精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题

山东省实验中学2026届高三第三次诊断性考试 数学试题 2025.12 注意事项： 1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2.本试卷满分150分，分为选择题和非选择题. 3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的乘法运算求得，然后利用复数模的运算求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D 2. 已知等比数列满足，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公比的范围，再结合通项公式及单调性求解即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得， 而，则，又，因此数列递减数列，又， 所以. 故选：C 3. 已知点，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 4. 已知为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 5. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二倍角正弦公式，根据集合的补集、交集和并集的定义即可求解. 【详解】因为集合，， 所以， 由可得，或， 故集合. 故选：B 6. 设.求的值为. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令 ① 令 ② 令 ③ ②+③得 故 再由式①得 故答案为C 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不必要条件，又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式可由化简成，结合充要条件的概念及三角形的性质即可得解. 【详解】等价于， 等价于，又在中，， 所以等价于， 由正弦定理得等价于，等价于， 故“”是“”的充要条件. 故选：C 8. 一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式、对立事件的概率公式求出此人分别过第一关、第二关、第三关的概率，再结合独立事件的概率乘法公式可求得结果. 【详解】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，，则（ ） A. B. 与平面所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；利用线面角的定义可判断BC选项；利用可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，在长方体中，由题意可知， 故矩形为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，A对； 对于B选项，因为平面，所以直线与平面所成的角为， 由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，且， 故与平面所成的角为，B对； 对于C选项，过点在平面内作， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 所以直线与平面所成的角为， 在中，，故， 所以与平面所成的角不是，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 10. 将函数图象所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 当且仅当（） D. 若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过图像变换得到的解析式，再分别分析其周期、对称轴、不等式解集及方程根的分布情况. 【详解】先求的解析式： 将横坐标缩短为原来的，得； 向左平移个单位，得. 选项A：的最小正周期，正确. 选项B：对称轴满足（），不满足，错误. 选项C：， 解得（），正确. 选项D：当时，， 令（）， 在递增、递减，，. 所以，当时，有两个不等实根，正确. 故选：ACD. 11. 已知函数有三个零点，，（），则（ ） A. B. C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列 D. 若，，成等差数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由题可得，令，利用导数判断的单调性最值，得解；对B，举反例说明；对C，由，结合等差数列，等比数列定义求解；对D，由C，可求得，结合，两边取对数运算得解. 【详解】当时，，不合题意； 当时，分别画出与的图象，如图： 所以. 对于A，令，得，设，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，又，；，， 要使得有两个大于0的零点，则，故A正确； 对于B，由A，取，则，又，而在上单调递增， 所以存在，使得，所以，故B错误； 对于C，由题得，所以，即， 由于成等差数列，所以，所以， 所以成等比数列，故C正确； 对于D，由，且，则， 即，所以，由，解得， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为______. 【答案】31.5 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差的定义求解即可. 【详解】由于样本共有6个数据，且最中间的两个数为，， 由题意可得，，即， 则样本平均数为， 则样本的方差为， 要使该组样本的方差最小，只需最小即可， 而， 则时，最小，此时， 则. 故答案为：31.5. 13. 已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】取，的中点，连接，则平面，平面，设正四棱台外接球的球心为，半径为，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】如图，取，的中点，连接，则， 由对称性可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 则平面，平面，连接， 由，，得，， 设正四棱台的外接球的半径为， 则，又， 所以，解得，则， 所以该正四棱台外接球的表面积为. 故答案为：. 14. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化切为弦得，根据两角差的正弦公式求得，然后利用两角和的正弦公式计算即可． 【详解】因为，所以，即， 又， 所以， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，、、所对应的边分别为、、，已知，，点在线段上，且. （1）当时，求的长； （2）当时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将利用正弦定理边化角求得，由，求得； （2）由题可得，平方结合数量积运算求得，利用三角形面积公式得解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以，因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以， 由，可得， 代入，，， 得，即. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 两边平方得， 即，解得， 又，所以. 16. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，点为的中点. （1）证明：； （2）若异面直线和所成角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，先由线面垂直证得，再设与交于点，根据证明，即可证得平面，再由线面垂直的性质即得证； （2）以为原点建系，根据异面直线和所成角为得出点坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得答案. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，，设与交于点， 由于，为中点，所以， 在直三棱柱中，有平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，可得四边形是正方形，所以，且为线段中点， 又，可得点为的中点， 又为的中点，所以是的中位线，为的中位线， 所以 ，，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 如图，以为原点，，所在的直线为轴，轴，以平行于的直线为轴如图建系， 则，，，， 设，则，， 因异面直线和所成角为，则， 解得，即，则， 则，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，故可取， 设平面的一个法向量为， 由，得，故可取， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知数列的前项和为，数列的前项积为，且. （1）求数列通项公式； （2）求使得成立的的最大值； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）45 （3） 【解析】 【分析】（1）利用时结合已知等式得首项，再由代入等式，转化得到是等差数列，进而求出的通项. （2）由求出，再通过与的前项和关系得到的分段表达式，分和讨论的不等式，求解的最大值. （3）写出的分段形式，时对通项进行裂项相消拆分，再分和计算前项和. 【小问1详解】 因为，所以，在中令，得.所以 当时，由及，得，所以. 又，所以是首项为3，公差为2的等差数列. .所以. 【小问2详解】 由（1）知（）. 当时，，满足上式，所以， 则（）. 当时，，不满足上式，所以 当时，，显然成立； 当时，有，所以， 又，所以的最大值为45. 【小问3详解】 设， 当时，， 当时， 所以 . 当时，上式也符合， 所以. 18. 已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）． （1）求实数的值； （2）用表示中的最小值，设函数，若函数 为增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为. 试题解析： （1）对求导得． 设直线与曲线切于点，则 ，解得， 所以的值为1． （2）记函数，下面考察函数的符号， 对函数求导得． 当时，恒成立． 当时，， 从而． ∴在上恒成立，故在上单调递减． ，∴， 又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使． ∴；，， ∴， 从而， ∴， 由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立． ①当时，在上恒成立，即在上恒成立， 记，则， 当变化时，变化情况列表如下： 3 0 极小值 ∴， 故“在上恒成立”只需，即． ②当时，，当时，在上恒成立， 综合①②知，当时，函数为增函数． 故实数的取值范围是 考点：函数导数与不等式. 【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了. 19. 将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. （1）在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； （2）现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； （3）求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 【答案】（1）7种； （2） （3）当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. 【解析】 【分析】（1）应用列举法结合新定义解题； （2）结合新定义应用乘法原理及古典概型计算求解； （3）应用新定义结合乘法原理及组合数计算分为奇数时及为偶数时分别计算求解. 【小问1详解】 表示染红色，列举满足条件的“点亮”：，，，，，，，共7种； 【小问2详解】 对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或染蓝色，每个顶点有4种方法， 四边形共有种方法， 其中能“点亮”的有84种，故； 小问3详解】 对于边形，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上； 若颜色不同，则标上；若数字和颜色都相同，则标上. 于是，对于给定的点上的设置（共有4种）， 按照边上的字母可以依次确定点，，…，上的设置. 为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有和的边都是偶数条. 所以，“点亮”的方法数等于在边上标记、、使得标有和的边都是偶数条的方法数的4倍. 设标有的边有（）条，标有的边有（）条. 选取条边标记的有种方法，在余下的边中取出条边标记的有第种方法，其余的边标记. 由乘法原理知共有种标记方法. 对、求和，“点亮”的方法数为.① 这里，约定. 当为奇数时，，此时，.② 代入式①中得. 当为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则边形的所有边都标记， 此时，只有一种标记方法. 于是，能“点亮”的方法数为. 综上，“点亮”的方法数是：当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2026届高三第三次诊断性考试 数学试题 2025.12 注意事项： 1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2.本试卷满分150分，分为选择题和非选择题. 3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知等比数列满足，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知点，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 6. 设.求的值为. A. B. C. D. 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C 充要条件 D. 既不必要条件，又不充分条件 8. 一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 长方体中，，，，则（ ） A. B. 与平面所成的角为 C. 与平面所成的角为 D. 三棱锥的体积为 10. 将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 当且仅当（） D. 若方程在区间上有两个不等实根，则 11. 已知函数有三个零点，，（），则（ ） A. B. C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列 D. 若，，成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为______. 13. 已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为______. 14. 已知，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，、、所对应的边分别为、、，已知，，点在线段上，且. （1）当时，求的长； （2）当时，求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，点为的中点. （1）证明：； （2）若异面直线和所成角为，求平面与平面所成角余弦值. 17. 已知数列的前项和为，数列的前项积为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求使得成立的的最大值； （3）求数列的前项和. 18. 已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）． （1）求实数的值； （2）用表示中最小值，设函数，若函数 为增函数，求实数的取值范围． 19. 将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. （1）在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； （2）现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； （3）求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $