24.1.2.2 垂径定理的应用 课件- 2025—2026学年 人教版数学九年级上册

第24章 圆 24.1.2.2 垂径定理的应用 1 赵州桥 2 河北省赵县的洨(xiáo)河上, 有一座世界闻名的石拱桥, 叫安济桥, 又叫赵州桥. 它是隋朝的石匠李春设计和参加建造的, 已经有一千四百多年了. 赵州桥非常雄伟. 桥长五十多米, 有九米多宽, 中间行车马, 两旁走人. 这么长的桥, 全部用石头砌成, 下面没有桥墩, 只有一个拱形的大桥洞, 横跨在三十七米多宽的河面上. 大桥洞顶上的左右两边, 还各有两个拱形的小桥洞. 平时, 河水从大桥洞流过, 发大水的时候, 河水还可以从四个小桥洞流过. 这种设计, 在建桥史上是一个创举, 既减轻了流水对桥身的冲击力, 使桥不容易被大水冲毁, 又减轻了桥身的重量, 节省了石料. 这座桥不但坚固, 而且美观. 桥面两侧有石栏, 栏板上雕刻着精美的图案: 有的刻着两条相互缠绕的龙, 嘴里吐出美丽的水花; 有的刻着两条飞龙, 前爪相互抵着, 各自回首遥望; 还有的刻着双龙戏珠. 所有的龙似乎都在游动, 真像活了一样. 赵州桥体现了古代劳动人民的智慧和才干, 是我国宝贵的历史文化遗产. 3 问题探索 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥主桥拱的半径. A B (1)由题意得AB＝____; (2)要确定主桥拱的半径, 要先确定________________. 37m 所在圆的圆心 4 典例精析 例1.赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径. A B C D O 过点O作OC⊥AB交于点C, 垂足为D. ∴AD＝BD＝AB＝18.5m, 在Rt△ADO中, 设OA＝r, 则OD＝r－7.23, ∴r2＝18.52＋(r－7.23)2 解得r ≈ 27.3, ∴赵州桥主桥拱的半径约27.3m. 设所在圆的圆心为O,连接OA,如何求OA呢? 解:设所在圆的圆心为O,连接OA, 5 归纳总结 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. O O O r d h r2＝d2＋(r－h)2 r2＝d2＋(h－r)2 r d h 6 小试锋芒 练习1.如图, 武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧, 桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连, 其正下方的路面AB长度为300m, 那么这些钢索中最长的一根为( ). A. 50m B. 45m C. 40m D. 60m O C D A 7 小试锋芒 练习2.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一, 其中第九卷《勾股》中记载了一个 “圆材埋壁” 的问题: “今有圆材, 埋在壁中, 不知大小.以锯锯之、深一寸, 锯道长一尺, 问径几何? ” 用几何语言表达为: 如图, AB是⊙O的直径, 弦CD⊥AB于点E, EB＝1寸, CD＝10寸, 求直径AB的长. 答案:直径AB的长为26寸. 8 典例精析 例2. 直径为26dm的圆柱形排水管, 截面如图所示,点O是截面圆心.若管内有积水, 当水面宽为24dm时, 求积水的最大深度. O A B 分析: 圆柱形排水管直径为26dm, 大于水面宽24dm, 则有____种情况, 你能画出简图吗? 2 O A B O 9 典例精析 例2. 直径为26dm的圆柱形排水管, 截面如图所示,点O是截面圆心.若管内有积水, 当水面宽为24dm时, 求积水的最大深度. A B O C D 过点O作OD⊥AB交圆上于点D, 垂足为C. ∴AC＝BC＝AB＝12dm,OA＝OD＝13dm, 在Rt△ACO中, 设CD＝x, 则OC＝13－x, ∴132＝122＋(13－x)2 解得x ＝ 8, ∴积水的最大深度为8dm. 解:情况① 连接OA, 10 典例精析 例2. 直径为26dm的圆柱形排水管, 截面如图所示,点O是截面圆心.若管内有积水, 当水面宽为24dm时, 求积水的最大深度. A B O C D 过点O作CD⊥AB交圆上于点D, 垂足为C. ∴AC＝BC＝AB＝12dm,OA＝OD＝13dm, 在Rt△ACO中, 设CD＝x, 则OC＝x－13, ∴132＝122＋(x－13)2 解得x ＝ 18, ∴积水的最大深度为8dm或18dm. 解:情况② 连接OA, 11 小试锋芒 练习3.已知⊙O的直径CD＝10cm, AB是⊙O的弦, AB⊥CD, 垂足为M, 且AB＝8cm, 则AC的长为________________. 2cm或4cm 12 谢 谢 观 看 13 Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $$