精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测13

周测13 一、单选题 1. 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（ ） A. B. C.  D. 4. 若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 若角和角的终边相同，则 C. 钝角是第二象限角 D. 经过4小时，时针转了 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 幂函数在上为减函数，则的值为1 11. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，用和表示__________. 13. 已知函数，当，时，，则的最小值为_____________ 14. 已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若且，求实数的取值范围； （2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，（），求的值. 17. 已知函数的定义域为，且． （1）求的解析式并证明为定值； （2）若，且在上的值域为，求的值． 18. 室内空气消毒是为消灭污染室内空气的有害微生物而采取的有效措施.常用方法有自然通风、紫外线灯消毒、臭氧及其他化学消毒剂消毒和静电等空气净化器消毒等.某公司新研发一款室内空气消毒剂，根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的空气消毒剂，空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的关系如下:当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷洒的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到有效消毒空气的作用. （1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达几天? （2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4天中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据:≈1.4) 19. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值；指出的单调性（单调性无需证明） （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测13 一、单选题 1. 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义计算判断象限即可. 【详解】因为，所以与终边相同， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 故选：C. 2. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可等价转化为，再根据集合的包含关系建立关于的不等式进行求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 3. 已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（ ） A. B. C.  D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角定义，结合集合描述判断各集合的关系即可. 【详解】如是第二象限角且大于，但不是钝角，A错； 由钝角一定大于，但大于角不一定是钝角，故是的真子集，B对，D错； 如是第二象限角，但小于，C错； 故选：B 4. 若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为，结合函数单调性求出在的最大值大于等于即可求解. 【详解】将不等式变形为：，令，所以是关于的函数； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，即时，在上单调递减， 若，使得关于的不等式成立，则，解得：或， 由于，则； 当时，即或时，在上单调递增， 若，使得关于的不等式成立，则，解得：或， 由于或，则或； 综上，实数的取值范围为：或； 故选：A 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 7. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 8. 已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象进行数形结合分析可得. 【详解】由，得， 所以或. 再由，图象如下： 显然与有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有四个不同的实数根，即与有四个交点， 因，再结合图象分析判断可得. 故选：D. 二、多选题 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 若角和角的终边相同，则 C. 钝角是第二象限角 D. 经过4小时，时针转了 【答案】CD 【解析】 【分析】根据角的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】小于的角还包括零角和负角，锐角是大于小于的角，故A错误； 若，，则角和角的终边相同，但，B错误； 因为大于且小于的角为钝角，所以钝角是第二象限角，C正确； 因为时针旋转为顺时针，所以形成的角为负角，故经过4小时，时针转了，D正确． 故选：CD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 幂函数在上为减函数，则的值为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可判断A，根据指数函数的性质即可求解B，由单调性及偶函数性质即可判断C，根据幂函数的性质即可判断D. 【详解】对选项A：命题“”的否定为“”，故A错误； 对选项B：令，得，则， 得的图象恒过定点，故B错误； 对选项C：函数在是减函数，由， 得， 由于是定义在上的偶函数，则， 得，故C正确； 对选项D：因为为幂函数， 所以或， 又在上为减函数，所以，故，所以D正确. 故选：CD 11. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断可得答案. 【详解】对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知，用和表示__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式化为对数式及换底公式，对数的运算性质可得. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，当，时，，则的最小值为_____________ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴恒成立， ∴定义域为R关于原点对称， 又∵， ∴为奇函数， 又当，单调递增，单调递增， 所以在单调递增， 又为奇函数，且函数图象不间断， 所以在R上为增函数， 所以由，可得， 即， 即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为8， 故答案为：8 14. 已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先画出的图象，由，可得或，结合图象可知与有个交点，则与有个交点，结合图象得到参数的取值范围. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以的图象如下所示： 由，即， 即或，所以或， 因为与有个交点，即有个不相等的实数根， 因为关于的方程有个不相等的实数根 所以与有个交点，由图可知或， 即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若且，求实数的取值范围； （2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合集合间关系列式求解即可； （2）由题意可知集合为集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 因为集合，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，可知集合为集合的真子集， 且集合，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 16. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，（），求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）分别化简指数幂各项后进行加减运算； （2）利用指数幂运算法则将所求式转化为已知幂的形式计算； （3）通过设元结合完全平方公式求解. 【详解】（1），，， 故原式. （2）. （3）设（），则，解得， 所以. 17. 已知函数的定义域为，且． （1）求的解析式并证明为定值； （2）若，且在上的值域为，求的值． 【答案】（1），证明如下： 因为， 所以，则为定值，得证. （2） 【解析】 【分析】（1）由题中给出的定义域结合函数的结构可得，再根据可求出，即可确定，再代入证明即可； （2）利用的单调性得到自变量与函数值的对应关系，列出方程，再作差，即可得解. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以，则. 由，得， 则. 因为， 所以，则为定值，得证. 【小问2详解】 当时，易知函数与在上均单调递减， 所以在上单调递减. 因为在上的值域为， 所以，即， 两式相减得，整理得， 即，又，所以. 18. 室内空气消毒是为消灭污染室内空气的有害微生物而采取的有效措施.常用方法有自然通风、紫外线灯消毒、臭氧及其他化学消毒剂消毒和静电等空气净化器消毒等.某公司新研发一款室内空气消毒剂，根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的空气消毒剂，空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的关系如下:当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷洒的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到有效消毒空气的作用. （1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达几天? （2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4天中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据:≈1.4) 【答案】（1）8天 （2）1.6 【解析】 【分析】（1）分类讨论，进而由可求出结果； （2）根据题意求出从第一次喷洒起，经天后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果. 【小问1详解】 一次喷洒4个单位的消毒剂，当时，浓度， 令，解得； 当时，浓度，由，解得， 综上所述，，故一次喷洒4个单位的消毒剂，消毒时间可达8天. 【小问2详解】 设从第一次喷洒起，经天， 浓度， 因为，而，， 所以，当且仅当时取等号. 令，得， 解得，则a的最小值为. 19. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值；指出的单调性（单调性无需证明） （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1），在R上单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，化简可求出的值； （2）对两函数变形得，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域； （3）令，由其在R上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为是定义在R上的奇函数， 所以，即， 所以，得， 所以，得； 在R上单调递增，， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增，所以在R上单调递增， 【小问2详解】 由（1）得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以． 所以函数的值域为； 【小问3详解】 由（1）得，令， 由（1）知在R上单调递增， 所以在R上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $