5.2 勾股定理及其逆定理（2）课件2025--2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，核心内容包括运用勾股定理作长为√a的线段及解决实际问题。课堂导入先通过问题回顾勾股定理，再以“议一议”衔接在数轴上作无理数点的探究，逐步过渡到梯子移动、芦苇问题等实际情境，构建从定理回顾到技能操作再到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合梯子移动、芦苇生长等实际情境，引导学生用数学眼光抽象直角三角形模型，培养抽象能力与几何直观。通过“找直角、定关系、求值”的解题步骤，强化数学思维中的推理意识与运算能力，借助几何语言描述和示意图绘制提升数学语言表达。多样化练习与步骤总结帮助学生掌握应用方法，教师可依托结构化流程与实例提升教学效率。

第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理（2） 01 教学目标 02 新知导入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系。 01 能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 02 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。 03 3 02 新知导入 回顾 什么是勾股定理？ 任意直角三角形三边的长度之间是否存在数量关系？ 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么. 几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴。（或） 4 03 新知探究 议一议 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数和的点？ 你能在数轴上作出表示的点吗？ 5 03 新知探究 运用勾股定理作长为的线段 ①构造：构造直角三角形，使其以无理数瓜为斜边，两直角边都是整数 ②画图：借助数轴画出上述直角三角形，其中一条直角边在数轴上，另一条直角边与数轴垂直 ③定点：以原点为圆心，为半径画弧 与数轴正半轴的交点即为对应的点 与数轴负半轴的交点即为对应的点 6 03 新知探究 思考 图中是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图 . 假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5m，那么，梯子顶端是否也上移0.5m？（已知≈3.71，≈3. 87） 你能抽象出几何图形吗？ 7 03 新知探究 在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 于是，AB==≈3. 71(m). 在Rt△A'BC'中，A'C'=4m，BC'= 1m， 由勾股定理得，A'B= ≈3.87(m)， 因此A'A=A'BAB≈3.873.71=0. 16(m). 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m. 8 03 新知探究 (古代数学问题)“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺 . 例3 引葭赴岸，适与岸齐 . 问水深、葭长各几何？”①意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺 . 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面 .问水深与芦苇长各为多少？ 武英殿聚珍版《九章算术》 03 新知探究 分析：根据题意，先画出水池截面示意图，如右图所示 . 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B'. 03 新知探究 解：如图，设水深尺，则AC=尺，AB=AB'=尺. 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 所以B'C=5尺. 在Rt△ACB'中，根据勾股定理得， ， 解得=12. 故芦苇长为13尺. 答：水深为12尺，芦苇长为13尺. 03 新知探究 运用勾股定理求解线段长度问题 1.找直角：找出图中的直角三角形，或作辅助线构造直角三角形. 2.定关系：找出所求线段与直角三角形三边的关系. 3.求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 注意：如果没有几何图形则需根据题意抽象出图形。 12 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面3m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杯折断之前的高度是（　　） A．5m　　 B．8m　　 C．10m　　 D．13m B 13 04 课堂练习 2.如图，在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，OA在数轴上，以原点O为圆心，斜边OB的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A．　　 B． 　　 C．　　 D．2 B 14 04 课堂练习 3.一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m，如果梯子的顶端下滑0.8m，那么他的底部滑行了（　　） A．0.8m　　 B．1m　　 C．1.2m　　 D．1.6m D 15 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了24km，然后向正北方向航行了10km，这时他离出发点　 　km． 5.如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞　 　米． 26 10 04 课堂练习 6.如图，圆柱的底面周长是24cm，高是5cm，一只蚂蚁在A点想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是　 　cm． 13 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从A处折断，折断后竹子顶端B点落在离竹子底端O点3尺处，求折断处离地面（即AO）的高度是多少尺？ 解：由题意可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得， 即折断处离地面（即）的高度是4尺． 18 05 课堂小结 运用勾股定理作长为的线段 ①构造：构造直角三角形，使其以无理数瓜为斜边，两直角边都是整数 ②画图：借助数轴画出上述直角三角形，其中一条直角边在数轴上，另一条直角边与数轴垂直 ③定点：以原点为圆心，为半径画弧 与数轴正半轴的交点即为对应的点 与数轴负半轴的交点即为对应的点 05 课堂小结 运用勾股定理求解线段长度问题 1.找直角：找出图中的直角三角形，或作辅助线构造直角三角形. 2.定关系：找出所求线段与直角三角形三边的关系. 3.求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 注意：如果没有几何图形则需根据题意抽象出图形。 06 作业布置 【知识技能类作业】 1.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　） A．1米　　 B．1.5米　　 C．2米　　 D．4米 A 06 作业布置 2.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．　　 B．3　　 C．　 D．4 C 06 作业布置 3.如图，数轴上有一个边长为1的正方形ABCD，其中点A、B表示的数分别为2、3，以B为圆心，对角线BD为半径画弧交数轴上点A左边于点E，则E表示的数为　 　． 3 06 作业布置 【综合拓展类作业】 4.在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在△ABC中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，且AD⊥BC于点D，经测量得：AB=2m，AD=1.2m，CD=0.9m． 按照要求，帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件． 06 作业布置 解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴， 06 作业布置 ∴． ∵，， ∴； ∴． ∴学生搭建的帐篷符合条件． 07 板书设计 勾股定理： 勾股定理的应用： 5.2 勾股定理及其逆定理（2） 习题讲解书写部分 $