24.1《圆的有关性质》--圆与垂直于弦的直径 学案 2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦《圆的有关性质》中“圆与垂直于弦的直径”，核心知识点涵盖圆的基本概念、弦的性质、垂径定理及其推论与应用。课堂导入从概念辨析切入，通过基础题型巩固圆的定义、弦与直径关系，逐步过渡到垂径定理的直接应用、平行弦距离计算，再到实际问题与综合证明，搭建由浅入深的学习支架，衔接前后知识脉络。 该资料亮点在于题型设计分层递进，覆盖概念理解、性质应用、实际情境与综合探究，如球形燃料储罐、古桥拱高计算等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。详细解答过程助力学生掌握逻辑推理与几何直观方法，强化运算能力与模型意识，符合核心素养中数学思维与数学语言的培养要求。

24.1《圆的有关性质》--圆与垂直于弦的直径 题型一：圆的基本概念 1.下列命题：正确的是（    ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 2.下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 3.说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：弦的条数及最长的弦问题 1.如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3.如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 题型三：垂径定理 1.如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为 ． 2.如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为 ． 3.如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 ． 题型四：垂径定理求平行弦问题 1.已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ． 2.已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 3.已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 题型五：垂径定理的推论的理解 1.下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 2.下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 3.下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 题型六：垂径定理的推论应用 1.如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 2.如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是 ． 3.如图，为半圆的直径，为弦的中点，为的中点，连接．若，则的长为 ． 题型七：垂径定理的实际应用问题 1.如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为 ． 2.壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为 ． 3.白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新桥”（旧称“苏公桥”）． (1)小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度为6.4米，拱顶高出水面1.6米，如图，请你帮助小明求出此圆弧形拱桥的半径； (2)微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞?说说你的理由． 题型八：垂径定理综合问题 1.已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2.如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 3.如图，在等腰∆ABC中,交于两点，半径于H． (1)求证：； (2)若，求的半径． 参考答案 题型一：圆的基本概念 1.B 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本选项不符合题意； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧，本选项符合题意； ③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意； ④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意； ∴正确命题为②和③， 故选：B． 2.A 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 3.B 【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误； ②半径相等的两个半圆是等弧，正确； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确； ④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误； ⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误； 综上，正确的有：②③，共2个， 故选：B． 题型二：弦的条数及最长的弦问题 1.B 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2.D 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 3.C 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 题型三：垂径定理 1.17 【详解】解：如图，连接， ∵的弦，半径， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得， 故的半径的长为17． 故答案为：17． 2. 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 3.或 【详解】解：分两种情况讨论， 第一种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 第二种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 题型四：垂径定理求平行弦问题 1.或 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 2.7或17 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 3.2或14 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 题型五：垂径定理的推论的理解 1.B 【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确； C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误； D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误； 故选：B． 2.C 【详解】解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误； ∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误； ∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确； ∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确． ∴ 不正确的是①②， 故选C 3.B 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确； 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确； 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确； 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B. 题型六：垂径定理的推论应用 1.15 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 2. 【详解】解：如图，延长到圆心，连接， 设所在圆的半径长为，则， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：， 所在圆的半径长为， 故答案为：． 3. 【详解】解：连接与交于点M， ∵是直径， ∴，， ∵分别为的中点， ∴， ∴ ∵为的中点，为半径， ∴ ∴四边形是矩形． 设，则， 在中， 解得：（舍去）， ， ∴在中，． 故答案为：． 题型七：垂径定理的实际应用问题 1.8 【详解】解：如图：连接， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 2.10 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， 设的半径为，则：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， 故的半径为 故答案为：10． 3.（1）解：连接 ， 为中点， ∴AB=6.4（米）， （米）， 又∵（米）， 设（米），则（米）， 在中，根据勾股定理得： 即：， 解得， 答：此圆弧形拱桥的半径为4米； （2）解：方法（一）：游船不能顺利通过该桥洞，理由如下： 如图，米，，交于， 则（米）， 连接， 在中，根据勾股定理得：， （米）， 又∵（米）， ， 游船不能顺利通过该桥洞； 方法（二）：， 船舱顶部为长方形并高出水面米， （米）， 在中，根据勾股定理得：， （米）， （米）， 又∵， ， 游船不能顺利通过该桥洞． 题型八：垂径定理综合问题 1.（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）解：设的半径为则， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ， ， ． 2.（1）解：连接，设圆弧所在圆的半径为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 解得； 答：圆弧所在圆的半径的长为； （2）解：连接，    ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． ． ∵A/B/=32>30， 不需要采取紧急措施． 3.（1）证明：在∆ABC中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $