第五章 计数原理（复习课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了计数原理的核心内容，涵盖基本计数原理、排列组合、二项式定理等知识。通过单元知识图谱将分类加法与分步乘法原理、排列数组合数公式、二项式定理及系数性质等串联，构建“原理-方法-应用”的完整知识网络，清晰呈现各知识点的内在逻辑。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的分层复习模式。题型剖析部分分类讲解计数原理、排列、组合、二项式定理典型例题，如用捆绑法解决相邻排列问题，培养学生逻辑推理能力；针对训练设计基础题与综合题，如“驼峰数”计数、二项式系数计算等，强化数学运算素养。知识框架图与解题策略总结帮助学生巩固知识，也为教师提供高效备课支持。

单元复习课件 第五章 计数原理 北师大版2019选择性必修第一册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统梳理计数原理核心概念与分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合等知识，构建“原理理解——方法应用——综合解题”的完整体系，提升逻辑推理与数学运算核心素养，适配高考要求. 3.理解计数问题中的分类讨论、等价转化思想，突破有限制条件的排列组合问题，解读高考中计数原理与概率、统计的综合创新题型. 2. 掌握计数原理的本质区别与综合运用、排列组合的解题策略、二项式定理的灵活应用，强化复杂情境下的建模与运算能力. 单元学习目标 的意义及计算 的意义及计算 单元知识图谱 基本计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 二项式定理 二项式定理的推导 二项式系数的性质 排列与组合 排列问题 组合问题 组合数的性质 一、基本计数原理 完成一件事，可以有类办法，在第1类办法中有种方法，在第2类办法中有种方法……在第类办法中有种方法，那么，完成这件事共有种方法.(也称"加法原理") 注意：完成这件事的若干种方法可以分成类，且类与类之间两两不交． 完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种方法.(也称"乘法原理") 1.1 分类加法计数原理 1.2 分步乘法计数原理 考点串讲 二、排列问题 一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从个不同元素中取出个元素的一个排列． 我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，记作. 我们把有关排列的个数的问题叫作排列问题. 2.1 排列与排列数 2.2 排列数公式 从个不同元素中取出个元素的排列共有种，所以 上述这个公式叫作排列数公式． 当时，，记作，读作：的阶乘． 规定： 考点串讲 3.1 组合 三、组合问题 一般地，从个不同元素中，任取个元素为一组，叫作从个不同元素中取出个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题． 从排列与组合的定义可知，两者都是关于从个不同元素中取出个元素的计数问题，它们的差别是：排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序．也就是说：只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，例如，与是两个不同的排列，但它们却是同一个组合. 考点串讲 3.2 组合数及其性质 三、组合问题 "从个不同元素中取出个元素进行排列"共有种排法，即. 由此，我们得到：从个不同元素中取出个元素的组合数为 上述这个公式叫作组合数公式． 规定：. 性质1 性质2 . 考点串讲 4.1 二项式定理的推导 四、二项式定理 的展开式中共有种不同的同类项：，相应的个数为因此，根据分类加法计数原理，其展开式为 ① 上式可简写成 公式①称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有项，其中各项系数称为二项式系数，式中的用表示，称为二项展开式中第项，又称为二项式通项，记作. 考点串讲 4.2 二项式系数的性质 四、二项式定理 依次取1,2,3,…时，展开式的二项式系数如图.图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角.它有如下的规律： 表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它"肩上"的两个数之和．事实上，设表中任意一个不为"1"的数为，那么它"肩上"的两个数分别为和，由组合数的性质2得到 考点串讲 【题型一】计数原理 【例1】如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有(　　) A．12条　　　 　　B．15条 C．18条 D．72条 C 题型剖析 【题型一】计数原理 解：若路线为甲→乙→丁，则有(条)；若路线为甲→丙→丁，则有(条)，故共有(条)．故选.  利用两利用两个计数原理解题的一般思路 (1)弄清需要完成的“一件事”是什么事 (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解． 题型剖析 【题型一】计数原理 【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(六名同学不一定都能参加) ①每人只参加一项，每项人数不限； ②每项限报一人，但每人参加的项目不限； ③每项限报一人，且每人至多参加一项． 729 216 120 题型剖析 明确所做的一件事情是什么 按照“人”作为分步的依据； 按照“项目”作为分步的依据 利用分步乘法计数原理求解 【题型一】计数原理 解：①每人都可以从这三个竞赛项目中任意选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有(种)． ②每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一个参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有(种)． ③每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有(种)． 题型剖析 【题型二】排列问题 【例3】(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种　　　　　　　　 B．24种 C．36种 D．48种 解：先将丙和丁“捆”在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后在中间两空选一个将甲排入，有种排列方式，所以不同的排列方式共有(种)，故选. 题型剖析 【题型二】排列问题 直接法 直接列式计算符合条件的排列数 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中 消序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 题型剖析 【题型二】排列问题 【例4】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选其中5人排成一排； (2)全体排成一排，男生互不相邻； (3)全部排成一排，甲不排在排头，乙不排在排尾． 解：(1)从7个人中选5个人来排列，有种排法． (2)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有种排法． (3)(间接法)共有种排法． 1440 3720 2520 题型剖析 【题型三】组合问题 【例5】(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_____种(用数字作答)． 解：当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有(种)． 当从8门课中选修3门时， ①若体育类选修课选1门，则不同的选课方案共有(种)； ②若体育类选修课选2门，则不同的选课方案共有种)． 综上所述，不同的选课方案共有(种)． 64 题型剖析 【题型三】组合问题 【例6】为营造欢乐节日气氛、传承传统习俗，同时又要确保公共安全，某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施“禁改限”，规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区A，B两个规定区域燃放烟花爆竹，甲、乙两人各自决定从这7天中选1天去A，B中的一个区域燃放烟花爆竹，若甲、乙两人不在同一天去同一个地方，则选法种数为(　　) A．35 B．84 C．91 D．182 解:甲、乙两人不在同一天去同一个地方的选法种数为 故选D. 题型剖析 【题型四】二项式定理 【例7】，则________． 解: ， ， (1)求二项展开式中的有理项，是求通项公式中未知数的指数恰好都是整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． (2)求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方法与求有理项一致． 题型剖析 【题型四】二项式定理 【例8】已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是(　 　) A．所有项的系数和为 B．所有奇数项的二项式系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共有5项 解:由题意得，所以，令，得所有项的系数和为1，故错误；所有奇数项的二项式系数和为，故正确；由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第项，故C错误； 题型剖析 【题型四】二项式定理 的展开式通项为 ,， 当为整数时，共有5项，即有理项共有5项，故D正确，故选. 二项式系数最大项的确定方法 (1)若是偶数，则中间一项(第的二项式系数最大． (2)若是奇数，则中间两项(第项与第的二项式系数相等且最大． 题型剖析 【练1】在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”.比如102，546为“驼峰数”,由数字1，2，3，4构成的无重复数字的“驼峰数”有____个． 8 【解析】分三步：第一步选3个数有种方法；第二步把选出的个数中最小的数排在十位，有1种方法；第三步排个位和百位，有种方法，由分步乘法计数原理共有个“驼峰数”. 针对训练 【练2】某正方体木块的六个面分别标有数字1～6，用红、黄、蓝、白4种颜色给这六个面涂色(不一定每种颜色都用上)，相邻两个面所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案有(　　) A．48种　　　　　B．72种 C．96种 D．144种 8 【解析】先涂区域1，有4种选择，再涂区域2，有3种选择，再涂区域3，有2种选择．若区域4的颜色和区域2的颜色不同，此时区域4，5，6只有一种选择；若区域4的颜色和区域2的颜色相同，剩下的区域有3种选择．故不同的涂色方案有(种)．故选. 针对训练 【练3】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　) A．60 B．48 C．36 D．24 解:长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为，故符合条件的“平行线面组”的个数是. 针对训练 【练4】从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿者服务，若每个班级至少有一名志愿者，则共有_____种不同的选法．(用数字作答) 8 解：隔板法：由题意，从4个班级的学生中选出7名志愿者，每个班级至少有一名志愿者，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把它们分成4份，即从中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有种不同的选法． 隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少含有一个元素的问题时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略．也可理解为不定方程的正整数解问题． 注意事项：①所有元素相同；②每组至少含有一个元素；③隔板包含分组＋分配两步；④隔板法不是解决元素相同问题的唯一策略． 针对训练 【练5】为进一步了解和巩固拓展脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为(　 ) A．1176 B．2352 C．1722 D．1302 解：由题意可知，7名工作人员的分组方式有三种情况． 把7名工作人员分为三组，不同的安排方式共有(种)； 把7名工作人员分为三组，不同的安排方式共有(种)； 把7名工作人员分为三组，不同的安排方式共有(种)． 综上，不同的安排方式种数为 针对训练 【练6】已知. 求：(1)； (2)； (3)； (4). 解:令，则  令，则. (1)∵，∴. (2)(①－②)÷2，得 -2 -1094 1093 2187 针对训练 解:(3)，得 (4)∵的展开式中，大于零，而小于零， ∴ ． ∴由(2)(3)即可得其值为2187. 针对训练 【练7】杨辉三角，又称贾宪三角形，是二项式系数()在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在杨辉三角中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是(　　) A．136 B．153 C．190 D．210 针对训练 解:由题意可得每行选2个数且从第3行开始计数，所以第37项为杨辉三角中第21行第3个数， 所以，所以.故正确．故选. 针对训练 一、基本计数原理 分类加法计数原理：完成一件事，可以有类办法，在第1类办法中有种方法，在第2类办法中有种方法……在第类办法中有种方法，那么，完成这件事共有种方法.(也称"加法原理") 分步乘法计数原理：完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种方法.(也称"乘法原理") 课堂总结 二、排列问题 从个不同元素中取出个元素的排列共有种，所以 上述这个公式叫作排列数公式． 从个不同元素中取出个元素的组合数为 上述这个公式叫作组合数公式． 三、组合问题 课堂总结 四、二项式定理 的展开式中共有种不同的同类项：，相应的个数为因此，根据分类加法计数原理，其展开式为 ① 上式可简写成 公式①称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有项，其中各项系数称为二项式系数，式中的用表示，称为二项展开式中第项，又称为二项式通项，记作. 且 课堂总结 感谢聆听! $