随机事件与概率、古典概型讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦概率统计核心考点，涵盖样本空间、随机事件、古典概型、概率性质及频率与概率，按概念定义-关系运算-模型特征-公式应用的逻辑层次构建知识体系。通过知识梳理明确内在联系，分题型例题讲解提炼方法，分层课堂练习与反馈训练巩固应用，帮助学生系统突破古典概型计算等高频难点。 资料以题型靶向突破为亮点，如事件关系判断培养数学思维的逻辑推理，古典概型通过样本点列举强化解题规范，频率与概率用随机模拟发展数据意识。设置基础选择、综合应用等分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第七讲 随机事件与概率、古典概型 〖知识梳理〗 1、样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n 个可能结果，则称样本空间Ω={}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A,B,C,...表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 2、两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若A发生，则B一定发生 AB 相等关系 BA且AB A=B 并事件(和事件) A与B至少有一个发生 A U B 或 A + B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=0 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A B = , 且 A U B = Ω 3、古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个：(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 4、古典概型的概率公式 一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则 定义事件A 的概率 .其中，n(A)和分别表示事件A 和样本空间Ω包含的样本点个数. 5、概率的性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A )≥0: 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P()=0; 性质3:如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B); 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B); 性质5:如果AB,那 么P(A)≤P(B),由该性质可得，对于任意事件A,因为，所以O≤P(A)≤I; 性 质 6 : 设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB). 6、频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A), 我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用：可以用频率f(A)估计概率P(A). 【常用结论】 1. 当随机事件A,B互斥时，不一定对立；当随机事件A,B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件. 2. 若事件两两互斥，则. 〖例题讲解〗 题型一 事件的关系与运算 例1 (1)已知6件产品中有3件正品,其余为次品.现从6件产品中任取2件,观察正品件数与次品件数,下列选项中的两个事件是对立事件的是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.恰好有1件次品和恰好有2件次品 B.至少有1件次品和全是次品 C.至少有1件正品和至少有1件次品 D.至少有1件次品和全是正品 (2)从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,有如下一些事件:①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球.其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是　　　　.  题型二 古典概型 例2 (1)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为　　　　.  (2)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是　　　　.  题型三 概率的基本性质的应用 例3 (1)掷两枚均匀的骰子,观察掷得的点数,设事件A=“至少有一个点数是奇数”,事件B=“两个点数之和是偶数”,事件A的概率为P(A),事件B的概率为P(B),则下列事件中概率为1-P(A∩B)的是(　 ) A.两个点数都是偶数 B.至多有一个点数是偶数 C.两个点数都是奇数 D.至多有一个点数是奇数 (2)袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个球,这些球除颜色外完全相同,从中随机取1个球,取到红球的概率是,取到黑球或黄球的概率是,取到绿球或黄球的概率也是,则从袋中随机取1个球,取到黑球、黄球和绿球的概率分别是　　　　,　　　　,　　　　.  题型四 频率与概率 例4 某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟的方法用频率估计“3例该心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功,再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:812 832 569 683 271 989 730 537 925 907 由此估计“3例该心脏手术全部成功”的概率为　　　　.  〖课堂练习〗 1.把语文书、数学书、英语书这三本书随机地分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,记事件A=“甲分得语文书”,事件B=“乙分得数学书”,事件C=“丙分得英语书”,则下列说法正确的是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.A与B是不可能事件 B.A+B+C是必然事件 C.A与B不是互斥事件 D.B与C既是互斥事件又是对立事件 2.(多选题)小华到大理旅游,对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点,下列各事件关系中正确的是(　 ) A.事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件 B.事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件 C.事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件 D.事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件 3.某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为　　　　.  4.围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之”,围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成三个小组,则甲和乙在同一个小组的概率为　　　　.  5.已知事件A与事件B互斥,如果P(A)=0.3,P(B)=0.5,那么P()=　　　　.  6.(多选题)某品牌计算机售后保修期为1年,根据大量的维修记录资料,这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占6%,需要维修3次的占4%.设事件Ak=“一年内需要维修k次”,k=0,1,2,3,则下列事件的概率正确的是(　 ) A.在一年内需要维修的概率为0.25 B.在一年内不需要维修的概率为0.75 C.在一年内维修不超过1次的概率为0.90 D.在一年内最多需要维修2次的概率为0.94 7.某市的天气预报显示,该市在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为40%,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率.先利用计算器产生0 ~9之间取整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5表示没有强浓雾,用6,7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数: 779　537　113　730　588　506　027　394　357　231　683　569　479　812　842　273　925　191　978　520 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为　　　　. 〖反馈练习〗 1.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球,两个红球分别标记为A,B,白球标记为C,则它的样本空间为(　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.{AB,BC} B.{AB,AC,BC} C.{AB,BA,BC,CB} D.{AB,BA,AC,CA,CB} 2.抛掷两枚质地均匀的硬币,下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立事件的是 (　 ) A.至多一枚硬币正面朝上 B.只有一枚硬币正面朝上 C.两枚硬币反面朝上 D.两枚硬币正面朝上 3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(　 ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 4.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂,现有芳香度分别为1,2,3,4的四种添加剂可供选用,则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为(　 ) A. B. C. D. 5.(多选题)下列说法中错误的是(　 ) A.抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上 B.如果某种彩票的中奖概率为,那么买10张这种彩票一定能中奖 C.在乒乓球、排球等比赛中,裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面向上还是反面向上来决定哪一方先发球,这样做公平 D.一个骰子掷一次得到点数2的概率是,这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 6.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数: 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683　431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为　　　　.  7.某地区人群中各种血型的人所占比例如表所示,已知同种血型的人可以互相输血,O型血可以输给任何一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,因病需要输血,任找一个人,其血可以输给小明的概率为　　　　;任找两个人,则小明有血可以输的概率为　　　　.  血型 A B AB O 该血型的人占比 20% 30% 10% 40% 8.口袋中装有质地和大小相同的6个小球,小球上面分别标有数字1,1,2,2,3,3,从中任取两个小球,则两个小球上的数字之和大于4的概率为(　 ) A. B. C. D. 9.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()= (　 ) A. B. C. D. 10.算盘是我国古代一项伟大的发明,是一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态,自右向左分别表示个位,十位,百位,千位,…,上面一粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如,个位拨动一粒上珠,十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件A=“表示的四位数能被3整除”,B=“表示的四位数能被5整除”,则P(A∪B)=(　 ) A. B. C. D. 11.将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中,每个凹槽放一个小球,则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)袋中有红、黄两种颜色的球各一个,这两个球除颜色外完全相同,每次从中任取一个,有放回地抽取3次,记事件A表示“3次抽到的球全是红球”,事件B表示“3次抽到的球颜色全相同”,事件C表示“3次抽到的球颜色不全相同”,则下列结论正确的是(　 ) A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件C是对立事件 C. P(C)= D.P(A∪C)= 13. 有八张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这八张卡片中随机抽出三张,则抽出的三张卡片上的数字之和与其余五张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　.  14.袋中有7个大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件,分别为黑猫、白猫、红猫,某同学从中任意取1个小猫摆件,得到黑猫或白猫的概率是,得到白猫或红猫的概率是. (1)某同学从中任取1个小猫摆件,得到黑猫、白猫、红猫的概率分别是多少? (2)某同学从中任取2个小猫摆件,得到的2个小猫摆件颜色不相同的概率是多少? 参考答案 1.B　[解析] 从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球包含的样本点为AB,AC,BC,所以它的一个样本空间为{AB,AC,BC}. 2.C　[解析] 由对立事件的概念知,“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”. 3.B　[解析] 因为支付方式只有现金支付和非现金支付两种,所以该群体中的成员支付方式只有三类:只用现金支付、只用非现金支付和既用现金支付也用非现金支付.不用现金支付的概率即为只用非现金支付的概率,所以所求概率P=1-0.45-0.15=0.4. 4.B　[解析] 从芳香度分别为1,2,3,4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂,包含的样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种,其中选用的两种添加剂芳香度之和为5包含的样本点为(1,4),(2,3),共2种,则所求概率P==. 5.ABD　[解析] 概率反映的是随机性的规律,但每次试验出现的结果具有不确定性,因此A,B,D中说法错误;抛掷均匀塑料圆板出现正面向上与反面向上的概率相等,是公平的,因此C中说法正确.故选ABD. 6.0.25　[解析] 20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的是191,271,932,812,393,其频率为=0.25,所以估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 7.0.7　0.91　[解析] 由于小明是B型血,所以血型为O,B的人可以给小明输血,故任找一个人,其血可以输给小明的概率为30%+40%=0.7.两个人都不可以给小明输血的概率为(1-0.7)×(1-0.7)=0.09,所以任找两个人,则小明有血可以输的概率为1-0.09=0.91. 8.A　[解析] 记两个标有数字1的小球分别为A,a,两个标有数字2的小球分别为B,b,两个标有数字3的小球分别为C,c,从中任取两个小球包含的样本点为Aa,AB,Ab,AC,Ac,aB,ab,aC,ac,Bb,BC,Bc,bC,bc,Cc,共15个,其中两个小球上的数字之和大于4包含的样本点为BC,Bc,bC,bc,Cc,共5个,所以两个小球上的数字之和大于4的概率P==. 9.B　[解析] 因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=1-=.将P(A)=2P(B)代入上式可得P(B)=,所以P(A)=,P()=. 10.C　[解析] 因为只拨动一粒珠子至梁上,所以数字只表示1或5,因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,所以所得的四位数的个数为24=16.若所得四位数能被3整除,则数字1和5各出现2次,这样的四位数有1155,1515,1551,5511,5115,5151,共6个,所以P(A)==.能被5整除的四位数,其个位数为5,则这样的四位数有1115,1155,1515,1555,5555,5115,5155,5515,共8个,所以P(B)==.既能被3整除,又能被5整除的四位数有1155,1515,5115,共3个,所以P(AB)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=. 11.B　[解析] 将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中,共有=24(种)放法,恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法有=6(种),4个凹槽与其放入小球编号相同的放法有1种,所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率P==, 12.CD　[解析] 对于A,因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况,所以事件A与事件B不互斥,故A错误;对于B,事件A与事件C不可能同时发生,是互斥事件,但一次试验中还可能3次抽到的球全是黄球,所以事件A与事件C不是对立事件,故B错误;对于C,P(C)=1-==,故C正确;对于D,因为事件A与事件C互斥,P(A)=,所以P(A∪C)=P(A)+P(C)=+=,故D正确. 13.　[解析] 从八张卡片中随机抽出三张,样本空间中总的样本点个数为==56.因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的三张卡片上的数字之和与其余五张卡片上的数字之和相等,则抽出的三张卡片上的数字之和应为18,则抽出的三张卡片上的数字应为8,7,3或8,6,4或7,6,5,共包含3个样本点,所以抽出的三张卡片上的数字之和与其余五张卡片上的数字之和相等的概率为. 14.解:(1)从中任取1个小猫摆件,分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件A,B,C,因为A,B,C两两互斥, 所以由题意得即解得所以任取1个小猫摆件,得到黑猫、白猫、红猫的概率分别是,,. (2)由(1)知黑猫、白猫、红猫摆件的个数分别为3,2,2,记黑猫摆件为a,b,c,白猫摆件为m,n,红猫摆件为x,y,则从7个小猫摆件中任取2个小猫摆件包含的样本点为ab,ac,am,an,ax,ay,bc,bm,bn,bx,by,cm,cn,cx,cy,mn,mx,my,nx,ny,xy,共21个,其中2个小猫摆件是黑猫包含的样本点为ab,ac,bc,共3个,2个小猫摆件是白猫包含的样本点为mn,共1个,2个小猫摆件是红猫包含的样本点为xy,共1个,所以2个小猫摆件颜色相同的概率为=,则2个小猫摆件颜色不相同的概率是1-=. 01 学科网（北京）股份有限公司 $