模块2 函数与导数（课件）——2026届高三数学二轮复习

模块二 函数与导数 ——2026届高考二轮复习核心模块精讲 1 01 考情分析 ” “ 函数是高中阶段的重点内容，更是每年高考的热点，试题考查形式新颖，难度以中到难题为主，主要考查函数的概念及其表示，基本初等函数比大小，函数图象的识别与应用，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的综合应用（高频考法）.复习过程中，要深化理解函数的概念、图象、性质等内容，能够利用函数性质灵活解题，应用数形结合法提高解题效率. ” “ 导数是高考的必考内容，简单题主要考查利用导数求值、导数的几何意义，中、难题主要考查利用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）、利用导数解决函数的零点问题、构造函数并利用导数比较大小、利用导数解决恒成立及存在性问题等，试题有一定的综合性，与数学思想方法紧密结合，近几年常与不等式、方程、三角函数、数列等知识交叉命题，考查综合应用能力. 02 思维导航 ” “ ” “ ” “ ” “ ” “ 03 重难知识 ” “ ” “ ” “ ” “ ” “ ” “ ” “ ” “ ” “ 04 解题技巧 ” “ 1.求分段函数中参数或自变量的值（范围）的解题思路 （1）解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后取各段结果的并集即可. （2）如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解. ” “ 2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 （1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域. （3）利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解. （4）利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. ” “ ” “ 4.指数型代数式大小的比较方法 （1）化同底，化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底. （2）取中间值法，不同底、不同指数时比较大小，先与中间值0或1比较大小，再间接地得出大小关系. （3）图解法，根据指数式的特征，在同一坐标系中作出它们相应的函数图象，在图象上找出相应的位置，进行比较. （4）比较法，有作差比较法与作商比较法两种. ” “ 5.对数函数值大小比较的方法 （1）单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底. （2）中间量过渡法，即寻找中间数连接要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”. （3）图象法，根据图象观察得出大小关系. ” “ 6.解决指数函数与对数函数综合问题的技巧 （l）解决指数函数与对数函数的综合问题时，一般运用指数、对数函数的图象与性质等知识，并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题. （2）解决与指数函数、对数型函数有关的问题时，要注意数形结合思想的应用. （3）在给定条件下求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用. ” “ 7.求解函数图象的应用问题的步骤 （1）画图：通过五点作图法或函数图象变换法画出有关函数的图象； （2）分析：准确分析函数图象的特征，定性分析、定量分析； （3）转化：借助函数图象，把原问题转化为数量关系比较明确的问题； （4）结论：解决问题，并回到原问题，得出正确结论. ” “ ” “ 9.利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤 （1）常用方法： ①直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围.②分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. （2）一般步骤：①转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式(组)的解集或两函数图象的交点的情况；②列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式；③结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围. ” “ 10.指数函数、对数函数、幂函数三种函数模型的应用技巧 （1）与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型. （2）在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数. ” “ 11.已知函数的解析式，求导函数或导函数值的方法 （1）连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导. （2）三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. （3）复杂分式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导. （4）根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导. （5）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. ” “ 12.利用导数解决含双变量的不等式证明问题的策略 含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略：一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值. ” “ ” “ 05 真题链接 ” “ 考点01 函数的单调性 B ” “ 考点01 函数的单调性 ” “ 考点02 函数的奇偶性 ABD ” “ 考点02 函数的奇偶性 ” “ 考点02 函数的奇偶性 ABC ” “ 考点02 函数的奇偶性 ” “ 考点03 函数的周期性 A ” “ 考点04 指对幂函数 D ” “ 考点04 指对幂函数 C ” “ 考点04 指对幂函数 B ” “ 考点04 指对幂函数 B ” “ 考点04 指对幂函数 ” “ 考点05 函数的实际应用 ACD ” “ 考点05 函数的实际应用 ” “ 考点06 函数的零点 D ” “ 考点06 函数的零点 ” “ 考点06 函数的零点 ” “ 考点07 已知切线(斜率)求参数 ln2 ” “ 考点07 已知切线(斜率)求参数 4 ” “ 考点08 利用导数研究函数的单调性 ” “ 考点08 利用导数研究函数的单调性 ” “ 考点08 利用导数研究函数的单调性 ” “ 考点08 利用导数研究函数的单调性 ” “ 考点09 利用导数研究函数的极值 ACD ” “ 考点09 利用导数研究函数的极值 ” “ 考点09 利用导数研究函数的极值 4 ” “ 考点10 利用导数研究函数的最值 C ” “ 考点10 利用导数研究函数的最值 ” “ 考点11 利用导数研究函数的零点 AD ” “ 考点11 利用导数研究函数的零点 ” “ 考点11 利用导数研究函数的零点 1.函数的奇偶性 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称. （3）对于偶函数而言，有. 2.幂函数的性质 幂函数 定义域 R R R 值域 R R 单调性 增 在上单调递增，在上单调递减 增 增 在上单调递增，在上单调递减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 都经过点 3.指数函数的图象和性质 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 ，即时， 单调性 减函数 增函数 奇偶性 非奇非偶 4.对数函数的图象和性质 图象 定义域 值域 R 单调性 减函数 增函数 过定点 过定点，即时， 5.函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 6.求函数的单调区间 （1）求函数的定义域． （2）求出． （3）解不等式可得函数的单调递增区间，解不等式可得函数的单调递减区间． 7.用导数判断函数单调性 （1）确定函数的定义域； （2）求出导数的零点； （3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 8.求函数的极值 解方程，当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 9.求函数在上的最大值和最小值 （1）求函数在区间内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.函数奇偶性与单调性综合问题的求解方法 （l）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. （2）解决不等式问题时，首先一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响 8.判断函数零点个数的常用方法 （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. （2）函数零点存在定理：结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）确定函数有多少个零点. （3）利用图象交点的个数：函数的图象与x轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个图象易得的函数和的差，根据，则函数的零点个数即为函数和的图象的交点个数. （4）利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数. 13.利用导数解决函数零点问题的方法 （1）先求函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想. （2）构造新函数，将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题. （3）分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题. 14.利用导数研究不等式恒成立或存在性问题的思路方法 首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一般地，恒成立，则；恒成立，则. 1．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( ) A. B. C. D. 解析：因为当时，，所以，.对于，令，得； 令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B. 2．[2025年 全国二卷]（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则( ) A. B.当时， C.当且仅当 D.是的极大值点 解析：对A，因为定义在R上奇函数，则，故A正确；对B，当时，，则，故B正确；对C，，故C错误；对D，当时，，则，令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确.故选ABD. 3．[2023年 新课标Ⅰ卷]（多选）已知函数的定义域为R， ，则( ) A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点 解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.故选ABC. 4．[2025年 全国一卷]设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则( ) A. B. C. D. 解析：由题知，对一切成立，于是 .故选A. 5．[2023年 新课标Ⅰ卷]设函数在区间单调递减，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：由题意得在区间上单调递减，所以，解得.故选D. 6．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，若，则的最小值为( ) A. B. C. D.1 解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C. 7．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B. 8．[2025年 全国一卷]已知，则x，y，z的大小关系不可能是( ) A. B. C. D. 解析：法一：令，得，，，此时；令，得，，，此时；令，得，，，此时.故选B. 法二：设，则， ，，在同一平面直角坐标系中画出 函数，，的图象，由图可知x，y，z的关系不可 能为，故选B. 9．[2023年 新课标Ⅰ卷]（多选）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( ) A. B. C. D. 解析：因为随着p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正确；由，得， 因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确. 10．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( ) A.-1 B. C.1 D.2 解析：法一：令，即，可得，令，，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到，均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：. 11．[2024年 新课标Ⅰ卷]若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________. 解析：由题，令，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.令，则，设直线与曲线相切于点，则，得，则，所以，所以. 12．[2025年 全国一卷]若直线是曲线的一条切线，则___________. 解析：设直线与曲线的切点坐标为，由得，所以，解得，所以切点坐标为，又切点在切线上，所以，解得. 13．[2025年 全国二卷]已知函数，其中. （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设，分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 解析：（1）因为，， 所以. 当时，令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以是在上唯一的极值点，是极大值点. 因为，， 所以，， 所以是在上唯一的零点. （2）（i）因为， 所以 . 因为，所以，， 所以， 即在区间单调递减. （ii）由（i）得，在上单调递减，所以， 即， 又，所以， 因为是的零点，所以，所以， 又，，且在上单调递减，所以. 14．[2024年 新课标Ⅰ卷]（多选）设函数，则( ) A.是的极小值点 B.当时， C.当时， D.当时， 解析：因为，所以，令，解得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以A正确；当时，，即，又函数在上单调递增，所以，所以B错误；当时，，函数在上单调递减，所以，所以C正确；当时， ，所以，所以D正确.故选ACD. 15．[2025年 全国二卷]若是函数的极值点，则_________. 解析： ，因为是函数的极值点，所以，即，则，经检验，满足题意，所以， 所以. 16．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( ) A. B.e C. D. 解析：法一：，由在区间单调递增可知，当时，恒成立.当时，，不符合题意.当时，设，则，则在单调递增，所以只需，解得，故选C. 法二：由题意可知在区间上恒成立，即，.设，则在上恒成立，所以在上单调递增，，所以，即，故选C. 17．[2024年 新课标Ⅱ卷]（多选）设函数，则( ) A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在a，b，使得为曲线的对称轴 D.存在a，使得点为曲线的对称中心 解析：由题可知，.对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误； 让 学 习 变 简 单 对于D，法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD. 版权所有©正确教育 侵权必究！ $