精品解析：上海市复旦大学第二附属学校2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷

2025学年第一学期七年级数学学科第一次质量调研 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 3. 下列分式中，不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（ ） A. 的次数一定是9 B. 的次数一定是5 C. 的次数一定是4 D. 的次数无法确定 5. 若a为正整数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（共16小题，每小题2分，共32分） 7. 单项式的系数是________． 8. 已知和是同类项，则_____． 9. 将分式表示成不含有分母的形式：________． 10. 计算：_____（结果用幂的形式表示）． 11. 计算：______． 12. 计算：________． 13. 因式分解：________ 14. 因式分解：________ 15. 计算：________ 16. 计算：________． 17. 若整式是关于x、y的三次三项式，则______. 18. 若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为________． 19. 已知，那么________． 20. 若，则________． 21. 若x满足，则的值为________． 22. 已知数x、y、z满足，则的最大值是________． 三、简答题（共6小题，每题4分，共24分） 23. 计算：． 24. 计算：． 25. 计算：． 26. 简便计算：； 27. 因式分解： 28. 运用添项法分解因式：． 四、解答题（共5小题，第29-31题每题6分，第32题8分，第32题6分，共32分） 29. 先化简，再求值：，其中． 30. 阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 31. 现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． （1）用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长： （2）从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由． 32. 阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． （1）【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． （2）【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． （3）【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 33. 在括号内填入一个单项式，使得整式（ ）能因式分解．请你写出这个单项式并将整式因式分解．（请写出所有情况） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期七年级数学学科第一次质量调研 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、积的乘方与幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则以及合并同类项法则计算各项即可判断出结果． 【详解】解：A、，计算正确，故选项A符合题意； B、 ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C、 与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D、 ，项D错误，不符合题意； 故选：A 2. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解即可． 根据提取公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，结果不是积的形式，故该选项不符合题意． 故选B． 3. 下列分式中，不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 4. 如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（ ） A. 的次数一定是9 B. 的次数一定是5 C. 的次数一定是4 D. 的次数无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，整式的加减运算，根据是一个九次式，是一个五次式，得到一个是五次式，一个是四次式，进而得到的次数一定是5，即可． 【详解】解：∵是一个九次式，是一个五次式， ∴一个是五次式，一个是四次式， ∴的次数一定是5； 故选B． 5. 若a为正整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了乘方的定义及幂的乘方法则等知识点，掌握幂的运算法则是解题关键． 先确定括号内有多少个a相乘，再根据幂的乘方法则计算平方后的结果即可． 【详解】解：， ． 故选： A． 6. 已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，通过计算 M 与 N 的差值并因式分解，结合的条件判断符号，从而比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选： C． 二、填空题（共16小题，每小题2分，共32分） 7. 单项式的系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数，单项式的数字因数是单项式的系数，据此作答即可． 单项式的系数是指其数字因数部分，包括常数和符号，而不含变量． 【详解】解：单项式中，数字因数为，因此系数为． 故答案为：． 8. 已知和是同类项，则_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，因此，两个单项式中对应字母的指数必须相等，由此可求出m、n的值，从而得出的值. 【详解】解：∵和是同类项 ∴，， ∴，， ∴. 故答案为13. 9. 将分式表示成不含有分母的形式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的应用，通过将分母中的项转换为负指数形式，从而消除分母，即可求解． 【详解】解：原分式为 ，根据负整数指数幂的意义，分母中的可写为， 可写为， 所以原式化为． 故答案为：． 10. 计算：_____（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的符号变化，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先将转化为，再根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解： 故答案为：． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键；通过观察分母 和互为相反数的关系，将第二个分式变形，然后合并分式，再因式分解分母并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，分式化简．先利用负整数指数幂定义将原式化为分式形式，再通过通分和分式除法法则进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，该表达式为二项式，通过观察可发现其符合平方差公式的形式，因此应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 计算：________ 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先将原式变形为，再根据积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：原式 = ， 故答案为：． 16. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的化简，熟练掌握同底数幂的除法和积的乘方是解题的关键，先计算除数的值，然后将多项式中的每一项分别除以该除数，利用同底数幂的除法法则和有理数运算进行化简即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 17. 若整式是关于x、y的三次三项式，则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的次数、项和项的系数，根据整式是三次三项式，列出关于系数和次数的式子求解，即可解题． 【详解】解：整式是关于x、y的三次三项式， 且， 解得且， ， 故答案为：． 18. 若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式的特点．给定整式为完全平方式，可将其与展开式比较系数，从而建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个整式的平方， ∴可设， 比较系数得：． 当时， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：． 故的值为或． 故答案为：或． 19. 已知，那么________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值、利用完全平方公式的变形进行计算，由题意可得：，两边同时除以并整理得，再利用完全平方公式的变形将式子变为，代入数值进行计算即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 20. 若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，整式的加减，将和分别代入求得代数式的值是解题的关键．将和分别代入原式，再将两个等式相加后化简即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴当时，． 当时，． 得：， ∴． 故答案为：4． 21. 若x满足，则的值为________． 【答案】2019 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 22. 已知数x、y、z满足，则的最大值是________． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将目标表达式展开，利用约束条件化简，转化为求交叉项的最小值，通过平方和公式确定其范围，进而得到最大值． 【详解】解：设， 则 ， 由，得， ， 若求的最大值，即求的最小值， ， ， ， ， 即的最大值为， 故答案为：． 三、简答题（共6小题，每题4分，共24分） 23. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，合并同类项．先计算积的乘方运算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 24. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式和多项式乘以多项式的法则，进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 25. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，平方差公式． 通过观察表达式，将原式变形为平方差公式的形式，然后计算． 【详解】解： ． 26. 简便计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式计算，后两项先变形为，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 27. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 28. 运用添项法分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，观察发现此多项式不能直接提取公因式和运用公式， 分组也不易进行，通过添项和拆项解决； 根据平方差公式和立方和公式，原式变形为，然后根据相关公式分解因式即可． 【详解】解： ． 四、解答题（共5小题，第29-31题每题6分，第32题8分，第32题6分，共32分） 29. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则，进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 30. 阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 31. 现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． （1）用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长： （2）从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由． 【答案】（1） （2）张或张 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据根据已知条件做出图形求解即可； （2）根据题目要求作图求解即可； 【小问1详解】 根据用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，可得图形如下： 由图可知，正方形的边长为； 【小问2详解】 需要型长方形卡片：张或张；理由如下： 16张C型卡片可排列成的长方形，或的长方形，或的正方形 所以拼出如下三种情况： 情况一：如图所示： 需型卡片张； 情况二：如图所示： 需型卡片张； 情况三：如图所示： 此时为边长为的正方形，不符合题意； 符合条件的型卡片的张数为张或张． 32. 阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． （1）【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． （2）【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． （3）【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】（1） （2）①；②； ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）①；②2 【解析】 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③ 略 【小问3详解】 解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 33. 在括号内填入一个单项式，使得整式（ ）能因式分解．请你写出这个单项式并将整式因式分解．（请写出所有情况） 【答案】①，； ②，； ③，； ④，； ⑤，． ⑥， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去x或者都符合题意；由于，那么添加分组法因式分解也符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式再平方差公式因式分解也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：①填入时， 原式 ； ②填入时， 原式 ； ③填入时， 原式 ； ④填入时， 原式 ； ⑤填入时， 原式 ． ⑥填入 原式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $