随机事件与概率 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦随机事件与概率核心考点，按有限样本空间、事件关系、古典概型及概率性质的逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理明确随机试验、样本点等基础概念，结合方法指导（如列举法、树状图法求样本点）和真题训练（如古典概型概率计算例题），帮助学生系统突破事件运算、概率性质应用等难点。 讲义突出情境化教学与分层训练特色，如结合神舟十四号种子实验设计古典概型例题，培养学生用数学眼光观察现实问题的能力。设置从基础过关到综合应用的分层练习，通过随机模拟估计概率等创新题型训练数学思维，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

2026年高考数学一轮复习 讲义：随机事件与概率 知识点一 有限样本空间与事件 1．有限样本空间 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件：A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 知识点二 古典概型与概率的基本性质 1．古典概型 (1)事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 4．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 【题型1 随机事件与样本空间】 【例1-1】以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【解题思路】利用随机事件的定义求解即可. 【解答过程】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C. 【例1-2】给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【解答过程】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C. 【例1-3】高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【解题思路】根据题意结合列举法运算求解. 【解答过程】从A，B，C，D，E五人中选两人， 不同的选法有：， 所以样本空间中样本点的个数为10． 故选：B. 【变式1-1】将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 【解题思路】根据随机事件的定义即可求解. 【解答过程】将一根长为的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，也可能不发生，但不是必然事件．所以事件是随机事件． 故选：C． 【变式1-2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【解题思路】根据事件的定义判断． 【解答过程】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 【变式1-3】随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（    ） A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数 【解题思路】根据样本空间的概念即可求解. 【解答过程】连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察投掷的次数， 由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限大，样本空间是一切正整数. 故选：D. 【变式1-4】下列事件中，随机事件的个数是（    ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件； ④任取，则，属于必然事件； 所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.故选：B 【变式1-5】下列四个事件：其中必然事件有（    ） ①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；②东边日出西边日落为必然事件； ③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；④守株待兔为随机事件，故必然事件有1个，故选：B 【题型2 概率解释】 【例2-1】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（      ） A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨 C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨 【解题思路】根据概率的意义,可判断各选项. 【解答过程】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误. 降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误. 而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确. 故选:C. 【例2-2】某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（    ） A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次 B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖 C．购买这种彩票1张，一定不能中奖 D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次 【解题思路】根据随机事件概率的定义逐个分析判断即可. 【解答过程】购买这种彩票100000张，相当于做100000次试验，因为每次试验的结果都是随机的， 所以每张彩票可能中奖，也可能不中奖， 对于ABD，购买这种彩票100000张，可能没有一张中奖，所以AD错误，B正确 对于C，购买这种彩票1张，有可能中奖，所以C错误， 故选：B. 【例2-3】在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（    ） A．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水 B．明天该地区降水的可能性为 C．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水 D．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水 【解题思路】降水概率指的是降水的可能性，根据概率的意义作出判断即可. 【解答过程】“明天降水的概率为”指的是“明天该地区降水的可能性是”，且明天下雨的可能性比较大，故选B. 【例2-4】已知某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（    ） A．合格产品少于90件 B．合格产品多于90件 C．合格产品正好是90件 D．合格产品可能是90件 【解题思路】根据概率的定义与性质，直接可求解. 【解答过程】某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查， 在A中，合格产品可能不少于90件，故A错误； 在B中，合格产品可能不多于90件，故B错误； 在C中，合格产品可能不是90件，故C错误； 在D中，合格产品可能是90件，故D正确． 故选D． 【变式2-1】老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（    ） A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂 B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道 C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80% D．以上解释都不对 【解题思路】根据概率的意义，反映一件事情发生的可能性. 【解答过程】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%. 故选：C. 【变式2-2】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，对于这句话的理解，下列说法正确的是 A．本市明天将有30%的地区降水 B．本市明天将有30%的时间降水 C．本市明天有可能降水 D．本市明天肯定不降水 【解题思路】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性为30%, 逐一分析每个选项，得出答案. 【解答过程】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性为30%, 故A、B、D均不正确， 故选C. 【变式2-3】根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的瓶数为（    ） A．600 B．787 C．不少于473 D．不多于473 【解题思路】根据近视率估计有多少人得了近视即可得解. 【解答过程】解：依题意，该市在校中学生的近视率约为78.7%. 故600人中大约有， 故眼镜商应带滴眼液的瓶数应不少于473瓶， 故选：C. 【变式2-4】下列说法正确的是（    ） A．某厂一批产品的次品率为 ，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈 D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨 【解题思路】根据事件的频率的概念和事件概率的含义判断正误即可． 【解答过程】A.产品的次品率是通过大量的产品通过实验得到的数据，题目中的产品个数很少，故不正确； B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量实验得到的准确的值，和实验次数无关，故正确； C.解释同A选项，也不正确； D．事件的概率是大量实验后得到的结果，是准确的值，和实验次数无关，但是D选项的说法体现的不是概率的概念，故不正确． 故选：B. 【题型3 计算古典概型问题的概率】 【例3-1】在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用编号，列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【解答过程】将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为，，，，， 根据题意，该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有，，，，，，，，，，共10种， 其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的，，，情况有3种， 故所求概率为. 故选：B. 【例3-2】12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为， 则共有：10种情况， 满足条件的有4种情况，则. 故选：D 【例3-3】袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  231  021  122  203  012 231  130  133  231  031  123  122  103  233 由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，所有事件的结果数有18种， 其中满足恰好取球三次时“道”､“都”两个字的小球都被取到的事件有：023，203，123共3种， 记“恰好取球三次就停止”为事件，所以. 故答案为：C 【例3-4】某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示． (1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）； (3)在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 【解题思路】（1）利用频率分布直方图估计平均数. （2）利用频率分布直方图求出第70百分位数. （3）首先要明确分层抽样确定各区间抽取家庭数，然后根据古典概型概率公式计算概率. 【解答过程】（1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值为： （千元）. （2）由频率分布直方图知，旅游支出在千元的频率为， 在千元的频率为，则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数， 则，解得， 所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7. （3）以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在千元内的概率为，千元内的概率为，则按分层抽样的方法抽取5个家庭，千元内抽取家庭数之比为,所以千元内抽取2个家庭, 千元内抽取3个家庭, 设旅游支出在千元的2个家庭记为，在千元的3个家庭记为从这5个家庭中抽取2个家庭的所有可能情况有：，共10种. 至少有1个家庭旅游支出在千元内的情况有：共7种. 所以至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 【例3-5】某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【解题思路】（1）根据频率的性质求 ，再根据平均数运算求解； （2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4, 运算即可求解. （3）先根据分层抽样求参赛成绩在的人数，再结合古典概型运算求解. 【解答过程】（1）第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. （2）由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. （3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 【变式3-1】某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析可得该人可以乘上上等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案． 【解答过程】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为 （上，中，下），（上，下，中），（中，上，下）， （中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共6种， 其中该人可以乘坐上等车的情况有（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），共3种， 则其概率为． 故选：C. 【变式3-2】某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案． 【解答过程】如图， 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果， 所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为， 故选：C． 【变式3-3】当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数； (3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率. 【答案】(1) (2)75，73.5 (3) 【解析】（1）依题意可得：，解得：； （2）根据频率分布直方图知：众数的估计值为， 平均数的估计值为， 所以这100人的问答成绩的众数与平均数的估计值分别为75，73.5.. （3）由题可知，在问答成绩，，三组中，人数之比为7:5:1， 现采用分层抽样从中抽取13人，所以三组中每组各抽学生人数分别为7，5，1. 分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5. 中所抽取的1人编号为. 所以从6人中随机抽取2人的样本空间为：，， ，共15个样本点. 其中这2人来自不同组（记为事件）的样本点有5个，所以. 所以这2人来自不同组的概率为. 【变式3-4】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质可求的值. （2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可. （3）根据频率分布直方图得出50名职工中评分在、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求. 【解答过程】（1）由题意： . （2）因为评分在的频率为：， 评分在的频率为：. 所以评分的第分位数在， 由. 所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：. （3）受访职工中评分在的人数为：人，设为， 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同. 2人评分都在的结果有：，，，共3个. 所以此2人评分都在的概率为：. 【变式3-5】为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率. 【解题思路】（1）根据小矩形的面积之和等于1可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数； （2）由频率分布直方图求出不低于75分的频率再乘以2000即可求解； （3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在的学生至多有2人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得，第4组的频率为， 所以． 由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为： ． 由于前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为，故中位数在第3组中． 设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为． （2）由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为 ，用样本估计总体， 可以估计高三年级名学生中成绩不低于75分的人数为． （3）由（1）可知，位于，，的人数分别为： ，，， 这三组中所抽取的人数分别为，，， 设事件 “成绩在的学生至多有2人被抽到”， 则=“成绩在的学生全都被抽到” 记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为的名学生为， 则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 成绩在的学生全都被抽到包含的基本事件为，有1个． 故． 过关测试 1．下列是古典概型的是（    ） ①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小； ②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率. A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【解析】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的， 符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性， 受多方面因素影响.故选：B. 2．现有6个大小相同､质地均匀的小球，球上标有数字1，3，3，4，5，6.从这6个小球中随机取出两个球，如果已经知道取出的球中有数字3.则所取出的两个小球上数字都是3的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取两个小球，则出的球中有数字3的事件有 ，共9个基本事件， 其中所取出的两个小球上数字都是3的基本事件共1个， 所以所取出的两个小球上数字都是3的概率.故选：C 3．为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团分别为， 则甲､乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有共9种， 而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有共3种， 故这两位同学恰好参加同一个社团的概率. 故选：A 4．从1,2,3,4这4个数中,不放回的任意取两个数,两个数都是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知,不放回的从1,2,3,4中任意取两个数, 所有可能的结果有:,共12种, 其中包含两个数都是偶数的结果有: ,共2种, 所以两个数都是偶数的概率是. 故选:A 5．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（    ） A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4 【答案】D 【解析】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1. 所以在一次射击中不够8环的概率为，故选：D 6．袋子中有5大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球都是黄球的概率为__________. 【答案】 【解析】由题意可给这五个球分别标上号码,红球为1,2,黄球为3,4,5, 可得从中不放回地依次随机摸出2个球，共有基本事件如下， ,共10个, 其中摸出的2个球都是黄球的基本事件有共个， 故摸出的2个球都是黄球的概率为， 故答案为： 7．2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组[，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求样本中数据落在的频率 (2)求样本数据的第50百分位数； (3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率. 【答案】(1)0.4(2)52.5(3). 【解析】（1）依题意，样本中数据落在的频率为： （2）样本数据的第50百分位数落在第四组， 且第50百分位数为. （3）与两组的频率之比为. 现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为；组抽取4人，记为. 所有可能的情况为共15种. 其中至少有1人的年龄在的情况有共9种. 记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A， 则. 8．某超市计划购进1000kg苹果，采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱（每箱20kg）统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格： 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 第6箱 第7箱 第8箱 第9箱 第10箱 烂果个数 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 假设在一箱苹果中没有烂果，则该箱的价格为120元，若出现一个烂果，则该箱的价格为110元． (1)以样本估计总体，试问采购员购进1000kg苹果需要多少元？ (2)若采购员检查完前3箱（即第箱）苹果后，从剩下的7箱中任选2箱，这2箱都没有烂果，就按照每箱120元的价格购进1000kg苹果，求采购员按照这个价格采购苹果的概率． 【答案】(1)5850元 (2) 【解析】（1）由表可知，这10箱苹果中，没有烂果的有7箱，出现一个烂果的有3箱， 所以这10箱苹果的价格为元， 故采购员共1000kg苹果需要元． （2）设第箱分别记为A，B，C，D，E，F，G （其中A，F，G这3箱有一个烂果）， 从7箱中任选2箱，所有的情况为，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，共21种， 其中没有A，F，G的有6种情况，故采购员按照这个价格采购苹果的概率为． 9．中国数学交通大会暨博览会将于9月在北京新国展举办.为做好本次博览会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的60名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成3段：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求m的值并估计这60名学生成绩的中位数（中位数保留一位小数）； (2)从报名的60名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取6名学生，再从这6名学生中选取2人进行座谈会，求这2人考核成绩来自同一分数段的概率. 【答案】(1)，中位数约为 (2) 【解析】（1）解：由频率分布直方图可得，解得， 因为，，所以中位数位于之间， 设中位数为，则，解得， 即中位数约为. （2）解：由题意中抽取人， 中抽取人，中抽取人， 分别记作、、、、、， 从中选取人，则可能结果有、、、、、、、、 、、、、、、共个结果， 其中满足这人考核成绩来自同一分数段有、、、共个结果， 所以这人考核成绩来自同一分数段的概率. 课后练习 1．“某彩票的中奖概率为”意味着（    ） A．买100张彩票就一定能中奖 B．买100张彩票能中一次奖 C．买100张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性为 【答案】D 【解析】概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为”意味着购买彩票中奖的可能性为. 故答案为：D 2．从2本不同的语文书和3本不同的数学书中任取2本，则取出的都是数学书的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两本语文书用表示，3本不同的数学书用表示， 则任取2本的情况有，共10种， 其中取出的都是数学书有，共3种，故取出的都是数学书的概率为，故选：C 3．某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b， 从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果： （甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b ），（甲，丙，a），（甲，丙，b）， （甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙， b），（乙，a，b），（丙，a，b）， 其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况 则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为 故选：A 4．计划将包括甲在内3名男性志愿者和4名女性志愿者分配到A，B两个社区参加服务工作，其中1名男性志愿者和1名女性志愿者去A社区，其他都去B社区，则甲去A社区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设3名男性志愿者为甲､乙､丙，4名女性志愿者为A1，B1，C1，D1. 1名男性志愿者和1名女性志愿者被分配到A社区的基本事件有 （甲，A1），（甲，B1），（甲，C1），（甲D1）， （乙，A1），（乙，B1），（乙，C1），（乙，D1）， （丙，A1），（丙，B1），（丙，C1），（丙，D1），共12种， 其中甲被分配到A社区的有（甲，A1），（甲，B1），（甲，C1），（甲，D1）共4种， 故甲被分配到A社区的概率. 故选:C. 5．现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入一个盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“1”，一张为“2”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从盒子中依次有放回地取出两张卡片，取出的所有可能情况为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9种． 满足一张为“1”，一张为“2”的的取法为（1，2），（2，1），共2种情况， 所以所求的概率．故选：C. 6．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得乙获胜的概率是，故选：C 7．某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率. 【答案】(1) (2)107.4分 (3) 【解析】（1）由频率分布直方可知， ， 解得； （2）由图可知，语文成绩在，，，，，，的频率 分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成绩为， 则 故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分； （3）由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名， 按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A，B，C，D， 在的学生有1名，记为e， 从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De， 其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae，Be，Ce，De， 则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为. 8．某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. (1)求今年一月份生产的产品长度在的件数； (2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 【答案】(1)件 (2) 【解析】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）. （2）由题可知，按分层抽样抽取的件产品中， 在的产品有（件），设编号分别为、、 在的产品有（件），编号分别为、、、， 则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、，共有个基本事件， 其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有： 、、、、、、、、、 、、，共个基本事件， 故所求概率为. 9．开学初某校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人． (1)求n的值； (2)已知抽取的n名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在内的频率为． 因为成绩在内的频数为3， 所以抽取的样本容量． （2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在的人数为， 因为有甲、乙两名女生，所以有两名男生． 用丙，丁表示两名男生，从4人中任取2人的所有情况为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种，其中女学生甲被抽到的情况共3种． 所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 讲义：随机事件与概率 知识点一 有限样本空间与事件 1．有限样本空间 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件：A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 知识点二 古典概型与概率的基本性质 1．古典概型 (1)事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 4．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 【题型1 随机事件与样本空间】 【例1-1】以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【例1-2】给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【例1-3】高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式1-1】将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 【变式1-2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【变式1-3】随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（    ） A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数 【变式1-4】下列事件中，随机事件的个数是（    ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-5】下列四个事件：其中必然事件有（    ） ①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型2 概率解释】 【例2-1】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（      ） A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨 C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨 【例2-2】某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（    ） A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次 B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖 C．购买这种彩票1张，一定不能中奖 D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次 【例2-3】在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（    ） A．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水 B．明天该地区降水的可能性为 C．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水 D．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水 【例2-4】已知某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（    ） A．合格产品少于90件 B．合格产品多于90件 C．合格产品正好是90件 D．合格产品可能是90件 【变式2-1】老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（    ） A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂 B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道 C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80% D．以上解释都不对 【变式2-2】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，对于这句话的理解，下列说法正确的是 A．本市明天将有30%的地区降水 B．本市明天将有30%的时间降水 C．本市明天有可能降水 D．本市明天肯定不降水 【变式2-3】根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的瓶数为（    ） A．600 B．787 C．不少于473 D．不多于473 【变式2-4】下列说法正确的是（    ） A．某厂一批产品的次品率为 ，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈 D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨 【题型3 计算古典概型问题的概率】 【例3-1】在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3-3】袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  231  021  122  203  012 231  130  133  231  031  123  122  103  233 由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3-4】某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示． (1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）； (3)在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 【例3-5】某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【变式3-1】某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数； (3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率. 【变式3-4】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【变式3-5】为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率. 过关测试 1．下列是古典概型的是（    ） ①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小； ②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率. A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．现有6个大小相同､质地均匀的小球，球上标有数字1，3，3，4，5，6.从这6个小球中随机取出两个球，如果已经知道取出的球中有数字3.则所取出的两个小球上数字都是3的概率为（    ） A． B． C． D． 3．为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（    ） A． B． C． D． 4．从1,2,3,4这4个数中,不放回的任意取两个数,两个数都是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 5．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（    ） A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4 6．袋子中有5大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球都是黄球的概率为__________. 7．2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组[，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求样本中数据落在的频率 (2)求样本数据的第50百分位数； (3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率. 8．某超市计划购进1000kg苹果，采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱（每箱20kg）统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格： 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 第6箱 第7箱 第8箱 第9箱 第10箱 烂果个数 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 假设在一箱苹果中没有烂果，则该箱的价格为120元，若出现一个烂果，则该箱的价格为110元． (1)以样本估计总体，试问采购员购进1000kg苹果需要多少元？ (2)若采购员检查完前3箱（即第箱）苹果后，从剩下的7箱中任选2箱，这2箱都没有烂果，就按照每箱120元的价格购进1000kg苹果，求采购员按照这个价格采购苹果的概率． 9．中国数学交通大会暨博览会将于9月在北京新国展举办.为做好本次博览会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的60名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成3段：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求m的值并估计这60名学生成绩的中位数（中位数保留一位小数）； (2)从报名的60名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取6名学生，再从这6名学生中选取2人进行座谈会，求这2人考核成绩来自同一分数段的概率. 课后练习 1．“某彩票的中奖概率为”意味着（    ） A．买100张彩票就一定能中奖 B．买100张彩票能中一次奖 C．买100张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性为 2．从2本不同的语文书和3本不同的数学书中任取2本，则取出的都是数学书的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（    ） A． B． C． D． 4．计划将包括甲在内3名男性志愿者和4名女性志愿者分配到A，B两个社区参加服务工作，其中1名男性志愿者和1名女性志愿者去A社区，其他都去B社区，则甲去A社区的概率为（    ） A． B． C． D． 5．现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入一个盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“1”，一张为“2”的概率是（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 7．某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率. 8．某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. (1)求今年一月份生产的产品长度在的件数； (2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 9．开学初某校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人． (1)求n的值； (2)已知抽取的n名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $