精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测9

高一13班数学周测9 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则 4. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（ ） A. B. 45° C. 60° D. 90° 5. 设实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，点为三角形的外接圆的圆心，若，且，则的面积的最大值为（　　） A. 2 B. 8 C. 16 D. 18 7. 在棱长为1的正方体ABCD-­A1B1C1D1中，下列选项正确的是（ ） A. AD∥平面A1BC1 B. 三棱锥D­A1BC1的外接球的表面积为 C. DB1⊥平面A1BC1 D. 三棱锥D­A1BC1的体积为 8. 定义域为的偶函数满足，有，且当时，.若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ） A. 若，则△ABC为锐角三角形 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，，且该三角形有两解，则b的范围是 D. 存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍 10. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 三、填空题 12. 在中，角的对边分别为，则___________． 13. 下列命题，其中正确的是________（填序号） ①已知 为实数，若 ，则 ②已知 为复数，若 ，则 ③已知 为向量，若 ，则 14. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________. 四、解答题 15. 宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一个圆台，其尺寸如下：桶口直径为30 cm，桶底直径为24 cm，桶高为24 cm， （1）求该饭甑木桶的容积；（不计容器的厚度） （2）若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，求当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度） 16. 如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 17. 设函数． （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求在上的最值． 18. 已知的角的对边是且. （1）求； （2）若为的中线，为的角平分线，求. 19. 若，已知函数为奇函数. （1）求实数的值. （2）用定义证明的单调性. （3）若函数在区间上的值域是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测9 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先分别求出集合与集合，再根据确定实数的取值范围，进而分析各选项. 【详解】集合，解得，集合，解得， 说明集合中的元素都属于集合，即. 故选：B 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 3. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系，作正方体，根据正方体的特征结合反例一一判定选项即可. 【详解】 作正方体， 对于A，不妨设为底面，显然符合条件，，但不成立，故A错误； 对于B，不妨设为底面，显然符合条件，但，故B错误； 对于C，因为是不重合，所以，又，不重合，所以，故C正确； 对于D，不妨设分别为下底面与上底面，显然符合条件，但，故D错误； 故选：C 4. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（ ） A. B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，构造平行线，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再结合已知条件求解. 【详解】取的中点，连接, 根据三角形中位线的性质知， 且 由得 或其补角为异面直线和所成的角, 又，则, 则为等腰直角三角形，则， 故选: 5. 设实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，再通过同号，和异号，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 当同号时，由，当且仅当时，取等号， 当异号时，由，当且仅当时，取等号， 综上的范围为， 故选：A 6. 在中，，点为三角形的外接圆的圆心，若，且，则的面积的最大值为（　　） A. 2 B. 8 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】首先取的中点，则，根据平面向量基本定理确定点三点共线，再结合条件和平面几何关系，确定，再表示的面积，求最大值. 【详解】取的中点，如图． 因为，所以， 因为，所以三点共线， 因为是三角形的外接圆的圆心，所以， 设，则， 所以． 当且仅当，即时取得等号，故面积最大值为2． 故选：A． 7. 在棱长为1的正方体ABCD-­A1B1C1D1中，下列选项正确的是（ ） A. AD∥平面A1BC1 B. 三棱锥D­A1BC1的外接球的表面积为 C. DB1⊥平面A1BC1 D. 三棱锥D­A1BC1的体积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面平行和垂直的判断方法可判断A、C；三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 由球的表面积公式计算判断B；利用割补法由即可判断D. 【详解】对于A，因为与平面相交于，故AD与平面相交，故A错误； 对于B，三棱锥的外接球即正方体的外接球，得其直径为， 故外接球的表面积，故B错误； 对于C，因为正方体，故 平面，故平面，故， 同理，又，平面，故平面，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 8. 定义域为的偶函数满足，有，且当时，.若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意采用赋值法可推得函数的周期为2，继而推出其对称轴，当时，，令，则的图像和的图像在上恰有三个交点，画出图像，数形结合，根据，且，求得实数的取值范围. 【详解】∵，且是定义域为的偶函数， ∴令，可得， 又，可得，则有， ∴是周期为2的偶函数， 又，则函数的图象关于直线对称； 当时，，函数的图像为开口向下、顶点为的抛物线的一部分. 若函数在上恰有三个零点， 令，则的图像和的图像在上恰有三个交点. 作出函数的图像，如图所示， ∵，∴，可得, 要使函数的图像和的图像在上恰有三个交点， 则有 ，即，解得， 即实数a的取值范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题需要将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，因此关键在于判断出函数的奇偶性以及对称轴，结合题设作出其图象，数形结合，列出不等式组解决问题. 二、多选题 9. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ） A. 若，则△ABC为锐角三角形 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，，且该三角形有两解，则b的范围是 D. 存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：余弦定理可得，则角为锐角, 不能得到△ABC为锐角三角形，故A错误；对于B：正弦定理边化角即可判断；对于C：由正弦定理表示出，由题意求出角的范围即可；对于D：设,分别用正弦定理与余弦定理表示出，求解即可. 【详解】对于A：由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到△ABC为锐角三角形，故A错误； 对于B：因为，由正弦定理 又A，B 为△ABC的内角,故B正确； 对于C：因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，C正确； 对于D：假设存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍， 设,则 由余弦定理得，所以 所以存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍. 故选：BCD 10. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由八个内角相等和为，得到，以为基底分别表示可计算出的结果，正八边形判断共线，再找到它们的模长关系，利用向量共线定理得到它们的倍数关系；将，则利用向量数量积运算得到. 【详解】由题可知，选项A正确； 在正八边形中，，； 所以，所以选项B错误； 由题可知在正八边形中有，且，，所以，所以，选项C正确； 连接，则 ，,选项D正确. 故选：ACD 11. 已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：借助折叠性质与勾股定理逆定理计算即可得；对B：借助线面垂直判定定理可得为三棱锥的高，再利用体积公式计算即可得；对C：借助等体积法计算即可得；对D：设出球心，结合外接球性质，利用勾股定理计算即可得. 【详解】对A：，，， 有，故，故A正确； 对B：由，故、， 又、平面，，故平面， 故，故B错误； 对C：设点到平面的距离为，则由可得： ，则，故C正确； 对D：设三棱锥外接球球心为，半径为， 由，平面，取中点， 则，且，则， 则有， 即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 在中，角的对边分别为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理及数量积的定义即可求解. 【详解】由余弦定理可得：， ∴， 所以2． 故答案为： 13. 下列命题，其中正确的是________（填序号） ①已知 为实数，若 ，则 ②已知 为复数，若 ，则 ③已知 为向量，若 ，则 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①两边平方化简即可判断，对于②设，，计算和进而判断，对于③由两边平方化简即可判断. 【详解】对于①：由两边平方有：，故①正确； 对于②：设，， 所以， 由平方得：，化简得； 又，若与不等价，故②错误； 对于③：由两边平方化简有：，故③正确. 故答案为：①③. 14. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得圆锥内切球半径，进而求得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值. 【详解】由题可知当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球. 作出圆锥和其内切球的轴截面如图，圆锥的底面半径，圆锥的高，则母线长， 设圆锥的内切球半径， 由，可得，即，解得， 棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为， 令，解得. 所以实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一个圆台，其尺寸如下：桶口直径为30 cm，桶底直径为24 cm，桶高为24 cm， （1）求该饭甑木桶的容积；（不计容器的厚度） （2）若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，求当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆台的体积公式，代入数值，求出结果即可； （2）根据几何体的外接球的概念，列出方程组，求出结果即可. 【小问1详解】 由圆台体积公式可知， 所以该饭甑木桶的容积为 【小问2详解】 如图所示，设球半径为，球心距离下底面的距离为， 可得，解得， 所以该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离为. 16. 如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 【答案】（1） 连接，因为M，N，E，F分别是棱，，，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 连接AC，，交MN，EF，BD于G，H，O， 连接AG，OH，如图． 易得四边形为矩形，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，则平面． 又，AG，平面， 所以平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）分别由线线平行证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可得证； （2）结合图形，依次求得三棱锥的体积和三棱台的体积，即得被夹在平面AMN与平面DBEF之间的几何体的体积，作比计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体的棱长为a，则体积为． 三棱锥的体积为， 三棱台的体积为 ， 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为． 故平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 17. 设函数． （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求在上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为0 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性确定参数的值即可； （2）根据，可得，再恒等变形化简得，结合求最值即可． 【小问1详解】 若为偶函数，则， ， 则， 故， 由于，当且仅当时符合条件，故； 【小问2详解】 若，解得， 此时， 其中， 所以 当时，，所以， 故在上取值范围为， 所以最大值为，最小值为0． 18. 已知的角的对边是且. （1）求； （2）若为的中线，为的角平分线，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，进而求得，可求结论；法二：利用余弦定理可得，结合已知可得，可得结论； （2）不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用角平分线定理可求得，可求结论.法二：不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用面积法求得，可得结论. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得，又， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 因为，，所以, 所以或（舍去），所以. 又因为，所以， 因为，， ， 故. 法二：由余弦定理得，所以， 与联立得，，解得，故. 【小问2详解】 不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，为的角平分线，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 法二：不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，得， 所以，所以，得， 所以. 19. 若，已知函数为奇函数. （1）求实数的值. （2）用定义证明的单调性. （3）若函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）知， 不妨设，所以， 因为，且在上单调递增，所以，即， 又所以， 即，所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由，恒成立，得到定义域为，由，求得，再验证即可； （2由，利用单调性的定义证明； （3）由上知在上单调递增，得到，从而是关于的方程在上的两个不等根求解. 【小问1详解】 ，则恒成立，所以定义域为， 则，所以， 此时， 符合题意，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由上知在上单调递增， 所以， 整理得， 则是关于的方程在的的两个不等根， 令，则函数在上有两个不同零点， 易知， 当时，，所以方程有一个正根和一个负根，不合题意，舍去； 当，对称轴， 所以，解不等式组得， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $