精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测训练3

华科附中2028届高一（上）数学周测训练3 一、单选题 1. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 2. 对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A. 5 B. C. D. 3. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 4. 集合间的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知均为实数，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 7. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 二、多选题 9. 下列选项不正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 空集是任何集合的子集 C. 任何集合至少有两个子集 D. 满足方程组的点集为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 如果，那么“”是“”的充要条件 D. ，不等式恒成立，则的取值范围是 11. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数满足，则的最小值为 D. 若，且，则的最大值为7 三、填空题 12. 已知集合，，，则_____. 13. 已知，，则的取值范围为________. 14. 若正实数满足，则bc的最大值为______． 四、解答题 15. 已知，，全集． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 17. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 18. （1）已知，，且.求的最小值 （2）关于的方程有且只有正根，求实数的取值范围； 19. 已知集合为非空数集.对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合,并说明理由； （2）对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华科附中2028届高一（上）数学周测训练3 一、单选题 1. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 2. 对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 3. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 4. 集合间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合 ， ，再判断. 【详解】因为 ， ，， 所以，则，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 5. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】将原不等式转化为，解出，再求解出的范围即可. 【详解】原不等式可化为，解得， 则，故解集为． 故选：A 6. 已知均为实数，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】时，假设“或”不成立，即有且， 当且时，，这与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即由“” 可以推出“或”，充分性成立； 当时，满足或（这里成立）， 但，不满足， 所以由“或”不能推出“”，必要性不成立. 则“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 7. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 8. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9. 下列选项不正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 空集是任何集合的子集 C. 任何集合至少有两个子集 D. 满足方程组的点集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的定义、性质及子集的定义逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由得或或，因，则或， 则列举法表示为，故A错误； 对于B，空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，空集只有一个子集，即空集本身，故C错误； 对于D，由得，故点集为，则D错误. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 如果，那么“”是“”的充要条件 D. ，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断A；写出存在量词命题的否定判断B；利用充要条件定义推理判断C；利用一元二次不等式恒成立求出范围判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，命题“”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所求否定是“或”，B正确； 对于C，当时，， 因此当时，“”是“”的充要条件，C正确； 对于D，当时，恒成立，当时，则， 解得，因此的取值范围是，D错误． 故选：BC 11. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数满足，则的最小值为 D. 若，且，则的最大值为7 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断；对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设，，解出，将使用的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A选项，中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，，则，且， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知集合，，，则_____. 【答案】或0或 【解析】 【分析】求解方程，讨论集合，计算. 【详解】由得到或；为的子集， 当，则； 当，则或，得到或； 综上，或或. 13. 已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数法可得，利用不等式性质求解即可. 【详解】设， 则， 令，解得， 故， 因为，， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 若正实数满足，则bc的最大值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】原式变形为，若，上式左边，矛盾，故，变形得到，故，得到，从而得到答案. 【详解】原式变形为． 若，故 则上式左边，矛盾，故． 原式两边同时乘以，得， 即，， 因为，所以，， 所以， 所以，， 当时等号成立． 故bc的最大值为9． 故答案为：9 四、解答题 15. 已知，，全集． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），=； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可； （2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 由， 所以， 又因为或， 所以=. 【小问2详解】 由可得， 所以当时，有，解得， 当时，有，解得． 综上，所以的取值范围为． 16. 已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过移项、整理，转化为标准的一元二次不等式形式，再对这个一元二次不等式对应的一元二次方程求根，再根据这个一元二次不等式对应的二次函数的图象性质（开口方向、根的大小关系）来确定不等式的解集. （2）将不等式转化为小于等于一个关于的函数的形式，整理这个关于的函数的形式，利用基本不等式求出其最小值，从而确定的取值范围. 【小问1详解】 由， 得， 令， 可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，可得． 因为，得，所以，即. 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 因为，所以，即实数的取值范围是. 17. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】（1）证明：， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 【小问3详解】 ， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 18. （1）已知，，且.求的最小值 （2）关于的方程有且只有正根，求实数的取值范围； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）消元，用表示，再用均值不等式得到最值； （2）分和两种情况讨论，时，由判别式和韦达定理得到不等式组，解出的取值范围. 【详解】（1）由得即， 因为，所以，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. （2）当时，由得，符合题意； 当时，设方程的根为， 由得，解得， 所以或， 综上，的取值范围是. 19. 已知集合为非空数集.对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合,并说明理由； （2）对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 【答案】（1）是完美自相加集合，是完美自相加集合.理由如下： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为， 所以中的最小元素为， 同理，2次自相加后得到的集合中的最小元素是. 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 因为集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加的和都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合；所以对， 再进行一次自相加操作，任意两个偶数相加的和还是偶数， 因为任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，故是完美自相加集合. （2）2051； （3）675. 【解析】 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可； （2）连续的正整数组成的集合，在自相加后，形成的新集合中的元素必然是连续的正整数，且得到的新集合的元素的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到新集合的元素的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行11次自相加后集合的元素的最大值和最小值，即可得到集合的11次自相加集合的计算元素个数； （3）由第二问的结论，很容易得到.因为集合由连续自然数组成，所以其自相减集合中的最小数是１，最大数是最大数与最小数的差，即，所以然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行1次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第2次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第3次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第4次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第5次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第6次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第7次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第8次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第9次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第10次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第11次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合的次自相加集合中的元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为. 【小问3详解】 因为且，集合 所以 要使，须使，所以， 又因为，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $