3.9弧长及扇形面积 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《3.9弧长及扇形面积》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．某扇形的半径为8，面积为，其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 5．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 6．如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．钟表上分针的长度为6厘米，当时间从到时，分针所扫过的扇形的面积是 ． 9．弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 10．已知圆锥的底面半径为，侧面展开图面积为，则该圆锥的母线长为 ． 11．如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 12．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 13．如图，是半圆的直径，为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 14．如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动．到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了3周之后，点经过的路程长为 （结果保留π）． 三、解答题 15．如图，点O､B的坐标分别为､，将绕点O按逆时针方向旋转得． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)求旋转过程中点B所经过路径的长度； (3)求线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积 16．如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 17．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 18．如图，在中， 交于点 E， 为的直径，． (1)求证：为 的切线． (2)若，求 的直径长． (3)在第（2）的条件下，求图2中的阴影面积． 19．如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作弧所交于点，连接交于另一点，连接． (1)如图（1）求证：为所在圆的切线； (2)如图（2）延长交线段于点，求的长度； (3)求图中阴影部分面积．（结果保留） 20．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了扇形的面积公式的计算，掌握知识点是解题的关键． 设扇形对应的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设扇形对应的圆心角的度数为，依题意，得 ， 解得， ∴该扇形对应的圆心角为． 故选D． 2．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积计算，先利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆半径再乘以圆周率计算即可． 【详解】解：∵圆锥的高为4，底面圆的半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴该圆锥侧面展开图的面积是， 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积计算，由圆周角定理得到，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法． 【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可． 【点睛】解：如图，扫过的面积为， ∵，，，半径为， ∴，，，， ∴， 故选：． 5．B 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 先根据弧长公式计算出点P绕滑轮中心旋转了的路径，即半径为12厘米圆心角为的弧长，然后根据动滑轮省一半的力，则重物上升的高度为弧长的一半，计算即可． 【详解】解：点的路径长为（厘米）， 重物上升的高度为（厘米）． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握扇形面积公式是解题关键．先求出正六边形的内角度数，再设的半径为，根据扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：正六边形， ， 设的半径为， 则， 解得：， 即的半径为3 故选：A． 7．D 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 8．平方厘米/ 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式及分针所转过的角度是关键；根据分针转一大格即5分钟所转的角度是，则可计算出分针从到所转的角度，即可得扇形的圆心角，从而由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：分针从到所转的角度为， 所以分针所扫过的扇形的面积是（平方厘米）； 故答案为：平方厘米． 9．18 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 10．6 【分析】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 圆锥的底面周长， 则， 解得 故答案为：6 11． 【分析】本题考查了扇形面积公式，利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了翻折的性质、等边三角形的判定与性质、扇形和三角形的面积公式，解题的关键是利用翻折性质得到线段相等关系，结合圆的半径性质判定等边三角形，再通过作辅助线、运用面积公式计算阴影部分面积．先连接，利用翻折和圆半径相等的性质，判定为等边三角形；接着作辅助线，结合等边三角形和勾股定理，求出其高与面积；再根据圆心角为，用扇形面积公式算出扇形面积；最后用扇形面积减去等边三角形面积，得到阴影部分面积． 【详解】解：连接， 根据翻折的性质得． ∵和都是半圆的半径， 所以． ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，即等边三角形的边长为． 过点作于点． 在等边三角形中，是底边上的高， 所以D为的中点，即． 在中， 对于，底为，高为，代入公式得： ； ∵是等边三角形， ∴，这个角就是扇形的圆心角． ； ∴ ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了求扇形的弧长，先求出到的位置叫做“滚动了一周”点经过的路程长，再乘以即可得解． 【详解】解：如图，滚动了一周”，点所经过的路程为，的长度和， 由旋转可知，， 滚动了一周，点所经过的路程为， 在滚动了周之后，点经过的路程长为 ， 故答案为： ． 15．(1)图见详解， (2) (3) 【分析】本题主要考查旋转的性质，网格的性质，弧长公式和扇形面积公式，解题的关键是掌握旋转的性质， （1）根据旋转的性质画出旋转后的图形，结合网格的性质写出点坐标即可； （2）根据旋转的性质得到角度，结合网格得到半径，利用弧长公式求解即可； （3）根据旋转的性质得到角度，结合网格得到半径，利用扇形公式求解即可． 【详解】（1）解：如图， 则； （2）解：由图可知， 则旋转过程中点B所经过路径的长度； （3）解：由图可知， 则线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 17．(1)180度 (2)120度；90度 (3) 【分析】本题主要考查扇形弧长公式．注意对弧长公式的运用，注意区分公式中的各个量之间的关系． （1）运用弧长公式计算即可； （2）运用弧长公式计算即可； （3）由（1）、（2）可得规律为． 【详解】（1）解：设的度数为，则， ∵， ∴，即． （2）解：设的度数为，则， ∵， ∴， ∴， 即， 同理：当时，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ∴， ∴． 18．（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ∴ ， ∴． 又∵， ∴． ∴为的切线． （2）解：∵ ， ， ， 又∵ ， ， ， ， ， ， ， 又∵为⊙O的直径， ∴的直径长． （3）解：∵ ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，三角函数，扇形面积公式．解题的关键是掌握以上知识点． 19．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果； （2）在上截取，使，则是等边三角形，，得，证明，则，，则，即可得关于x的方程，解方程即可． （3）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， 根据题意可知：，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴G在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线； （2）解：如图，在上截取，使， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）知， 设，则， ∴， 解得， 即的长度为； （3）解：解：过D作于点H，连接，如图， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，相似三角形的判定及性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $