精品解析：四川省绵阳外国语学校2025--2026学年九年级上学期期中教学质量检测数学试卷

2025~2026学年上期半期教学质量检测 九年级数学试卷 第I卷（选择题，共36分） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小 4. 如图，是一个圆形展厅，为了监控整个展厅，在其圆形边缘上安装了甲、乙两台监视器，若甲监视器的监控角度为，则乙监控器的监控角度至少为（ ） A. B. C. D. 5. 如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ） A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位 B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位 C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位 D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位 6. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D. 在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 9. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根：④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 11. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2025次旋转后，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 第II卷（非选择题，共114分） 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 14. 若关于x的一元二次方程 的常数项是0，则 ___． 15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为________． 16. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 17. 如图，在正方形中，，点是延长线上一点，且，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是_____． 18. 如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接，分别以为边向外部作正方形，连接．点从点运动到点的过程中，与的面积之和为_____． 三．解答题（共90分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 21. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用米，位置的墙最大可用米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个米宽的通道（出口处不用栅栏），两个场地分别留出一个米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为米，设实验田的长为米． （1）若实验田（矩形）的面积为平方米，求的值； （2）通过计算说明该实验田的面积能否为平方米． 23. 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点O，点是抛物线的顶点，且米． 孙洋设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，E．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了孙洋的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料，且要在第二步分隔中恰好用完．请按照她的方法解决问题： （1）求6米材料恰好用完时，所取点与点的距离； （2）种植区域分隔完成后，孙洋又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 24. 如图，的直径为10，弦为6，是的中点，弦和交于点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的长． 25. 二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上期半期教学质量检测 九年级数学试卷 第I卷（选择题，共36分） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 2. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 3. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式进行逐项判断即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 函数有最小值，当时，随的增大而减小， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 4. 如图，是一个圆形展厅，为了监控整个展厅，在其圆形边缘上安装了甲、乙两台监视器，若甲监视器的监控角度为，则乙监控器的监控角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的实际应用，根据题意，作出图形，利用圆内接四边形对角互补求解即可得到答案，读懂题意，将实际问题转化为圆内接四边形问题是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 为了监控整个展厅，在其圆形边缘上安装了甲、乙两台监视器，若甲监视器的监控角度为，则乙监控器的监控角度至少为， 故选：D． 5. 如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ） A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位 B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位 C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位 D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，理解二次函数图象平移的性质是解答关键． 根据二次函数的图象向右平移是减，向下平移是减来进行求解． 【详解】解：的顶点坐标是，的顶点坐标是， 顶点由到需要向右平移4个单位，向下平移5个单位， 平移的过程是向右平移4个单位，向下平移5个单位． 故选：D． 6. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 7. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∴中， ，， 所以， 解得． 故选：D． 8. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D. 在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 10. 如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根：④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、运用数形结合是解题关键． 二次项系数a决定抛物线开口方向，，开口向上；，开口向下．a与b共同决定对称轴的位置，a、b同号，则对称轴在y轴左侧；a、b异号，则对称轴在y轴右侧．常数项c决定抛物线与y轴的交点位置，，交点在正半轴；，交点在负半轴． 二次函数对称轴公式：，函数值比大小，实际上就是比点到对称轴的距离． 【详解】解：对于①②， ∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①②正确； 对于③，此方程可以看作抛物线与直线的交点，结合图象可知，抛物线与直线有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故③正确； 对于④，抛物线开口向上，函数有最小值，且离对称轴直线越近，值越小． ，， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故④正确． 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2025次旋转后，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律，是解题的关键． 根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2025次旋转后，点D的坐标与第1次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点A的坐标为， 点， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为；第2次旋转结束时，点D的坐标为；第3次旋转结束时，点D的坐标为；第4次旋转结束时，点D的坐标为， ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转4次为一个循环． ∵， ∴经过第2025次旋转后，点D的坐标与第1次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选：A． 12. 在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分，两种情况讨论，确定临界点，进而可求的取值范围． 【详解】解：抛物线与线段有两个不同的交点， 令，则， ， ． ①当时， 解得， 故 ②当时， 解得， ． 综上所述：或． 故选：C． 第II卷（非选择题，共114分） 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，再建立方程，可得答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴， 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握“关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数”是解本题的关键． 14. 若关于x的一元二次方程 的常数项是0，则 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据题意可得，且，求出解即可. 【详解】解：∵一元二次方程的常数项是0， ∴，且， 解得. 故答案为：. 15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据，可得，然后根据三角形的内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可知汽车刹车后行驶的距离s关于时间t的函数是二次函数，二次函数的最大值对应汽车停下来时的前进距离，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当，即时，s有最大值，最大值为， ∴汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，，点是延长线上一点，且，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟知最小时，最小是解题的关键．根据题意得到最小时，最小，即可解答． 【详解】解：线段绕点顺时针旋转得到线段， 为等腰直角三角形， ， 即最小时，最小， 如图，当时，最小， 根据勾股定理可得， ， ， ， 即的最小值是． 故答案为： 18. 如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接，分别以为边向外部作正方形，连接．点从点运动到点的过程中，与的面积之和为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，涉及到三角形全等、坐标与图形、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或， 即点、的坐标分别为：、， 设点的横坐标为， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、， ， ， ， ， ，， ， ， 同理可得：， 则与的面积之和， 故答案为：． 三．解答题（共90分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元二次方程． （1）先化简绝对值、去括号，计算乘法和零指数幂，然后计算加减法即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ，即， ∴或， 解得，． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 21. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 22. 学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用米，位置的墙最大可用米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个米宽的通道（出口处不用栅栏），两个场地分别留出一个米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为米，设实验田的长为米． （1）若实验田（矩形）的面积为平方米，求的值； （2）通过计算说明该实验田的面积能否为平方米． 【答案】（1）； （2） 该实验田的面积不能为平方米，理由如下： 假设该实验田的面积能为平方米，则 ， ， ∴， ∴方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式，熟练掌握根据实际条件列方程并结合限制条件验证解的合理性是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出的长度（），结合矩形面积公式列方程，再结合墙的长度限制（、）求解的值． （2）通过面积公式列方程，利用判别式判断方程是否有符合墙限制的解，确定面积能否为平方米．． 【小问1详解】 解：由题意，的长度为：，则 ， 解得：， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 23. 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点O，点是抛物线的顶点，且米． 孙洋设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，E．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了孙洋的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料，且要在第二步分隔中恰好用完．请按照她的方法解决问题： （1）求6米材料恰好用完时，所取点与点的距离； （2）种植区域分隔完成后，孙洋又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1）距离为2米 （2）最大值为米 【解析】 【分析】（1）先建立平面直角坐标系：以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，根据米、米，直接写出、、的坐标．再求抛物线解析式：设抛物线顶点式为，将代入解析式，解出a的值，确定抛物线表达式．然后确定C点坐标：利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的推论，因，O是中点，得．接着表示线段长度并列方程：设，结合抛物线解析式得出、，根据“篱笆长6米”这一条件，列出．最后解方程求结果：通过换元法将无理方程转化为整式方程，求解后得到m的值，代入，算出的长度． （2） 设矩形顶点坐标：设抛物线上的顶点，根据对称性得出，结合直线、的表达式，写出矩形在直线上的顶点、．接着表示矩形的长和宽：根据坐标计矩形的长、宽．然后列周长的函数表达式：根据矩形周长公式，代入长和宽的表达式，整理得到周长关于n的二次函数．最后求周长最大值：将二次函数化为顶点式，根据二次项系数的正负判断开口方向，结合顶点横坐标，求出周长的最大值． 【小问1详解】 解：以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立坐标系，得，，． 设抛物线解析式为，代入，得， 解得， 则抛物线解析式为． 因，O是中点，故． 设，则，． 由，设，得， 解得或（舍去）， 则， 故（米）． 【小问2详解】 解：设，则，，． 矩形长，宽． 周长． 因，当时，周长最大值为米． 【点睛】考查知识点：涵盖二次函数解析式求解、一次函数性质、二次函数最值、直角三角形推论． 核心思想以数形结合思想为核心，通过建立平面直角坐标系，将几何图形的边长、位置关系转化为代数中的函数与方程问题；同时运用函数与方程思想，用函数表达式表示线段长度，列方程求解未知参数．采用待定系数法快速求解二次函数解析式；利用图形对称性设对称点坐标，简化计算步骤；通过换元法将无理方程转化为整式方程，降低求解难度；用配方法将二次函数化为顶点式，直观得出最值．解题关键：第一步需准确建立平面直角坐标系，精准确定A、B、P、C等关键点的坐标；第二步要根据图形特征，将线段长度转化为含参数的代数表达式；第三步熟练运用函数性质分析最值或解方程．易错点：建立坐标系后，易因忽略直角三角形性质导致C点坐标计算错误；列方程时，容易混淆篱笆长度、矩形边长的组成关系，导致表达式列错；求二次函数最值时，配方过程中系数计算失误或对称轴求解错误；忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合题意． 24. 如图，的直径为10，弦为6，是的中点，弦和交于点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ； （2） 证明：是的中点， ， ， ， ， 即， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得，即可证明； （2）根据题意可得，则，再证明，即可证明； （3）过作于点，连接，，利用等弧所对的圆周角相等证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作于点，连接，， 为的直径， ，， 由（2）可知：， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 在等腰直角三角形中，， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴，或 解得：或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $