24.2圆的基本性质（3）课件 2025-2026学年 沪科版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦垂径定理及其推论，通过复习旧知导入，结合基本图形梳理“直径垂直弦则平分弦与弧”的条件与结论，搭建从定理理解到应用的学习支架。 其亮点是融入赵州桥拱半径计算等现实问题，培养数学眼光；通过构造直角三角形转化弦长、半径关系，发展数学思维；证明题与应用题强化模型意识。采用实例解析与辅助线总结法，助学生掌握解题方法，教师可高效开展教学。

24.2圆的基本性质(3) 课件说明 教学目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 　 证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 　 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 　 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力． 教学重点： 垂径定理及其推论． 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 CD⊥AB， ∴ AE=BE， ∵ CD是直径， AC BC = AD BD = O D C A B E 复习旧知 3 3 O O O O CD过圆心 CD⊥AB于E AE=BE A B A B C D E E C A B E A B C E AD BD = AC BC = 垂径定理的几个基本图形： C D 定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. O A B O A B C D CD⊥AB AC BC = AD BD = E AE=BE · D A C B O E 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有( ). ①CE=DE；②BE=OE；③ CB=BD ； ④∠CAB=∠DAB；⑤AC=AD. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ︵ ︵ A 2．如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M，N，如果MN=3，那么BC= . ● O M N C B A 6 ∵ ON⊥AC， ∴ AM=BM. ∵ OM⊥AB， ∴ AN=CN. ∴ BC=2MN 　　3.赵州桥建于1 400 年前的隋朝，是我国石拱桥的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)是 37 .4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到 0.1 m)． A B O 解：如图，用弧AB表示主桥拱， 设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R. R 37.4m 7.2m A B O C D 解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R. 10 10 A B O C D 解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37.4m，CD=7.2m. ∴ AD= AB=18.7m， ∵OA2 =AD2＋OD2 OD=OC－CD=R－7.2. ∴R2 =18.72＋(R－7.2)2 1 2 11 11 ∵OA2 =AD2＋OD2 ∴R2 =18.72＋(R－7.2)2 ∴R2 =349.69＋R2－14.4R ＋51.84. ∴14.4R =401.53 ∴ R ≈ 27.9. (18＋0.7)2 18.72= =182＋2×18×0.7 ＋0.72 =324＋25.2 ＋0.49 =349.69 (7＋0.2)2 7.22= =72＋2×7×0.2 ＋0.22 =49＋2.8 ＋0.04 =51.84 12 12 A B O C D 解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37.4m，CD=7.2m. ∴ AD= AB=18.7m， ∵OA2 =AD2＋OD2 OD=OC－CD=R－7.2. ∴R2 =18.72＋(R－7.2)2 1 2 ∴ R ≈ 27.9. 答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9m. 13 13 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线. 弦心距、半径、半弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题. A B O C 14 14 D B A O C 1.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD 的高度为 m. 4 练习巩固 　　 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆弦 AB 交小圆于 C，D两点，求证AC=BD . D O C A B 证明： 过点O作OE⊥AB于E， E ∴AE=BE ， CE=DE . ∴AE－CE=BE－DE ， ∴AC=BD . 3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， AC=AB， ∴ AE=AD， ∴ 四边形ADOE为正方形. ∴ ∠OEA=90°， ∠ODA=90°， ∠DAE=90°， ∵ OE⊥AC， OD⊥AB， AB⊥AC， ∵AE= AC， 1 2 AD= AB， 1 2 17 17 1.垂径定理的内容是什么？ 2.用垂径定理解决有关证明、计算问题的思路是什么？ ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 　（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程． 课堂小结 1.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H. 已知sin∠CDB = ，BD= 5 ，则AH的长是( ).  A.      B.  C.         D. 3 5 O H B C D A 3 25 3 16 6 25 6 16 B 巩固提高 2.如图，AB是⊙O的弦，OC ⊥ AB，垂足为点C. 将AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB ，则的半径为 . 100 =2 10 3.某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道.如图，污水水面宽度AB为60 cm，水面到管道顶部距离为10 cm.求修理人员应准备内径为 厘米的管道(内径指内部直径). O B C D A O B A 3 2 C ︵ 20 谢谢 $