第3章 圆 单元培优检测题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

《圆》 单元培优检测题 考试时间：120分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题4分，共32分） 1．下列说法正确的是（　　） A．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．平分弦的直径必定垂直于弦 2．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 3．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不一定正确的是（　　） A．CE＝DE B．OE＝BE C． D．∠COE＝∠DOE 4．已知⊙O的半径是8cm，则⊙O中最长弦长是 （　　） A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝60°，则∠B的度数是（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 6．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（　　） A．12 B． C． D． 8．如图，正方形ABCD边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为S1和S2，则S1﹣S2等于（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 二．填空题（每题4分，共32分） 9．直角三角形的两直角边长是一元二次方程m2﹣14m+48＝0的两根，则该三角形外接圆的半径是　 　 ． 10．如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则正六边形ABCDEF的边心距为 　 　 ． 11．如图，AB是⊙O的直径，若AC＝4，∠D＝60°，则BC的长等于 　 　 ． 12．若扇形的圆心角为120°，半径为8，则它的弧长为　 　 ． 13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，则∠BOC的度数是　 　 ；若，，则AD的长是　 　 ． 14．如图，半圆O的直径PQ＝6cm，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6cm，半圆O以lcm/s的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OB＝4cm．当△ABC的一边与半圆O相切时，t的值为　 　 ． 15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　 ，弧ABC的长为 　 　 （结果保留根号及π） 16．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点P，A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2的最大值为　 　 ． 三．解答题（共6小题，共56分） 17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE． （1）求证：BD＝DC． （2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数． 18．如图，直线AB经过⊙O上的点E，直线AO交⊙O于点D，OB交⊙O于点G，连接DE交OB于点F，连接EG，若点G是的中点，∠BEF＝∠DOG． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）BE＝6，EG＝GB，求图中阴影部分面积． 19．阅读与思考 下面是数学爱好者王林的一篇手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 圆内接四边形对角互补的证明 数学知识：圆内接四边形对角互补． 题设：如图1，四边形ABCD内接于⊙O． 结论：∠A+∠C＝180°． 证明：如图1，连接BO，DO， 则（依据）， ∴． 又∵∠α+∠β＝360°， ∴∠A+∠C＝180°． 任务： （1）材料中的依据是 　 　 ．在图1中，若∠C＝100°，则∠BOD的度数是 　 　 ． （2）如图2，在圆内接四边形ACBD中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝4，求△BCD的面积的最大值． 20．根据以下素材，探索解决问题： 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图①）．按田径竞赛规程规定：第一分道C1的计算线（又称运动员的实跑线）是距离内突沿外沿0.30米计算，其余各条分道C2，C3⋯）的计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例∁n的计算方法如下： 第一分道C1＝[2π（36.50+0.30）+84.39×2]米； 第二分道C2＝[2π（36.50+1.22+0.20）+84.39×2]米； 第三分通C3＝[2π（36.50+2×1.22+0.20）+84.39×2]米； 第四分量C4＝[2π（36.50+3×1.22+0.20）+84.39×2]米， …… 问题解决： （1）按上述∁n的计算方法，则第5分道C5的代数式可以表示为：第5分道C5＝　 　 米； （2）小玉同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，第2道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸　 　 米（化简后的式子保留π）； （3）如图②，该校在跑道内的长方形足球场区域内，设计了四边形的“掷标枪”项目比赛场地（阴影部分）．其中点A、D为第一圈（最内圈边线）直道与弯道的分界点，AB＝4.39米，CD＝70米，DF＝a米，EF＝b米，已知“掷标枪”比赛场地面积为200平方米，求a+7b﹣65的值． 21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB延长线上一点．若　 　 ，　 　 ，则　 　 ． （1）给出下列表述：①AB是⊙O的直径；②CD是⊙O的切线；③∠BCD＝∠A．请从中选择适当表述，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明（写出一种情况即可）； （2）在（1）的条件下，若CA＝CD，⊙O的半径为4，则劣弧的长为　 　 ． 22．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G． （1）求证：CD＝BF． （2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长． （3）连结GO，OF，如图2，求证：． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B C B C C A 二．填空题 9．5． 10．． 11．4． 12．． 13．120°，． 14．1或4或7． 15．（2，0），π． 16．34． 三．解答题 17．（1）证明：在△ABC中，AB＝AC， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴， ∴BD＝DC； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠B＝65°， ∵∠EDC＝∠A＝50°， ∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°． 18．（1）证明：连接OE， ∵点G是的中点， ∴OG垂直平分DE， ∴∠BFE＝90°， ∵， ∴∠DOG＝∠EOG， ∵∠BEF＝∠DOG， ∴∠BEF＝∠EOG， ∴∠OEB＝∠OEF+∠BEF＝∠OEF+∠EOG＝∠BFE＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且AB⊥OE于点E， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：∵∠OEB＝90°，EG＝BG， ∴∠GEB＝∠B， ∵∠OEG+∠GEB＝90°，∠EOG+∠B＝90°， ∴∠OEG＝∠EOG， ∴EG＝OG＝BG＝OE， ∴△EOG是等边三角形， ∴∠DOG＝∠EOG＝60°，OB＝2OG＝2OE， ∵BEOE＝6， ∴OD＝OE＝OG＝2， ∵OG⊥DE， ∴OF＝GFOG， ∴DF3， ∴S阴影＝S扇形DOG﹣S△DOF3， ∴阴影部分面积为． 19．解：（1）材料中的依据是：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ∵∠C＝100°， ∴∠A＝180°﹣∠C＝80°， ∴∠BOD＝2∠A＝160°． 故答案为：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；160°； （2）如图，设AB的中点为点O， 当DO的延长线垂直于BC时，△BCD的面积最大， 即DE⊥BC， ∴∠OEB＝90°． ∵∠ACB＝90°，AB＝2AC＝4， ∴AC＝2，AB为圆的直径，点O为圆心， ∴． ∵DE⊥BC， ∴． ∵， ∴， ∴DE＝2+1＝3， ∴． 20．解：（1）由题意得：第5分道C5＝[2π（36.5+4×1.22+0.20）+84.39×2]米， 故答案为：（83.16π+168.78）； （2）C2﹣C1＝[2π（36.50+1.22+0.20）+84.39×2]﹣[2π（36.50+0.30）+84.39×2]＝2π×1.22＝2.44π（米）， 故答案为：2.44π； （3）∵AB＝4.39米，CD＝70米，DF＝a米，EF＝b米，AD＝84.39米， ∴BD＝AD﹣AB＝80米，DE＝DF﹣EF＝（a﹣b）米， ∴S阴影＝S△BDF﹣S△CDEBD×DFCD×DE80×a70×（a﹣b）＝40a﹣35a+35b＝5a+35b， ∵“掷标枪”比赛场地面积为200平方米， ∴5a+35b＝200， ∴a+7b＝40， ∴a+7b﹣65＝40﹣65＝﹣25， 故a+7b﹣65的值为﹣25． 21．解：（1）若①②，则③． 证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO＝90°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°，即∠BCD+∠BCO＝90°， ∴∠ACO＝∠BCD， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠BCD＝∠A； 故答案为：①；②；③（答案不唯一）； （2）∵若CA＝CD， ∴∠A＝∠D， ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD＝∠D， ∴∠ABC＝∠BCD+∠A＝2∠BCD， ∴∠ABC＝2∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴的长为：π， 故答案为：． 22．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴BF＝CD； （2）解：如图所示：连接BC， 由（1）得：，CD＝BF＝4， ∴∠FBC＝∠BCD， ∴BG＝CG， ∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴， 设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x， 在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2， 解得：， ∴GE的长为； （3）解：如图所示：连接OC交BF于I， ∵， ∴， 在△OCG和△OBG中， ， ∴△OCG≌△OBG（SSS）， ∴∠COG＝∠BOG， ∴∠IOB＝2∠EOG， ∵OF＝OB，OC为半径， ∴OC⊥BF， ∴∠OIB＝90°， ∵∠IOB+∠IBO＝90°， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 23:32:14；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $