【人教版压轴题】2024～2025年七年级上数学期末解答题真题汇编卷（下）

【人教版】2024~2025年七年级上期末解答题真题汇编卷（下） 一．解答题（共25小题） 1．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段MN的长度为线段a与b的“中距离”． 已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）． （1）当点A表示1时， ①若点C表示﹣2，点D表示﹣1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB与CH的“中距离”为 　 　 ； ②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 　 　 ． （2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB、EF都向数轴正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变． 设运动时间为t秒． ①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 　 　 ； ②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值． 2．【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． 【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； 【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系． 3．设∠AOC＝α，∠COB＝β（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），OD，OE分别是∠AOC，∠COB的角平分线，记∠DOE＝θ．如果α，θ互补，或者β，θ互补，则称∠AOC，∠COB是一对“分补角”． （1）如图1，∠AOB＝120°，OC在∠AOB内，∠AOC＝50°．分别作∠AOC，∠COB的角平分线OD，OE．则∠DOE＝ 　 　 °，∠AOC，∠COB　 　 一对“分补角”（填“是”或“不是”）； （2）若∠AOC＝120°，∠COB＝β（0°＜β＜90°），且∠AOC，∠COB是一对“分补角”，求β的值； （3）如图2，∠AOB＝150°．若∠AOC和∠COB是一对“分补角”，直接写出∠AOC的所有可能值． 4．数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上A，B两点对应的数字分别为a，b，且两点与原点的距离分别为5和2． 目的 由于A，B两点位置不确定，故a与b的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当A，B两点都在原点右侧时，求a+b的值； （2）当A点在B点左侧时，求a﹣b的值． 5．综合与实践 说明：本题中的角都是大于0°而小于180°的角． [问题初探] （1）如图1，射线OB在∠AOC内部，∠AOC＝4∠AOB，∠AOC+2∠AOB＝180°，求∠AOC的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转8°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP．设OP的旋转的时间为t秒． ①当0＜t＜18时，求∠MON的度数； ②当18＜t＜36时，直接写出∠MON的度数． 6．数轴上点A，B，M分别表示数a，b，m，如果a，b，m满足a﹣m＝m﹣b，则称点A，B互为关于点M的“平衡点”．例如，当a＝﹣5，b＝7，m＝1时，点A，B互为关于点M的“平衡点”． 已知数轴上点P表示数﹣3． （1）点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则b＝ 　 　 （用含a的式子表示）； （2）点O，C，D分别表示数0，1，6． 对点C做如下操作：点C关于点P的“平衡点”为点C1，点C1关于点O的“平衡点”为点C2，点C2关于点P的“平衡点”为点C3，点C3关于点O的“平衡点”为点C4，按此方式继续操作，得到点C5，C6…，∁n（n为正整数）． 对点D做如下操作：将点D沿数轴负方向移动k（k＞0）个单位长度得到点D1，点D1关于点P的“平衡点”为点D2，将点D2沿数轴负方向移动k个单位长度得到点D3，点D3关于点P的“平衡点”为点D4，按此方式继续操作，得到点D5，D6，…，Dn． ①求线段C3D3的长； ②是否存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段∁nDn的长为667？如果存在，直接写出n的值；如果不存在，说明理由． 7．（1）如图1，已知∠AOB内部有三条射线，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠AOB＝60°，则∠AOM+∠BON的度数是 　 　 ； （2）若将（1）中的条件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改为“∠NOB∠COB，∠COM∠COA”，且∠AOB＝α，求∠AOM+∠BON的度数； （3）如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与β的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由． 8．某数学小组用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验，过程如下： （i）如图1，在木杆中间栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆支点，记为点O； （ii）如图2﹣1，在木杆两端各悬挂一个小物体，木杆左右平衡，支点与木杆右端挂小物体处的距离为线段OA的长，与木杆左端挂小物体处的距离为线段OB1的长； （iii）如图2﹣2，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左端挂的小物体下加挂一个小物体，然后把两个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段OB2的长； （iv）如图2﹣3，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左边挂的两个小物体下再加挂一个小物体，然后把三个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段OB3的长； …… （v）继续实验，木杆右端始终只悬挂一个小物体，在木杆左边悬挂n个小物体，然后把n个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段OBn的长． 上述实验相关数据的记录如表： 次数 右端挂小物体数 支点与右端挂小物体处的距离（单位：cm） 左边挂小物体数 支点与左边挂小物体处的距离（单位：cm） 1 1 30 1 OB1＝30 2 1 30 2 OB2＝15 3 1 30 3 OB3＝10 …… …… …… …… …… n 1 30 n OBn 依据上述实验过程和实验数据，解答问题： （1）OB8＝ 　 　 cm； （2）小组成员发现，即使改变支点位置，木杆右端悬挂小物体的数量，当木杆左右平衡时，左右悬挂小物体的数量与支点到左右悬挂小物体处的距离之间的等量关系不变．设木杆长为lcm，支点在靠近木杆右端的三等分点处，在木杆右端挂3个小物体，支点左边挂m个小物体，并使左右平衡，支点到木杆左边挂小物体处的距离为xcm，把m，l作为已知数，可以列出关于x的一元一次方程为 　 　 ； （3）生活中还有很多问题都符合这个实验所发现的等量关系，例如将相同体积的水倒入两个底面积不同的圆柱形容器（厚度忽略不计）时，两个容器的水面高度与两个容器底面积之间的关系．现有1号，2号两个圆柱形容器，记1号底面积为S1cm2，水面高度为h1cm，2号底面积为S2cm2，水面高度为h2cm，已知S1：S2＝4：5． ①当这两个容器中水的体积相同时，h1：h2的值为 　 　 ； ②这两个容器中都有720cm3的水，将1号中的部分水倒入2号中，当两个容器的水面高度相同时，求1号倒入2号中的水的体积． 9．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为45． 素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度. 问题解决 探索1 动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 探索2 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； 探索3 动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间. 10．【学习任务】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进几”就是几进制．爱思考的小紫，在学完二进制的方法时，研制出表格法，可以快速将十进制的数进行任意进位转换（规定a0＝1，a≠0）． 【示例呈现】 将25.5转化为二进制． 第一步制作表格：十进制的数从左到右左依次是...32，16，8，4，2，1，，，...；从右到左，相邻两数是2倍关系； 并第二步计算填表：将25.5用表中列出的十进制中的数对比，不够32，够16的1倍，对应二进制标注1，25.5﹣16＝9.5，9.5够8的1倍，对应二进制标注1，9.5﹣8＝1.5，依此类推，够的在二进制标注1，不够的填0，直至差为0． 十进制 32 16 8 4 2 1 二进制 0 1 1 0 0 1 1 0 第三步给出结果：从有1的位数开始从左到右记数，25.5的二进位就是（11001.1）2； 第四步验证结果（二进制转化成十进制）：1×16+1×8+0×4+0×2+1×1+125.5． 【学以致用】 （1）直接写出将10转化为二进制的结果： （2）计算：①（10101）2+（111）2（结果用二进制表示）； ②（110010）2﹣（1111）2（结果用十进制表示）． （3）利用给出的表格，将（800）10转化为四进制； 十进制 1024（45） 256（44） 64（43） 16（42） 4（41） 1（40） 四进制 a b c d e f 求a+b+c+d+e+f的值．【拓展提高】 （4）①利用表格法，将十进制数500转换为五进制数； ②求（11111101000）2×（0.11）9÷（1208）12的值（结果用十进制表示）； ③根据下表，将2025转化为N进制所给出的信息，直接写出n的值． 十进制 n6 n5 n4 n3 n2 n1 1（n0） N进制 1 3 2 1 3 备用表格： 11．【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点A，B，C，若点C到点A的距离恰好为点C到点B的距离的n（n为正整数）倍时，即AC＝nBC，则称点C是“A，B的n阶巧分点”． （1）数轴上点A，点B表示的数分别为﹣5，3． ①线段AB的长为　 　 ； ②若点C是“A，B的3阶巧分点”，则点C表示的数为　 　 ； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点P在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“A，P的2阶巧分点”，记为A′，作“B，P的4阶巧分点”，记为B′，且满足A′，B′分别在线段AP和BP上．当点P运动时，求3PA′+5PB′的值． 【拓展应用】 （3）数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2，8，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“A，P的1阶巧分点”，记为A′，作“B，Q的3阶巧分点”，记为B′．两点同时出发，设运动时间为t，若，直接写出t的值． 12．【任务一】利用网格纸制作长方体纸盒 数学课上，老师先让同学们利用图1所示的正方形网格纸制作长方体纸盒．小明和小强都先在网格中画出了展开图，如图2，3所示，然后剪下多余的部分，剩余部分沿折痕折叠，最后用胶带纸黏合，制成了长方体纸盒． （1）依据图2和图3制作的长方体纸盒的体积分别是 　 　 ，　 　 ． 【任务二】利用白卡纸制作四棱柱形礼品盒 老师又提供了如图4所示的长方形白卡纸ABCD，要求同学们利用它制作一个底面为正方形，且底面边长为5cm，体积为1000cm3的四棱柱形礼品盒．小红想到，长方体就是四棱柱，于是她先测量了白卡纸的边长，经计算后，画出了与全班同学都不一样的展开图如图5所示，裁剪后沿折痕折叠，再用胶带纸黏合，制成了符合要求的礼品盒如图6所示． （2）求长方形白卡纸的边长． 【任务三】根据要求做决策 完成任务二之后，小强发现，如果去掉“底面边长为5cm“这个条件，按照小红的思路，也可以做成一个正方体礼品盒． （3）现有两种不同型号的长方形网格纸，其规格（单位：cm）如图所示，每张纸的价格分别为1元和1.2元．如果要制作5个体积为1000cm3的正方体礼品盒，买网格纸最少需要花费多少元．请先在网格纸上画出要制成的正方体礼品盒的展开图，再计算所花费的最少费用． 13．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）． （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD＝90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 14．如图1，七年级1班数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°），射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC＝β． （1）如图2，若α＝16°，则∠BOP＝　 　 ，∠AON＝　 　 ． （2）△AOB在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时β的值． （3）若将两块直角三角板（其中∠AOB＝30°，∠COD＝45°）摆放在直线MN上，如图3，△ODC绕点O以每秒5°的速度逆时针转动，当OD第一次与射线OM重合时，三角板△ODC停止转动；△OBA绕点O以每秒10°顺时针转动，当OA第一次与射线OD重合时三角板△OBA立即停止转动；三角板△ODC和三角板△OBA同时转动，转动时间为t秒，如图4； ①用含t的代数式表示射线OA与射线OD重合前∠BOC与∠AOD的度数． ②在整个旋转过程中，当满足|∠AOD﹣∠BOC|＝5°时，求出相应的t的值． 15．直线AB，CD相交于点O，∠EOF＝90°，射线OM平分∠COF．（本题中所有角的度数均不超过180°） （1）若直线AB与直线CD垂直（即∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°）． ①将∠EOF绕点O旋转至图①的位置，∠BOE＝40°，∠AOM＝ 　 　 °． ②将∠EOF绕点O旋转至图②的位置，∠AOM＝α（135°＜α＜180°），求∠BOE的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图③，若∠BOC＝60°，将∠EOF绕点O顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中∠AOM与∠BOE所有的数量关系． 16．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上，∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，BM为∠CBE的平分线． （1）求∠CBE和∠ABM的度数； （2）若BN为∠CBD的平分线，求∠MBN的度数； （3）若将图中三角尺BDE逆时针旋转20度，则∠MBN大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 17．如图，点A，B，C是数轴上顺次的三个点，动点P，Q分别从B点和C点同时出发沿数轴向左运动，点P和点Q的速度分别为1个单位/秒和2个单位/秒，设运动时间为t秒，点D是PQ的中点． （1）若BC＝4，当t取何值时，点Q追上点P？ （2）当点P，Q在线段AC上运动时，若，，且BC＝AB+m（m＞0），求BD的长（用含m的代数式表示）； （3）若BC＝2AB＝4，设S＝k•PD﹣PA，是否存在常数k，使得S在某段时间内为定值？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 18．对于数轴上的点P和线段MN，给出如下定义：若点P与线段MN上一点的距离等于线段MN的长，则称点P是线段MN的“强关联点”． （1）点M，N表示的数分别是0，2． ①在﹣3，0，3中，线段MN的“强关联点”所表示的数有 　 　 ； ②线段MN的“强关联点”所表示的数最大为 　 　 ，最小为 　 　 ； （2）线段MN的长为a． ①线段MN的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为 　 　 ； ②线段EF的长为b，若存在点P，使得点P既是线段MN的“强关联点”，也是线段EF的“强关联点”．将线段MN的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段EF的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为d，则d的最大值为 　 　 （用含a，b的式子表示）． 19．数轴上点A与点B之间的距离记为：AB．如图，在数轴上A，B，C三点对应的数分别为a，b，c，已知a＝﹣24，c＝﹣8，且点A，点B到点C的距离相等，即AC＝BC． （1）填空：点B对应的数为 　 　 ； （2）若点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N从点B出发，以2个单位/秒的速度向右移动，在点M，N移动的同时点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动，设移动时间为t秒． ①若点P到A的距离是点P到B的距离的两倍，我们就称点P是（A，B）的“幸福点”．当点P是（A，N）的“幸福点”时，求此时点P对应的数； ②在三个点移动的过程中，2PN+MN或2PN﹣MN在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由． 20．若∠A＝2∠B，则称∠A是∠B的“倍角”，若∠A＝2（180°﹣∠B），则称∠A是∠B的“倍补角”．已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∠COD的边OC与∠AOB的边OA重合时，开始转动∠COD，在转动过程中射线OE始终平分∠BOC．（图中所有的角均指小于平角的角） （1）如图1，当∠COD绕点O顺时针旋转一个角，且∠COD在∠AOB的内部，若∠AOC＝30°，则∠EOD＝ 　 　 ；若∠EOD＝α，则∠AOC＝ 　 　 °（用含α的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角 　 　 ； （2）如图2，当∠COD绕点O顺时针旋转m°（90＜m＜180），且∠COD在∠AOB的外部，请判断∠AOC是否为∠DOE的“倍角”，并说明理由； （3）①如图3，当∠COD绕点O逆时针旋转一个小于180°的角，且射线OC已经过射线OB的反向延长线，请判断∠AOC是否为∠DOE的“倍补角”，并说明理由； ②如图3，若∠COD绕点O逆时针旋转n°（0≤n≤360），当∠AOC是∠DOE的“倍补角”时，请直接写出n的取值范围 　 　 ． 21．综合与实践 【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…… 这样的自然数能被3整除．一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．我们可以论证这个结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： 100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c），显然99a+9b能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除． 【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣，于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 1﹣2×4＝﹣7 21 2 1 2﹣2×1＝0 28 2 8 2﹣2×8＝﹣14 35 3 5 3﹣2×5＝﹣7 … … … … 98 9 8 9﹣2×8＝﹣7 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除．（1）请你仿照问题背景中的代数推理方法验证小聪发现的结论； （2）小聪继续探究发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是b，除个位数字外的部分用a表示，推理过程与上面相同，依然能得到当a﹣2b是7的倍数时，原数能被7整除，并且该结论反之亦成立．请按照小聪推广后的结论解决下列问题： ①判断7938是否能被7整除（要求写出判断过程）； ②若一个正数m能被7整除，m的最后四位数为3025，求m的最小值． 22．有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数，定义D（a，b）＝|a﹣b|为点A、B之间的距离，其中|a﹣b|表示数a、b的差的绝对值．例如：数﹣1和3的中点数是，数轴上表示数﹣1和3的点之间的距离是D（﹣1，3）＝|﹣1﹣3|＝4．请阅读以上材料，完成下列问题： （1）M（2，4）＝　 　 ，D（2，4）＝　 　 ； （2）已知M（0，x）+D（6，8）＝﹣2，求D（x，2）的值； （3）当D（﹣2，7）+D（4，x）＝13时，求的值． 23．某电影摄制组准备从A市到B市开展摄影工作，需要一天的行程．因为上午的路况较好，所以计划上午比下午多走100千米，中午到达C市吃午饭． （1）若上午行程的平均速度为100千米/小时，比下午行程的速度快20千米/小时，用时比下午多小时，求A，B两市的距离； （2）上午由于堵车，中午才赶到一个小镇D吃午饭，只行驶了原计划的三分之一，午饭后，汽车赶了400千米，傍晚才停下来在E处休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达B市了．求A，B两市的距离． 24．如图，已知数轴上有三点A、B、C，用AB表示A、B两点的距离，AC表示A、C两点的距离，且，点A、点C对应的数是分别是a、c，且（a+40）2+|c﹣20|＝0． （Ⅰ）a＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ，B、C两点间距离 　 　 ； （Ⅱ）若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，设运动时间为t秒，当t为多少时，Q到B的距离与P到B的距离相等？ （Ⅲ）若点P、Q仍然以（Ⅲ）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，P、Q出发2秒后，动点R从A点出发向右运动，点R的速度为1个单位长度每秒，运动的过程中，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，问点R运动了多少秒时，恰好能满足MN＝30？ 25．在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为﹣10，0，12，28． （1）点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段AB上的一个动点，求|x+10|+|x﹣12|的值． （2）如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t． ①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为 　 　 ． ②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值． 【人教版】2024~2025年七年级上期末解答题真题汇编卷（下） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段MN的长度为线段a与b的“中距离”． 已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）． （1）当点A表示1时， ①若点C表示﹣2，点D表示﹣1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB与CH的“中距离”为 　1　 ； ②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 　1或﹣3　 ． （2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB、EF都向数轴正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变． 设运动时间为t秒． ①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 　3.5　 ； ②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值． 【答案】（1）①1；②1或﹣3；（2）①3.5；②t的值为1或或5． 【解答】解：（1）①∵AB＝2（点A在点B的左侧），点A表示1， ∴点B表示3， ∴线段AB的中点表示2， ∵点C表示﹣2，点H表示4， ∴线段CH的中点表示1， ∴线段AB与CH的“中距离”为2﹣1＝1， 故答案为：1． ②由①得，线段AB的中点表示2， 设点E表示x，则点F表示x+6， ∴线段EF的中点表示x+3， ∵线段AB与EF的“中距离”为2， ∴|x+3﹣2|＝2， 解得：x＝1或x＝﹣3， ∴点E表示的数是1或﹣3， 故答案为：1或﹣3． （2）由题意得，点A表示的数为1+t，点B表示的数为3+t， 当点E向数轴正方向运动时，点E表示的数为2t，点F表示的数为2t+6， 当点E与点B重合时，3+t＝2t， 解得：t＝3， ∴当点E向数轴负方向运动时，点E表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t，点F表示的数为12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t， ①当t＝2.5时，点E向数轴正方形运动，点A表示的数为3.5，点B表示的数为5.5，点E表示的数为5，点F表示的数为11， ∴线段AB的中点表示的数为4.5，线段EF的中点表示的数为8， ∴线段AB与EF的“中距离”为8﹣4.5＝3.5； 故答案为：3.5． ②当点E向数轴正方向运动，即0＜t≤3时，线段AB的中点表示的数为2+t，线段EF的中点表示的数为2t+3， ∵线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度， ∴|2t+3﹣（2+t）|＝2， 解得：t＝1或t＝﹣3（舍）； 当点E向数轴负方向运动，即t＞3时，线段AB的中点表示的数为2+t，线段EF的中点表示的数为15﹣2t， ∵线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度， ∴|15﹣2t﹣（2+t）|＝2， 解得：t或t＝5， ∴当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，t的值为1或或5． 2．【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． 【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； 【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝40°． 又∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴∠AOM∠AOC，∠AON∠AOB， ∴∠AOM＝40°÷2＝20°； ∠AON＝120°÷2＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°． （2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝90°÷3＝30°； ∠BOC＝90°﹣30°＝60°． ∴∠COD＝∠BOC﹣∠AOC＝60°﹣30°＝30°． 又∵OM平分∠COD， ∴∠COMCOD30°＝15°， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣15°＝45°． （3）设∠COP＝α，则∠BOQ＝2α． ∵∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝3∠AOC﹣∠BOC， ∴2∠AOC＝∠BOC． ∴2（∠AOP+∠COP）＝∠COQ+∠BOQ， ∴2（∠AOP+α）＝∠COQ+2α， ∴2∠AOP＝∠COQ． 3．设∠AOC＝α，∠COB＝β（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），OD，OE分别是∠AOC，∠COB的角平分线，记∠DOE＝θ．如果α，θ互补，或者β，θ互补，则称∠AOC，∠COB是一对“分补角”． （1）如图1，∠AOB＝120°，OC在∠AOB内，∠AOC＝50°．分别作∠AOC，∠COB的角平分线OD，OE．则∠DOE＝ 　60　 °，∠AOC，∠COB　不是　 一对“分补角”（填“是”或“不是”）； （2）若∠AOC＝120°，∠COB＝β（0°＜β＜90°），且∠AOC，∠COB是一对“分补角”，求β的值； （3）如图2，∠AOB＝150°．若∠AOC和∠COB是一对“分补角”，直接写出∠AOC的所有可能值． 【答案】（1）60，不是； （2）β＝80°； （3）45°或75°或105°或135°． 【解答】解：（1）如图， ∵OD平分∠AOC，OE 平分∠COB， ∴， ∴， ∵∠AOB＝120°，∠AOC＝50°， ∴∠COB＝120°﹣50°＝70°， ∴∠AOC+∠DOE＝50°+60°＝110°，∠COB+∠DOE＝70°+60°＝130°， ∴∠AOC，∠COB 不是一对“分补角”， 故答案为：60，不是； （2）如图1， ∵∠AOC＝120°，OD平分∠AOC， ∴∠DOC＝60°， ∵∠COB＝β，OE平分∠COB， ∴， ∵∠AOC，∠COB 是一对“分补角”， ∴∠DOE+∠AOC＝180°， 即， ∵0°＜β＜90°， ∴β＝80°； 如图2， ∵0°＜β＜90°，OE平分∠COB， ∴， ∵∠DOC＝60°， ∴OE 在∠COD 内， ∴， ∴∠DOE+∠AOC＜180°，且∠DOE+∠COB＜180°， ∴∠AOC，∠COB 不是一对“分补角”； 综上，β＝80°； （3）当OC在∠AOB内部时，如图， ∵OD平分∠AOC，OE 平分∠COB， ∴，， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝2（∠AOC+∠COB）＝2∠AOB＝75°， 当∠COB+∠DOE＝180°时，∠COB＝180°﹣75°＝105°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝150°﹣105°＝45°； 当∠AOC+∠DOE＝180°时，∠AOC＝180°﹣75°＝105°； 当OC在∠AOB外部时，如图， 设∠BOC＝x，则∠AOC＝360°﹣150°﹣x＝210°﹣x， ∴，， ∴， 当∠COB+∠DOE＝180°时， ∴∠COB＝180°﹣105°＝75°， ∴∠AOC＝360°﹣150°﹣75°＝135°， 当时， ∴∠AOC＝180°﹣105°＝75°； 综上，∠AOC的可能值为45°或75°或105°或135°． 4．数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上A，B两点对应的数字分别为a，b，且两点与原点的距离分别为5和2． 目的 由于A，B两点位置不确定，故a与b的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当A，B两点都在原点右侧时，求a+b的值； （2）当A点在B点左侧时，求a﹣b的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由于数轴上A，B两点对应的数字分别为a，b，且两点与原点的距离分别为5和2． 所以|a|＝5，|b|＝2， 所以a＝±5，b＝±2， 当A，B两点都在原点右侧时，即a＞0，b＞0， 所以a＝5，b＝2， 所以a+b＝5+2＝7； （2）由于数轴上A，B两点对应的数字分别为a，b，且两点与原点的距离分别为5和2． 所以|a|＝5，|b|＝2， 所以a＝±5，b＝±2， 当A点在B点左侧时，即a＜b， 所以a＝﹣5，b＝±2， 当a＝﹣5，b＝2时，a﹣b＝﹣5﹣2＝﹣7； 当a＝﹣5，b＝﹣2时，a﹣b＝﹣5+2＝﹣3， 综上所述，a﹣b＝﹣7或a﹣b＝﹣3， 故答案为：﹣7或﹣3．． 5．综合与实践 说明：本题中的角都是大于0°而小于180°的角． [问题初探] （1）如图1，射线OB在∠AOC内部，∠AOC＝4∠AOB，∠AOC+2∠AOB＝180°，求∠AOC的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转8°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP．设OP的旋转的时间为t秒． ①当0＜t＜18时，求∠MON的度数； ②当18＜t＜36时，直接写出∠MON的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠AOC＝4∠AOB，∠AOC+2∠AOB＝180°， ∴4∠AOB+2∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝30°， ∴∠AOC＝4×30°＝120°， ∴∠AOC的度数是120°． （2）∵射线OB在∠AOC内部，∠AOC＝120°，∠AOB＝30°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝120°﹣30°＝90°， 若OP与OC重合，则8t＝120， 解得t＝15， 若OQ与OC重合，则5t＝90， 解得t＝18， 当射线OP绕点O逆时针旋转，且∠POQ＝10°时，则30+5t＝8t+10或30+5t＝8t﹣10， 解得t或t， 当射线OP绕点O顺时针旋转，且∠POQ＝10°时，则8t+10+30+5t＝2×120或8t﹣10+30+5t＝2×120， 解得t或t， 综上所述，t的值为或或或． （3）①∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP， ∴∠POM∠AOP，∠PON∠COP， 当OP与OC重合，则10t＝120， ∴t＝12， 当0＜t＜12时，如图3，射线OP在∠AOC的内部， ∴∠MON＝∠POM+∠PON（∠AOP+∠COP）∠AOC＝60°； 当12＜t＜18时，如图4，射线OP在∠AOC的外部， ∴∠MON＝∠POM﹣∠PON（∠AOP﹣∠COP）∠AOC＝60°； 综上所述，∠MON的度数为60°． ②∠MON的度数为60°或120°， 理由：当OP在直线OA下方且与OC成一条直线时，则10t＝180+120， 解得t＝30， 当OP与OA重合时，则10t＝360， 解得t＝36， 当18＜t＜30时，如图5，∠AOP+∠COP＝360°﹣120°＝240°， ∴∠MON＝∠POM+∠PON（∠AOP+∠COP）＝120°； 当30＜t＜36时，如图6，∠COP﹣∠AOP＝∠AOC＝120°， ∴∠MON＝∠PON﹣∠POM（COP﹣∠AOP）＝60°， 综上所述，∠MON的度数是60°或120°． 6．数轴上点A，B，M分别表示数a，b，m，如果a，b，m满足a﹣m＝m﹣b，则称点A，B互为关于点M的“平衡点”．例如，当a＝﹣5，b＝7，m＝1时，点A，B互为关于点M的“平衡点”． 已知数轴上点P表示数﹣3． （1）点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则b＝ 　﹣a﹣6　 （用含a的式子表示）； （2）点O，C，D分别表示数0，1，6． 对点C做如下操作：点C关于点P的“平衡点”为点C1，点C1关于点O的“平衡点”为点C2，点C2关于点P的“平衡点”为点C3，点C3关于点O的“平衡点”为点C4，按此方式继续操作，得到点C5，C6…，∁n（n为正整数）． 对点D做如下操作：将点D沿数轴负方向移动k（k＞0）个单位长度得到点D1，点D1关于点P的“平衡点”为点D2，将点D2沿数轴负方向移动k个单位长度得到点D3，点D3关于点P的“平衡点”为点D4，按此方式继续操作，得到点D5，D6，…，Dn． ①求线段C3D3的长； ②是否存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段∁nDn的长为667？如果存在，直接写出n的值；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）﹣a﹣6； （2）①1；②存在，n＝224． 【解答】解：（1）由“平衡点”的定义可得：a﹣（﹣3）＝﹣3﹣b， ∴b＝﹣a﹣6， 故答案为：﹣a﹣6； （2）①方法一： ∵点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则b＝﹣a﹣6， 设点C表示的数为m，点P表示的数为p，则m＝1，p＝﹣3， ∴点C关于点P的“平衡点”为点C1，则C1表示的数为：2p﹣m， 点C1关于点O的“平衡点”为点C2，C2表示的数为：0﹣（2p﹣m）＝﹣2p+m， 点C2关于点P的“平衡点”为点C3，C3表示的数为：2p﹣（﹣2p+m）＝4p﹣m， 点C3关于点O的“平衡点”为点C4，C4表示的数为：0﹣（4p﹣m）＝﹣4p+m， 按此方式继续操作，当n为偶数时，C_{n}表示的数为：﹣np+m＝3n+1， 当n为奇数时，∁n表示的数为：（n+1）p﹣m＝﹣3（n+1）﹣1＝﹣3n﹣4， 设点D表示的数为d，则d＝6， 将点D沿数轴负方向移动k（k＞0）个单位长度得到点D1，D表示的数为：d﹣k， 点D1关于点P的“平衡点”为点D2，D2表示的数为：2p﹣（d﹣k）＝2p﹣d+k， 将点D2沿数轴负方向移动k个单位长度得到点D3，D3表示的数为：2p﹣d， 点D3关于点P的“平衡点”为点D4，D4表示的数为：2p﹣（2p﹣d）＝d， ∴Dn是d﹣k，2p﹣d+k，2p﹣d，d四个数循环出现，即6﹣k，﹣12+k，﹣12，6四个数循环； 由规律可得C3表示的数为﹣13，D3表示的数为﹣12，C3D3＝|﹣13﹣（﹣12）|＝1； 方法二：设数轴上点A，B分别表示数a，b， 由（1）知，若点A关于点P的“平衡点”为点B，则 b＝﹣a﹣6； 若点A关于点O的“平衡点”为点B，则 a﹣0＝0﹣b，解得 b＝﹣a． ∵点C表示的数是1， ∴点C1表示的数是﹣1﹣6＝﹣7， ∴点C2表示的数是﹣（﹣7）＝7， ∴点C3表示的数是﹣7﹣6＝﹣13 ∵点D表示的数是6， ∴点D1表示的数是 6﹣k， ∴点D2表示的数是﹣（6﹣k）﹣6＝k﹣12， ∴点D3表示的数是 k﹣12﹣k＝﹣12， ∴C3D3＝（﹣12）﹣（﹣13）＝1； ②∵存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段∁nDn的长为667， ∴线段∁nDn的长与k无关， ∴当n＝4t+1时，∁n表示的数为：﹣3n﹣4，Dn表示的数为6﹣k， ∴线段∁nDn的长为|﹣3n﹣4﹣（6﹣k）|＝|3n+10﹣k|， 此时线段∁nDn的长与k有关，不符合题意； 当n＝4t+2时，∁n表示的数为：3n+1，Dn表示的数为﹣12+k， ∴线段∁nDn的长为|3n+1﹣（﹣12+k）|＝|3n+13﹣k|， 此时线段∁nDn的长与k有关，不符合题意； 当n＝4t+3时，∁n表示的数为：﹣3n﹣4，Dn表示的数为﹣12， ∴线段∁nDn的长为|﹣3n﹣4﹣（﹣12）|＝|3n﹣8|， 此时线段∁nDn的长与k无关， 即|3n﹣8|＝667， 解得n＝225（n＝4t+3＝225的解不是整数，舍去）或（不是整数舍去）； 当n＝4t时，∁n表示的数为：3n+1，Dn表示的数为6， ∴线段∁nDn的长为|3n+1﹣6|＝|3n﹣5|， 此时线段∁nDn的长与k无关， 即|3n﹣5|＝667， 解得n＝224 或（不是整数舍去）； 综上所述，存在正整数n＝224，对于任意的正数k，都有线段∁nDn的长为667． 7．（1）如图1，已知∠AOB内部有三条射线，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠AOB＝60°，则∠AOM+∠BON的度数是 　30°　 ； （2）若将（1）中的条件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改为“∠NOB∠COB，∠COM∠COA”，且∠AOB＝α，求∠AOM+∠BON的度数； （3）如图2，若ON、OC在∠AOB的外部时，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与β的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由． 【答案】（1）30°； （2）α； （3）α． 【解答】解：（1）∵ON平分∠BOC，OM平分∠AOC， ∴，， ∴，∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°； 故答案为：30°； （2）∵∠AOB＝α，，， ∴， ∴； （3）与β的大小无关．理由： ∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β， ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴，， ∴， 即． 8．某数学小组用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验，过程如下： （i）如图1，在木杆中间栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆支点，记为点O； （ii）如图2﹣1，在木杆两端各悬挂一个小物体，木杆左右平衡，支点与木杆右端挂小物体处的距离为线段OA的长，与木杆左端挂小物体处的距离为线段OB1的长； （iii）如图2﹣2，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左端挂的小物体下加挂一个小物体，然后把两个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段OB2的长； （iv）如图2﹣3，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左边挂的两个小物体下再加挂一个小物体，然后把三个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段OB3的长； …… （v）继续实验，木杆右端始终只悬挂一个小物体，在木杆左边悬挂n个小物体，然后把n个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段OBn的长． 上述实验相关数据的记录如表： 次数 右端挂小物体数 支点与右端挂小物体处的距离（单位：cm） 左边挂小物体数 支点与左边挂小物体处的距离（单位：cm） 1 1 30 1 OB1＝30 2 1 30 2 OB2＝15 3 1 30 3 OB3＝10 …… …… …… …… …… n 1 30 n OBn 依据上述实验过程和实验数据，解答问题： （1）OB8＝ 　　 cm； （2）小组成员发现，即使改变支点位置，木杆右端悬挂小物体的数量，当木杆左右平衡时，左右悬挂小物体的数量与支点到左右悬挂小物体处的距离之间的等量关系不变．设木杆长为lcm，支点在靠近木杆右端的三等分点处，在木杆右端挂3个小物体，支点左边挂m个小物体，并使左右平衡，支点到木杆左边挂小物体处的距离为xcm，把m，l作为已知数，可以列出关于x的一元一次方程为 mx＝l ； （3）生活中还有很多问题都符合这个实验所发现的等量关系，例如将相同体积的水倒入两个底面积不同的圆柱形容器（厚度忽略不计）时，两个容器的水面高度与两个容器底面积之间的关系．现有1号，2号两个圆柱形容器，记1号底面积为S1cm2，水面高度为h1cm，2号底面积为S2cm2，水面高度为h2cm，已知S1：S2＝4：5． ①当这两个容器中水的体积相同时，h1：h2的值为 　5：4　 ； ②这两个容器中都有720cm3的水，将1号中的部分水倒入2号中，当两个容器的水面高度相同时，求1号倒入2号中的水的体积． 【答案】（1）； （2）mx＝l； （3）①5：4；②1号倒入2号中的水的体积为80cm3． 【解答】解：（1）∵，，，……， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：右端挂小物体数×支点与右端挂小物体处的距离＝左端挂小物体数×支点与左端挂小物体处的距离， ∵支点在靠近木杆右端的三等分点处， ∴支点与右端挂小物体处的距离为， ∴，即：mx＝l， 故答案为：mx＝l； （3）①∵两个容器中水的体积相同， ∴S1h1＝S2h2， ∵S1：S2＝4：5， ∴， 故答案为：5：4； ②设1号容器倒入2号容器中的水的体积为ycm3， ∴， ∵S1：S2＝4：5， ∴， ∴，整理得：5（720﹣y）＝4（720+y）， ∴9y＝720，即：y＝80， ∴1号倒入2号中的水的体积为80cm3． 9．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为45． 素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度. 问题解决 探索1 动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 探索2 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； 探索3 动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间. 【答案】探索1：秒； 探索2：4t﹣54（t）； 探索3：秒或秒． 【解答】解：探索1：根据题意得：[0﹣（﹣9）]÷2+（12﹣0）÷（2） ＝9÷2+12÷1 12 （秒）． 答：动点P从点A运动至点B需要秒； 探索2：（24﹣12）÷（2×2） 12÷4 3 （秒）． 根据题意得：当t时，点P表示的数为12+2×2（t）＝4t﹣54， ∴当动点P运动至点B和点C之间时，点P表示的数为4t﹣54（t）； 探索3：∵24﹣0＝24，24﹣12＝12，36﹣12＝24， ∴16共2两种情况． 当点P在点O和点B之间，即t时，点P表示的数为0+（2）（t）＝t， ∴12﹣（t）t，24﹣（t）t， ∴tt＝16， 解得：t； 当点P在点C的右侧，即t时，点P表示的数为24+2（t）＝2t﹣15， ∴2t﹣15﹣12＝2t﹣27，2t﹣15﹣24＝2t﹣39， ∴2t﹣27+2t﹣39＝16， 解得：t． 答：动点P的运动的时间是秒或秒． 10．【学习任务】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进几”就是几进制．爱思考的小紫，在学完二进制的方法时，研制出表格法，可以快速将十进制的数进行任意进位转换（规定a0＝1，a≠0）． 【示例呈现】 将25.5转化为二进制． 第一步制作表格：十进制的数从左到右左依次是...32，16，8，4，2，1，，，...；从右到左，相邻两数是2倍关系； 并第二步计算填表：将25.5用表中列出的十进制中的数对比，不够32，够16的1倍，对应二进制标注1，25.5﹣16＝9.5，9.5够8的1倍，对应二进制标注1，9.5﹣8＝1.5，依此类推，够的在二进制标注1，不够的填0，直至差为0． 十进制 32 16 8 4 2 1 二进制 0 1 1 0 0 1 1 0 第三步给出结果：从有1的位数开始从左到右记数，25.5的二进位就是（11001.1）2； 第四步验证结果（二进制转化成十进制）：1×16+1×8+0×4+0×2+1×1+125.5． 【学以致用】 （1）直接写出将10转化为二进制的结果： （2）计算：①（10101）2+（111）2（结果用二进制表示）； ②（110010）2﹣（1111）2（结果用十进制表示）． （3）利用给出的表格，将（800）10转化为四进制； 十进制 1024（45） 256（44） 64（43） 16（42） 4（41） 1（40） 四进制 a b c d e f 求a+b+c+d+e+f的值．【拓展提高】 （4）①利用表格法，将十进制数500转换为五进制数； ②求（11111101000）2×（0.11）9÷（1208）12的值（结果用十进制表示）； ③根据下表，将2025转化为N进制所给出的信息，直接写出n的值． 十进制 n6 n5 n4 n3 n2 n1 1（n0） N进制 1 3 2 1 3 备用表格： 【答案】（1）（1010）2； （2）①（11100）2； ②35； （3）（30200）4；5； （4）①（4000）5； ②； ③6． 【解答】解：（1）10＝8+2＝23+21＝（1010）2， （2）①（10101）2+（111）2＝（11100）2； ②（110010）2﹣（1111）2＝（100011）2＝25+21+20＝32+2+1＝35； （3）（800）10＝3×44+2×42＝（30200）4； ∴a+b+c+d+e+f＝5； （4）①500＝4×53＝（4000）5； ②（11111101000）2×（0.11）9÷（1208）12＝（210+29+28+27+26+25+23）×（9﹣1+9﹣2）÷（123+2×122+8×120）＝20242024； ③由表格得：（2025）10＝（n4+3n3+2n2+n1+3n0）n＝（64+3×63+2×62+61+3×60）6， ∴n＝6． 11．【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点A，B，C，若点C到点A的距离恰好为点C到点B的距离的n（n为正整数）倍时，即AC＝nBC，则称点C是“A，B的n阶巧分点”． （1）数轴上点A，点B表示的数分别为﹣5，3． ①线段AB的长为　8　 ； ②若点C是“A，B的3阶巧分点”，则点C表示的数为　1和7　 ； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点P在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“A，P的2阶巧分点”，记为A′，作“B，P的4阶巧分点”，记为B′，且满足A′，B′分别在线段AP和BP上．当点P运动时，求3PA′+5PB′的值． 【拓展应用】 （3）数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2，8，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“A，P的1阶巧分点”，记为A′，作“B，Q的3阶巧分点”，记为B′．两点同时出发，设运动时间为t，若，直接写出t的值． 【答案】（1）①8； ②1和7； （2）3PA′+5PB′＝8； （3）t或t或t或t． 【解答】解：（1）①已知点A和点B在数轴上分别表示的数为﹣5和3， 则线段4B的长度为： AB＝|3﹣（﹣5）|＝|3+5|＝8， 故答案为：8； ②点C 是“A，B的3阶巧分点”，即满足AC＝3BC， 设点C表示的数为 x，则：|x+5|＝3|x﹣3|， 分情况讨论： 1．当：x≥3时，x+5＝3（x﹣3），解得x＝7， 2．当：﹣5≤x＜3时，x+5＝﹣3（x﹣3），解得x＝1， 因此点C表示的数为：1和7， 故答案为：1和7； （2）设点P表示的数为p，根据巧分点定义： A′是A，P的2阶巧分点，其表示的数为：A′， B′是B，P的4阶巧分点，其表示的数为：B′， 所以3PA′+5PB′＝3|p|+5|p|＝3||+5||， 继续化简得：|p+5|+|p﹣3|， A′，B′分别在线段AP和BP上， 当﹣5＜p＜3时，结果为：（p+5）+（3﹣p）＝8， 所以3PA′+5PB′＝8； （3）设运动时间为t秒，点P和点Q分别为：P：﹣2+2t，Q：8﹣4t， 当A′在A，P间，B′在B，Q间时； A′是A，P的1阶巧分点（中点），其表示的数为：A′2+t， B′是B，Q的3阶巧分点，需满足BB′＝3B′O，解得B′表示的数为：B′＝8﹣3t， 根据条件AB′AB，其中AB＝10， 故：（8﹣3t）﹣（﹣2+t）|＝|10﹣4t|＝5， 解得：t或t， 同理当A′在A，P间，B′在B，Q外时；A′2+t，B′＝8﹣6t， 则|（8﹣6t）﹣（﹣2+t）|＝|10﹣7t|＝5， 解得：t或t， 综上，：t或t或t或t． 12．【任务一】利用网格纸制作长方体纸盒 数学课上，老师先让同学们利用图1所示的正方形网格纸制作长方体纸盒．小明和小强都先在网格中画出了展开图，如图2，3所示，然后剪下多余的部分，剩余部分沿折痕折叠，最后用胶带纸黏合，制成了长方体纸盒． （1）依据图2和图3制作的长方体纸盒的体积分别是 　12　 ，　16　 ． 【任务二】利用白卡纸制作四棱柱形礼品盒 老师又提供了如图4所示的长方形白卡纸ABCD，要求同学们利用它制作一个底面为正方形，且底面边长为5cm，体积为1000cm3的四棱柱形礼品盒．小红想到，长方体就是四棱柱，于是她先测量了白卡纸的边长，经计算后，画出了与全班同学都不一样的展开图如图5所示，裁剪后沿折痕折叠，再用胶带纸黏合，制成了符合要求的礼品盒如图6所示． （2）求长方形白卡纸的边长． 【任务三】根据要求做决策 完成任务二之后，小强发现，如果去掉“底面边长为5cm“这个条件，按照小红的思路，也可以做成一个正方体礼品盒． （3）现有两种不同型号的长方形网格纸，其规格（单位：cm）如图所示，每张纸的价格分别为1元和1.2元．如果要制作5个体积为1000cm3的正方体礼品盒，买网格纸最少需要花费多少元．请先在网格纸上画出要制成的正方体礼品盒的展开图，再计算所花费的最少费用． 【答案】（1）12，16； （2）长为90cm，宽为45厘米； （3）展开图见解答；3.4元． 【解答】解：（1）由图2可得，此长方体的长为4，宽为3，高为1， ∴体积为：4×3×1＝12， 由图3可得，此长方体的长为4，宽为2，高为2， ∴体积为：4×2×2＝16， 故答案为：12，16； （2）长方体的高为：1000÷（5×5）＝40（cm）， ∴AE+BF＝40cm，GH＝40cm， ∴AB＝40+5＝45（cm），AD＝2×5+2×40＝90（cm）， ∴求长方形白卡纸的长为90cm，宽为45厘米； （3）展开图如下： ∵型号二可以制作两个，费用为1.2元，型号一只能制作一个，费用是1元， ∴购买两张型号二制作四个，再购买一张型号一制作一个费用最低， ∴2×1.2+1＝3.4（元）． 答：最少费用为3.4元． 13．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）． （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD＝90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得， 20t＝5t+120 解得t＝8， 即t＝8min时，射线OC与OD重合； （2）由题意得， 20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t， 解得，t＝2或t＝14 即当t＝2min或t＝14min时，射线OC⊥OD； （3）存在， 由题意得，120﹣20t＝5t或20t﹣120＝5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t＝5t， 解得t＝4.8或t或t＝12， 即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为min，当以OD为角平分线时，t的值为12min． 14．如图1，七年级1班数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°），射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC＝β． （1）如图2，若α＝16°，则∠BOP＝　74°　 ，∠AON＝　106°　 ． （2）△AOB在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时β的值． （3）若将两块直角三角板（其中∠AOB＝30°，∠COD＝45°）摆放在直线MN上，如图3，△ODC绕点O以每秒5°的速度逆时针转动，当OD第一次与射线OM重合时，三角板△ODC停止转动；△OBA绕点O以每秒10°顺时针转动，当OA第一次与射线OD重合时三角板△OBA立即停止转动；三角板△ODC和三角板△OBA同时转动，转动时间为t秒，如图4； ①用含t的代数式表示射线OA与射线OD重合前∠BOC与∠AOD的度数． ②在整个旋转过程中，当满足|∠AOD﹣∠BOC|＝5°时，求出相应的t的值． 【答案】（1）74°，106°；（1）β的值为：60°或36°；（3）①∠BOC＝15°t﹣135°，∠AOD＝150°﹣15°t；②t的值为或． 【解答】解：（1）MN⊥PQ， ∴∠MOQ＝∠MOP＝90°， ∴α＝16°， ∴∠AOQ＝α＝16°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOP＝180°﹣∠AOB﹣∠AOQ＝180°﹣90°﹣16°＝74°， ∴∠AON＝∠NOQ+∠AOQ＝90°+16°＝106°， 故答案为：74°，106°； （2）当OB旋转到OP左侧时，如图所示： ∵OC是∠BOM的角平分线， ∴∠BOC＝∠MOC， ∵∠AOC＝2∠AOM， ∴∠AOM＝∠MOC， ∴∠BOC＝∠MOC＝∠AOM， ∵∠BOC+∠MOC+∠AOM＝90°， ∵∠BOC＝∠MOC＝∠AOM＝30° ∴∠POC＝β＝∠MOP﹣∠MOC＝90°﹣30°＝60°， 当OB旋转到OP右侧时，如图所示： 设∠AOM＝x， ∵∠AOC＝2∠AOM＝2x， ∴∠MOC＝∠AOM+∠AOC＝3x， ∵OC是∠BOM的角平分线， ∴∠BOC＝∠MOC＝3x， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝90°， ∴2x+3x＝90°， 解得：x＝18°， ∴∠MOC＝3x＝54°， ∴∠POC＝β＝90°﹣∠MOC＝36°， 综上分析可知，β的值为：60°或36°； （3）①设运动时间为ts，当OB与OC重合前，0≤t＜9时，如图4， ∠MOB＝10°t，∠NOD＝5°t，∠MOA＝10°t+30°，∠CON＝45°+5°t， ∴∠AON＝150°﹣10°t，∠COM＝135°﹣5°t，∠BON＝180°﹣10°t，∠DOM＝180°﹣5°t， ∠BOC＝180°﹣10°t﹣5°t﹣45°＝135°﹣15°t， ∠AOD＝180°﹣10°t﹣30°﹣5°t＝150°﹣15°t， 当OB与OC重合后，且OA与OD重合前，即9≤t≤10时， ∠BOC＝∠MOB﹣∠MOC＝10°t﹣（180﹣5°t﹣45°）＝15°t﹣135°， ∠AOD＝∠NOA﹣∠NOD＝（180°﹣10°t﹣30°）﹣5°t＝150°﹣15°t， 综上所述，∠AOD＝150°﹣15°t，∠BOC＝135°﹣15°t或∠BOC＝15°t﹣135°； ②由题意知，OA运动时间为150°+10°＝15（s），OD运动时间为180°÷5°＝36（s）， 当0≤t＜9时， ∵|∠AOD﹣∠BOC|＝5°， ∴|135°﹣15t﹣（150°﹣15t）|＝5°， ∴15°＝5°， ∵15°≠5°， 故不存在t的值， 当9≤t＜10时， ∵|∠AOD﹣∠BOC|＝5°， ∴|15t﹣135°﹣（150°﹣15t）|＝5°， 解得：或， 当10≤t≤36时， ∠BOD＝∠NOD﹣∠AON＝（5t﹣50）°， ∠BOC＝∠CON﹣∠BON＝5°t+45°﹣80°＝（5t﹣35）° ∵|∠AOD﹣∠BOC|＝5° ∴15°＝5°， ∵15°≠5° ∴不符合题意， 综上所述，t的值为或． 15．直线AB，CD相交于点O，∠EOF＝90°，射线OM平分∠COF．（本题中所有角的度数均不超过180°） （1）若直线AB与直线CD垂直（即∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°）． ①将∠EOF绕点O旋转至图①的位置，∠BOE＝40°，∠AOM＝ 　70　 °． ②将∠EOF绕点O旋转至图②的位置，∠AOM＝α（135°＜α＜180°），求∠BOE的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图③，若∠BOC＝60°，将∠EOF绕点O顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中∠AOM与∠BOE所有的数量关系． 【答案】（1）①70；②∠BOE＝2α﹣180°； （2）2∠AOM﹣∠BOE＝210°或150°；2∠AOM+∠BOE＝210°或510°． 【解答】解：（1）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴∠EOC+∠FOC＝∠EOC+∠BOE， ∴∠FOC＝∠BOE， ∵∠BOE＝40°， ∴∠FOC＝40°， ∵射线OM平分∠COF， ∴∠MOCFOC＝20°， ∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝90°﹣20°＝70°． 故答案为：70． ②∵∠AOM＝α， ∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣α， ∠COM＝∠AOM﹣∠AOC＝α﹣90°， ∵射线OM平分∠COF， ∴∠MOF＝∠MOC＝α﹣90° ∴∠BOF＝∠MOF﹣∠MOB ＝（α﹣90°）﹣（180°﹣α） ＝2α﹣270° ∴∠BOE＝∠BOF+∠EOF ＝（2α﹣270°）+90° ＝2α﹣180°． （2）∵射线OM平分∠COF， ∴， ①当OE，OF均在OC的左侧时，如图， ∵∠BOC＝60°， ∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝120°﹣∠AOF，∠BOE＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝90°﹣∠AOF， ∴∠AOM＝∠AOF+∠FOM＝∠AOF+∠COF＝∠AOF+（120°﹣∠AOF）＝60°+∠AOF， ∴2∠AOM+∠BOE＝2（60°∠AOF）+90°﹣∠AOF＝210°； ②当OE，OF均在OC的右侧时，如图， ∠AOM＝∠AOC+∠COM ＝120°（∠BOC﹣∠BOF） ＝150°， ∠BOE＝∠EOF﹣∠BOF＝90°﹣∠BOF， ∴2∠AOM﹣∠BOE＝2（150°﹣2∠BOF）﹣（90°﹣∠BOF）＝210°； ③当OE在OD的左侧，OF在OD的右侧时，如图， ∵∠COF＝∠BOC+∠BOF ＝60°+180°﹣∠EOF﹣∠AOE ＝150°﹣∠AOE， ∴∠AOM＝∠AOE+∠EOF+∠FOM ＝∠AOE+90°+（150°﹣∠AOE） ＝165°+∠AOE， ∠BOE＝180°﹣∠AOE， ∴； ④当OE在OA的上方，OF在OD的右侧时，如图， ∵∠COF＝360°﹣∠EOF﹣∠COE＝360°﹣90°﹣∠COE＝270°﹣∠COE， ∴∠COE＝270°﹣∠COF， ∵∠BOE＝∠BOC+∠COE， ∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝60°+270°﹣∠COF＝330°﹣∠COF， ∴∠AOM＝180°﹣∠BOM ， ∴， 综上所述，2∠AOM﹣∠BOE＝210°或150°；2∠AOM+∠BOE＝210°或510°． 16．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上，∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，BM为∠CBE的平分线． （1）求∠CBE和∠ABM的度数； （2）若BN为∠CBD的平分线，求∠MBN的度数； （3）若将图中三角尺BDE逆时针旋转20度，则∠MBN大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 【答案】（1）∠CBE＝75°，∠ABM＝82.5°； （2）∠MBN＝30°； （3）∠MBN不变． 【解答】解：（1）由题意得∠CBE＝180°﹣∠DBE﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 又∵BM为∠CBE的平分线， ∴∠CBM∠CBE75°＝37.5°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABM＝∠ABC+∠CBM＝45°+37.5°＝82.5°； （2）∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣45°＝135°， ∵BN为∠CBD的平分线， ∴∠CBN∠CBD135°＝67.5°， ∴∠MBN＝∠NBC﹣∠MBC＝67.5°﹣37.5°＝30°； （3）∠MBN不变，理由为： 三角尺BDE逆时针旋转20度时， ∴∠CBE＝180°﹣∠DBE﹣∠ABC﹣20°＝180°﹣60°﹣45°﹣20°＝55°， ∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣20°＝180°﹣45°﹣20°＝115°， 又∵BM为∠CBE的平分线，BN为∠CBD的平分线， ∴∠CBM∠CBE55°＝27.5°， ∠CBN∠CBD115°＝57.5°， ∴∠MBN＝∠NBC﹣∠MBC＝30°． 17．如图，点A，B，C是数轴上顺次的三个点，动点P，Q分别从B点和C点同时出发沿数轴向左运动，点P和点Q的速度分别为1个单位/秒和2个单位/秒，设运动时间为t秒，点D是PQ的中点． （1）若BC＝4，当t取何值时，点Q追上点P？ （2）当点P，Q在线段AC上运动时，若，，且BC＝AB+m（m＞0），求BD的长（用含m的代数式表示）； （3）若BC＝2AB＝4，设S＝k•PD﹣PA，是否存在常数k，使得S在某段时间内为定值？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t＝4； （2）BDm； （3）k＝±2． 【解答】解：（1）由题可知BP＝t，CQ＝2t， ∵BC＝4， ∴2t＝t+4， 解得t＝4， 即当t＝4时，点Q追上点P； （2）∵APAB，且BP＝t， ∴APt， ∴AB＝AP+BPt， ∵CQBC＝2t， ∴BC＝6t，BQ＝4t， ∵BC＝AB+m， ∴6tt+m， ∴tm， ∵PQ＝BP+BQ＝5t，D为PQ中点， ∴PDt， ∴BD＝PD﹣BPt； （3）∵BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， 如图，以B为原点建立数轴，则A表示的数为﹣2，C表示的数为4， ∴动点P表示的数为﹣t，Q表示的数为4﹣2t， ∴点D表示的数为2t， ∴PD＝|2t|，PA＝|2﹣t|， 则S＝k•PD﹣PA＝k•|2t|﹣|2﹣t|， 令2t＝0，得t＝4， 令2﹣t＝0，得t＝2， ①当0＜t＜2时， S＝k（2t）﹣（2﹣t）＝（1k）t+2k﹣2， 当1k＝0，即k＝2时，S＝2是定值； ②当2≤t≤4时， S＝k（2t）﹣（t﹣2）＝（﹣1k）t+2k+2， 当﹣1k＝0，即k＝﹣2时，S＝﹣2为定值； ③当t＞4时， S＝k（t﹣2）﹣（t﹣2）＝（k﹣1）t﹣2k+2， 当k﹣1＝0，即k＝2时，S＝﹣2为定值， 综上所述，k＝±2时，S为定值． 18．对于数轴上的点P和线段MN，给出如下定义：若点P与线段MN上一点的距离等于线段MN的长，则称点P是线段MN的“强关联点”． （1）点M，N表示的数分别是0，2． ①在﹣3，0，3中，线段MN的“强关联点”所表示的数有 　0，3　 ； ②线段MN的“强关联点”所表示的数最大为 　4　 ，最小为 　﹣2　 ； （2）线段MN的长为a． ①线段MN的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为 　3a ； ②线段EF的长为b，若存在点P，使得点P既是线段MN的“强关联点”，也是线段EF的“强关联点”．将线段MN的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段EF的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为d，则d的最大值为 　3a+3b （用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）①0，3；②4，﹣2； （2）①3a；②3a+3b． 【解答】解：（1）①如图， ∵点M，N表示的数分别是0，2， ∴MN＝2﹣0＝2， 与﹣3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为﹣5或﹣1， ∵﹣5＜﹣1＜0， ∴﹣3 表示的点不是线段MN的“强关联点”； 与0表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为﹣2或2， ∵0＜2＝2， ∴0表示的点是线段MN的“强关联点”； 与3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为l或5， ∵0＜1＜2， ∴3表示的点是线段MN的“强关联点”； ②距离点M为2的点表示的有理数为﹣2和2， 距离点N为2的点表示的有理数为0和4， ∵﹣2＜0＜2＜4， ∴线段MN的“强关联点”所表示的数最大为4，最小为﹣2． 故答案为：①0，3；②4，﹣2； （2）①如图， 结合（1）可知，线段MN的“强关联点”所表示的数中， 最大数与最小数的差为3a； ②若点P既是线段MN的“强关联点”，也是线段EF的“强关联点”， 且线段MN的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段EF的“强关联点”所表示的数中的最小数的差取最大值， 则P为线段MN的“强关联点”所表示的最大数，且为线段EF的“强关联点”所表示的最小数， 如图， ∴d＝3a+3b． 故答案为：①3a；②3a+3b． 19．数轴上点A与点B之间的距离记为：AB．如图，在数轴上A，B，C三点对应的数分别为a，b，c，已知a＝﹣24，c＝﹣8，且点A，点B到点C的距离相等，即AC＝BC． （1）填空：点B对应的数为 　8　 ； （2）若点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N从点B出发，以2个单位/秒的速度向右移动，在点M，N移动的同时点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动，设移动时间为t秒． ①若点P到A的距离是点P到B的距离的两倍，我们就称点P是（A，B）的“幸福点”．当点P是（A，N）的“幸福点”时，求此时点P对应的数； ②在三个点移动的过程中，2PN+MN或2PN﹣MN在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：2×（﹣8）＝﹣24+b， 解得：b＝8， 故答案为：8； （2）点M表示的数：﹣24+4t，点N表示的数为：8+2t，点P表示的数为：t， ①由题意得：2PA＝PN， ∴t+24＝2（2t+8﹣t）， 解得：t＝8， 此时：P对应是数为8； ②当0≤t≤16时，2PN+MN为定值，当t＞16时，2PN﹣MN为定值； 理由：当M、N相遇时，﹣24+4t＝8+2t，解得：t＝16， 当0≤t≤16时：2PN+MN＝2（2t+8﹣t）+[（8+2t）﹣（﹣24+4t）]＝48， 2PN﹣MN＝2（2t+8﹣t）﹣[（8+2t）﹣（﹣24+4t）]＝4t﹣16； 当t＞16时：2PN+MN＝2（2t+8﹣t）+[（﹣24+4t）﹣（8+2t]＝4t﹣16， 2PN﹣MN＝2（2t+8﹣t）﹣[（﹣24+4t）﹣（8+2t]＝48． 20．若∠A＝2∠B，则称∠A是∠B的“倍角”，若∠A＝2（180°﹣∠B），则称∠A是∠B的“倍补角”．已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∠COD的边OC与∠AOB的边OA重合时，开始转动∠COD，在转动过程中射线OE始终平分∠BOC．（图中所有的角均指小于平角的角） （1）如图1，当∠COD绕点O顺时针旋转一个角，且∠COD在∠AOB的内部，若∠AOC＝30°，则∠EOD＝ 　15°　 ；若∠EOD＝α，则∠AOC＝ 　2α　 °（用含α的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角 　∠AOB，∠COD 或∠EOD，∠AOC ； （2）如图2，当∠COD绕点O顺时针旋转m°（90＜m＜180），且∠COD在∠AOB的外部，请判断∠AOC是否为∠DOE的“倍角”，并说明理由； （3）①如图3，当∠COD绕点O逆时针旋转一个小于180°的角，且射线OC已经过射线OB的反向延长线，请判断∠AOC是否为∠DOE的“倍补角”，并说明理由； ②如图3，若∠COD绕点O逆时针旋转n°（0≤n≤360），当∠AOC是∠DOE的“倍补角”时，请直接写出n的取值范围 　60≤n≤180　 ． 【答案】（1）15°；2α；∠AOB，∠COD或∠EOD，∠AOC； （2）∠AOC是∠DOE的“倍角”，理由见解析； （3）①∠AOC是∠DOE的“倍补角”，理由见解析；②60≤n≤180． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°， ∵∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣30°＝90°， ∵射线OE平分∠BOC， ∴∠BOE45°， ∴∠EOD＝∠BOE﹣∠BOD＝45°﹣30°＝15°； 若∠EOD＝α，则∠COE＝∠COD﹣∠EOD＝60°﹣α， ∵射线OE平分∠BOC， ∴∠EOB＝∠EOC， ∴∠BOD＝∠EOB﹣∠EOD＝60°﹣α﹣α＝60°﹣2α， 又∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°， ∴∠AOC＝60°﹣∠BOD＝60°﹣（60°﹣2α）＝2α， 故答案为：15°；2α；∠AOB，∠COD或∠EOD，∠AOC； （2）∠AOC是∠DOE的“倍角”，理由如下： 设∠BOC＝β， ∵射线OE平分∠BOC， ∴， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+β，∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°， ∴∠AOC＝2∠DOE， 即∠AOC是∠DOE的“倍角”； （3）①∠AOC是∠DOE的“倍补角”，理由如下： 设∠AOD＝θ， ∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝60°+θ，∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠AOD﹣∠COD＝360°﹣120°﹣60°﹣θ＝180°﹣θ， ∵射线OE平分∠BOC， ∴∠COE， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+90°， ∴2（180°﹣∠DOE）＝2（180°﹣150°）＝60°+θ， ∴∠AOC＝2（180°﹣∠DOE），即∠AOC是∠DOE的“倍补角”； ②如图所示，当∠COD绕点O逆时针旋转一个小于60°的角，且射线OC未过射线OB的反向延长线， 设∠AOD＝θ， ∴∠AOC＝∠DOC﹣∠AOD＝60°﹣θ，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOD+∠COD＝120°+60°﹣θ＝180°﹣θ， ∵射线OE平分∠BOC， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC≠2（180°﹣∠DOE）， ∴∠AOC不是∠DOE的“倍补角”， 如图所示，当∠COD绕点O逆时针旋转一个大于60°的角且小于等于180°，且射线OC已经过射线OB的反向延长线，由①可得，∠AOC是∠DOE的“倍补角”， 当∠COD绕点O逆时针旋转一个大于180°的角且小于240°，如图所示， 设∠AOD＝θ， ∴∠AOC＝360°﹣（∠DOC+∠AOD）＝360°﹣（60°+θ）＝300°﹣θ，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝300°﹣θ﹣120°＝180°﹣θ， ∵射线OE平分∠BOC， ∴∠COE， ∴∠DOE＝∠COE+∠DOC＝90°， ∴2（180°﹣∠DOE）＝2（180°﹣150°）＝60°﹣θ， ∴∠AOC≠2（180°﹣∠DOE）， ∴∠AOC不是∠DOE的“倍补角”； 当240＜n≤360时，如图所示， 设∠AOD＝θ， ∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝θ﹣60°，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣（θ﹣60°）＝180°﹣θ， ∵射线OE平分∠BOC， ∴， ∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝60°﹣（90°）30°， ∴， ∴∠AOC≠2（180°﹣∠DOE）， ∴∠AOC不是∠DOE的“倍补角”， 综上所述，60≤n≤180时，∠AOC是∠DOE的“倍补角”， 故答案为：60≤n≤180． 21．综合与实践 【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…… 这样的自然数能被3整除．一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．我们可以论证这个结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： 100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c），显然99a+9b能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除． 【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣，于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 1﹣2×4＝﹣7 21 2 1 2﹣2×1＝0 28 2 8 2﹣2×8＝﹣14 35 3 5 3﹣2×5＝﹣7 … … … … 98 9 8 9﹣2×8＝﹣7 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除．（1）请你仿照问题背景中的代数推理方法验证小聪发现的结论； （2）小聪继续探究发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是b，除个位数字外的部分用a表示，推理过程与上面相同，依然能得到当a﹣2b是7的倍数时，原数能被7整除，并且该结论反之亦成立．请按照小聪推广后的结论解决下列问题： ①判断7938是否能被7整除（要求写出判断过程）； ②若一个正数m能被7整除，m的最后四位数为3025，求m的最小值． 【答案】（1）代数推理过程见解答． （2）①能，判断过程见解答． ②m的最小值为53025． 【解答】解：（1）7a+7b+3a﹣6b＝7（a+b）+3（a﹣2b），显然7（a+b）能被7整除， 因此，如果3（a﹣2b）可以被7整除，那么就能被7整除． （2）①能． 判断过程为：7938的个位数字是8，除个位数字外的部分为793． 因为793﹣2×8＝777＝7×111， 所以7938能被7整除． ②由题意可知m的最小值为一个五位数，设m， m的个位数字是5，除个位数字外的部分是1000a+302， 1000a+302﹣5×2＝1000a+292， 由题意易知当a＝1或2或3或4，均不符合题意， 当a＝5时，1000×5+292＝756×7， 所以m的最小值为53025． 解法二：设从第五位开始的数是m 10000m+3025可以被7整除， 1000m+302﹣2x5＝1000m+292 可以被7整除， 100m+29﹣2x2＝100m+25可以被7整除， 10m+2﹣2x5＝10m﹣8可以被7整除， 10（m﹣1）+2可以被7整除， m﹣1﹣2x2＝m﹣5可以被7整除， m﹣5，m非负，最小得0， m﹣5＝0， m＝5． 22．有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数，定义D（a，b）＝|a﹣b|为点A、B之间的距离，其中|a﹣b|表示数a、b的差的绝对值．例如：数﹣1和3的中点数是，数轴上表示数﹣1和3的点之间的距离是D（﹣1，3）＝|﹣1﹣3|＝4．请阅读以上材料，完成下列问题： （1）M（2，4）＝　3　 ，D（2，4）＝　2　 ； （2）已知M（0，x）+D（6，8）＝﹣2，求D（x，2）的值； （3）当D（﹣2，7）+D（4，x）＝13时，求的值． 【答案】（1）3；2；（2）10；（3）或． 【解答】解：（1）由题意可得：；D（2，4）＝|2﹣4|＝2， 故答案为：3；2； （2）∵M（0，x）+D（6，8）＝﹣2， ∴， ∴ 解得：x＝﹣8， ∴D（x，2）＝|﹣8﹣2|＝10； （3）∵D（﹣2，7）+D（4，x）＝13， ∴|﹣2﹣7|+|4﹣x|＝13， ∴9+|4﹣x|＝13， ∴|4﹣x|＝4， ∴4﹣x＝4或4﹣x＝﹣4， 解得：x＝0或x＝8， ∴或． 23．某电影摄制组准备从A市到B市开展摄影工作，需要一天的行程．因为上午的路况较好，所以计划上午比下午多走100千米，中午到达C市吃午饭． （1）若上午行程的平均速度为100千米/小时，比下午行程的速度快20千米/小时，用时比下午多小时，求A，B两市的距离； （2）上午由于堵车，中午才赶到一个小镇D吃午饭，只行驶了原计划的三分之一，午饭后，汽车赶了400千米，傍晚才停下来在E处休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达B市了．求A，B两市的距离． 【答案】（1）600千米； （2）600千米． 【解答】解：（1）设A，B两市的距离为x千米，则A，C两市的距离为（x+50）千米，C，B两市的距离为（x﹣50）千米， 根据题意得：， 解得：x＝600． 答：A，B两市的距离为600千米； （2）设A，B两市的距离为y千米，则A，C两市的距离为（y+50）千米，C，B两市的距离为（y﹣50）千米， 根据题意得：（y+50）+400[400（y+50）]＝y， 解得：y＝600． 答：A，B两市的距离为600千米． 24．如图，已知数轴上有三点A、B、C，用AB表示A、B两点的距离，AC表示A、C两点的距离，且，点A、点C对应的数是分别是a、c，且（a+40）2+|c﹣20|＝0． （Ⅰ）a＝ 　﹣40　 ，c＝ 　20　 ，B、C两点间距离 　40　 ； （Ⅱ）若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，设运动时间为t秒，当t为多少时，Q到B的距离与P到B的距离相等？ （Ⅲ）若点P、Q仍然以（Ⅲ）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，P、Q出发2秒后，动点R从A点出发向右运动，点R的速度为1个单位长度每秒，运动的过程中，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，问点R运动了多少秒时，恰好能满足MN＝30？ 【答案】（Ⅰ）﹣40，20，40； （Ⅱ）或20； （Ⅲ）38秒． 【解答】解：（Ⅰ）∵（a+40）2+|c﹣20|＝0， ∴a+40＝0，c﹣20＝0， ∴a＝﹣40，c＝20， ∴AC＝|﹣40﹣20|＝60， ∵60＝20， ∴BC＝AC﹣AB＝60﹣20＝40． 故答案为：﹣40，20，40； （Ⅱ）∵点A对应的数为﹣40，AB＝20，点B在点A的右侧， ∴点B表示的数为﹣40+20＝﹣20． 当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣40﹣2t，点Q表示的数为20﹣5t， 根据题意得：|20﹣5t﹣（﹣20）|＝|﹣40﹣2t﹣（﹣20）|， 即40﹣5t＝20+2t或5t﹣40＝20+2t， 解得：t或t＝20． 答：当t为或20时，Q到B的距离与P到B的距离相等； （Ⅲ）当点R运动的时间为m秒时，点P表示的数为﹣40﹣2（m+2）＝﹣44﹣2m，点Q表示的数为20﹣5（m+2）＝10﹣5m，点R表示的数为﹣40+m， ∵点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为15﹣2m． 根据题意得：|（﹣15﹣2m）|＝30， 即54﹣3m＝60或3m﹣54＝60， 解得：m＝﹣2（不符合题意，舍去）或m＝38． 答：点R运动了38秒时，恰好能满足MN＝30． 25．在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为﹣10，0，12，28． （1）点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段AB上的一个动点，求|x+10|+|x﹣12|的值． （2）如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t． ①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为 　14.4　 ． ②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值． 【答案】（1）22； （2）①14.4；②7或7.8或或． 【解答】解：（1）由题可知|x+10|＝AP，|x﹣12|＝BP， ∵P在线段AB上， ∴|x+10|+|x﹣12|＝AP+BP＝AB＝12﹣（﹣10）＝22， 即|x+10|+|x﹣12|的值为22； （2）①第一次相遇应为甲穿过了O，乙从C反弹后相遇，假设相遇点为M， 此时，S甲+S乙＝AM+BC+CM＝AC+BC， ∵S乙＝4t，S甲＝10+2×3（t）＝6t﹣20， ∴6t﹣20+4t＝38+16， 解得t＝7.4， 此时相遇点为：2×3（t﹣5）＝14.4； ②当甲粒子未到达点C处时， 1°当第一次相遇前，甲、乙两粒子距离为4时， S甲+S乙+4＝AC+BC， ∴6t﹣20+4t+4＝38+16， 解得t＝7； 2°当第一次相遇后，甲、乙两粒子距离为4时， S甲+S乙﹣4＝AC+BC， ∴6t﹣20+4t﹣4＝38+16， 解得t＝7.8； 当甲粒子从C处反弹开始追乙粒子， ∵甲粒子运动到点C时，6t﹣20＝38， 解得t， 甲从C到点O的时间为， 此时乙粒子穿过了点O，速度变成3×4＝12个单位/秒， 所以甲乙粒子距离为4时，甲粒子再次反弹过程中穿过了O， 此时S甲＝10+28+28+2×3×3（t）＝18t﹣192， S乙＝16+28+4×3（t﹣11）＝12t﹣88， 3°未追上前，甲、乙两粒子距离为4时， S甲﹣AC+4＝S乙﹣BC， ∴18t﹣192﹣38+4＝12t﹣88﹣16， 解得t； 4°追上后，甲、乙两粒子距离为4时， S甲﹣AC﹣4＝S乙﹣BC， ∴18t﹣192﹣38﹣4＝12t﹣88﹣16， 解得t； 综上，t的值为7或7.8或或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $