24.2圆的基本性质（2）课件 2025-2026学年 沪科版九年级下册数学

该初中数学课件聚焦圆的基本性质中的垂径定理及其推论，通过动手对折圆形纸片引导学生发现圆的轴对称性，结合弦与弧的关系搭建探究支架，帮助学生从具体操作过渡到抽象定理的理解。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光与思维，通过对折纸片发展几何直观，证明过程（全等推理）提升推理意识，练习结合勾股定理体现模型意识。题型多样且小结明确解题思路，学生能增强逻辑思维与解题能力，教师可直接用于课堂互动和分层教学。

24.2圆的基本性质(2) 课件说明 教学目标： 1.理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 　 证明、计算和作图问题； 2.感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 　 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 　 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力． 教学重点： 垂径定理及其推论． 由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗? O 对折 探究新知 3 3 如图，AB是⊙O的一条弦，则弦AB所对的弧是? 弧: AB ACB O A B C 探究新知 4 4 线段: 弧: O D C A B E 图中有那些相等的线段和弧? 为什么? AD BD = AE=BE AC BC = 如图，CD是⊙O的直径，点A是O上的点，过点A作AB⊥CD，垂足为E，交O于点B. 5 5 线段: O D C A B E 图中有那些相等的线段和弧? 为什么? AE=BE OA=OB OE=OE ∴Rt△OAE≌Rt△OBE ∵ (HL) 连接: OA、OB 在Rt△OAE和Rt△OBE中 ∴AE=BE 如图，CD是⊙O的直径，点A是O上的点，过点A作AB⊥CD，垂足为E，交O于点B. 6 6 · O A B C D E 线段: AE=BE 弧: 如图，CD是⊙O的直径，点A是O上的点，过点A作AB⊥CD，垂足为E，交O于点B. 图中有那些相等的线段和弧? 为什么? AD BD = AC BC = 7 7 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 CD⊥AB， ∴ AE=BE， ∵ CD是直径， AC BC = AD BD = O D C A B E 垂径定理 8 8 O A B D C E O A B C D 1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 是 否 E 巩固新知 O A B C E O A B C D 是 否 E 2.下列图形是否具备垂径定理的条件？ O O O O CD过圆心 CD⊥AB于E AE=BE A B A B C D E E C A B E A B C E AD BD = AC BC = 垂径定理的几个基本图形： C D 定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. O A B O A B C D CD⊥AB AC BC = AD BD = E AE=BE 学习新知 1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是( ). A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=AE · O A B E C D D. C BC BD = 巩固新知 13 13 (1)垂直于弦的直径平分这条弦； (2)平分弦的直径垂直于这条弦； (3)弦的垂直平分线必过圆心； (4)平分弦所对弧的直径垂直于这条弦. × √ √ √ 2.判断正误： 3. 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，求圆心O到弦 AB的距离. · O A B E 解： 即圆心O到弦 AB的距离为4cm. 连接OA， ∴AE= AB 1 2 =3cm， 在Rt△OEA中，根据勾股定理，　 OE2 =OA2－AE2 ∴OE= 4(cm). 过点O作OE⊥AB于E， =52－32=16． 圆心到弦的距离叫做弦心距. = ×6cm 1 2 15 15 1. 半径为4cm的⊙O中，有长为4cm的弦AB.计算:(1)点O与 AB的距离； (2)∠AOB的度数. · A B O 解：(1) 连接OA，OB， 过点O作OE⊥AB于E， E ∵OA=OB=AB=4cm， ∴AE= AB 1 2 =2， = ×4 1 2 ∴ 点O与AB的距离为2 cm. 在Rt△OEA中，根据勾股定理，　 OE2 =OA2－AE2 ∴OE= 2 . =42－22=12． 3 3 解法1 练习巩固 1. 半径为4cm的⊙O中，有长为4cm的弦AB.计算:(1)点O与 AB的距离； (2)∠AOB的度数. · A B O 解：(1) 连接OA，OB， 过点O作OE⊥AB于E， E ∵OA=OB=AB=4cm， ∴ 点O与AB的距离为2 cm. ∴OE= =2 . 3 3 ∴△OAB是等边三角形 ∴∠OAB=60°， 在Rt△OEA中，sin∠OAB= OE OA 4sin60° =4× 2 3 解法2 1. 半径为4cm的⊙O中，有长为4cm的弦AB.计算:(1)点O与 AB的距离； (2)∠AOB的度数. · A B O 解：(2) E ∵OA=OB=AB=4cm， ∴△OAB是等边三角形. ∴∠AOB=60°. 1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G， 连接CF，∠C=30°，CF= ，则OG的长是( ).  A.1     B.      C. 2  D. 3 2 2 2 3 O G F C D E A 巩固提高 O A B C  A.         B.     C.          D. 3 5 4 5 3 4 4 3 2.如图，⊙O的半径为30 cm，弦AB=36cm，则cos ∠OAB=( ). 3.如图，在半径为 的⊙O中，弦AB与CD交于点E， ∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是( ).  A.         B.      C.          D. 6 2 10 2 11 2 3 4 13 O A B C D E G F C 1.垂径定理的内容是什么？ 2.用垂径定理解决有关证明、计算问题的思路是什么？ ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 　 (由)垂径定理—构造直角三角形— (结合)勾股定理—建立方程． 课堂小结 谢谢 $