题3】如果甲数＝乙数×8（甲乙两数均为大于0的自然数），那么甲乙两数的最大公因数是（    ）。 A．甲数 B．乙数 C．8 D．1 典例十一：用最大公因数解决实际问题 【例题1】插花师计划用36朵百合和48朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？ 【例题2】有两根绳子，一根长42米，另一根长48米。现在要把它们剪成同样长的小段，每小段的长要尽可能长，且两根绳子都没有剩余。每小段绳子长多少米？ 【例题3】有两根绳子，一根长42米，另一根长48米。现在要把它们剪成同样长的小段，每小段的长要尽可能长，且两根绳子都没有剩余。每小段绳子长多少米？ 典例十二：约分 【例题1】一个分数化简成最简分数是，如果把原分数的分子扩大4倍后是48，那么原分数的分母是( )。 【例题2】在成都第31届世界大学生夏季运动会中，中国代表团水上项目表现卓越。中国游泳队一共收获了18枚金牌，其中张雨霏一人便收获了9枚金牌。张雨霏个人获得的金牌数占中国游泳队金牌总数的几分之几？（列出算式，结果化成最简分数） 【例题3】把下面的分数约分成最简分数。                                  典例十三：公倍数与最小公倍数 【例题1】如果a的最大因数是23，b的最小倍数是3，那么a＋b是( )；a－b是( )。 【例题2】一个数的最大因数是25，那么这个数的最小倍数是( )。 【例题3】直接写出下面每组数的最小公倍数。 4和8                3和5            6和9             8和10 典例十四：用最小公倍解决实际问题 【例题1】汉字书法被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”，小明要誊写一篇毛笔字，这篇毛笔字的字数在50～70之间，无论是一列3个字还是一列5个字，最后都剩下1个字，这篇毛笔字一共有多少个字？ 【例题2】田田班上有39~51人，田田发现每次体育课排队时，无论是排3行，还是排5行，都能正好排完，请问田田班上一共有多少人？ 【例题3】乐乐和明明在玩“青蛙跳跃”游戏，乐乐的“青蛙”每次跳10厘米，明明的“青蛙”每次跳15厘米，两人的“青蛙”同时从起点开始跳，每两次跳跃间隔时间相同。在游戏中，每隔12厘米有一个陷阱，当第一只“青蛙”掉进陷阱时，另一只“青蛙”与最近的陷阱的距离是多少厘米？ 典例十五：通分的认识及应用 【例题1】把下面各组中的分数通分。 和    和    和 【例题2】把下面每组分数进行通分，再比较大小。 和        和        和 【例题3】先通分，再比较各组分数的大小。 和        和         和 典例十六：异分母异分子分数的大小比较 【例题1】乐乐、贝贝和明明同时默写同一首诗，乐乐用了0.1时，贝贝用了时，明明用了时，（    ）最先默写完。 A．乐乐 B．贝贝 C．明明 D．无法比较 【例题2】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3        ( )          ( )          ( ) 【例题3】王大爷在一块农田里种植农作物。小麦种植区占整个农田的，玉米种植区占整个农田的，大豆种植区占整个农田的。哪个农作物的占地面积最大？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $