精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测12

高一数学周测12 一、单选题 1. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义及应用解析式的单调性判断各个选项. 【详解】对于A：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，A选项错误； 对于B：函数定义域为，，所以函数是奇函数， 在定义域内单调递增，B选项正确； 对于C：在区间上单调递减的，C选项错误； 对于D：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误； 故选：B. 2. 已知，则（　　） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由，知；由，知，代入可求结果；或由，得，所以，代入可求得结果. 【详解】由，知； 由，知. 所以. 方法二：由，知，所以. 所以. 故选：A. 3. 若，则的化简结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式的运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D 4. 设，则的大小关系为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以的大小关系为. 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题构造函数，判断的单调性，从而得到，依次判断各个选项. 【详解】令，由在R上单调递增，在R上单调递增， 所以函数在R上单调递增. 若，则，即， . 对于AB，由，得，即，所以，故A错误，B正确； 对于CD，由，得，所以，故选CD错误. 故选：B. 6. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期性，奇偶性，结合分段函数解析式，来求函数值即可. 【详解】因为，的周期为2， 所以． 因为为偶函数，所以． 因为当时，， 所以． 故选：C. 7. 为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．现在加密密钥为（，且），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是（ ） A. －18 B. －15 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由题意代入数据，由指数运算法则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：A. 8. 任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数奇偶性分解，得到偶函数与奇函数的解析式，再将不等式转化为关于的式子，通过变量替换结合基本不等式确定变量范围，最后分离参数，分析函数单调性求最值，得到的取值范围. 【详解】依题意，为偶函数，为奇函数， 由，且， 解得， . ，结合， 得，故. 代入不等式，得，即. 设，由基本不等式，， 当且仅当时等号成立，故. 不等式转化为对恒成立，分离参数得. 函数在上单调递减，故的最大值为. 因此. 故选：B. 二、多选题 9. 已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A. B. C. 8 D. 16 【答案】CD 【解析】 【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点， 即方程有两个不等的实根， 而方程有三个不等的实根 得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点， 故或，解得或. 故选：CD. 10. 已知函数，其中，且，则（　　） A. B. C. D. 函数有2个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得，进而求得，可判定A正确；画出函数的图象，结合图象，得到的范围，可判定B不正确；根据图象，得到，当时，令，求得，可判定C正确；求得，分和，两种情况分析，方程根的个数，得到零点个数，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，可得， 所以，所以A正确； 对于B，根据二次函数与指数函数的图象与性质，画出函数的图象，如图所示， 要使得，可得，即，所以B不正确； 对于C，当时，，可得的对称轴为，所以， 由，令，可得，解得， 所以，即， 所以，所以C正确； 对于D，由函数， 因为，可得， 当时，方程，结合图象知，方程只有1个实数根； 当时，方程，即， 可得，此时方程有2个实数根据， 所以函数共有3个零点，所以D错误. 故选：AC. 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的最小值是0 C. 若对任意实数，不等式恒成立，则 D. ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接验证A选项即可；求得，利用换元法求得的最小值判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，将不等式恒成立转化为在上恒成立，然后按照和分类讨论求解范围判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A， ，所以，正确； 对于B， ， 令，当且仅当即时等号成立， 则，因为在上单调递增， 故时，有最小值为， 即函数的最小值是0，正确； 对于C，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 不等式在上恒成立， 则， 函数为上的增函数，故在上恒成立， 即在上恒成立，当时，即，不合题意； 当时，由题意，解得，综上，错误； 对于D，， 当时，由整理可得， 即，故，正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义及幂函数的定义计算即可. 【详解】， 设，则，故， . 故答案为：. 13. 已知，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算的定义域，然后利用定义法判断出为偶函数，再根据复合函数同增异减的原则，判断出的单调性，最后再根据奇偶性和单调性解不等式，得出最终结果. 【详解】由得，的定义域为：； ， 根据函数奇偶性的定义：，所以为偶函数； 令，，根据二次函数的性质，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减； 又因为为增函数，根据复合函数同增异减的原则，在上单调递增，在上单调递减； 因为为偶函数，所以不等式等价于， 则，解得：； 故答案为：. 14. 已知函数的值域为，的值域为，则_______ 【答案】0 【解析】 【分析】由的值域为，得到的值域为，则有，从而求得；由的值域为，得到的最小值为9，则有，从而求得，计算的值得解. 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为，所以，解得； 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数的定义及运算求解． 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 ． 16. 已知幂函数． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3） 函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域和单调性结合可得出关于的等式与不等式，即可得出原方程的解集； （3）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论. 【小问1详解】 因为函数为幂函数， 则，解得， 故. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得，解得， 故方程的解集为. 【小问3详解】 略 17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金（单位：万元）的关系为，，且. （1）求实数的值； （2）已知该科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，能够使得投资期望收益最大?并求出最大期望收益. 【答案】（1） （2）项目甲研发投入资金3万元，项目乙投入24万元时，投资收益最大为30万元. 【解析】 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得的表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由可得， 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则， 则， 由基本不等式可得，当且仅当时等式成立， 所以， 所以，当且仅当时等式成立， 所以项目甲研发投入资金3万元，项目乙投入24万元时，投资收益最大为30万元. 18. 已知函数是偶函数，. （1）求的解析式； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； （3）若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过求得，验证即可； （2）由题知方程无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数的值域即可； （3）由题知，，利用换元法得，，最后分类讨论求函数最值即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，. 所以， 解得：，经验证符合题意， 所以 【小问2详解】 由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. 【小问3详解】 由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. （1）判断是否为 的“2重覆盖函数”?请说明理由； （2）若为 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. （3）函数[x]表示不超过x的最大整数，如.若， 为 的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）不是，理由为： 当时，，方程仅有一个解， 不满足“重覆盖函数”要求，故不是的“2重覆盖函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义进行判断； （2）分情况讨论分段函数的解的个数，结合二次函数性质求解； （3）先求出再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数在上单调递增，其值域为. 中的部分单调递增，对任意，该部分方程仅有一个解. 因此需保证对任意，方程在时仅有一个解. 当时，（）单调递减，对， 方程的解，仅有一个解，符合条件. 当时，二次函数开口向上，对称轴为. 若，则在时单调递减，. 当时，，对，方程在时仅有一个解； 当时，（）单调递减，对，方程在时仅有一个解，符合条件. 当时，二次函数开口向下，，对， 方程在时无或两个解，不符合条件. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以 则对于任意要有2024个根， 作出函数的图象（部分）， 如图： 要使有2024个根，则， 又，则，故正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学周测12 一、单选题 1. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（　　） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 3. 若，则的化简结果是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（   ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 14 C. D. 7. 为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．现在加密密钥为（，且），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是（ ） A. －18 B. －15 C. 15 D. 18 8. 任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A. B. C. 8 D. 16 10. 已知函数，其中，且，则（　　） A. B. C. D. 函数有2个零点 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的最小值是0 C. 若对任意实数，不等式恒成立，则 D. ，则 三、填空题 12. 已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则_________ 13. 已知，若，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数的值域为，的值域为，则_______ 四、解答题 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知幂函数． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金（单位：万元）的关系为，，且. （1）求实数的值； （2）已知该科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，能够使得投资期望收益最大?并求出最大期望收益. 18. 已知函数是偶函数，. （1）求的解析式； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； （3）若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. （1）判断是否为 的“2重覆盖函数”?请说明理由； （2）若为 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. （3）函数[x]表示不超过x的最大整数，如.若， 为 的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $