第六章　圆 2026年安徽中考数学一轮专题复习课件

该初中数学中考复习课件聚焦“圆的基本性质”核心考点，覆盖圆的概念、垂径定理、圆周角定理等中考高频内容，严格对接中考说明，分析各考点权重，归纳圆心角与弦关系、切线性质等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题精练+技巧归纳”模式，精选2021-2025年安徽中考真题，如垂径定理求半径、圆周角定理证线段关系，通过构造直角三角形、利用全等推理培养学生推理意识与几何直观。提供“见弦作弦心距”等应试技巧，助力学生掌握答题方法，也为教师提供系统复习指导。

第一部分 知识梳理　课程重构 第六章　圆 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 1.[2025·六安二模]如图，AB为☉O的直径，AC为☉O的切线，连接BC交☉O于点D，连接OD.若∠C＝40°，则∠AOD的度数为( ) A.80° B.100° C.120° D.140° 热身小练 B 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 2.[2025·宣城一模]如图，正五边形ABCDE的两条边AE，CD与☉O相切，切点为A，C，则∠AOC为( ) A.108° B.120° C.135° D.144° D 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 3.[2025·合肥长丰一模]如图，菱形ABCO的三个顶点均在☉O上，连接OB，过点B作BD⊥OB，交OA的延长线于点D.若☉O的半径为，则BD的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 B 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 4. [2025·合肥琥珀中学三模]三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，若直角边边长分别为a，b，斜边长为c，则该直角三角形的内切圆直径d当a＝5，c＝13时，该直角三角形的内切圆半径为　 　.  　2　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 5.[2025·合肥四十五中二模]如图，四边形ABCD内接于☉O，过点A，C分别作☉O的切线，交于点E.若∠ABC＝125°，则∠E的度数为　 　.  　70°　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 知识梳理 考点1　点与圆的位置关系 设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 考点2　直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系：设☉O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有： 直线l和☉O相交⇔d＜r；直线l和☉O相切⇔d＝r；直线l和☉O相离⇔d＞r. 2.切线的定义：如果直线与圆只有一个公共点，这时，直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 3.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的①　 　.  4.切线的判定：(1)经过半径外端点并且②　 这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于③ _　的直线是圆的切线.  课标变化：(2022版课标新增内容)*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 半径 　垂直于 　半径　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 5.*切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 6.三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角④ _ 　的交点，叫做三角形的内心，它到三角形的⑤　 _的距离相等.  　三边 平分线 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 跟踪训练 例　[2024·池州二模]如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE是☉O的切线，且DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交☉O于点F. (1)求证：AB＝AC； (2) 若AE＝4，DE＝8，求AF的长. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 【参考答案】(1)连接OD. ∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE. ∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB. ∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- (2)解法1：过点O作OH⊥AF于点H，设AH＝x. ∵OH⊥AF，∴AF＝2AH＝2x. ∵OD⊥DE，DE⊥AC， ∴∠OHE＝∠ODE＝∠DEH＝90°， ∴四边形OHED为矩形， ∴OH＝DE＝8，HE＝OD＝OA＝x＋4. 在Rt△OHA中，OH2＋AH2＝OA2， 即82＋x2＝(x＋4)2，∴x＝6， ∴AF＝2x＝12. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 解法2：连接AD，FD. ∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C，∴DF＝DC. ∵DE⊥AC，∴EF＝EC. ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°. ∵∠C＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△DCE，，即， ∴CE＝16，∴AF＝EF－AE＝CE－AE＝12. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 1.[2025·安徽第12题]如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　 　°.  切线的性质与判定 　20　 命题点 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 2.[2022·安徽第19题]已知AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD. (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与☉O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB. 图1 　 　　图2 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 解：(1)∵CO⊥AB， ∴在Rt△DOC中，tan D ∵OA＝1，∴OC＝1，∴ODOC， ∴AD＝OD－OA1. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- (2)∵DC与☉O相切，∴OC⊥CD， ∴∠DCO＝90°，∴∠ACD＋∠ACO＝90°. 在☉O中，∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠ACD＋∠CAO＝90°. ∵∠ACD＝∠ACE， ∴∠ACE＋∠CAO＝90°， ∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AB. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 6.2　与圆有关的位置关系 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第六章　圆 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 类型1　“定点定长”型 归纳总结 类型 等距成圆 旋转成圆 折叠成圆 斜边中点成圆 模型 模型分析 点A，B，C都在圆心为点O，半径为r的圆上 点B在圆心为点A，半径为AB长的圆上；点C在圆心为点A，半径为AC长的圆上 点P在边BC上运动，折叠后点B'在圆心为点A，半径为AB长的圆上 A，B分别是直角边OM，ON上的动点，AB为定长，AB的中点C在圆心为点O，半径为AB长的圆上 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 例1　[2025·芜湖二模]如图，M是等腰直角三角形ABC的边BC的中点，P是平面内一点，连接AP，将线段AP以点A为中心逆时针旋转90°，得到线段AQ，连接MQ.若AB＝4，点M，P之间的距离为1，则MQ的最小值为( )   A.4 B.5 C.3 D.21 C -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 思路导引：连接PM，AM，由MP＝1可知点P的轨迹是以点M为圆心，半径为1的圆，将线段AM绕着点A逆时针旋转90°得到线段AH，则点Q在以点H为圆心，半径为1的圆上，连接QH，MH，当M，Q，H三点共线时，MQ最小，最小值为MH－1，根据旋转的性质求得MH的值即可求解. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 1.[2025·合肥庐江模拟]如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点，将△ABP沿AP翻折得△AB'P，当CB'取最小值时，BP的长为( ) A B C.24 D1 针对训练 C -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 【解析】如图，连接AC，由翻折的性质得AB'＝AB＝2，∴点B'在以点A为圆心，2为半径的☉A上，∴当B'落在AC边上时，CB'最小，如图所示，此时∠BAP＝∠CAP.延长AP，DC交于点E，过点A作AH⊥BC，垂足为点H.∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠AEC，△ABP∽△ECP，∴∠E＝∠CAE，，∴AC＝EC.∵AB＝2，∠B＝60°，∴BHAB＝1，∴CH＝BC－BH＝2，AH，∴AC，∴CE，，解得BP＝24. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 2.[2025·六安三模]如图，有一矩形纸片ABCD，AD＝2AB＝4，Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E.点D关于点C的对称点为D'，连接AD'交BC于点O，连接AE并延长交DD'于点G.   (1)若∠DAG＝28°，则∠GAD'＝　 　°；  (2)点E到AD'的距离最小值为　 .  　17　 22　 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 【解析】(1)易得DC＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵点D，D'关于点C对称，∴D'D＝2CD＝4＝AD，∴∠DAD'＝∠D'＝45°，∴∠GAD'＝45°－28°＝17°.(2)连接OD，易得△ABO≌△D'CO，∴AO＝D'O，∴DO⊥AD'，∴DOAD＝2，由折叠知DE＝DC＝2，∴点E在以点D为圆心，2为半径的弧上运动，∴点E在DO上时，点E到AD'的距离最小，最小值为DO－DE＝22. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 3. [2025·合肥四十二中二模节选]如图，在矩形ABCD中，AB≥BC，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段OB上，连接AE，作EF⊥AE交CB的延长线于点F，EF与AB相交于点P.已知AB＝BC，求证： (1)AE＝EF； (2)AB＝BFBE. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 证明：解法1：在OA上取一点M，使OM＝OE，连接ME. (1)在矩形ABCD中，∵AB＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB，∠AOB＝90°，∠DBC＝∠DBA＝45°. ∵OM＝OE， ∴OA－OM＝OB－OE，∠OME＝45°， ∴AM＝BE，∠AME＝135°＝∠EBF. ∵EF⊥AE，∴∠AOB＝∠AEF＝90°， ∴∠FEB＋∠AEO＝90°，∠OAE＋∠AEO＝90°， ∴∠OAE＝∠FEB， ∴△AEM≌△EFB(ASA)，∴AE＝EF. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- (2)由(1)知△AEM≌△EFB，∴BF＝EM. ∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OM＝OE， ∴ABOA，BF＝EMOM. ∵OA＝OM＋AM， ∴ABOA(OM＋AM)OMAM＝BFBE. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 解法2：连接CE. (1)∵AB＝BC，∴矩形ABCD为正方形， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°. 又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE， ∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE. ∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ABF＝90°. ∵∠APE＝∠BPF，∴∠BAE＝∠EFB， ∴∠EFB＝∠BCE， ∴EF＝CE，∴AE＝EF. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- (2)作EG⊥OB交BC于点G. ∵∠OBC＝45°，EG⊥OB， ∴∠EGB＝∠OBC＝45°， ∴BGBEEG，∠EBF＝∠EGC＝135°. 由(1)知EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF， ∴△EFB≌△ECG，∴BF＝CG. ∵AB＝BC＝BG＋CG，∴AB＝BFBE. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 类型2　“定角定弦”型 归纳总结 模型 应用背景 模型分析 已知线段AB(定长)及其所对的∠ACB(定角)，则动点C的运动轨迹为△ABC的外接圆或其外接圆上弦AB所对的一段弧(不含点A，B) 当∠ACB＜90°时，点C在优弧上(不含端点) 当∠ACB＝90°时，点C的运动轨迹为☉O(不含点A，B)，且AB为☉O的直径 当∠ACB＞90°时，点C在劣弧上(不含端点) -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 例2　[2025·合肥蜀山区一模]如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，D为边AC上的动点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE并延长交BC于点F.当AE取得最小值时，AD的长为( )     A1 B C.3 D C -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 思路导引：判断出点E的运动轨迹是解题关键.根据定长BC且所对的∠BEC＝90°得到点E在以BC为直径的圆上运动，由此可得AE最小时的取值，观察图形可证△CAE∽△EAD，即可求出AD的长. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 【解析】∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的圆上运动，如图，取BC的中点O，以点O为圆心，OB的长为半径作☉O，连接OA与☉O交于点E'，连接BE'并延长交AC于点D'，由点到圆上的距离可知，当点E在点E'位置时，AE取得最小值为OA－OE'.在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴OC＝OE'＝1，∴OA，∴AE'＝OA－OE'1.∵OC＝OE'，∴∠OCE'＝∠OE'C.∵∠OE'C＋∠AE'D'＝90°，∠OCE'＋∠D'CE'＝90°，∴∠D'CE'＝∠AE'D'.∵∠CAE'＝∠E'AD'，∴△CAE'∽△E'AD'，，，∴AD'＝3，即当AE取得最小值时，AD的长为3 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 4.[2025·合肥包河区三模]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，D为AB边的中点，将线段BD以点B为中心逆时针旋转90°得到线段BD'，连接CD'. (1)若AC＝3，则BD'的值为　 　；  (2)CD'的最大值为 　.  针对训练 　2　 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 【解析】(1)由勾股定理得AB4，∵D为AB边的中点，∴BD'＝BDAB＝2.(2)如图，以BC为直径画☉O，则点A在☉O上，过点B作BH⊥BC，使BH＝BO，连接D'H，易得∠D'BH＝∠ABC，又，∴△D'BH∽△ABC，∴∠BD'H＝∠BAC＝90°，∴点D'在以BH为直径的☉I上.连接CI并延长，交☉I于点D'，此时CD'的值最大，易得ID'＝BIBH，由勾股定理得CI， ∴CD'＝CI＋ID' -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 5.如图，已知正方形ABCD，边长为4，正方形内有一动点E，∠BEC＝135°.连接AE，则线段AE的最小值为 　 .  2　 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 【解析】∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，BC⊥AB，∵正方形内有一动点E，∠BEC＝135°，∴动点E在△BCE的外接圆☉O中的劣弧上，如图，延长AB交☉O于点F，过点O作OG⊥AF于点G，∴∠BFC＝45°，∴CFBC＝4，∴OF＝OE＝2，∴OG＝BG＝2，∴AG＝AB＋BG＝6，∴OA2，∴当A，E，O三点共线 时，线段AE的最小值为OA－OE＝22 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 6.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，连接AC. (1)判断△ABC的形状并说明理由. (2)已知E，F分别为边AC，BC上的动点，AE＝CF，AF交BE于点P.若AB＝2，直接写出动点P到直线AB的最大距离. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 解：(1)△ABC是等边三角形. 理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°. ∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- (2)动点P到直线AB的最大距离为　提示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°.∵AE＝CF，∴△ACF≌△BAE(SAS)，∴∠CAF＝∠ABE，∴∠APE＝∠ABE＋∠BAF＝∠CAF＋∠BAF＝60°，∴∠APB＝120°，∴点P是在以点O为圆心，AB长度为半径的劣弧上运动，∴当PO⊥AB时，点P到直线AB的距离最大.此时，PO垂直且平分AB，交AB于点H，∴BH＝AHAB＝1，∠APH＝∠BPH＝60°，∴PHAH，∴动点P到直线AB的最大距离为 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 类型3　“四点共圆”型 归纳总结 模型 模型分析 若一个凸四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆.如图，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则A，B，C，D四点共圆 如图，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，若∠C＝∠D，则A，B，C，D四点共圆，其中若∠C＝∠D＝90°，则AB为圆的直径 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 例3　如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC和BD交于点E，若AE＝4，CE＝2，则BD长的最小值为( )   A.6 B.4 C.4 D.2 B -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 思路导引：由∠ABC＝∠ADC＝90°可知A，B，C，D四点共圆，AC为直径，取AC的中点为圆心O，可知当弦BD⊥AC时，BD有最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 针对训练 7.如图，在正方形ABCD中，点A，B在x轴上，点C坐标为(4，6)，E是平面内任意一点，且始终满足AE⊥CE，连接OE，则线段OE的最大值为　 　，最小值为　 .  3 3　 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 8.[2024·黄山二模]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE.   (1)若∠ABC＝20°，则∠BCE＝　 　；  (2)若BE＝BD，则tan ∠ABC＝ 　. 　40°　 1 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 【解析】(1)∵∠ACB＝90°，∠ABC＝20°，∴∠A＝70°.∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝70°，∴∠BCE＝∠ACD＝180°－70°－70°＝40°. -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- ★命题域聚焦　巧构辅助圆 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第六章　圆 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 1.[2025·滁州三模]如图，△ABC内接于☉O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2，则的长为( ) A.π B C.2π D.2π 热身小练 A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 2.[2025·合肥包河区三模]徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号.如图所示的是扇形花窗造型，若AB＝BO＝20 cm，∠BOD＝120°，则该阴影部分的面积为( ) A.100π cm2 B.200π cm2 C.400π cm2 Dπ cm2 C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 3.如图，☉O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，则所对的圆心角的度数为( ) A.120° B.125° C.130° D.135° D 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 4. [2025·安庆模拟]《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，书中提出“圆出于方，方出于矩”的辩证思维.机械学家莱洛发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，如图，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的封闭曲线即为莱洛三角形，已知BC＝3，则该莱洛三角形的周长为　 .  　3π 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 5.[2025·阜阳三模]如图，在▱ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC，分别以点A，C为圆心，AC长为半径画弧，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分的面积为  　.  热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 知识梳理 考点1　正多边形和圆 名称 公式 图形 内角 正n边形的每个内角为 中心角 正n边形的每个中心角α＝①______ 外角 正n边形的每个外角等于中心角 边长 正n边形的每条边长a＝2rsin 边心距 正n边形的边心距d＝rcos 周长 正n边形的周长l＝na 面积 正n边形的面积S＝②____ dl  热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 【拓展】常见正多边形边心距与边长的比 正三角形：如图1，OD∶BD∶OB＝1∶∶2；如图2，内切圆与外接圆半径比为1∶2. 正方形：如图3，OA∶AE∶OE＝1∶1∶；如图4，内切圆与外接圆半径比为1∶ 正六边形：如图5，AB∶OB∶OA＝1∶∶2. 图1　　 图2　　 图3　　 图4　　 图5 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 考点2　圆的有关计算 1.在半径为r的圆中，n°圆心角所对的弧长l＝③  　.  2.在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S扇形＝ ④  　；半径为r，弧长为l的扇形的面积S扇形＝ ⑤  .  lr　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 3.圆的周长：C＝2πr. 4.圆的面积：S＝πr2. 5.圆柱的全面积：S＝S侧＋2S底＝2πrl＋2πr2(r为底面圆半径，l为母线长). 6.圆锥的侧面积和全面积：如果圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么圆锥的侧面展开得到的扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为⑥　 　，圆锥的全面积为⑦　 　.  　πrl＋πr2　 　πrl　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 跟踪训练 例　[2025·蚌埠三模]如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，且，DE为☉O的切线，交AB的延长线于点E，连接CD交AB于点F. (1)求证：ED＝EF； (2)若AD＝DE＝4，求劣弧的长. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 思路导引：(1)连接OD，利用切线与等弧的性质可以得到∠ODE＝∠BOC＝90°，再通过等角转换得到∠EDF＝∠EFD，即可解答.(2)由(1)知∠EFD＝∠EDF，再由等角换算得∠EFD＝∠A＋45°＝∠E＋45°＝∠EDF，在△EDF中，由三角形内角和可求得∠E，再求得OD的长，利用弧长公式即可解答. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 【参考答案】(1)连接OD. ∵DE为☉O的切线，∴OD⊥DE. ∵OD＝OC，∴∠OCF＝∠ODF. ，∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴∠OCF＋∠OFC＝∠EDF＋∠ODF＝90°， ∴∠OFC＝∠EDF. ∵∠EFD＝∠OFC，∴∠EDF＝∠EFD，∴ED＝EF. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- (2)∵AD＝DE，∴∠A＝∠E. ∵∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°， ∴∠EFD＝∠A＋45°＝∠E＋45°＝∠EDF， 在△DEF中，2(∠E＋45°)＋∠E＝180°， ∴∠E＝30°，∴∠DOE＝60°. ∵DE＝4，∴OD＝DE·tan 30°＝4， ∴劣弧的长 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 1.[2024·安徽第5题]若扇形AOB的半径为 6，∠AOB＝120°，则的长为( ) A.2π B.3π C.4π D.6π 与弧长有关的计算 C 命题点 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 6.3　弧长、扇形面积的相关计算 -‹#›- $第一部分 知识梳理　课程重构 第六章　圆 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 本章知识导图 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 1.[2025·宿州期末]下面几种常见图形中，属于中心对称图形的是( ) A.平行四边形 B.等腰梯形 C.有一个角是30°的直角三角形 D.等边三角形 热身小练 A 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 图1　　 　图2 2.[2025·宣城一模]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方.若圆被水面截得的弦AB的长为8 m，圆心O到AB的距离为3 m，则sin ∠OAB的值是( ) A B C D C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 3.[2025·宿州二模]如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且2若∠ABE＝20°，则∠ACD＝( )   A.40° B.50° C.60° D.65° C 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 4.[2025·合肥四十二中二模]如图，△ABC内接于☉O，AB＝AC＝3，圆心O到弦BC的距离OD＝2，则☉O的半径为  　.  1 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 5.[2025·安庆期中]如图，在☉O中，∠DCE＝60°，OA＝8，CD⊥OA，垂足为点D，CE⊥OB，垂足为点E，CD＝CE，则四边形DOEC的面积是　 　.  16 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 知识梳理 考点1　圆的相关概念 1.圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做①　 　，是圆中最长的弦.  4.等圆：能够②　 　的两个圆叫做等圆.  5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 6.圆心角：顶点在③　 　的角叫做圆心角.  7.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角. 　圆心　 　重合　 　直径　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 考点2　圆的有关性质 1.对称性 (1)圆是中心对称图形，其对称中心是圆心. (2)圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线，圆有无数条对称轴. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 2.垂径定理及其推论 (1)垂径定理：垂直于弦的直径④　 　这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.  (2)推论：平分弦(非直径)的直径⑤　 　于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.  　垂直　 　平分　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 3.确定圆的条件 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. (2)三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的⑥　 　的交点，叫做三角形的外心.  　垂直平分线　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 考点3　圆心角与圆周角 1.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等. (2)推论：在同圆或等圆中，圆心角相等；圆心角所对的弦相等；弦所对的弧相等；弦心距相等.如果其中有一条成立，那么另外三条也成立. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 2.圆周角与圆心角的关系 (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑦　 　.  (2)推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；半圆或直径所对的圆周角是⑧　 角，90°的圆周角所对的弦是⑨ .  直径 　直 一半 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 3.圆内接四边形的对角⑩　 　，且任意一个外角都等于它的内对角.  　互补　 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 跟踪训练 例　[2025·阜阳二模]如图，☉O为△ABD的外接圆，AB为☉O的直径，AC为弦，D为的中点，过点D作DH⊥AB，交☉O于点H，垂足为点G，弦AC分别与BD，DH交于点F，E. (1)求证：AH＝CD. (2)若AG＝2，DG＝4，求AF的长. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 【参考答案】(1)∵AB为☉O的直径，DH⊥AB， ∵D为的中点，，，∴AH＝CD. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 思路导引：(2)连接OD，由勾股定理建立方程可求得半径r的长，观察要求的线段AF在Rt△ADF中，可由相似或三角函数求得AF的长. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- (2)连接OD. ∵DH⊥AB，∴AD2 设OA＝OD＝r，则OG＝r－2， 在Rt△OGD中，由勾股定理得OD2＝OG2＋DG2， ∴r2＝(r－2)2＋(4)2，解得r＝5，∴AB＝2r＝10 ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD4， ∴cos ∠ABD 由(1)知，∴∠CAD＝∠ABD， ∴AF5 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 归纳总结 圆周角定理和垂径定理为中考的高频考点，以圆为背景的题目中，常有涉及. 垂径定理及其推论可简记为“垂径定理五条件，一个垂直三平分；一条直线过圆心，知二明三把理明；平分弦时要谨慎，此弦不可为直径；两条直径都平分，哪能啥时都垂直”. 解题技巧：见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形，用勾股定理求解. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 1.[2022·安徽第7题]已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上.若PA＝4，PB＝6，则OP＝( ) A B.4 C D.5 垂径定理及其推论 D 命题点1 真题精练 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 2.[2021·安徽第20题]如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E. (1)M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； (2)点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 解：(1)连接OC，OD. 由题意，得CM＝DM＝6，且OM⊥DM. 在Rt△ODM中，由勾股定理，得OD3，∴圆O的半径长为3 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- (2)连接AC，延长AF交BD于点N. 在△AEC和△AEF中，易知AE＝AE，∠AEC＝∠AEF＝90°，EC＝EF， ∴△AEC≌△AEF，∴∠EAC＝∠EAF. 又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠AND＝∠BAN＋∠ABN＝∠BDC＋∠ABD＝90°，∴AF⊥BD. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 命题点2 圆周角定理及其推论 3.[2021·安徽第13题]如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O.若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝  　.  热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 4.[2025·安徽第20题]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°. (1)求证：OC∥AD； (2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 解：(1)由圆周角定理知∠AOC＝2∠ABC. 由条件得∠DAB＋∠AOC＝180°， 故OC∥AD. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- (2)连接BD，交OC于点E. 由题意知∠ADB＝90°，O是AB的中点. 又因为OC∥AD，所以OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， 从而OEAD＝1. 设半圆的半径为r，则CE＝r－1. 由勾股定理知OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2， 即r2－1＝12－(r－1)2，解得r1＝3，r2＝－2(舍去). 故AB＝2r＝6. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 5.[2024·安徽第20题]如图，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE. (1)求证：CD⊥AB； (2)设FM⊥AB，垂足为点M，若OM＝OE＝1，求 AC 的长. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 解：(1)∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF. 又∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角， ∴∠FAE＝∠BCE. ∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE. 又∵AB是直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝90°，即CD⊥AB. 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- (2)由(1)知∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC. 又∵AF＝EF，FM⊥AB，∴MA＝ME＝2，AE＝4. ∴☉O的半径OA＝OB＝AE－OE＝3， ∴BC＝BE＝OB－OE＝2. 在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°， ∴AC4， 即AC的长为4 热身小练 知识梳理 跟踪训练 真题精练 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 -‹#›- 6.1　圆的基本性质 -‹#›- $