事件的相互独立性与条件概率 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦相互独立事件、条件概率等核心考点，按定义、性质、常用结论的逻辑层次梳理知识，通过知识梳理构建内在联系，结合例题讲解、课堂练习、反馈练习等环节，帮助学生突破公式应用与实际问题转化难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义以实际情境问题（如比赛安排、抽奖概率）培养学生用数学眼光观察现实世界，通过条件概率推理、独立事件判定等训练发展数学思维，设置分层练习（课堂基础、反馈提升）保障复习效果，能有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第八讲 事件的相互独立性与条件概率 〖知识梳理〗 1、事件的相互独立性 (1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立.  (2)判断方法: ①根据定义; ②根据实际意义; ③应用结论:当事件A,B相互独立时,事件A与事件,事件与事件B,事件 与事件也相互独立. (3)注意:公式P(AB)=P(A)P(B)不可以推广到多个事件.当事件A1,A2,…,An两两独立时, P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)不一定成立. 2、条件概率 (1)定义:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.  (2)性质:设P(A)>0,则 ①P(Ω|A)=1;  ②若B与C是两个互斥事件,则;   ③设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).  (3)注意:①乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则.  ②特例:当P(A)>0时,当且仅当事件A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B).  常用结论 1.乘法公式的推广: 设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率,P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率. 2.事件的拆分:对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn. 〖例题讲解〗 题型一 相互独立事件 例1 (1)若，，，则事件与的关系是( ) A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 (2)拋掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面出现的点数，在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为( ) A．“出现的点数为奇数” B．“出现的点数大于2” C．“出现的点数小于4” D．“出现的点数小于3” (3)已知A,B,C,D四名选手参加某项比赛,其中A,B为种子选手,C,D为非种子选手,种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为,种子选手之间获胜的概率为,非种子选手之间获胜的概率为.比赛规则:第一轮两两对战,胜者进入第二轮,负者淘汰;第二轮的胜者为冠军. ①若你是主办方,则第一轮选手的对战安排一共有多少种不同的方案? ②选手A与选手D相遇的概率为多少? ③以下两种方案,哪一种比赛种子选手夺冠的概率更大? 方案一:第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛; 方案二:第一轮比赛种子选手与种子选手比赛. 题型二 条件概率与乘法公式 例2 (1)有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( ) A． B． C． D． (2)已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地相同),现随机从1号箱中取出1个球放入2号箱,再从2号箱中随机取出1个球,则两次都取到红球的概率是(　 ) A. B. C. D. 〖课堂练习〗 1.(多选题)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收 到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则(　 ) A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2 B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2 C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3 D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 2.在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球,其中白球7个,黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球,已知第二次摸出的是黑球,则第一次摸出的是白球的概率为(　 ) A. B. C. D. 3.已知一道解答题有两小问,每小问5分,共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问,且在第一问做不出的情况下,第二问做出的概率为0.1;第一问做出的情况下,第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率,则此题得满分的概率是　　　　,得0分的概率是　　　　.  4.甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关,在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为,甲、乙都闯关成功的概率为,甲、丙都闯关成功的概率为,每人闯关成功记2分,闯关失败记0分,三人得分之和记为小组团体总分. ①求乙、丙各自闯关成功的概率; ②求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率; ③若团体总分不小于4分,则小组可参加下一轮比赛,求该小组参加下一轮比赛的概率. 〖反馈练习〗 1.某超市采用旋转如图所示的圆盘的方式抽奖,若可以连抽两次,则中奖的概率是(　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.36 B.0.48 C.0.6 D.0.84 2.现从含甲、乙在内的10名特种兵中随机选出4名去参加抢险,则在甲被选中的前提下,乙也被选中的概率为(　 ) A. B. C. D. 3.已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,则P(A∪B)=(　 ) A. B. C. D. 4.甲、乙两名同学参加一项射击比赛,其中每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为,假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为(　 ) A. B. C. D. 5.(多选题)某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是(　 ) A.P(A)= B.P(AB)= C.P(B|A)= D.P(B|)= 6.某同学参加学校组织的化学竞赛,比赛分为笔试和实验操作测试,该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为,在实验操作测试中结果为优秀的概率为,则该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为　　　　.  7.盒中有4个质地、形状完全相同的小球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.现从盒中随机不放回地取球,每次取1个,直到取出红球为止,则在此过程中没有取到黄球的概率为　　　　.  8.已知P(A|B)=P(B|A)=,P()=,则P(B)=(　 ) A. B. C. D. 9.在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级的条件下,乙获得优秀等级的概率为(　 ) A. B. C. D. 10.(多选题)甲、乙两个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的小球,甲袋中装有3个红球和4个绿球;乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中,再从乙袋中随机摸出一个小球,用A1表示事件“从甲袋摸出的是红球”,A2表示事件“从甲袋摸出的是绿球”,用B1表示事件“从乙袋摸出的是红球”,B2表示事件“从乙袋摸出的是绿球”,则下列说法正确的是 (　 ) A.A1,A2是对立事件 B.A1,B2是独立事件 C.P(B2|A2)= D.P(B2|A1)+P(B1|A2)= 11.(多选题)大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术,在AI算法的驱动下,无论是图文编辑、视频编辑,还是素材制作,所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个,图片b张(a,b∈N且a>b>1).从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是(　 ) A.P(A)=P(B)+P(C) B.P(A)=P(B)·P(C) C.P()>P(C)+P(B) D.P(C)<P(B) 12.小王、小李、小张、小刘四人计划“五一”去踏青,现有三个出游的景点:南湖、净月、莲花山.假设每人随机选择一处景点,在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为　　　　.  13.投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏,游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏.为弘扬传统文化,某单位开展投壶游戏,现甲、乙两人为一组玩投壶游戏,每次由其中一人投壶,规则如下:若投中,则此人继续投壶,若未投中,则换为对方投壶,无论之前投壶的情况如何,甲每次投壶的命中率均为,乙每次投壶的命中率均为,由抽签确定第1次投壶的人选,第1次投壶的人是甲、乙的概率各为,则第3次投壶的人是乙的概率为　　　　,在第2次投壶的人是甲的情况下,第1次投壶的人是乙的概率为　　　　.  14.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后,由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目,每个项目胜者得10分,负者得-5分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6,各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为p1,p2. (1)求甲教师总得分为0的概率; (2)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别. 参考答案 1.D　[解析] ∵两次均未中奖的概率是0.4×0.4=0.16,∴若可以连抽两次,则中奖的概率是1-0.16=0.84.故选D. 2.A　[解析] 用A,B分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.一共有10名特种兵,从中选出4名,则P(A)==.从10名特种兵中随机选出4名,如果甲和乙都被选中,那么剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名,故选取方式有种,所以P(AB)===.故P(B|A)===.故选A. 3.B　[解析] 因为事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,所以P(AB)=P(A)P(B)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=.故选B. 4.C　[解析] 记甲、乙两人各射击一次的得分之和为X,则P(X=2)=×(1-p)+×p=-p=,解得p=.故选C. 5.ABC　[解析] P(A)==,故A正确;P(AB)==,故B正确;P(B|A)===,故C正确;P()==,P(B)==,P(B|)===,故D错误.故选ABC. 6.　[解析] 根据题意可得该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为×+×=. 7.　[解析] 没有取到黄球,可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球,第二次取到红球”,用事件R1表示第一次取到红球,R2表示第二次取到红球,G1表示第一次取到绿球,则P(R1)=,P(G1R2)=P(G1)P(R2|G1)=×=,所以没有取到黄球的概率P=+=. 8.B　[解析] ∵P(A|B)=,P(B|A)=,且P(A|B)=P(B|A)=,∴P(A)=P(B),又P()=,∴P(A)=1-P()=,∴P(B)=.故选B. 9.C　[解析] 分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件A,B,C,记甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级为事件D,记乙获得优秀等级为事件E.由题知,P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.7,所以P(D)=P(A )+P(B)+P( C)=0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.29,P(DE)=P(B)=0.5×0.6×0.3=0.09,所以P(E|D)==.故选C. 10.AD　[解析] 对于A,由题意知,每次只摸出一个球,A1∩A2=⌀,P(A1)=,P(A2)=,则P(A1)+P(A2)=1,所以A1,A2是对立事件,故A正确;对于B,P(A1)=,P(B2)=×+×=,P(A1B2)=×=,则P(A1B2)≠P(A1)P(B2),所以A1,B2不相互独立,故B错误;对于C,P(B2|A2)==,故C错误;对于D,P(A2B1)=×=,P(A1B2)=×=,所以P(B1|A2)+P(B2|A1)=+=,故D正确.故选AD. 11.BC　[解析] 显然事件B,C相互独立,且A=BC,所以P(A)=P(B)·P(C),故A错误,B正确;事件包含“视频甲未入选,图片乙入选”“视频甲入选,图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,因此P()=P(C)+P(B)+P( ),则P()>P(C)+P(B),故C正确;依题意,P(C)=P()P(C)=·=,P(B)=P(B)P()=·=,因为a,b∈N且a>b>1,所以>,即P(C)>P(B),故D错误.故选BC. 12.　[解析] 至少有两人去南湖的情况有三种:两人去,三人去,四人去,其概率为=,至少有两人去南湖且有人去净月的概率为=,所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为=. 13.　　[解析] 第3次投壶的人是乙的情况有甲甲乙、甲乙乙、乙乙乙、乙甲乙,所以第3次投壶的人是乙的概率P=××+××+××+××=.第2次投壶的人是甲的情况有甲甲、乙甲,第1次投壶的人是乙的情况有乙,设“第2次投壶的人是甲”为事件A,“第1次投壶的人是乙”为事件B,则P(B|A)===. 14.解:(1)∵甲教师总得分为0,∴甲教师在三个项目的比赛中赢一项输两项,∴所求概率为0.4×0.4×0.4+0.6×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6=0.352. (2)不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A,B,C,则教师甲获得冠军的概率p1=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=0.4×0.6×0.6+0.6×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6+0.4×0.6×0.4=0.552,∴教师乙获得冠军的概率p2=1-p1=0.448,∴|p1-p2|=0.104,≈0.376,∴|p1-p2|<,∴甲、乙获得冠军的实力没有明显差别. 01 学科网（北京）股份有限公司 $