第四章　三角形 2026年安徽中考数学一轮专题复习课件

该初中数学课件聚焦“线、角、相交线与平行线”中考核心考点，覆盖线的基本事实、角的度量与运算、相交线性质、平行线判定与性质及命题等内容。通过知识导图分考点梳理，对接中考说明分析近五年真题，归纳角度计算、平行线证明、命题判断等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”模式，含2025四川广安、安徽2022等中考真题，如例1三角板摆放求∠1，示范利用平行线性质和角的运算培养几何直观与推理意识。提供考点突破方法，如通过等量代换证平行，帮助学生掌握答题技巧，助力教师高效组织中考冲刺复习。

第一部分 知识梳理　课程重构 第四章　三角形 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 1.将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数是( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 热身小练 C 第1题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 2.[2023·辽宁丹东]如图所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，DE∥AC，交BC于点E.若∠A＝50°，则∠CDE的度数是( ) A.25° B.40° C.45° D.50° B 第2题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 3.[2025·江苏连云港]如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为　 　m.  　2.4　 第3题图　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 4.[2025·江苏扬州]如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　.  　6　 　第4题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 5.[2025·浙江改编]如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为E.求∠DCE的度数. 解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CDAB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝35°，∴∠CDE＝∠A＋∠ACD＝70°， 由题意知CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE＝70°，∴∠DCE＝180°－∠CED－∠CDE＝40°. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 考点1　直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角①　 　.  (2)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的②　 　.  (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的③　 　.  (4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 　一半　 　一半　 知识梳理 　互余　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 考点2　直角三角形的判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形. (2)有两个角④　 　的三角形是直角三角形.  (3)勾股定理的逆定理：如果一个三角形一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 　互余　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 跟踪训练 例1　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝15，BC＝20，点P在AC上，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A正好落在点E处. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- (1)如图1，若点E在AC上，则BP＝　 　；  (2) 如图2，若点E在BC边上，求△PEC的面积； 　12　 【参考答案】(2)解法1：过点E作ED⊥AC于点D. 在Rt△ABC中，AC25. 由折叠的性质知BE＝AB＝15，PA＝PE，∴EC＝BC－BE＝5. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- ∵ED⊥AC，∴cos C，∴CD＝4， ∴DE3. 设AP＝PE＝x，则PD＝25－4－x＝21－x， 在Rt△PDE中，有PD2＋DE2＝PE2，∴(21－x)2＋32＝x2， 解得x，∴PC＝25， ∴S△PECPC·DE3 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 解法2：过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N. 由折叠的性质知∠ABP＝∠CBP，BE＝AB＝15，∴CE＝5. ∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM＝PN. AB·PMBC·PNAB·BC，∴PM＝PN， ∴S△PECPN·CE5 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- (3) 如图3，若P是AC的中点，连接CE，求证：CE∥BP. (3)解法1：∵∠ABC＝90°，P是AC的中点， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB，∴∠APB＝2∠PBC. 由翻折可知，PE＝PA，∠BPE＝∠APB＝2∠PBC， ∴PC＝PE. ∵∠CPE＝180°－∠APB－∠BPE＝180°－4∠PBC， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- ∴∠PEC(180°－∠CPE)＝2∠PBC， ∴∠BPE＝∠PEC，∴CE∥BP. 解法2：∵∠ABC＝90°，P是AC的中点， ∴PA＝PB＝PC， 由折叠知PA＝PE，∠ABP＝∠EBP， ∴PA＝PB＝PE＝PC， ∴点A，B，E，C在以点P为圆心，AC为直径的圆上， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 如图， ∴∠A＋∠BEC＝180°， 又∵PA＝PB，∴∠A＝∠ABP＝∠EBP， ∴∠EBP＋∠BEC＝180°，∴CE∥BP. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 例2　(1) 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，有一个锐角为60°，AC＝4.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠PBC＝30°，则BP的长为　 　.  2或 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- (2)如图，△ABC为等腰直角三角形，延长CB至点D使CD＝AC，以AB和BD为邻边作矩形ABDE，其对角线AD，BE交于点O，连接CO交AB于点F，连接DF. (ⅰ)求证：△BDF是等腰直角三角形； (ⅱ)求的值. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- (ⅰ)求证：△BDF是等腰直角三角形； 【参考答案】(2)(ⅰ)∵四边形ABDE是矩形， ∴AO＝DO，∠ABD＝90°，∴∠BAD＋∠ADB＝90°. ∵CA＝CD，∴OC⊥AD，∴∠COD＝90°， ∴∠OCD＋∠ADB＝90°，∴∠BAD＝∠OCD. ∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABD≌△CBF(ASA)， ∴BD＝BF，∴△BDF是等腰直角三角形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- (ⅱ)求的值. (ⅱ)在OC上取点G，使OG＝OA，连接AG. 由(1)得OA＝OD，OC⊥AD， ∴AGOA，∠AGO＝45°， ∴∠ACG＋∠CAG＝45°. ∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°. ∵CA＝CD，OA＝OD，∴∠ACGACB＝22.5°， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- ∴∠CAG＝22.5°＝∠ACG，∴CG＝AGOA， ∴OC＝CG＋OG＝(1)OA. ∵AD＝2OA， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 1.[2025·安徽第6题]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边 BC 上的点E满足ED⊥AC.若DE，则AC的长是( )   A.4 B.6 C.2 D.3 直角三角形的相关计算 B 命题点 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 2.[2024·安徽第7题]如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则 BD的长是( )   A B C.22 D.2 B 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 3.[2021·安徽第5题]两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF相交于点M.若BC∥EF，则∠BMD的大小为( )   A.60° B.67.5° C.75° D.82.5° C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 4.4　直角三角形 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第四章　三角形 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 1.[2024·天津]cos 45°－1的值等于( ) A.0 B.1 C1 D1 2.[2025·广西]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sin B＝( ) A B C D B 热身小练 A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 3.[2024·甘肃临夏州]如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B，则BC的长是( ) A.3 B.6 C.8 D.9 B 第3题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 4.[2025·黑龙江绥化]如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是　 　m.  15 　第4题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 5.[2025·湖北]如图，甲、乙两栋楼相距30 m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A处到地面的距离为18 m，求乙楼的高.(参考数据：tan 35°≈0.7) 解：由题意得∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，AC＝30 m， ∴BC＝AC·tan 35°≈30×0.7＝21(m)，21＋18＝39(m). 答：乙楼的高约为39 m. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 知识梳理 考点1　锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且∠C＝90°，则sin A，cos A，tan A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 2.特殊角的锐角三角函数值 α 30° 45° 60° 示意图       sin α cos α tan α 1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 3.互余两角的三角函数的关系 sin α＝cos①　 　；cos α＝sin② 　.  　(90°－α)　 　(90°－α)　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如图1所示. (1)三边关系：③　 　.  (2)两锐角的关系：∠A＋∠B＝90°. (3)边角关系：sin A＝cos B，cos A＝sin B，tan A 考点2　解直角三角形 1.直角三角形中的边角关系 　a2＋b2＝c2　 图1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 2.解直角三角形的类型和解法 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 已知条件 解法 两直角边(a，b) 由tan A，求∠A；∠B＝90°－∠A；c 斜边与一直角边(如c，a) 由sin A，求∠A；∠B＝90°－∠A；b 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 已知条件 解法 一锐角与邻直角边(如∠A，b) ∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c 一锐角与对边(如∠A，a) ∠B＝90°－∠A；b；c 斜边与一锐角(如c，∠A) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 3.解直角三角形应用中的相关概念 (1)仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角，如图2所示. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- (2)坡度(坡比)、坡角：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)；坡面与水平面的夹角α叫做坡角.如图3所示. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- (3)方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)××度；方向角的角度值的范围是0°~90°.如图4，点A，B，C关于O点的方向角分别是北偏东30°，南偏东60°，北偏西45°(西北方向). 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 跟踪训练 例1　[2025·合肥包河区一模]马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程，主桥采用主跨三塔钢桁梁斜拉桥，总长3248 m，为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥，图1是正在建设中的边塔.如图2，为了测量边塔上的点B到点A的高度AB，数学测绘社团在与塔底B同一平面上选取两个测量点C，D，使得点B，C，D在同一条直线上，测得点A的仰角∠ACB＝60.3°，∠A求AB的高.(参考数据：sin 60.3°≈0.87，cos 60.3°≈0.50，tan 60.3°≈1.75，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) DB＝37°，用米尺测得点C，D之间的距离为160 m， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 【参考答案】设AB的高为x m. 在Rt△ABD中，∠ADB＝37°，tan ∠ADB，∴BDx. 在Rt△ABC中，∠ACB＝60.3°，tan ∠ACB，∴BCx. ∵CD＝160，∴BD－BCxx＝160，解得x＝210. 答：AB的高约为210 m. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 例2　 [2025·合肥新站区一模]图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》，“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理.图2为其抽象的数学示意图，点A为水盆，点B为被观测者，现测得入射角∠BCM＝30°，∠CAN＝20°，MC与NA为法线，NA⊥AB.若AC长为4 m，求AB的长度.(结果精确到0.1 m，参考数据：1.41，1.73，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77) 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 【参考答案】过点A作AH⊥BC于点H. ∵∠BCM＝∠ACM＝30°，∴∠ACH＝60°. ∵AH⊥CB，∴AH＝AC·sin 60°＝2(m). ∵∠CAN＝20°，∠NAD＝90°，∴∠CAD＝90°－20°＝70°. ∵∠CAH＝90°－∠ACH＝30°，∴∠HAB＝70°－30°＝40°， ∴AB4.5(m). 答：AB的长度约为4.5 m. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 1. [2020·安徽第8题]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cos A，则BD的长度为( ) A B C D.4 锐角三角函数 C 命题点1 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 命题点2 解直角三角形及其应用 2.[2025·安徽第17题]某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已知AB＝13.20 m，求AD的长.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 23.8°≈0.40，cos 23.8°≈0.91，tan 23.8°≈0.44，sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75) 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E. 由题意知四边形ABCE为矩形，所以CE＝AB＝13.20 m. 在Rt△ACE中，tan ∠CAE， 所以AE30.0(m). 在Rt△ADE中，cos ∠DAE， 所以AD37.5(m). 答：AD的长约为37.5 m. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 4.7　解直角三角形及其应用 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 命题域聚焦 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 类型1　中点相关的线段问题 1.利用中点构造倍长中线、类倍长中线 例1　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E是线段CA延长线上的一个动点，连接DE.过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF.求证：AE2＋BF2＝EF2. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 【参考答案】如图，延长ED到点M，使DM＝DE，连接BM，MF. ∵D是AB的中点，∴AD＝BD. 在△ADE和△BDM中， ∴△ADE≌△BDM(SAS)，   -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- ∴AE＝BM，∠AED＝∠BMD，∴AE∥BM， ∴∠FBM＝∠ACB＝90°. ∵DF⊥DE，DE＝DM，易得EF＝MF. 在Rt△BMF中，BM2＋BF2＝MF2， ∴AE2＋BF2＝EF2. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 归纳总结 描述 图示 结论 在△ABC中，D是BC的中点，连接AD，则AD是△ABC的中线. 方法1：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE. 方法2：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E.   △ABD≌△ECD -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 描述 图示 结论 在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上的一点. 方法1：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF. 方法2：过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F.   △EBD≌△FCD -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 2.利用中点构造中位线 例2　(1)如图1，E，F分别是四边形ABCD的边AB，CD上的中点，G是对角线BD的中点，AD＝BC.求证：∠GEF＝∠GFE. (2)如图2，E，F分别是四边形ABCD的边AB，CD上的中点，AD＝2，BC＝2，∠C＋∠D＝90°，求EF的长. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 【参考答案】(1)由题意得EG，FG分别是△ABD，△BCD的中位线，∴EGAD，FGBC. ∵AD＝BC，∴EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (2)连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM. 易知EM是△ABD的中位线，∴EMAD，EM∥AD，∴∠ADB＝∠EMB. 同理可得FMBC，∠DFM＝∠C. ∵∠BMF＝∠BDF＋∠DFM， ∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠ADB＋∠BDF＋∠DFM＝∠ADF＋∠C＝90°， 在Rt△EMF中，EF -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 归纳总结 描述 图示 结论 在△ABC中，D是AB的中点. 方法：取AC的中点E，连接DE，则DE是△ABC的中位线.   DE∥BC； DE＝BC； △ADE∽△ABC 在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点. 方法：连接DE，则DE是△ABC的中位线.   -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 3.在等腰三角形中构造“三线合一” 例3　如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N.求MN的长. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 【参考答案】连接AM. ∵AB＝AC＝5，M为BC的中点，∴AM⊥BC，CM＝BMBC＝3. 在Rt△AMC中，AM4. ∵S△AMC3×45MN，∴MN -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 归纳总结 描述 图示 结论 在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点. 方法：连接AD.   AD⊥BC； AD平分∠BAC -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 4.在直角三角形中构造斜边上的中线 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 例4　如图，在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，ABDC，求∠BAC的度数. 【参考答案】取CD的中点E，连接AE. ∵∠DAC＝90°，∴AE＝ECDC， ∴∠EAC＝∠C＝25°，∴∠AED＝25°＋25°＝50°. 又∵ABDC，∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AED＝50°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－25°＝105°. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 归纳总结 描述 图示 结论 在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点. 方法：连接CD.   CD＝AB；AD＝BD＝CD；点C在以点D为圆心，AB为直径的圆上 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F.若AB＝9，CD＝4，则AD的长为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 C 第1题图 针对训练 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　.  　2.5　 第2题图 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 3.[2024·贵州]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.若sin ∠EAF，AE＝5，求AB的长. 解：延长BC，AF交于点M. 在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝EC＝CF＝DF，AD∥BC，∠D＝∠FCM，∠B＝∠D， -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- ∴△ABE≌△ADF(SAS)，△ADF≌△MCF(ASA)， ∴AE＝AF，CM＝AD，AF＝MF. ∵AE＝5，∴AE＝AF＝MF＝5， 过点E作EN⊥AF于点N，∴∠ANE＝90°. ∵sin ∠EAF，AE＝5， ∴EN＝4，∴AN＝3， ∴NF＝AF－AN＝2，∴MN＝5＋2＝7， -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 在Rt△ENM中，EM ∵EM＝EC＋CMBC＋BC， ∴AB＝BC -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 4.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以AC为斜边作Rt△APC，连接PD. (1)当点P在△ABC的内部时，如图1，求证：AP－CPDP； -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (2)当点P在△ABC的外部时，如图2、图3，线段AP，CP，DP之间又有怎样的数量关系?请直接写出猜想，不需要证明. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (1)当点P在△ABC的内部时，如图1，求证：AP－CPDP； 解：(1)连接CD，交AP于点F，过点D作DE⊥PD交AP于点E. ∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点， ∴CD⊥AB，AD＝CD. ∵∠APC＝90°，∴∠FCP＋∠CFP＝90°. 又∵∠CFP＝∠AFD，∠AFD＋∠DAF＝90°， -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- ∴∠DCP＝∠DAE. ∵∠ADE＋∠EDF＝90°，∠CDP＋∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDP， ∴△ADE≌△CDP(ASA)， ∴AE＝CP，DE＝DP， ∴△EDP是等腰直角三角形， ∴EPDP， ∴AP－CP＝AP－AE＝EPDP. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (2)当点P在△ABC的外部时，如图2、图3，线段AP，CP，DP之间又有怎样的数量关系?请直接写出猜想，不需要证明. (2)题图2，猜想：AP＋CPDP；题图3，猜想：CP－APDP. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 类型2　角平分线相关的问题 1.构造轴对称图形 例5　如图，在四边形ABCD中，AB＝14，CD＝8，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，求BC的长. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 【参考答案】过点D作DE⊥AB于点E. 易证△BCD≌△BED(AAS)，∴DE＝CD＝8，BC＝BE. ∵∠BAD＝45°，DE⊥AB，∴AE＝DE＝8， ∴BE＝AB－AE＝6，∴BC＝BE＝6. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 归纳总结 描述 图示 结论 已知射线OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C. 方法：过点P作PD⊥OB于点D.   △OCP≌△ODP； PC＝PD； OC＝OD -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 描述 图示 结论 已知射线OP是∠AOB的平分线，CP⊥OP于点P. 方法：延长CP交OB于点D.   △OCP≌△ODP； PC＝PD，OC＝OD； ∠OCD＝∠ODC -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 描述 图示 结论 已知射线OP是∠AOB的平分线，C是OA上一点，连接CP. 方法：在OB上取一点D，使OD＝OC，连接PD.   △OCP≌△ODP； PC＝PD； ∠OCP＝∠ODP； ∠OPC＝∠OPD -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 2.利用“角平分线、平行线、等腰三角形”知二得一 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 例6　如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H. (1)求证：△APF是等腰三角形； (2)猜想AB与PC的大小有什么关系?证明你的猜想. 【参考答案】(1)如图，∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P. ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P， ∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (2)猜想AB与PC的大小有什么关系?证明你的猜想. (2)AB＝PC. ∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1. ∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3. ∵BE＝CD，∴△BEF≌△CDH(AAS)，∴BF＝CH. ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H， ∴AC＝CH，∴AC＝BF. ∵AB＝AF＋BF，PC＝AP＋AC，AF＝AP，∴AB＝PC. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 归纳总结 描述 AC平分∠BAD，AD∥BC BD平分∠ABC，AD∥BC 图示     结论 BA＝BC AB＝AD -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　 　.  针对训练 　1　 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 6.如图，∠AOD＝15°，OD平分∠AOB，DC⊥AO于点C.若CD＝2，则OC的长为　 　.  4＋2 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 【解析】过点D作DE∥OB交OA于点E，易得△OED是等腰三角形，∠CED＝∠AOB＝30°.在Rt△ECD中，ED＝2CD＝4，ECCD＝2，∴OE＝ED＝4，∴OC＝OE＋CE＝4＋2 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 7.如图，在▱ABCD中，AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，连接BF，BE＝CD.求证：AE平分∠BAD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠EAD＝∠E. ∵BE＝CD，∴BE＝AB， ∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠EAD， ∴AE平分∠BAD. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 类型3　三角形全等与相似中的“手拉手” 1.三角形全等中的“手拉手” 例7　[2025·四川凉山州改编]如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠BAC＝∠EAD，∠BDC＝56°，求∠ABC的度数. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 【参考答案】∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC－∠CAE＝∠EAD－∠CAE，即∠BAE＝∠CAD. ∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)， ∴∠ABE＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC＝56°， ∵AB＝AC，∴∠ABC62°. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 归纳总结 条件 △OAB和△OCD均为等腰三角形，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，连接AC，BD 图形 　　　 结论 △OAC≌△OBD -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 2.三角形相似中的“手拉手” 例8　[2024·合肥长丰二模]已知E是△ABC外一点，D是△ABC所在平面内一点，且满足∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE. (1)如图1，点D在△ABC外，求证：△ABC∽△ADE； (2)如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，AD，求的值. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (1)如图1，点D在△ABC外，求证：△ABC∽△ADE； 【参考答案】(1)∵∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE，， ∵∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，∴∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (2)如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，AD，求的值. (2)由(1)得△BAD∽△CAE，△ABC∽△ADE， ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，AD， ，∠ABC＝∠ADE＝∠ACE＝30°，∠DAE＝∠BAC＝90°， -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- tan ∠ADE＝tan 30°， ∴AECEAD，∴AD＝3CE. ∵∠ADF＝∠ECF＝30°，∠AFD＝∠EFC， ∴△AFD∽△EFC，3，的值为3. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 归纳总结 条件 在△OAB和△OCD中，OA≠OB，∠AOB＝∠COD，＝＝a，连接AC，BD 情形 a＝1 a≠1 图形     结论 △OAC∽△OBD -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 8.如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( )   A.∠ABC＝∠DCE B.CB＝CD C.DE＋DC＝BC D.AC⊥CD 针对训练 D -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 9.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，则图2中的值为  　.  -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 10.[2024·合肥肥东模拟]已知△ABC和△ADE有公共的顶点A，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，AC与DE相交于点G，连接BE，CD. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (1)若点B，E，D在一条直线上，如图1，求证：∠BAC＝∠BDC； (2)将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度，DE的延长线交BC于点F，如图2. (ⅰ)求证：AE·CG＝DG·CF； (ⅱ)若∠AEB＝∠BAC＝90°，求的值. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (1)若点B，E，D在一条直线上，如图1，求证：∠BAC＝∠BDC； 解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠CAE＝∠DAE－∠CAE，即∠BAE＝∠CAD. ∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠ABE＝∠ACD. 在△ABG和△CDG中，∠ABG＝∠DCG，∠AGB＝∠DGC， ∴∠BAG＝∠CDG，即∠BAC＝∠BDC. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (2)将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度，DE的延长线交BC于点F，如图2. (ⅰ)求证：AE·CG＝DG·CF； (2)(ⅰ)∵△ABC和△DAE都是等腰三角形， ∴∠ADG，∠FCG ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠ADG＝∠FCG. ∵∠AGD＝∠FGC，∴△ADG∽△FCG，，即AD·CG＝DG·CF，又AD＝AE，∴AE·CG＝DG·CF. -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- (ⅱ)若∠AEB＝∠BAC＝90°，求的值. (ⅱ)连接AF. 由(1)得△ABE≌△ACD，∴∠ADC＝∠AEB＝90°. 由(ⅰ)得△ADG∽△FCG，∴∠DAG＝∠DFC，， ，又∠AGF＝∠DGC， -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 通晓图形变换，精解全等相似 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第四章　三角形 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 1.[2025·芜湖一模]如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )   A B.∠B＝∠D C D.∠C＝∠AED 热身小练 C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 2.[2025·黑龙江绥化]两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是( ) A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm   B 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 　4　 3.[2025·成都]若3，则的值为　 　. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 4.[2025·青海]如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则的值是  　.  第4题图　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 5.[2024·青海]如图，线段AC，BD交于点O，请你添加一个条件：　 　，使△AOB∽△COD.  　∠A＝∠C(答案不唯一)　 　第5题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 6.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6，∴BC＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ， 又∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 知识梳理 考点1　比例线段及比例的性质 1.比例线段的定义 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 2.比例的性质 (1)基本性质：⇔ad＝bc(b，d≠0). (2)合比性质：如果，那么①  　(b，d≠0).  (3)等比性质：如果…，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 3.黄金分割 定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB∶AC＝AC∶BC)，这样的线段分割叫做黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点.其中0.618.线段AB的黄金分割点有两个. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 考点2　平行线分线段成比例定理 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段②　 　.  　成比例　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 考点3　相似三角形的判定 (1)平行线法：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.这是判定三角形相似的一种基本方法，其基本图形可简记为“A”字型和“8”字型，如图1、图2所示，在应用时要善于从复杂的图形中抽离出这些基本图形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (2)两角法：两角对应相等的两个三角形相似. (3)两边及其夹角法：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4)三边法：三边对应成比例的两个三角形相似. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 考点4　相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形的对应高、角平分线、中线的比都等于③ 　 　.  (3)相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的④　 　.  　平方　 　相似比　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 跟踪训练 例1　 [2024·宁夏]如图，在▱ABCD中，点M，N在AD边上，AM＝DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F.求证：AE＝DF. 小丽的思考过程如下： 参考小丽的思考过程，完成推理. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 思路导引：由平行四边形的性质得到对边平行，由平行线构成“A”字型或“8”字型相似三角形. 思路一：由AB∥CD得到“8”字型相似三角形； 思路二：由AD∥BC得到“A”字型相似三角形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 【参考答案】解法1：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△AEM∽△DCM，△FDN∽△BAN， 又∵AM＝DN，∴AM＋MN＝DN＋MN，即AN＝DM， 又∵AB＝CD，∴AE＝DF. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 解法2：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD， ∴△EAM∽△EBC，△FND∽△FBC， ∵AM＝DN，， ∵AB＝CD，∴AE＝DF. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 归纳总结 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 例2　如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于点F，ME交BC于点G. (1)写出图中两对相似三角形； (2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (1)写出图中两对相似三角形； 【参考答案】(1)△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.(答案不唯一) 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长. 思路导引：(2)求FG 求CG 求BG 结合(1)利用相似三角形求解 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC， ∵AB＝4，∴AC＝BCAB＝4. ∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2 ∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，∠FMB是△AFM的外角， ∴∠FMB＝∠A＋∠AFM＝∠DME＋∠GMB， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- ∴∠AFM＝∠GMB，∴△AMF∽△BGM，， ∴BG， ∴CG＝BC－BG，CF＝AC－AF＝1， ∴FG 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 归纳总结 一线三等角型的相似三角形结构 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 例3　如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF. (1)求证：DFDE； (2)如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M.判断FN与EM的数量关系，并说明理由. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (1)求证：DFDE； 【参考答案】(1)∵AB＝AC＝2，BC＝4，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点， ∴DEBC＝2，DFAB，∴DFDE. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (2)如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M.判断FN与EM的数量关系，并说明理由. (2)FNEM. 理由：∵AB＝AC，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- ∴ED∥BC，DFABAC＝DC，EFACAB＝BE， ∴∠DEF＝∠EFB＝∠B＝∠C＝∠DFC. ∵∠DFC＝∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM. 由旋转可知∠PDQ＝∠EDF， ∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME. 结合(1)可得，∴FNEM. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 归纳总结 旋转缩放型的相似三角形结构 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 命题点 真题精练 与相似三角形有关的证明与计算 1.[2019·安徽第23题]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°. (1)求证：△PAB∽△PBC； (2) 求证：PA＝2PC； 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h2·h3. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (1)求证：△PAB∽△PBC； 解：(1)在△ABP中，∠APB＝135°， ∴∠ABP＋∠BAP＝45°. ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°，即∠ABP＋∠CBP＝45°， ∴∠BAP＝∠CBP. 又∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (2) 求证：PA＝2PC； (2)解法1：由(1)知△PAB∽△PBC， 2，即PA＝2PC. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 解法2：∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴∠APC＝90°. ∵∠CAP＜45°， ∴∠ACP＞45°，故AP＞CP. 如图1，在线段AP上取点D，使AD＝PC. 又∵∠CAD＋∠PAB＝45°，且∠PBA＋∠PAB＝45°， ∴∠CAD＝∠PBA. 又∵∠PBA＝∠BCP，∴∠CAD＝∠BCP. 图1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- ∵AC＝CB，∴△ADC≌△CPB(SAS)， ∴∠ADC＝∠CPB＝135°，∴∠CDP＝45°， ∴△PDC为等腰直角三角形，∴PC＝PD. 又∵AD＝PC，∴PA＝2PC. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- (3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h2·h3. (3)如图2，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为点Q，R，S，则PQ＝h1，PR＝h2，PS＝h3. 在Rt△CPR中，tan ∠PCR＝tan ∠CAP， ，即h3＝2h2.　① 图2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 又∵△PAB∽△PBC，， 即h1h2.　② 由①②可得h2·h3. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 4.6　相似三角形 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第四章　三角形 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 热身小练 1.[2025·四川广安]若∠A＝25°，则∠A的余角为( ) A.25° B.65° C.75° D.155° 2.[2024·呼和浩特]如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为( ) A.75° B.105° C.115° D.130° B B 第2题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 4.命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 　，该逆命题是　 　(填“真”或“假”)命题.  　真　 　第3题图 　 如果a＝b，那么a2＝b2　 3.如图，直线AB，CD相交于点O.若EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为　 　.  　140°　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 5.如图，EF∥CD，∠1＋∠2＝180°. (1)求证：GD∥CA. (2)若DG平分∠CDB，且∠EFB＝80°，求∠A的度数. 解：(1)∵EF∥CD，∴∠1＋∠ACD＝180°. ∵∠1＋∠2＝180°，∴∠ACD＝∠2，∴GD∥CA. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- (2)若DG平分∠CDB，且∠EFB＝80°，求∠A的度数. (2)∵CD∥EF，∴∠CDB＝∠EFB＝80°. ∵DG平分∠CDB，∴∠BDG＝∠2＝40°. ∵GD∥CA，∴∠A＝∠BDG＝40°. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 考点1　线、角 1.直线、射线、线段 (1)直线上两点和它们之间的部分叫做线段，线段是射线的一部分，也是直线的一部分. (2)直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线. 直线的性质：两条直线相交只有一个交点. (3)线段的基本事实：两点之间的所有连线中，①　 　最短.  知识梳理 　线段　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 2.线段的中点：如图，若C是线段AB的中点，则AC＝BCAB，AB＝2AC＝2BC. 3.角 (1)有公共顶点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. (2)1周角＝2平角＝4直角＝360°，1°＝60'，1'＝60″. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 4.互余与互补 (1)互余：如果两个角的和为90°，那么称这两个角互为余角，简称互余. (2)互补：如果两个角的和为180°，那么称这两个角互为补角，简称互补. (3)互余、互补的性质：同角(等角)的余角(补角) ②　 　.  　相等　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 5.角平分线 (1)如图，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOCAOB，∠AOB＝2∠AOC＝∠2BOC. (2)性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等. (3)判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 考点2　相交线与平行线 1.相交线 (1)对顶角的性质：对顶角③　 　.  (2)垂直：两条直线相交成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足. (3)垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；在连接直线外一点与直线上各点的线段中，④ 　最短；直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.  　垂线段　 　相等　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 2.平行线 (1)平面内两条直线的位置关系：平行和相交. (2)平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线. 推论：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线⑤ 　 　.  (3)平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.两条平行线之间的距离处处相等. 　平行　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 3.平行线的判定和性质 (1)同位角相等 两直线平行. (2)内错角相等 两直线平行. (3)同旁内角⑥　 两直线平行.  　互补  热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 考点3　命题、反证法 1.命题及组成 (1)命题：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.命题通常由题设(条件)和结论两部分组成. (2)命题的真假：条件成立，结论一定成立的命题叫做真命题；条件成立，结论不一定成立的命题叫做假命题.所有公理和定理都是真命题. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- (3)互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的⑦　 　和⑧　 　，这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.  (4)反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子. 2.反证法：假设命题的结论⑨　 　，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法.  　不成立　 　题设　 　结论　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 例1　 [2023·江苏盐城]小华将一副三角板(∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°)按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为( )   A.45° B.60° C.75° D.105° 跟踪训练 C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 例2　对于命题“如果四边形ABCD是平行四边形，那么AB∥DC，AD＝BC”. (1)这个命题的题设是　 　，结论是　 　，它是　 　(填“真”或“假”)命题.  　真　 　AB∥DC，AD＝BC　 　四边形ABCD是平行四边形　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- (2)这个命题的逆命题是　 　，它是　　(填“真”或“假”)命题.若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例.  如果AB∥DC，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形 假 【参考答案】(2)反例如图(四边形ABCD为等腰梯形)： 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 1.[2022·安徽第6题]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( ) A.α－90° B.α－45° C.180°－α D.270°－α 利用平行线、余角与补角的性质求角度 C 命题点1 真题精练 第1题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 2.[2017·安徽第6题]直角三角板和直尺按如图所示的方式放置.若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A.60° B.50° C.40° D.30° C 　第2题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 3.[2020·安徽第9题]已知点A，B，C在☉O上，则下列命题为真命题的是( ) A.若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B.若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C.若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D.若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC 命题与逆命题 B 命题点2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 4.[2019·安徽第12题]命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　 　.  如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 4.1　线、角、相交线与平行线 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第四章　三角形 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 1.[2025·江苏连云港]下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是( ) A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10 热身小练 B 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 2.[2024·河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的( ) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 B 第2题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 3.[2025·四川南充]如图，把含有60°角的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是( ) A.120° B.130° C.140° D.150° D 第3题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 4.[2024·山东德州]如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为( ) A.1.5 B.3 C.4 D.6 B 第4题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 5.[2024·江苏镇江]若等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为　 　.  6.[2024·四川凉山州]如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是　 　.  　100°　 　6　 第6题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 知识梳理 考点1　三角形及其边角关系 1.三角形的分类 (1)按边分为不等边三角形、等腰三角形. (2)按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 2.三角形的三边关系 (1)三角形中任意两边的和①　 　第三边，任意两边的差②　 　第三边.  (2)三角形具有稳定性. 　小于　 　大于　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 3.三角形的角的关系 (1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. (2)推论：直角三角形的两锐角③　 　；有两个角互余的三角形是直角三角形.  (3)外角及其性质：三角形的外角④　 　与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.  　等于　 　互余　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 考点2　三角形中的重要线段 重要线段 图形 性质 中线   AM是△ABC的一条中线. BM＝CM，S△ABM＝ S△ACM＝⑤ S△ABC.  重心：三角形三条中线的交点.这点和各边中点的距离等于相应各边上中线长的 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 重要线段 图形 性质 高线   AN是△ABC的一条高线. ∠ANC＝∠ANB＝90°， 垂心：三角形三条高线所在直线的交点. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 重要线段 图形 性质 角平分线   AD是△ABC的一条角平分线. ∠1＝∠2⑥ 　 　，  内心：三角形三条角平分线的交点.它到三角形三边的距离相等. ∠BAC 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 重要线段 图形 性质 中位线   EF是△ABC的一条中位线. EF∥⑦　 　且EF＝ ⑧ 　BC，S△AEFS△ABC.  BC 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 例1　如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是其高线、角平分线、中线.  (1)若△ACF与△ABF的周长差为2，则AC－AB＝ 　 　；  (2)若S△ABC＝12，CF＝3，则AD＝　 　；  　4　 跟踪训练 　2　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- (3)(ⅰ)若∠BAC＝100°，∠B的度数比∠C的2倍小10°，则∠C＝　 　，∠BAD＝　 　，∠DAE＝ 　 　；  　10°　 　40°　 　30°　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 【参考答案】(3)(ⅱ)∠DAE(∠B－∠C). 证明：∵∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝90°－∠C－∠EAC， ∠EACBAC(180°－∠B－∠C)＝90°BC， ∴∠DAE＝90°－∠C(∠B－∠C). (ⅱ)若∠B＞∠C，探究∠B，∠C与∠DAE之间的数量关系，并证明. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 例2　如图，在△ABC中，角平分线AE，BG相交于点O，AF是BC上的中线.M是CG的中点，G是AM的中点，连接FM，FG，S△CMF＝4.   (1)若∠C＝30°，则∠AOB＝　 　°；  (2)S△BCG＝　 　，S△ABC＝　 　；  　24　 　16　 　105　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 【参考答案】(3)∵S△ABC＝24，AF是BC上的中线， ∴S△ABFS△ABC＝12. ，AE平分∠BAC，， ∴S△ABES△ABC＝9， ∴S△AEF＝S△ABF－S△ABE＝3. (3)已知，求△AEF的面积. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 1.[2016·安徽第8题]如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )   A.4 B.4 C.6 D.4 三角形中的重要线段及相关计算 B 命题点1 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 2.[2021·安徽第10题]在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME，则下列结论错误的是( ) A.CD＝2ME B.ME∥AB C.BD＝CD D.ME＝MD A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 3.[2023·安徽第13题]清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD(BC).当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　 　.  　1　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 4.2　三角形及其性质 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第四章　三角形 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为( ) A.21 B.14 C.13 D.9 热身小练 C 第1题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 2.[2024·兰州]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( ) A.100° B.115° C.130° D.145° B 　第2题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 3.如图，AC∥BD，BC平分∠ABD.下列结论不一定成立的是( ) A.∠ABD＝2∠ACB B.∠BAC＝3∠ACB C.AB＝AC D.BC＜2AB B 第3题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 4.[2024·湖南]等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是　 　.  　100°　 5.[2025·四川南充]如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心、OC长为半径画弧，再以点C为圆心、OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC＝1，则OE的长是  　.  热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 6.[2024·四川自贡]如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C. (1)求证：∠BDF＝∠A； 解：(1)∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C. ∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED，∴DF∥AC，∴∠BDF＝∠A. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- (2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状. (2)△ABC是等腰直角三角形. 提示：∵∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°. ∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°. ∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A， ∴△ABC是等腰直角三角形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 考点1　等腰三角形的性质和判定 1.等腰三角形的性质 (1)性质1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”. (2)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高①　 　，简称“三线合一”.  (3)性质3：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线是它的对称轴. 知识梳理 　重合　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 2.等腰三角形的判定 (1)判定1：有两边相等的三角形是等腰三角形(定义). (2)判定2：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 考点2　等边三角形的性质和判定 1.等边三角形的性质 等边三角形的三条边、三个内角都分别②　 　，每一个内角都等于③　 　.  2.等边三角形的判定 (1)判定1：三边都相等的三角形是等边三角形. (2)判定2：有一个角是④　 　的等腰三角形是等边三角形.  　60°　 　60°　 　相等　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 考点3　线段垂直平分线的性质和判定 1.垂直平分线的定义 经过线段⑤　 　并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线.  2.垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 3.垂直平分线的判定 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 　中点　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 跟踪训练 例1　[2025·福建]如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为点C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小； (2)求证：△CEG是等边三角形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- (1)求∠DCE的大小； 【参考答案】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°. ∵D是AB的中点，∴∠DCB＝∠DCAACB＝30°. ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- (2)求证：△CEG是等边三角形. (2)由平移可知CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°. 又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°. 又∵AB＝CB， ∴△ABE≌△CBE， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- ∴∠GEC＝∠GEAAEC＝60°， 由(1)知∠GCE＝60°，∴∠GEC＝∠GCE＝60°， ∴△CEG是等边三角形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 例2　如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，且∠AEF＝50°，连接DE. (1)求证：DE平分∠ADC； (2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- (1)求证：DE平分∠ADC； 【参考答案】过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H. (1)∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝40°. ∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD，即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD，∴EF＝EG. ∵BE是∠ABC的平分线，∴EF＝EH，∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上，∴DE平分∠ADC. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- (2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积. (2)设EG＝x， 由(1)得EF＝EH＝EG＝x. ∵S△ACD＝S△ADE＋S△CDE＝15，AD＝4，CD＝8， AD·EGCD·EH＝15， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 即4x＋8x＝30，解得x， ∴S△ABEAB·EF7 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 例3　[2025·长沙改编]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D. (1)求∠BCD的度数；(2)若BC＝2.5，求AD的长；(3)求的值. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 思路导引：(1)由尺规作图可知CD是怎样的特殊线段?∠BCD的度数与之有何关系? (2)通过角度计算，利用CD建立AD与BC之间的关系. (3)求线段之比，通常可以考虑利用相似三角形，找出图中的相似形. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 【参考答案】(1)∵AB＝AC，∠B＝72°， ∴∠ACB＝∠B＝72°. 由作图可知，CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACDACB＝36°. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- (2)∵∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝72°， ∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB， ∵∠A＝∠BDC－∠ACD＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD＝BC＝2.5. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- (3)由(2)可知，AD＝CD＝BC， ∵∠BCD＝∠A＝36°，∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∵AD＝BC，，即AD2＝AB·BD. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 设AB＝a，AD＝x，则BD＝a－x， ∴x2＝a(a－x)，解得xa(负值舍去)， 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 1.[2022·安徽第10题]已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝2S0，则线段OP长的最小值是( ) A B C.3 D 等腰三角形的性质和判定 B 命题点 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 4.3　等腰三角形 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第四章　三角形 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 1.如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝30°，∠F＝26°，则∠DEC的度数为( ) A.54° B.56° C.58° D.60° 热身小练 B 第1题图　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 2.如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，添加以下条件仍不能判定△ACB≌△BDA的是( ) A.AC＝BD B.BC＝AD C.∠CAD＝∠DBC D.∠CBA＝∠DAB C 第2题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 3.如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点(网格线的交点)上，则∠1和∠2的数量关系是( ) A.∠1＋∠2＝180° B.∠1＝∠2 C.∠2＝∠1＋90° D.∠2＝2∠1 A 第3题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 4.[2024·成都]如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为　 　.  　100°　 第4题图 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 5.[2025·湖北]如图，AB＝AD，AC平分∠BAD.求证：∠B＝∠D. 证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC， 又∵AB＝AD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴∠B＝∠D. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 你的小练习全部过关了吗?请在此记录下未掌握的考点，接下来设法突破它哦! 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 考点1　全等三角形的相关概念 (1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (2)一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、①　 　都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.  知识梳理 　大小　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 考点2　全等三角形的性质和判定 (1)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，② 　 　相等.  (2)全等三角形的判定： 　对应角　 判定定理 概念 简写 边边边定理 三边分别相等的两个三角形全等 边边边或SSS 边角边定理 两边及其③　 　分别相等的两个三角形全等  边角边或SAS 夹角 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 判定定理 概念 简写 角边角定理 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 角边角或ASA 角角边定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 角角边或AAS 斜边、直角 边定理 斜边和一条④　 　分别相等的两个直角三角形全等  斜边、直角边或HL 注意：“SSA”和“AAA”不能判定两个三角形全等. 直角边 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 跟踪训练 例1　[2024·四川内江]如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- (1)求证：△ABC≌△DEF； 【参考答案】(1)∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE. 在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF(SSS). 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- (2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数. (2)由(1)可知△ABC≌△DEF， ∴∠FDE＝∠A＝55°，∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝80°. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 归纳总结 平移结构 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 例2　[2025·四川南充]如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC. (1)求证：△ABC≌△AED； (2)求证：∠BCD＝∠EDC. 【参考答案】(1)∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD，即∠BAC＝∠EAD. ∵AB＝AE，AC＝AD，∴△ABC≌△AED(SAS). 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- (2)求证：∠BCD＝∠EDC. (2)∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC， 由(1)可知△ABC≌△AED，∴∠ACB＝∠ADE， ∴∠ACB＋∠ACD＝∠ADE＋∠ADC，∴∠BCD＝∠EDC. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 归纳总结 轴对称结构 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 例3　[2025·四川内江]如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若BF＝4，FC＝3，求BE的长. 【参考答案】(1)∵AB∥DE，∴∠B＝∠E， ∵∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(AAS). (2)∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF＋FC＝CE＋FC， ∴BF＝CE＝4，∴BE＝BF＋FC＋CE＝4＋3＋4＝11. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 归纳总结 手拉手结构 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 例4　[2023·山东聊城]如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. (1)求证：∠EAD＝∠EDA； (2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- (1)求证：∠EAD＝∠EDA； 【参考答案】(1)∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED， ∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE≌△ECD(AAS)， ∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- (2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积. (2)∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝DE， ∴△AED为等边三角形，∴AE＝AD＝DE＝4. 过点A作AF⊥DE于点F，∴EFDE＝2， ∴AF2， ∴S△AEDDE·AF4×24 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 归纳总结 一线三等角型的全等三角形结构 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 命题点 真题精练 全等三角形的判定与性质 1.[2021·安徽第23题]如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF. (1)求证：△ABF≌△EAD； (2)如图2，若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长； (3) 如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- (1)求证：△ABF≌△EAD； 解：(1)因为AE∥CD，AD∥CF， 所以四边形AFCD是平行四边形，从而AF＝CD， 而AE∥CD，DE∥AB，∠ABC＝∠BCD， 所以∠ABC＝∠DEC＝∠AEB＝∠BCD， 从而AB＝EA，DE＝AF，∠BAF＝∠AED， 所以△ABF≌△EAD. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- (2)如图2，若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长； (2)由(1)知BF＝AD，FC＝AD，所以FC＝FB， 从而∠FBE＝∠ECF＝∠AED＝∠BAE， 又∠AEB＝∠BEF，所以△ABE∽△BFE， 从而BE2＝AE·EF， 而AE＝AB＝9，EF＝AE－AF＝AE－CD＝4， 故BE＝6. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- (3)如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值. (3)解法1：易证△ABE∽△DEC，所以 如图1，作MN∥DE，交AE于点N，则ANAE，MNDE， 且，即　① 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 设AF＝a，EF＝b，则AE＝AB＝a＋b，ANAE ①式可化为， 整理得b2＝2a2，即ba， 于是1. 图1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 解法2：如图2，延长BM，交ED的延长线于点N， 则AB＝DN，且， 即，　② 不妨设AB＝a，CD＝1， ②式可化为，整理得a2－2a－1＝0， 解得a1(负值舍去)，即1. 图2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 4.5　全等三角形 -‹#›- $