期末复习06 等式与方程讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学期末复习讲义围绕“等式与方程”主题，通过核心概念辨析表格、方程类型对比框架等工具构建知识体系，从等式与方程的定义及关系，到等式性质、解方程步骤，再到实际应用，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义特色在于分层练习设计，每个知识点配套“典例+跟踪训练”，如“根据数量关系列方程”题型强化模型意识，“判断未知数的值是否为方程的解”培养运算能力。易错点标注助力基础学生夯实基础，综合题提升优秀学生思维，支持教师精准教学与学生自主复习。

期末复习06 等式与方程讲义 1.判断式子是否为方程 2.等式的性质(一) 3.等式的性质(二) 4.根据数量关系列方程 5.判断未知数的值是否为方程的解 6.已知方程的解,求未知参数的值 【知识点01】核心概念辨析 1. 等式 定义：含有等号，表达左右两边相等关系的式子。 关键要点：核心是“等号”，式子中可以不含未知数。 示例：3+2=5；a+b=b+a（此类恒成立的等式也叫恒等式）。 2. 方程 定义：含有未知数的等式。 关键要点：必须同时满足两个条件——①是等式（含有等号）；②含有未知数。 示例：x+5=12；3y-7=8；2(x+3)=18。 3. 方程的解 定义：使方程左右两边相等的未知数的值。 关键要点：强调“值”，是一个具体的结果，而非求解的过程。 示例：方程x - 3=2的解是x=5；方程2x=10的解是x=5。 4. 解方程 定义：求方程的解的过程。 关键要点：强调“过程”，需要遵循规范的步骤进行变形，必要时还需检验。 示例：解2x=6的完整操作（写“解”字→两边同时除以2→得x=3→检验）。 5. 式子 定义：用运算符号连接数或字母的表达式。 关键要点：不含等号、也不含不等号，仅表示一种运算关系。 示例：3a；5x - 2；7+8×3。 关键关系 1. 方程一定是等式，但等式不一定是方程。例如3+2=5是等式，但不含未知数，因此不是方程。 2. 等式与方程是包含关系：等式包含方程，方程是等式的特殊子集。 【知识点02】等式的性质(解方程依据) 等式的性质是方程变形的核心规则，需精准掌握并规避易错点。 1.性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。字母表示：若 a=b，则 a+c=b+c，a - c=b - c 应用：解 x+4=9，两边减 4 得 x=5。 2.性质 2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。 字母表示：若 a=b，则 a×c=b×c；若 a=b 且 c≠0，则 a÷c=b÷c 易错点：除以的数不能为 0，否则无意义。 应用：解 3x=15，两边除以 3 得 x=5。 3.衍生性质 *对称性：若 a=b，则 b=a（等号两边可互换）。 *传递性：若 a=b，b=c，则 a=c（等量代换）。 【知识点03】解方程的方法与步骤 （一）基础方程解法（按类型分类） 方程类型 解法要点 示例 x±a=b 依据性质 1，两边同时减或加 a x+6=14→x=14-6=8； x-5=7→x=7+5=12 ax=b（a≠0） 依据性质 2，两边同时除以 a 4x=20→x=20÷4=5 x÷a=b（a≠0） 依据性质 2，两边同时乘 a x÷3=6→x=6×3=18 ax±b=c（a≠0） 先利用性质1消去常数项，再用性质 2求解 2x+3=11→2x=8 （二）解方程规范步骤 1.写 “解” 字，明确求解对象。 2.依据等式性质逐步变形，每步保持等式平衡，等号对齐。 3.求出解后，代入原方程检验（左边 = 右边则解正确）。 4.规范书写答语（应用题必需）。 常见易错点 1.移项未变号（如将 x+3=7 移项为 x=7+3，错误）。 2.除以非零数时遗漏 “≠0” 条件（如解 0x=5，无意义）。 3.检验步骤缺失，导致计算错误未发现。 【知识点04】用方程解决实际问题 列方程解应用题是期末高频考点，核心是找等量关系。 （一）基本步骤 1.审题：明确题意，找出已知量、未知量。 2.设元：设未知数（直接设元：求什么设什么；间接设元：设中间量方便列方程）。 3.找等量关系：根据题意中的数量关系，列出等量关系式（如 “总价 = 单价 × 数量”“和差倍分关系”）。 4.列方程：根据等量关系，用含未知数的式子表示两边，列出方程。 5.解方程：按规范步骤求解，检验解的合理性（如人数、长度等不能为负）。 6.写答语：完整回答题目问题。 （二）常见题型与等量关系示例 题型 核心等量关系 方程示例 和差问题 大数 + 小数 = 和；大数 - 小数 = 差 两数和为 15，差为 3，设小数为 x， 得 x +（x+3）=15 倍数问题 一倍量 × 倍数 = 多倍量 甲数是乙数的 2 倍，两数和为 21，设乙数为 x，得 x+2x=21 行程问题 路程 = 速度 × 时间 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 购物问题 总价 = 单价 × 数量； 总钱数 - 花费 = 剩余 买 3 支笔花 12 元，设每支 x 元，得 3x=12 易错点与注意事项 1.区分 “方程的解” 与 “解方程”：前者是结果（值），后者是过程。 2.等式性质 2 中 “除以不为 0 的数” 是硬性要求，避免漏看。 3.列方程时单位需统一（如千米与米需换算一致）。 4.检验是必做步骤，尤其解决实际问题时，需验证解是否符合实际意义。 题型1.判断式子是否为方程 【典例】下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【跟踪训练2】下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 题型2.等式的性质(一) 【典例】a、b、c为有理数，如果，那么下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 【跟踪训练2】如果，那么 ． 题型3.等式的性质(二) 【典例】在公式中，已知s，a，b，则 ． 【跟踪训练1】由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 题型4.根据数量关系列方程 【典例】一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为 ． 【跟踪训练2】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 题型5.判断未知数的值是否为方程的解 【典例】下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 3 1 3 5 【跟踪训练2】若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6.已知方程的解,求未知参数的值 【典例】若关于的方程的解是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练1】如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ． 【跟踪训练2】已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 1．下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的解是，则k的值是 ． 3．有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球． 4．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 5．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 6．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘（其中记作，记作，记作，记作），再加上，再乘，再减去，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是，梅花的代号是，红桃的代号是，方块的代号是，最后这位同学说出运算结果是．这位同学抽出的纸牌点数是 ．（写数字） 7．解方程： (1)； (2)； (3)． 8．根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 9．对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：． (1)______； (2)当，时，有，求的值； (3)化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习06 等式与方程讲义 1.判断式子是否为方程 2.等式的性质(一) 3.等式的性质(二) 4.根据数量关系列方程 5.判断未知数的值是否为方程的解 6.已知方程的解,求未知参数的值 【知识点01】核心概念辨析 1. 等式 定义：含有等号，表达左右两边相等关系的式子。 关键要点：核心是“等号”，式子中可以不含未知数。 示例：3+2=5；a+b=b+a（此类恒成立的等式也叫恒等式）。 2. 方程 定义：含有未知数的等式。 关键要点：必须同时满足两个条件——①是等式（含有等号）；②含有未知数。 示例：x+5=12；3y-7=8；2(x+3)=18。 3. 方程的解 定义：使方程左右两边相等的未知数的值。 关键要点：强调“值”，是一个具体的结果，而非求解的过程。 示例：方程x - 3=2的解是x=5；方程2x=10的解是x=5。 4. 解方程 定义：求方程的解的过程。 关键要点：强调“过程”，需要遵循规范的步骤进行变形，必要时还需检验。 示例：解2x=6的完整操作（写“解”字→两边同时除以2→得x=3→检验）。 5. 式子 定义：用运算符号连接数或字母的表达式。 关键要点：不含等号、也不含不等号，仅表示一种运算关系。 示例：3a；5x - 2；7+8×3。 关键关系 1. 方程一定是等式，但等式不一定是方程。例如3+2=5是等式，但不含未知数，因此不是方程。 2. 等式与方程是包含关系：等式包含方程，方程是等式的特殊子集。 【知识点02】等式的性质(解方程依据) 等式的性质是方程变形的核心规则，需精准掌握并规避易错点。 1.性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。字母表示：若 a=b，则 a+c=b+c，a - c=b - c 应用：解 x+4=9，两边减 4 得 x=5。 2.性质 2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。 字母表示：若 a=b，则 a×c=b×c；若 a=b 且 c≠0，则 a÷c=b÷c 易错点：除以的数不能为 0，否则无意义。 应用：解 3x=15，两边除以 3 得 x=5。 3.衍生性质 *对称性：若 a=b，则 b=a（等号两边可互换）。 *传递性：若 a=b，b=c，则 a=c（等量代换）。 【知识点03】解方程的方法与步骤 （一）基础方程解法（按类型分类） 方程类型 解法要点 示例 x±a=b 依据性质 1，两边同时减或加 a x+6=14→x=14-6=8； x-5=7→x=7+5=12 ax=b（a≠0） 依据性质 2，两边同时除以 a 4x=20→x=20÷4=5 x÷a=b（a≠0） 依据性质 2，两边同时乘 a x÷3=6→x=6×3=18 ax±b=c（a≠0） 先利用性质1消去常数项，再用性质 2求解 2x+3=11→2x=8 （二）解方程规范步骤 1.写 “解” 字，明确求解对象。 2.依据等式性质逐步变形，每步保持等式平衡，等号对齐。 3.求出解后，代入原方程检验（左边 = 右边则解正确）。 4.规范书写答语（应用题必需）。 常见易错点 1.移项未变号（如将 x+3=7 移项为 x=7+3，错误）。 2.除以非零数时遗漏 “≠0” 条件（如解 0x=5，无意义）。 3.检验步骤缺失，导致计算错误未发现。 【知识点04】用方程解决实际问题 列方程解应用题是期末高频考点，核心是找等量关系。 （一）基本步骤 1.审题：明确题意，找出已知量、未知量。 2.设元：设未知数（直接设元：求什么设什么；间接设元：设中间量方便列方程）。 3.找等量关系：根据题意中的数量关系，列出等量关系式（如 “总价 = 单价 × 数量”“和差倍分关系”）。 4.列方程：根据等量关系，用含未知数的式子表示两边，列出方程。 5.解方程：按规范步骤求解，检验解的合理性（如人数、长度等不能为负）。 6.写答语：完整回答题目问题。 （二）常见题型与等量关系示例 题型 核心等量关系 方程示例 和差问题 大数 + 小数 = 和；大数 - 小数 = 差 两数和为 15，差为 3，设小数为 x， 得 x +（x+3）=15 倍数问题 一倍量 × 倍数 = 多倍量 甲数是乙数的 2 倍，两数和为 21，设乙数为 x，得 x+2x=21 行程问题 路程 = 速度 × 时间 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 购物问题 总价 = 单价 × 数量； 总钱数 - 花费 = 剩余 买 3 支笔花 12 元，设每支 x 元，得 3x=12 易错点与注意事项 1.区分 “方程的解” 与 “解方程”：前者是结果（值），后者是过程。 2.等式性质 2 中 “除以不为 0 的数” 是硬性要求，避免漏看。 3.列方程时单位需统一（如千米与米需换算一致）。 4.检验是必做步骤，尤其解决实际问题时，需验证解是否符合实际意义。 题型1.判断式子是否为方程 【典例】下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 【跟踪训练1】下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 【跟踪训练2】下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 题型2.等式的性质(一) 【典例】a、b、c为有理数，如果，那么下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘同一个数，或除以同一个不为零的数，等式仍成立．选项D中，当时，分母为零，变形无意义，故不正确． 【详解】解：∵， ∴对于A：，成立； 对于B：，成立； 对于C：，成立； 对于D：当时，分母为零，分式无意义，不成立． 故选：D． 【跟踪训练1】已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案； （2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等式的性质，熟知等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等是解答此题的关键． 根据题意，可知第一个等式等号右边为，第二个等式等号右边为，因为，所以等号两边同时加． 【详解】解：两边同时加，得； 故答案为： 题型3.等式的性质(二) 【典例】在公式中，已知s，a，b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 利用等式的性质解出未知数即可． 【详解】解：∵在公式中，已知s，a，b， ∴ 解得． 故答案为：． 【跟踪训练1】由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，若使等式成立，则需使等号两侧同时乘以的式子不为零即可解得. 【详解】解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 【跟踪训练2】如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 题型4.根据数量关系列方程 【典例】一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 【跟踪训练1】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据正方形的面积公式、等边三角形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，所有正方形的面积为、所有等边三角形的面积为， 因此，列方程为：， 故答案为：． 【跟踪训练2】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 题型5.判断未知数的值是否为方程的解 【典例】下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把分别代入四个方程中，看对应方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； B、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边相等， ∴是方程的解，符合题意； C、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； D、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练1】关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 3 1 3 5 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．观察表格中与的值，找到两者相等时对应的值，即为方程的解． 【详解】解：当时，，，即， 所以方程的解为． 故答案为：． 【跟踪训练2】若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解，正整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键，由为正整数，推出，那么，那么可得到的取值，从而得出答案． 【详解】解： 为正整数， ， 正整数满足方程， ， ， 当时，，解得，符合题意； 那么满足这个方程的解只有一组， 故选：A ． 题型6.已知方程的解,求未知参数的值 【典例】若关于的方程的解是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解． 将代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵方程的解是， ∴代入方程得：， 解得：． 故选：B． 【跟踪训练1】如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，一元一次方程有无数个解的条件，代数式的值，根据解的定义，灵活运用转化的思想，把问题转化为一元一次方程有无数个解的问题是解题的关键，根据方程解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解的条件求解即可． 【详解】解：把代入方程， ， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ， 故答案为：． 【跟踪训练2】已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，方程的解的定义，正确理解方程的解的含义是解题的关键．方程有无数多个解的条件是未知数的系数为0且常数项为0，由此求出a和b的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 方程 有无数多个解， ∴ 且 ， 由 得 ， 代入 得 ，即 ， ∴ ， 则 ． 故选：D． 1．下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是方程的定义，解题关键是熟练掌握方程的定义． 方程是指含有未知数的等式．根据该定义判断即可得解． 【详解】解：、不是等式，不符合方程定义，该选项错误； 、是含有未知数的等式，符合方程定义，该选项正确； 、没有未知数，不符合方程定义，该选项错误； 、不是等式，不符合方程定义，该选项错误． 故选：． 2．已知关于x的方程的解是，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入原方程建立关于的方程． 根据方程的解的定义，把代入方程，得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 即． 故答案为4． 3．有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球． 【答案】 【分析】先把个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球， 【详解】解：先把个球分成个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组； 再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球； 若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球， 故至少次可以找出这个较轻的球． 故答案为： 【点睛】本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键 4．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 5．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由题意可知，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴（千米）， 故答案为：． 6．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘（其中记作，记作，记作，记作），再加上，再乘，再减去，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是，梅花的代号是，红桃的代号是，方块的代号是，最后这位同学说出运算结果是．这位同学抽出的纸牌点数是 ．（写数字） 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用和数字的变化规律，正确理解题意，找到数字的变化规律是解题的关键．设抽出的纸牌点数为，花色代号为（其中 分别对应黑桃、梅花、红桃、方块），根据运算步骤列出方程，通过代数变换和解方程确定的值即可． 【详解】解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 已知运算结果为， 故有方程：， 整理得：． 由于为至的整数，且为的倍数，因此需为的倍数，检验 ： 当 时，，不是的倍数； 当 时，，是的倍数； 当 时，，不是的倍数； 当 时，，不是的倍数． 故仅 满足条件，此时 ，解得 ， 因此抽出的纸牌点数为． 故答案为：． 7．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握等式的性质是关键． （1）根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解； （2）方程变形得整理得，根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解； （3）等式两边同时减去得，根据等式的性质，等式两边同时乘以，化简即可求解． 【详解】（1）解：， 等式两边同时乘以得，， 解得，； （2）解：， 方程变形得，，整理得，， 等式两边同时乘以得，， 解得，； （3）解：， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时乘以得，， 解得，． 8．根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 【详解】（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 9．对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：． (1)______； (2)当，时，有，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)4 (3)当时，为；当时，为；当时，为 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的运算，等式的性质，整式的加减等知识，理解新定义“关联数”是解题关键． （1）根据新定义进行运算即可求解； （2）根据，，，得到，即可求出； （3）分，，三种情况讨论，根据新定义化为整式加减运算，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $