21.2.4.2 一元二次方程根与系数的关系 课件 2025-2026学年 人教版九年级上册数学

人教版 21.2.4.2 一元二次方程根与系数的关系 课件说明 本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基 础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再 探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次 方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间 的关系． 学习目标： 1．了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单 　 应用． 2．在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感 　 受由特殊到一般的认识方法． 学习重点： 一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用． 课件说明 ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根. 解： 整理，得 (x＋ )2 = ； b 2a 4ac b2 4a2 － ∵a ≠ 0， ∴4a2＞0. 当b2－4ac≥0时， 开方，得 x＋ = b 2a ± ∴ x1= －b 2a 2a ＋ 4ac b2 － x2= 2a －b － 4ac b2 - 4ac b2 － 用配方法求 x1= －b 2a ＋ 4ac b2 － 2a －b － 4ac b2 － ∴ x1 ＋ x2 = x2= 2a －b ＋ 4ac b2 － －b － = －2b = － b a x2 x1• = 2a 2a• (－b ＋ 4ac b2 － ) • (－b － 4ac b2 － ) 2a = 4a2 b2 －(b2 －4ac) = 4ac 4a2 = c a 4ac b2 － 一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的两个根 x1， x2 和系数 a，b，c 有如下关系： x1 ＋ x2 － b a = ， x2 x1 = . c a (4) 3x2－4x＋5=7. (1) x2 －6x－15 =0； (3) 5x－1=4x2； (2) 3x2＋7x－9=0； 例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (4) 3x2－4x＋5=7. (1) x2 －6x－15 =0； (3) 5x－1=4x2； (2) 3x2＋7x－9=0； 解：(1) ∵ a=1，b=－6 ，c=－15； ∴ x1 ＋ x2 － b a = = － －6 1 = 6 x2 x1 = c a = 1 －15 = －15 例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (4) 3x2－4x＋5=7. (1) x2 －6x－15 =0； (3) 5x－1=4x2； (2) 3x2＋7x－9=0； 解：(2) ∵ a=3，b=7 ，c=－9； ∴ x1 ＋ x2 － b a = = － 7 3 x2 x1 = c a = 3 －9 = －3 例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (4) 3x2－4x＋5=7. (1) x2 －6x－15 =0； (3) 5x－1=4x2； (2) 3x2＋7x－9=0； 解：(3) 原方程可化为： 4x2－5x＋1=0. ∵ a=4，b=－5 ，c=1； ∴ x1 ＋ x2 － b a = － 1 4 x2 x1 = c a = 4 －5 = = 5 4 例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (4) 6x2－4x＋5=8. (1) x2 －6x－15 =0； (3) 5x－1=4x2； (2) 3x2＋7x－9=0； 解：(4) 原方程可化为： 6x2－4x－3=0. ∵ a=6，b=－4 ，c=－3； ∴ x1 ＋ x2 － b a = － 6 x2 x1 = c a = 6 －4 = = 2 3 －3 = 1 2 － 例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 1.已知x1、x2是一元二次方程 x2＋3x－2=0的 两个实数根，则x1＋x2的值是(　　) A. －2 B. 2 C. －3 D. 3 2.已知x1、x2是一元二次方程 x2－2x＋b=0的 两个实数根，则x1＋x2的值是(　　) A. 2 B. －2 C. b D. －b C A 巩固新知 4.关于x的一元二次方程 x2－5x－m=0的两个 实数根互为倒数，则m的值是(　　) 3.已知x1、x2是一元二次方程 x2＋4x－6=0的 两个实数根，则x1 · x2的值是(　　) A. 4 B. －4 C. －6 D. 6 A. 5 B. －5 C. 1 D. －1 C D 5.设a，b是x2＋x－2 =0的两个的实数根， 则a＋b－ab的值为( ). A. 3 B. －3 C. 1 D. － 1 6.已知x1、x2是一元二次方程 x2－x－2=0的 两个实数根，则(1＋x1 )＋x2 (1－x1) 的值 是(　　) A. －2 B. 1 C. 2 D. 4 C D 7.已知方程x2－mx－9=0的两根互为相反数， 则m= . 8.已知方程3x2＋mx－8=0的一根是－4，则方程 的另一根为 ，m的值为 . 0 2 3 10 9.设a，b是x2＋x－2026=0的两个不相等的实 数根，则a2＋2a＋b= . 10.若关于x的一元二次方程 x2＋2x＋2m=0 的两 个实数根分别是x1、x2 ，且满足x12＋x22 =8， 则m的值是 . 2025 －1 (1) x2－3x=15； (2) 3x2 ＋2=1－4x ； (3) 5x2－1=4x2＋x； (4) 2x2－x＋2=3x＋1； 练习　不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1) x2－3x=15； (2) 3x2 ＋2=1－4x ； (3) 5x2－1=4x2＋x； (4) 2x2－x＋2=3x＋1； 练习　不解方程，求下列方程两个根的和与积： 解：(1) x2－3x－15=0. ∵ a=1，b=－3 ，c=－15； ∴ x1 ＋ x2 － b a = 1 x2 x1 = c a = 1 －3 = = －15 = －15 原方程可化为： － 3 (1) x2－3x=15； (2) 3x2 ＋2=1－4x ； (3) 5x2－1=4x2＋x； (4) 2x2－x＋2=3x＋1； 练习　不解方程，求下列方程两个根的和与积： 解：(2) 3x2＋4x＋1=0. ∵ a=3，b=4 ，c=1； ∴ x1 ＋ x2 － b a = 3 x2 x1 = c a = 3 = 1 = 原方程可化为： － 4 1 3 (1) x2－3x=15； (2) 3x2 ＋2=1－4x ； (3) 5x2－1=4x2＋x； (4) 2x2－x＋2=3x＋1； 练习　不解方程，求下列方程两个根的和与积： 解：(3) x2－x－1=0. ∵ a=1，b=－1 ，c=－1； ∴ x1 ＋ x2 － b a = 1 x2 x1 = c a = 1 －1 = = －1 = －1. 原方程可化为： － 1； (1) x2－3x=15； (2) 3x2 ＋2=1－4x ； (3) 5x2－1=4x2＋x； (4) 2x2－x＋2=3x＋1； 练习　不解方程，求下列方程两个根的和与积： 解：(4) 2x2－4x＋1=0. ∵ a=2，b=－4 ，c=1； ∴ x1 ＋ x2 － b a = 2 x2 x1 = c a = 2 －4 = = 1 原方程可化为： － 2； (1) 一元二次方程根与系数的关系是什么？ (2) 如何得到一元二次方程根与系数关系的？ 课堂小结 谢谢 $