3.6直线和圆的位置关系 解答题专题训练 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《3.6直线和圆的位置关系》 解答题专题训练（附答案） 1．在中，，以点为圆心，为半径画，根据下列条件，分别求出的取值范围． (1)边与相离； (2)边与相切； (3)边与相交． 2．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：是上一点． 求作：与的平分线相切于点的． 3．如图，是圆O的直径，切圆O于点D，，与圆O相交于点E，F．求证：． 4．如图，是的弦，与相切于点．圆心在线段上．已知，求的大小． 5．如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 6．如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，则 ． 7．如图，是的外接圆，为直径，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 8．如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 9．如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． (1)求证：； (2)若测得，求的长． 11．已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线． (1)求证：直线与相切； (2)若半径为，．连接，求证： 12．如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，延长分别与、切线相交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，，求的值． 13．如图，在菱形中，，A，C，D三点均在上，，垂足为E，且过圆心O． (1)求证：是的切线； (2)求的半径． 14．如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为10，，求的长． 15．如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 16．如图，为的直径，为的弦，且垂足为M，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 17．已知，分别与相切于点A，B，，C为上一点．    (1)如图①，求的大小； (2)如图②，为的直径，与相交于点D．若，求的大小． 18．如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． (1)求证：； (2)若是的切线． ①求证：； ②若，，是的中点，则的半径为 ． 19．在平面直角坐标系中，已知点，．      (1)如图1，为线段上横坐标为2的一点，是外接圆，求圆心点的坐标； (2)如图2，是的切线交于点，求的度数 (3)如图3，连接，为线段上任意一点（不与、重合）经过、、三点的圆交直线于点，当的面积取得最大值时，点的坐标． 20．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标． 参考答案 1．(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． （1）过作于，根据勾股定理得到，再根据三角形的面积公式得到的长，然后根据圆心到的距离与半径的关系即可得到结论； （2）解法同（1），边与相切时，； （3）解法同（1），边与相交时，． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离，则的取值范围是； （2）解：直线与相切，则的值是； （3）解：直线与相交，则的取值范围是． 2．图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线、作垂线、作圆及圆的切线性质的应用，先作出的平分线，再过点O作的垂线，垂足为D，以点O为圆心为半径作圆即可． 【详解】解：如下图，即为所求作． 3．见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质．连接，证明，，根据相似三角形的性质得以证明． 【详解】证明：如图，连接， 是圆 O 的直径， ． 切圆 O 于点 D， ，． ， ． ． 即 同理连接，可证． 即． ． 4． 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质；连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 相切于点， ， ， ， ， ． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 6．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，需要学生灵活运用所学知识． （1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，根据圆内接四边形的性质以及，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，     ∵是的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质和判定，中位线的定义和性质，求余弦，等腰三角形的性质，圆周角定理， 对于（1），连接并延长交于点F，连接，先说明为线段的垂直平分线，再说明，可得四边形为矩形，进而得，则此题可证； 对于（2），先根据中位线的性质得，再求出，然后说明，最后根据可得答案. 【详解】（1）证明：连接并延长交于点F，连接， ∵， ∴为线段的垂直平分线. ∵为的直径， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵点O，F分别为的中点， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 8．(1)证明见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和含直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定和性质，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∵为的斜边上的中线， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的斜边上的中线， ． 9．(1)见解析； (2)4． 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，因为是的直径，所以，由，，得，而，则，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，由，得，求得，所以的半径长为4． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． ； （2）解：， ， ， ∴ ， ， 解得， 的半径长为4． 10．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用等知识，是一个综合性较强的题目，熟练运用定理进行推理和计算是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得，，再由得到即可得到结论， （2）根据，求出，结合（1）的结论，证明，列式，得，在中，设，则，运用勾股定理列方程计算，即可作答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，， ， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 又， ， ，即， ， 在中，设，则， 又， ， 解得：（负值已舍去）． 的长为． 11．（1）解：连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∵直线， ∴， ∴直线与相切． （2）连接， 由（1）得，， ∵所对的圆周角为，， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了切线的判定定理，三角形的内心、圆周角定理，等腰三角形的判定，灵活运用圆的性质（弧、角、弦的关系）、三角形内心性质及切线判定定理是解题关键 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， （1）连接，根据切线性质得出，证明得出，即可证明结论； （2）在中，设半径，根据勾股定理求出半径，证明求出，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：在中，， 设半径， ，， ， 解得：， 则， ，， ， ， ， 解得：， ∵为边上的中线， ， 在中， ． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先根据菱形的性质证明，则，再根据平行线的性质得到，即，即可证明是的切线； （2）先根据菱形得到，然后由垂径定理得到，则，故，，然后求出，最后解即可求解半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴是的切线； （2）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 14．(1)见详解 (2)4 【分析】（1）连接，则和，根据题意得，即有，可得，则有即可判定角平分线； （2）过点O 作于点E，连接，则，判定四边形为矩形，有，结合圆的性质和等腰三角形的性质求得，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则，， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：过点O 作于点E，连接，如图， 则， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为10， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质、切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、角平分线的判定、矩形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉常规辅助线的做法． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，得到，根据角平分线的定义得到结论； （2）由（1）知，，等量代换得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论； 【详解】（1）连接为直径， ∵为直径， ∴， ∴， ∵过点C作的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线得到，根据圆的性质得到，，由，结合切线的判定即可求解； （2）根据垂径定理得到，设，由题意可证，得到，可求出，结合切线的性质得到四边形是矩形，再根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：为的直径，， ∴， ∵， 设， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 设与交于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故的长的长为． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，切线的判定，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，垂径定理与勾股定理的综合知识是关键． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算的度数，再根据圆周角定理求解； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1）解：连接、，如下图所示，    ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)见解析； (2)①见解析； ②． 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，则，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似三角形的判定定理解答即可； 连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得，的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由知：， ，， ， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如下图所示，连接并延长交于点，过点作于点，连接， 由可知， 又， ， ， ， ，， ， ， 由知：， ， ， ， ， 是的中点， ， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，切割线定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）作于点H，连接．由垂径定理得，设，求出直线的解析式为，可得，然后根据列方程求解即可； （2）连接并延长交于点B，求出，根据圆内接四边形的对角互补得，理由切线的性质得，进而可求出的度数； （3）连接，作于点N，作于点M，    就出与坐标轴的交点可知，进而可证，证明得，设，则，然后根据列出函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）作于点H，连接． ∵， ∴， ∴． 设， ∵， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接并延长交于点B， ∵是直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴； （3）连接，作于点N，作于点M， ∵， ∴， 对于，当时，，∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（全等三角形对应边上的高相等）． 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，难度较大，属中考压轴题． 20．(1) (2)当时，S有最大，最大为值为 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，切线的性质． （1）根据抛物线的对称性求出，得到，，代入抛物线，即可求出抛物线的解析式； （2）由轴得到点Q的横坐标为t，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，得到点，进而得到解析式，根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）可知直线的解析式为，设，则，得到，分与x轴相切、与y轴相切两种情况，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称， ∴， 解得， ∴，， 将，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图2， ∵轴，点P的横坐标为t， ∴点Q的横坐标为t，点， 对于抛物线， 令，则有， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． ∴点， ∴， ∴当时，PQ最大， ∴； （3）解：由（2）可知直线的解析式为， ∵点P是直线一动点， ∴可设， 又∵轴，点Q在抛物线上， ∴， ∴， 当与x轴相切时，， 则或， 解得，或，， 当时，点P、Q重合，不合题意， 当时，可有，即 当时，可有，即； 当与y轴相切时，， 则或， 解得，或，， 当时，点P、Q重合，不合题意， 当时，可有，即， 当时，可有，即； 综上所述，与x轴相切时，点P的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $