专题05 抛物线的标准方程和几何性质的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题05 抛物线的标准方程和几何性质的六种题型 题型一：抛物线的定义及应用 题型二：求抛物线的标准方程 题型三：抛物线的简单几何性质 题型四：抛物线的焦半径公式 题型五：抛物线上的点到定点的距离问题 题型六：抛物线在实际问题中的应用 题型一：抛物线的定义及应用 1．已知是抛物线上一点，若点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由抛物线定义即可求解. 【详解】由题可得点横坐标为4，点P到准线距离为， 所以点到该抛物线焦点的距离是. 故选：C 2．抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】先将抛物线方程化成标准方程，列出，解出，再利用抛物线的焦点到准线的距离为得解. 【详解】，抛物线的标准方程为， ，， 抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：A. 3．已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 4．若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 5．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 6．在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示动点到直线的距离， 表示动点到定点的距离， 因为，所以动点的轨迹为抛物线， 故选：D． 7．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ） A．抛物线 B．直线 C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确 【答案】C 【详解】根据题意，分定点不在定直线上和定点在定直线上，两种情况分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解. 【分析】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1， 可得该动点到定点和到定直线距离相等， 当定点不在定直线上时，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是抛物线； 当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线. 故选C． 8．若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答. 【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线， 所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线. 故选：B 9．若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线，， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 10．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 11．若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合抛物线定义即可解题. 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 12．若点满足方程，则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型，填方程不给分） 【答案】抛物线 【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由，得， 所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，即点到点的距离与到直线的距离相等， 又因为点不在直线上，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线. 故答案为：抛物线. 13．若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则 . 【答案】2 【分析】由抛物线得定义得到，求解即可； 【详解】由抛物线的定义得，解得或（舍），故. 故答案为：2 14．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为，则 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到轴的距离为，所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得． 故答案为：. 15．已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为 ． 【答案】3 【分析】根据已知条件可知轨迹为抛物线，结合已知得出焦点位置，进而得出抛物线的方程，根据已知中点性质，即可得出答案． 【详解】依题意，曲线C上任意一点P到定点的距离和点P到直线的距离相等， 由抛物线的定义知：曲线C是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线C的方程为． 设点到准线的距离分别为，则， 所以中点Q到y轴的距离为3． 故答案为：3 16．已知点的轨迹方程为，若动点所在轨迹上一点到的距离为2，求点的坐标. 【答案】或 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，代入抛物线方程即可得到结果. 【详解】由题意得，点的轨迹为除去顶点的抛物线，焦点为，准线方程为. 设点的坐标为，则. 由抛物线的定义得点到焦点的距离等于点到准线的距离，即，解得. ∵，∴， ∴点的坐标为或. 题型二：求抛物线的标准方程 1．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 2．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 3．已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，据此可得答案. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F做PQ垂线，垂足为G， 则，则，又，准线为 则，则.故抛物线方程为：. 故选：D 4．已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解. 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 5．抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（    ） A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案. 【详解】因为的外接圆与抛物线的准线相切， 所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为，所以圆的半径为6， 又因为圆心在的垂直平分线上，， 所以的外接圆的圆心到准线的距离，可得. 故选：B. 6．已知抛物线（）上的点到焦点的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】首先分析题意，根据抛物线定义解出方程即可. 【详解】抛物线的准线方程的为，由抛物线的定义可得，解得， 故选：B. 7．已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ． 【答案】x2＝±2y或x2＝±18y 【详解】设抛物线方程为x2＝ay（a≠0），则准线方程为y＝－.因为Q（－3，m）在抛物线上，所以9＝am.因为点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，所以|m－（－）|＝5.将m＝代入，得|＋|＝5，解得a＝±2或a＝±18，所以抛物线的方程为x2＝±2y或x2＝±18y. 8．在平面直角坐标系中，抛物线上的点与焦点的距离为10，点到轴的距离为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义列出等式求解即可. 【详解】解：根据抛物线的定义可知：点与焦点的距离等于点与准线的距离， 又因为点与焦点的距离为10，到轴的距离为， 所以， 解得：. 故答案为： 9．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法直接求解. 【详解】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点， 所以可设抛物线：. 由抛物线的定义可得：，解得：. 所以抛物线的方程为：. 故答案为：. 10．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义可得，然后在直角三角形中利用可得，从而可得答案． 【详解】根据抛物线的定义可得， 又，所以，得， 所以抛物线的方程为． 故答案为：． 11．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程. 【详解】 如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故， 在直角三角形中，因为，，所以，从而得， 设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为. 故答案为：. 12．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可 【详解】依题意可得，所以抛物线的方程为. 故答案为： 13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，若为边长是的等边三角形，则此抛物线方程为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义得出垂直于抛物线的准线，设，求出的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到，列出方程求出、的值，得到抛物线方程． 【详解】解：依题意知，为等边三角形，， 抛物线的准线， 设，则， 所以等边三角形边长为，又， 所以由得，解得， 抛物线方程为． 故答案为： 14．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线垂直于x轴时，．求C的方程． 【答案】 【分析】根据焦半径公式即可求解. 【详解】当轴时，点M的横坐标， 由抛物线的定义可知， 解得， 所以抛物线C的方程为． 题型三：抛物线的简单几何性质 1．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 2．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设 ，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 3．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（    ） A．任意，都存在点，使得 B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C．存在，当点运动时，使得 D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 【答案】D 【分析】由曲线的对称性判断AB；取值计算判断CD. 【详解】抛物线和的对称轴都为，因此封闭曲线关于轴对称， 对于A，任意，在曲线上取关于轴对称的两点，而点在轴上，有，A正确； 对于B，对每个值，过点垂直于轴的直线与曲线的交点关于点对称，B正确； 对于C，联立与解得或，取，即， 抛物线，即的焦点为，准线方程为， 点在上运动时，，， 抛物线可由抛物线向上平移5个单位而得， 抛物线，即的焦点为，准线为， 则抛物线的焦点为，准线方程为， 点在上运动时，，， 因此当点运动时，，恒有，C正确； 对于D，取，即，直线与抛物线的两个交点关于点对称， 在此抛物线上关于点对称的两点就只有一对，在抛物线上不存在两点关于点对称， 另外关于点对称的两点则分别在和上，不妨令， 此点关于点对称的点必在上，而方程， 即无解，则此时不存在关于点对称的两点分别在两条抛物线上，D错误. 故选：D 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 4．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，确定，根据向量之间的关系得到，得到，，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，设，显然当时，，当时，， 要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．    设，，，则，即， 解得． ，故，即， ，故， 当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为． 故选：B. 5．已知点分别为抛物线与圆上的动点，且的最小值为，则抛物线的焦点到准线的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的最小值为3，设点，然后表示出化简后可求出其最小值，从而可求出，进而可得答案. 【详解】因为的最小值为， 所以的最小值为， 设点（），，则 ， 因为，， 所以当时，取得最小值，即， 所以， 所以抛物线的焦点到准线的距离为3， 故选：C 6．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 7．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 8．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另外两个顶点关于x轴对称，如图所示： 设等边三角形边长为a，，则A点横坐标为， 则，代入得，解得（舍去）， 故等边三角形的边长为. 故答案为：. 9．已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 【答案】4 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【详解】由抛物线与圆的性质易得A，B横坐标相等且大于0， 联立，得，解得或（舍去）， 则，将代入可得，则. 故答案为：. 10．已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为： ，现在将一个半径为的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析轴截面，当小球圆心和点距离最小时，即点为时，分析圆心坐标符合的二次函数对称轴在轴左侧位置时的半径范围. 【详解】设小球的圆心为，抛物线上任意一点 满足.圆心到点的距离的平方 . 若的最小值在点为即时取到，则小球触及杯底， 所以此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧即，， . 故答案为： 11．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 .（填写所有正确选项的序号） ①菱形;②有3条边相等的四边形;③梯形;④平行四边形;⑤有一组对角相等的四边形. 【答案】②③⑤ 【分析】根据具体的情况在抛物线上进行分析,画图即可得到结果. 【详解】解:关于选项A,因为菱形是4条边相等,而且对角线垂直,但是抛物线只有一个顶点,所以无法做到两条直线垂直,且各边长度相等,最多三边相等, 故① 错误,②正确; 因为梯形是只有上底和下底平行,作两条垂直于对称轴的直线交抛物线于四点,顺次连接,即可得到,故③正确; 连接抛物线上四点,只有垂直于对称轴的直线平行,其他的不可能做到平行且相等,故④错误; 以一个点为顶点做两条射线交抛物线于两点,剩下的角有一个角取值 ,故⑤正确. 故答案为: ②③⑤ 12．已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 【答案】 【分析】利用抛物线的对称性得到，从而得解. 【详解】因为抛物线关于轴对称，直线与轴垂直， 故，即. 故答案为：. 13．以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的顶点到准线的距离为 . 【答案】2 【分析】设抛物线和圆的方程为，，根据和抛物线圆的对称性得到，分别代入抛物线和圆的方程得到，根据和勾股定理得到，联立方程得到即可得到的顶点到准线的距离. 【详解】 设抛物线的方程为，圆的方程为， 因为，所以，分别代入抛物线和圆的方程得①， 因为，所以②，联立①②得，，所以的顶点到准线的距离为. 故答案为：2. 14．在平面直角坐标系xOy中，，⊙M：与抛物线C：有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则 ． 【答案】0 【分析】根据给定条件，求出圆心M的坐标，设出直线l的方程，与抛物线方程联立求解作答. 【详解】因⊙M与抛物线C有且仅有两个公共点，而⊙M与抛物线C都关于x轴对称，因此，两个公共点的横坐标相同，并且唯一， 由消去y并整理得：，且， 于是得，解得， 即点，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为， 由消去x并整理得：，设，则， 所以. 故答案为：0 15．在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心. (1)若点A的纵坐标为，求直线的斜率； (2)若，求的面积； (3)证明：为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出抛物线方程并求出点坐标，利用斜率坐标公式及垂直关系列式求解. （2）确定点位置，由垂心求出点坐标，进而求出三角形面积. （3）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律可得，故可求定值. 【详解】（1）由抛物线的焦点为，得抛物线方程为， 由，得点，直线的斜率为， 由为的垂心，得，所以直线的斜率为. （2）由，得点为坐标原点，此时轴， 设，则，由，得，解得， 从而的面积为. （3）设，其中两两相异. 因为为垂心，故， 而，故， 故，而，故， 故，同理， 故， 而，故即， 而， 故.    16．已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的定义，得，结合图形得最小值； （2）垂心为三条高线的交点，由对称性知关于轴对称，设点，再利用垂直关系建立方程求解坐标. 【详解】（1）由抛物线知焦点，准线， 过作，垂足为，过点作，垂足为，， 由抛物线的定义，， 当且仅当三点共线时取等号，此时， 所以的最小值为. （2）由焦点是的垂心，则， 即关于轴对称，且， 设，由， 得，化简得，解得， 所以点的坐标为或. 题型四：抛物线的焦半径公式 1．设抛物线：的焦点为，点在上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意有：抛物线 ：的准线方程为：， 利用抛物线的定义有：， 故选：B. 2．已知抛物线C：的焦点为F，点A在C上，且，则点A的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点的坐标为，根据抛物线的性质，可求得x值，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】设点的坐标为，由抛物线的性质得，所以， 又点在抛物线上，代入抛物线方程得，所以点的纵坐标为． 故选：A． 3．设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】解法一：根据抛物线定义以及角度关系，构造方程即可解得；解法二：利用结论，直接代入角度计算即可得出结果. 【详解】解法一：如图所示，过点作AB垂直准线于点，过焦点作FD垂直AB于点． 由题意可知 ． 根据抛物线的定义知 ． 在中，， 又，所以， 解得． 解法二：由结论（为直线AF的倾斜角）得 ．    故选：C. 4．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 5．已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据结合抛物线方程得到点，进一步得到点，然后可得直线方程. 【详解】由题可知：抛物线的准线方程为，设， 由，，所以，所以或， 所以或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：A 6．已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，求得，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为点在上，所以，解得. 由抛物线的方程可知，准线方程为,焦点， 则点到准线的距离为, 由抛物线的定义得. 故选：B. 7．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 8．抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，则 . 【答案】 【分析】根据抛物线的定义得到点的横坐标，代入抛物线方程得到点的纵坐标，利用两点间距离公式求. 【详解】由抛物线方程可知，由抛物线的定义可得：，所以， 代入抛物线方程得，则. 故答案为：. 9．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 【答案】 【分析】先算出点的坐标，进而求出椭圆的方程即可求得面积. 【详解】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： 10．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为 . 【答案】 【分析】确定准线方程，结合抛物线的定义确定点P的纵坐标，代入即可求解. 【详解】由题可知抛物线即的准线方程为. 设点，根据抛物线的定义可知，即. 由抛物线方程可得，即，所以点P到y轴的距离为. 故答案为： 11．抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由抛物线焦半径公式即可求解. 【详解】由抛物线方程可知， 由焦半径公式可得：，， 所以，． 所以点的坐标为 故答案为： 12．已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则 . 【答案】 【分析】利用抛物线的准线确定抛物线方程，结合抛物线定义与直角三角形的边角关系计算即可． 【详解】由题意为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，且， 所以，所以，所以， 设准线与纵轴交于点，根据抛物线定义可知， 所以， 因为，所以， 在中，，所以． 故答案为： 13．设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则 . 【答案】2 【分析】根据题意，由条件可得为线段的中点，即可得到，再由焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，其准线方程为， 设，因为，则为线段的中点， 所以，即， 由抛物线的定义可得. 故答案为：2 14．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则线段的中点的横坐标为 . 【答案】3 【分析】设，，根据抛物线定义可得，即可求解中点横坐标. 【详解】设，，则根据抛物线定义可得， 解得，所以线段的中点的横坐标为3． 故答案为：3. 15．已知是抛物线与椭圆的一个交点，的焦点为，为坐标原点.若点到轴的距离等于，求的方程. 【答案】 【分析】设点，根据抛物线的定义即可求解. 【详解】设点， 则根据题意有， 由抛物线的定义有， 所以， 所以的方程为. 16．已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程； （2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为，即可求解问题. 【详解】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 17．已知抛物线上一点到焦点的距离．求抛物线的方程； 【答案】 【分析】由题知，进而解方程即可得答案； 【详解】因为抛物线上一点到焦点的距离， 所以抛物线的定义得， 所以 ，解得． 所以抛物线的方程为； 18．已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上一点A到F的距离是4，求A的坐标. 【答案】(1)； (2)或， 【分析】（1）由方程写出抛物线焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式求得得抛物线方程； （2）设，由焦半径公式求得，再得． 【详解】（1）由已知，双曲线的渐近线方程为， 所以，因为，所以， 抛物线方程为； （2）设，则，，，， 所以点坐标为或， 题型五：抛物线上的点到定点的距离问题 1．若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，点到焦点的最短距离为，代入求解即可． 【详解】抛物线上的点到焦点的最短距离为， ，解得， 所以抛物线方程为． 故选：D． 2．已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 3．已知抛物线，上一点到焦点距离为5，则点的纵坐标为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，利用抛物线定义即可求出点P的纵坐标. 【详解】将抛物线方程化为标准形式，， ∴，焦点坐标，准线方程， 设点坐标为， ∵P到焦点距离为5， ∴P到准线距离为5，, ∴,即点的纵坐标为3，故C正确. 故选：C. 4．设为坐标原点，为抛物线：的焦点，点在抛物线上.若，则（   ） A． B．9 C．3 D． 【答案】D 【分析】设，先由抛物线定义和解出，得到点坐标，再由两点间距离公式求出即可. 【详解】因为抛物线：，所以焦点，准线方程为. 设，因为，所以由抛物线定义可知，解得， 因为点在抛物线上，所以，所以， 所以. 故选：D 5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的任意点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若是等边三角形，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据已知及抛物线的定义易知，由即可求. 【详解】由是等边三角形，如下图知， 则，故. 故选：B 6．已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意求出抛物线方程，设出M点坐标，然后分类讨论.当时，求出，当时，利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】由题意得，即，则抛物线的方程为． 设，由抛物线定义可知. 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立． 综上，. 故选：A 7．P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 8．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 【答案】 【分析】若垂直于准线于，易得，从而有、，令，，应用余弦定理列方程求参数，注意即可得. 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故，    所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 9．已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    10．为抛物线上一动点，过作圆的一条切线，为切点，点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据相切以及点点距离公式可得，即可根据焦半径公式可得，进而利用三点共线求解最值. 【详解】如图：抛物线的焦点为，圆心为半径为， 设，则 由于时，当且仅当共线时取到等号， 故的最小值为 故答案为：      【点睛】关键点点睛：，进而根据抛物线的焦半径公式可得,即可利用三点共线求解. 11．已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据直线方程可确定两条直线垂直及所过定点，由此可得点轨迹为圆，设，结合圆上点到定点距离最值和二次函数最值的求法可求得结果. 【详解】，， 由得：，恒过定点； 由知：恒过定点； ，点轨迹是以为圆心，半径的圆（不含点）； 设，， 则当，即时，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆上点到曲线上的点的距离最值的求解问题，解题关键是能够根据两直线之间的位置关系及所过定点确定两直线交点轨迹为圆，进而利用圆的对称性来求解. 12．抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 . 【答案】2 【分析】设，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距离即可． 【详解】设，则点到直线的距离为 , 当，即当时， 抛物线 上一点到直线的距离最短，P到C的焦点距离为. 故答案为：2． 13．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值. 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 14．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 . 【答案】6 【分析】首先要求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求得最小值，进而求得答案． 【详解】 抛物线准线方程为, 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 则， 当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时， 最小，且. 故答案为：6. 15．已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 16．已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 【答案】(1) (2)，最小距离为. 【分析】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出的函数，进而利用二次函数求解最小值； （2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值 【详解】（1）设点， 所以当时，，所以. （2）点到直线的距离， 当时，，此时点的坐标为. 17．如图，已知抛物线经过点，是抛物线的焦点，以为始边，为终边的角. (1)求抛物线的标准方程； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）把代入求出，即可得到抛物线标准方程； （2）过作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答. 【详解】（1）把代入得，所以， 即抛物线的方程为. （2）如图，过作垂直于准线，垂足为，过作，垂足为， 由定义知， 所以， 因为，所以，又， 所以， 所以. 题型六：抛物线在实际问题中的应用 1．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 2．如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 3．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 4．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解. 【详解】解：    如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则， 设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：， ∴抛物线方程为， ∵行车道总宽度， ∴将代入抛物线方程，解得：， ∴车辆通过隧道的限制高度为， 故选：C. 5．距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．4米 D．8米 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，利用点的坐标代入即可求解，由的几何意义即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 将代入可得， 所以焦点到准线的距离为，即为2， 故选：B 6．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得. 【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．    设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得， 解得，则， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ， 则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得． 故选：C 7．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，分别设抛物线的方程，结合抛物线过点，以及4个溢流孔的轮廓线平移关系求、所在溢流孔的抛物线，再联立抛物线方程求出交点坐标即可得. 【详解】设桥拱所在抛物线的方程为，该抛物线过点， ，解得，故桥拱所在抛物线为①， 设所在溢流孔的抛物线方程为，该抛物线过点， ，解得，故所在溢流孔的抛物线为， 个溢流孔的轮廓线相同， ，所在溢流孔的抛物线为②， 联立①②，消元得，解得或， 所以，，则B，C两点的横坐标之差为. 故答案为：， 8．某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：.    9．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是 m． 【答案】 【分析】建立坐标系，先根据条件求抛物线的方程，再根据的值求即可. 【详解】如图：以拱桥顶点为原点，建立如图坐标系. 设抛物线方程为：，由题意，抛物线过点. 所以，所以抛物线方程为：. 水面上升，则，此时 或. 所以水面宽度为：. 故答案为： 10．如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为 .    【答案】 【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 则点在抛物线上，所以，得， 所以抛物线的方程为.令，则， 所以此时水面宽度为. 故答案为：    11．如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是 ． 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标可得答案． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 当水面未下降时，水面与拱桥的交点， 将代入抛物线方程， 得，所以． 当水面下降后与拱桥的交点为，设，代入， 得，解得， 所以拱桥到水面的距离为． 故答案为：． 12．如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 【答案】/ 【分析】建系，设抛物线方程为，从而可得在抛物线上，从而可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建系如图，设抛物线方程为， 则根据题意可知图中坐标为， ，， 抛物线方程为， 令，可得， 则水面下降了米 故答案为： 13．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程和点坐标，求得点坐标，将坐标代入解析式求得点纵坐标，从而知道顶端到连桥AB的距离. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，，则. 由点B，D均在抛物线上，得解得， 所以抛物线顶端到连桥AB的距离为. 14．已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 15．如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.    【答案】不能，理由见解析. 【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解判断即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，    设抛物线的方程为， 由题意可知：，把它代入方程中，得， 所以方程为，而货轮宽16m， 把代入中，得， 点离水面高度为，而吃水线上部分中央船体高16m， 所以不能通过桥孔. 16．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； (2) 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 35 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线的标准方程和几何性质的六种题型 题型一：抛物线的定义及应用 题型二：求抛物线的标准方程 题型三：抛物线的简单几何性质 题型四：抛物线的焦半径公式 题型五：抛物线上的点到定点的距离问题 题型六：抛物线在实际问题中的应用 题型一：抛物线的定义及应用 1．已知是抛物线上一点，若点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D． 3．已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 5．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ） A．抛物线 B．直线 C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确 8．若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 9．若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 10．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 11．若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 12．若点满足方程，则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型，填方程不给分） 13．若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则 . 14．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为，则 ． 15．已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为 ． 16．已知点的轨迹方程为，若动点所在轨迹上一点到的距离为2，求点的坐标. 题型二：求抛物线的标准方程 1．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 2．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（    ） A．4 B．8 C．6 D．10 6．已知抛物线（）上的点到焦点的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ． 8．在平面直角坐标系中，抛物线上的点与焦点的距离为10，点到轴的距离为，则的值为 ． 9．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 10．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ． 11．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为 ． 12．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为 . 13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，若为边长是的等边三角形，则此抛物线方程为 . 14．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线垂直于x轴时，．求C的方程． 题型三：抛物线的简单几何性质 1．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 2．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（    ） A．任意，都存在点，使得 B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C．存在，当点运动时，使得 D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 4．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知点分别为抛物线与圆上的动点，且的最小值为，则抛物线的焦点到准线的距离为（  ） A． B． C． D． 6．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 7．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 8．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 9．已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 10．已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为： ，现在将一个半径为的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是 ． 11．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 .（填写所有正确选项的序号） ①菱形;②有3条边相等的四边形;③梯形;④平行四边形;⑤有一组对角相等的四边形. 12．已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 13．以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则的顶点到准线的距离为 . 14．在平面直角坐标系xOy中，，⊙M：与抛物线C：有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则 ． 15．在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心. (1)若点A的纵坐标为，求直线的斜率； (2)若，求的面积； (3)证明：为定值. 16．已知F是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点． (1)是一个定点，求的最小值： (2)若焦点F是的垂心，求点A、B的坐标 题型四：抛物线的焦半径公式 1．设抛物线：的焦点为，点在上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知抛物线C：的焦点为F，点A在C上，且，则点A的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 3．设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A． B． C． D． 7．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，则 . 9．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 10．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为 . 11．抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的坐标为 ． 12．已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则 . 13．设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则 . 14．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则线段的中点的横坐标为 . 15．已知是抛物线与椭圆的一个交点，的焦点为，为坐标原点.若点到轴的距离等于，求的方程. 16．已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 17．已知抛物线上一点到焦点的距离．求抛物线的方程； 18．已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上一点A到F的距离是4，求A的坐标. 题型五：抛物线上的点到定点的距离问题 1．若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知抛物线，上一点到焦点距离为5，则点的纵坐标为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．设为坐标原点，为抛物线：的焦点，点在抛物线上.若，则（   ） A． B．9 C．3 D． 5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的任意点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若是等边三角形，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 6．已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 8．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 9．已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 10．为抛物线上一动点，过作圆的一条切线，为切点，点，则的最小值为 ． 11．已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为 . 12．抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 . 13．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 14．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 . 15．已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 16．已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 17．如图，已知抛物线经过点，是抛物线的焦点，以为始边，为终边的角. (1)求抛物线的标准方程； (2)求. 题型六：抛物线在实际问题中的应用 1．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 3．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 5．距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．4米 D．8米 6．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 7．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 ． 8．某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 9．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是 m． 10．如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为 .    11．如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是 ． 12．如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 13．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 14．已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 15．如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.    16．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $