精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测1

2028届周测1 一、单选题 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（ ） A. P B. C. D. M 3. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个． A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 不属于M，Q，P中的任意一个 8. 当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，若，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 11. （多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知或，，若，则m的取值范围是______. 13. 设A，B是R的两个子集，对于，定义：，， ①若，则对任意______； ②若对任意，则A，B的关系为______． 14. 已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合___________，___________． 四、解答题 15. （1）已知方程的两个根为、，求的值； （2）设，求方程的解集. 16. 已知，求证： 17. 已知集合或，，回答下列问题. （1）若，试求，； （2）若，求实数的取值范围； 18. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若时，存在集合，使 ，求出所有的集合； （3）集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 19. 对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． （1）若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； （2）已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届周测1 一、单选题 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简两个集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】已知集合， 则，则. 故选：B. 2. 设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（ ） A. P B. C. D. M 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P． 当时，， 则 故选：A． 3. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：D. 4. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得． 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 故选：A 5. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 6. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个． A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 7. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 8. 当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意相同元素之差0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④. 【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对于②，根据当时，，则，即，进而，，故②正确； 对于③，对，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确； 对于④，若是有理数，则，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确; 所以其中真命题的个数是3个. 故选：C. 二、多选题 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确， 因为，所以选项B错误， 因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确， 又空集是任何集合的子集，所以选项D正确， 故选：ACD. 10. 已知集合，，若，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 11. （多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可. 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 三、填空题 12. 已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 13. 设A，B是R的两个子集，对于，定义：，， ①若，则对任意______； ②若对任意，则A，B的关系为______． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】①根据，按照和分类讨论，求出的值代入可求出结果； ②由已知有，一个为0，另一个为1，结合题设的定义可判断元素与集合A、B的关系，进而可得，的关系. 【详解】①因为，则当时，，所以， 当时，必有，所以，所以， 综上可得， ②对任意，则，的值一个为0，另一个为1， 即时，必有，或时，必有， 所以A，B的关系为． 故答案为：0； 14. 已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解法一：分析出，，，且，再讨论剩余元素11和13，得到，且，，且．得到答案； 解法二：利用韦恩图进行求解. 【详解】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， 四、解答题 15. （1）已知方程的两个根为、，求的值； （2）设，求方程的解集. 【答案】（1）3；（2）或 【解析】 【分析】（1）由韦达定理得到，，进而求解即可； （2）分，，，四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由韦达定理得，，， 所以； （2）当时，方程为，即，恒成立； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，即，恒成立. 综上所述，方程的解集为或. 16. 已知，求证： 【答案】（1）先证， 设， 则存在， 满足， ， ， 即. （2）再证， 设， 则存在， 满足， ， ， 即. 综上：. 【解析】 【分析】证两个集合相等，先证明，再证明即可得出结论. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了两个集合相等的问题.属于较易题. 17. 已知集合或，，回答下列问题. （1）若，试求，； （2）若，求实数的取值范围； 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出时的集合，再根据补集、交集和并集的定义计算即可； （2）由知，讨论当和时的情形，分别求出对应的的取值范围. 【小问1详解】 或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. 【小问2详解】 若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 18. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若时，存在集合，使 ，求出所有的集合； （3）集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2），，，，， （3）能， 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 所以，． 【小问2详解】 当时，， 又因为，所以， 因为 ，（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． 【小问3详解】 能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 19. 对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． （1）若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； （2）已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】（1） ,, ,,. （2） （i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而 下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 【解析】 【分析】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【小问1详解】 集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $