【人教版压轴题】2024～2025年七年级上数学期末解答题真题汇编卷（上）

【人教版】2024~2025年七年级上期末解答题真题汇编卷（上） 一．解答题（共25小题） 1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）图1中∠AOC＝　 　 度． （2）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2所示位置，使一边OM在∠BOC内部，且恰好平分∠BOC，若点D、O、N三点共线，则∠AOD＝　 　 度． （3）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　 　 ．（直接写出结果） （4）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 2．已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧： （1）如图1，作射线OE平分∠AOB，射线OF平分∠COD，补全图形，并求出∠EOF的度数． （2）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①∠AOC+∠BOD＝　 　 °（度）（直接写答案）； ②∠BOC﹣∠AOD＝　 　 °（度）（直接写答案）； （3）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD．请画出图形并直接写出对应的结果（用含t的代数式表示）． 3．已知直角三角板OAB（∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°）和直角三角板OCD（∠D＝90°，∠C＝60°，∠COD＝30°），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动n°，变化摆放如图2、3、4、5位置． （1）当OD平分∠AOB时，∠AOC＝　 　 ； （2）如图4，当0°＜n°＜60°时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，则∠MON与∠C存在怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图5，①当60°＜n°＜90°时，保持射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，则∠MON与∠C存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当90°＜n°≤180°时，保持射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，请直接写出∠MON与∠C的数量关系． 4．如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是8和12，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． （1）当t＜4时，用含t的代数式填空： AQ＝　 　 ，BP＝　 　 ； （2）若PQ＝6，求此时BQ的长度； （3）当AP＝BQ时，求t的值． 5．综合与实践 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届．ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算． （提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2） （1）【观察发现】 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）【解决问题】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加． 例如：．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即20＝1） ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和； ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程）． （3）【类比迁移】 请直接写出（2024）5+（2024）8的结果．（用十进制表示） 6．如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足|a+2|+（b﹣4）2＝0．点P为数轴上一动点，其对应的数为xp． （1）点A表示的数为 　 　 ；点B表示的数为 　 　 ；若点P为线段AB的中点，则点P对应的数 　 　 ； （2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数xp； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的“2倍点”．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发ts后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值． 7．一个圆形游乐场的周长是62.8米，扩建时，半径增加了1米，面积增加了多少平方米？（π取3.14） 8．综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 　 　 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； （2）如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 　 　 ； （3）如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为4cm的小正方形，求这个纸盒的体积． 9．如图，∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝40°，射线OD，OE分别在∠AOC，∠BOC内部． （1）若∠AOD＝20°，∠DOE＝60°，说明：OE平分∠BOC； （2）若∠COE＝3∠AOD，OE平分∠BOD，求∠AOD的度数； （3）将∠BOE沿射线OE折叠，得到∠FOE，若∠COF∠DOF，设∠BOE的度数为x°，用含x的代数式表示∠AOD的度数． 10．阅读材料并回答问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC＝2∠AOD．当∠BOC＝40°时，如图1所示，求∠DOE的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，因为点O在直线AB上， 所以∠AOB＝180°． 因为∠BOC＝40°， 所以∠AOC＝ 　 　 °． 因为∠AOC＝2∠AOD， 所以OD平分∠AOC． 所以 　 　 °． 因为∠DOE＝∠COD+∠COE，∠COE＝90°， 所以∠DOE＝ 　 　 °． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： （1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． （2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，类比甲同学的解答过程，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． （3）将题目中“∠BOC＝40°”的条件改成“∠BOC＝α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD＝∠BOE成立？请直接写出此时α的值． 11．[阅读材料] |m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：|2﹣1|可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的距离，所以|2﹣1|＝1． [尝试应用] （1）|x+1|的几何意义是表示x的点与表示　 　 的点之间的距离； （2）观察数轴，若|x+1|＝2，则x的值可以是　 　 ； [拓展延伸] （3）求|x+1|+|x﹣1|的最小值． 12．综合与探究： 如图，以直线CD上的一点O为端点，在直线CD的上方作射线OP，使∠COP＝60°，将一块直角三角尺（∠AOB＝90°）的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在直线CD的上方．设∠AOD＝n°（0＜n＜90）． （1）当n＝70时，求∠BOP的大小． （2）当OP恰好平分∠AOB时，求n的值． （3）若射线OP的位置保持不变，将直角三角尺绕点O在直线CD上方旋转，当时，请直接写出∠BOC的度数． 13．综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 （1）课上，老师提出问题：如图1，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点．若AB＝16，求线段CD的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段 已知线段 … 因为点C，D分别是线段OA，OB的中点． 所以OCOA，OD 　 　 ． 所以CD＝OC+ODOA 　 　 　 　 ． 因为AB＝16， 所以CD＝ 　 　 ． 【知识迁移】 （2）小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知∠AOC＝80°，OB是∠AOC内部的一条射线，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，求∠DOE的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 （3）接着老师又提出这样一个问题：如图3，现有一张长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F在边CD上，连接EF．将∠AEF对折，得折痕EN，若在CD上存在另一点G，连接EG，将∠BEG对折，得折痕EM，且∠FEG＝26°，请直接写出∠MEN的度数． 14．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）； （2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）． （1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程： （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝ 　 　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式的值． 15．综合探究 【问题情境】 定义：若数轴上A，B两点满足A点表示的数的绝对值等于B点表示的数的绝对值2倍，则称点A为B的2倍绝对值点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n． 【初步探究】 （1）若点A是点M的2倍绝对值点， ①当点M在数轴的正半轴时，m＝ 　 　 ； ②当点M在数轴负半轴时，且为线段AN的中点时，试判断点N是否是A的2倍绝对值点，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点同时出发向数轴负方向运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒x个单位长度．若点M为点A的2倍绝对值点时，点A恰好也是点N的2倍绝对值点，请直接写出x的所有可能值． 16．已知∠AOB：∠BOC：∠COA＝2：3：4，∠BOD＝90°（本题所涉及的角均小于平角）． （1）如图1，求∠COD的度数； （2）如图2，过点O作直线EF，且OE平分∠AOD，求∠COF的度数； （3）如图3，点G是射线OB上一点，将线段OG绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转t秒（0＜t＜18），当∠COG＝3∠DOG时，求此时t的值． 17．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝42°，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，即∠DOE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD的度数为 　 　 ； （2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置， ①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD的度数为 　 　 ； ②若OD在∠BOC内部，则∠BOD与∠COE的数量关系为 　 　 ； （3）将直角三角板DOE从图1的位置开始绕点O顺时针转动（当OD与OB重合时停止）的过程中，恰好有．求此时∠BOD的度数．（直接写出结果） 18．【探究与实践】 如下三角板，已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①∠AOC+∠BOD＝ 　 　 ； ②∠BOC﹣∠AOD＝ 　 　 ． 【问题探究】 （2）若三角板COD按每秒6°的速度绕点O逆时针方向旋转，同时三角板AOB按每秒4°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，旋转时间为t秒钟． ①计算t为何值时，OD与OA重合； ②计算∠MOC﹣∠AOD（用含t的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板AOB不动，将三角板COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，直接写出∠EOF的大小． 19．如图，直线l上有A，B两点，AB＝15cm，点O是线段AB上一点，OA＝2OB． （1）OA＝　 　 cm，OB＝　 　 cm； （2）若点P以2cm/s的速度从点A出发沿直线l向右运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发沿直线l也向右运动，设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4； ②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也沿直线l向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以3cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止运动时，点M也停止运动，在此过程中，点M行驶的总路程是多少？ 20．某市居民使用自来水按如下标准收费：（水费按月缴纳） 户月用水量 单价 不超过12m3的部分 2元/m3 超过12m3但不超过20m3的部分 3元/m3 超过20m3的部分 4元/m3 （1）某用户一个月用了15m3水，则该用户缴纳的水费是 　 　 元； （2）某户月用水量为x立方米（x＞20），该用户缴纳的水费是 　 　 元（用含x的代数式表示）； （3）一月份甲、乙两用户共用水40m3，设甲用户用水量为xm3，已知甲用户缴纳的水费超过了24元，若他们这个月共付水费100元，求x的值． 21．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为M2（x）．如M2（735）＝111，M2（561）＝101．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示． 根据以上材料，解决下列问题： （1）M2（9653）的值为 　 　 ，M2（58）+M2（9653）的值为 　 　 ； （2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二相加不变”． ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由； ②与23“模二相加不变”的两位数有 　 　 个． 22．如图，在数轴上有一点C，在点C的左边距离C点12个单位长度处有一个点A，原点为O． （1）点A表示的数为 　 　 ，线段AC的中点对应的数为 　 　 ； （2）点A，C同时出发，点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，点C以每秒2个单位长度的速度向左运动，当运动多少秒时，A，C两点能相遇？ （3）现有动点M，N和一定点D，点D在数轴上所表示的数为2，点M，N分别从点A，C同时出发，分别以每秒1个单位长度，3个单位长度的速度先向点D运动，到达点D后再向其相反方向运动，在运动过程中，当MD＝ND时，求时间t． 23．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【动态思维】 如图，数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． 【问题解决】 （1）A，B两点间的距离AB＝　 　 ，线段AB的中点表示的数为　 　 ； （2）t秒后，点P表示的数为　 　 ，点Q表示的数为　 　 ；（用含t的代数式表示） （3）求当t为何值时PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为QB的中点，点P，Q在运动过程中，线段MN的长度能否为6？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由． 24．综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点． ①若AC＝4cm，则线段DE的长为 　 　 cm． ②设AC＝acm，则线段DE的长为 　 　 cm． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数． 拓展探究：（3）如图3，若∠AOB＝120°，∠COD＝60°，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使，，求∠EOF的度数． 25．已知：如图，直线AB和CD相交于点O（∠AOC为锐角），点M在直线AB上方，∠BOM＝90°，ON平分∠AOD． （1）若∠COM＝52°，求∠DON的度数； （2）试说明：∠DON∠COM的度数是一个定值，并求出这个定值的度数； （3）若∠BOC∠COM，试求∠DON的度数． 【人教版】2024~2025年七年级上期末解答题真题汇编卷（上） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）图1中∠AOC＝　60　 度． （2）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2所示位置，使一边OM在∠BOC内部，且恰好平分∠BOC，若点D、O、N三点共线，则∠AOD＝　30　 度． （3）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　10或40　 ．（直接写出结果） （4）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 【答案】（1）60； （2）30； （3）10或40； （4）∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝180°﹣120°＝60°， 故答案为：60； （2）∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°， ∴∠MOC＝∠MOB∠BOC＝60°， 又∵∠MOD＝∠MON＝90°， ∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°， ∵∠AOC＝60°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝60°﹣30°＝30°， 故答案为：30； （3）∵∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝60°． ∴∠BON＝∠COD＝30°． 即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC． 由题意得，6t＝60或240． 解得：t＝10或40， 故答案为：10或40； （4）∠AOM﹣∠NOC的差不变．理由如下： ∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON． ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°． ∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°． 2．已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧： （1）如图1，作射线OE平分∠AOB，射线OF平分∠COD，补全图形，并求出∠EOF的度数． （2）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①∠AOC+∠BOD＝　150　 °（度）（直接写答案）； ②∠BOC﹣∠AOD＝　30　 °（度）（直接写答案）； （3）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD．请画出图形并直接写出对应的结果（用含t的代数式表示）． 【答案】（1）如图，∠EOF即为所求， ∠EOF＝75°； （2）150；30； （3）如图， ∠MOC﹣∠AOD＝8t°﹣60°或∠MOC﹣∠AOD＝2t°+60°． 【解答】解：（1）如图，∠EOF即为所求， ∵OE平分∠AOB，OF平分∠COD，∠AOB＝90°，∠COD＝60°， ∴， ∴∠EOF＝∠AOE+∠COF＝75°； （2）∠AOC+∠BOD ＝∠AOC+∠BOC+∠COD ＝∠AOB+∠COD ＝150°， ∠BOC﹣∠AOD ＝∠BOC+∠AOC﹣（∠AOD+∠AOC） ＝∠AOB﹣∠COD ＝30°， 故答案为：150；30； （3）∵∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动， 旋转t分钟， ∴∠MOC＝5t°，∠MOA＝2t°， ∵∠COD＝60°， ∴当0≤t≤12时， ∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝60°﹣5t°， ∴∠AOD＝∠AOM+∠DOM＝60°﹣3t°， ∴∠MOC﹣∠AOD＝8t°﹣60°； 当12＜t≤20时， ∠DOM＝∠COM﹣∠COD＝5t°﹣60°， ∴∠AOD＝∠AOM﹣∠DOM＝60°﹣3t°， ∴∠MOC﹣∠AOD＝8t°﹣60°； 当20＜t≤36时， ∠DOM＝∠COM﹣∠COD＝5t°﹣60°， ∴∠AOD＝∠DOM﹣∠AOM＝3t°﹣60°， ∴∠MOC﹣∠AOD＝2t°+60°； 综上，∠MOC﹣∠AOD＝8t°﹣60°或∠MOC﹣∠AOD＝2t°+60°． 3．已知直角三角板OAB（∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°）和直角三角板OCD（∠D＝90°，∠C＝60°，∠COD＝30°），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动n°，变化摆放如图2、3、4、5位置． （1）当OD平分∠AOB时，∠AOC＝　15°　 ； （2）如图4，当0°＜n°＜60°时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，则∠MON与∠C存在怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图5，①当60°＜n°＜90°时，保持射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，则∠MON与∠C存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当90°＜n°≤180°时，保持射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，请直接写出∠MON与∠C的数量关系． 【答案】（1）15°； （2）∠MON＝∠C，理由如下： ∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°， ∵射线ON平分∠BOD，射线OM平分∠AOC， ∴， ， ∴∠MON＝∠COM+∠DON+∠COD60°， ∴∠MON＝∠C； （3）①∠MON＝∠C，理由： ∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°， ∴∠AOC＝90°﹣∠BOC， ∠BOD＝30°﹣∠BOC， ∵射线ON平分∠BOD，射线OM平分∠AOC， ∴， ， ∴∠MON＝∠COM+∠DON+∠BOC60°， ∴∠MON＝∠C； ②∠MON＝2∠C． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝45°， ∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝45°﹣30°＝15°， 故答案为：15°； （2）∠C＝∠MON， 理由如下： ∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°， ∵射线ON平分∠BOD，射线OM平分∠AOC， ∴， ， ∴∠MON＝∠DON+∠COD+∠COM60°， ∴∠MON＝∠C； （3）①∠MON＝∠C， 理由： ∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°， ∴∠AOC＝90°﹣∠BOC， ∠BOD＝30°﹣∠BOC， ∵射线ON平分∠BOD，射线OM平分∠AOC， ∴， ， ∴∠MON＝∠DON+∠BOC+∠COM60°， ∴∠MON＝∠C； ②如图6， ∵∠AOB＝90°， ∠COD＝30°， ∴∠AOC+∠BOC＝360°﹣90°＝270°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝270°+30°＝300°， ∵射线ON平分∠BOD，射线OM平分∠AOC， ∴， ， ∴∠MON＝∠COM+∠DON﹣∠COD120°， ∴∠MON＝2∠C． 4．如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是8和12，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． （1）当t＜4时，用含t的代数式填空： AQ＝　8﹣2t ，BP＝　4﹣t ； （2）若PQ＝6，求此时BQ的长度； （3）当AP＝BQ时，求t的值． 【答案】（1）8﹣2t；4﹣t； （2）BQ＝8或BQ＝16； （3）t＝4或t＝12． 【解答】解：（1）当t＜4时，点P在A、B两点之间，如图： 由图可得：OQ＝2t，AP＝t， ∵数轴上A、B两点对应的有理数分别是8和12， ∴AQ＝8﹣2t，BP＝12﹣8﹣t＝4﹣t； 故答案为：8﹣2t，4﹣t； （2）需要分点P在A、B两点之间和点P不在A、B两点之间进行讨论； 当t＜4时，点P在A、B两点之间， 即由（1）得AP＝t，AQ＝8﹣2t，BQ＝12﹣2t， ∴AP+AQ＝PQ＝t+（8﹣2t）＝6， 解得：t＝2， ∴BQ＝12﹣2t＝8； 当t＞4时，点P不在A、B两点之间， 当点P、Q相遇时，OP＝OQ＝8+t＝2t， 解得：t＝8； ∵点Q速度大于点P速度， ∴当4＜t＜8时，不存在PQ＝6的情况； 当t＞8时，点P，点Q不在A、B两点之间，且点Q在点P前，如图： ∴OP＝8+t，OQ＝2t，BQ＝2t﹣12， ∴PQ＝OQ﹣OP＝t﹣8， 即t﹣8＝6，解得：t＝14， ∴BQ＝2t﹣12＝16， 综上所述：BQ＝8或BQ＝16； （3）当点Q在点B左边，即t＜6，由题得：BQ＝12﹣2t，AP＝t， 即BQ＝AP＝12﹣2t＝t， 解得：t＝4， 当点Q在点B右边，即t＞6，由题得：BQ＝2t﹣12，AP＝t， 即BQ＝AP＝2t﹣12＝t， 解得：t＝12， 综上所述：t＝4或t＝12； 5．综合与实践 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届．ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算． （提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2） （1）【观察发现】 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为　（111）2 ，　（100）2 ，　（101）2 ； （2）【解决问题】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加． 例如：．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即20＝1） ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和； ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程）． （3）【类比迁移】 请直接写出（2024）5+（2024）8的结果．（用十进制表示） 【答案】（1）（111）2、（100）2、（101）2； （2）①（1100）2；②12； （3）1308． 【解答】解：（1）由题意得，左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为（111）2、（100）2、（101）2， 故答案为：（111）2、（100）2、（101）2； （2）①（111）2+（101）2＝（1100）2； ②； （3）， ， ∴（2024）5+（2024）8＝264+1044＝1308． 6．如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足|a+2|+（b﹣4）2＝0．点P为数轴上一动点，其对应的数为xp． （1）点A表示的数为 　﹣2　 ；点B表示的数为 　4　 ；若点P为线段AB的中点，则点P对应的数 　1　 ； （2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数xp； （3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的“2倍点”．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发ts后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值． 【答案】（1）：﹣2，4，1； （2）此时点P对应的数xp是﹣3或5； （3）t的值或1.3或． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣4）2＝0． ∴a+2＝0，b﹣4＝0， ∴a＝﹣2，b＝4； P为AB的中点，BP＝PA． 依题意得4﹣xp＝xp﹣（﹣2）， 解得：xp＝1． 故答案为：﹣2，4，1； （2）由AB＝6，若存在点P到点A、点B的距离之和为8，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧． ①P在点A左侧，PA＝﹣2﹣xp，PB＝4﹣xp， 依题意得（﹣2﹣xp）+（4﹣xp）＝8， 解得：xp＝﹣3； ②P在点B右侧，PA＝xp﹣（﹣2）＝xp+2，PB＝xp﹣4， 依题意得（xp+2）+（xp﹣4）＝8， 解得：xp＝5． 故此时点P对应的数xp是﹣3或5； （3）由题意可得：t秒后，点A对应的数为﹣2+4t，点B对应的数为4+t，点P对应的数为5﹣3t， ∵点P恰好是点A，B的“2倍点”， ∴|（5﹣3t）﹣（﹣2+4t）|＝2|（5﹣3t）﹣（4+t）|或2|（5﹣3t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5﹣3t）﹣（4+t）|， 解得：t＝﹣5（舍去）或t或t＝1.3或t， ∴t的值或1.3或． 7．一个圆形游乐场的周长是62.8米，扩建时，半径增加了1米，面积增加了多少平方米？（π取3.14） 【答案】面积增加了65.94平方米． 【解答】解：由题意可得， 原来圆形游乐场的半径为：62.8÷3.14÷2＝10（米）， 故扩建后的面积增加了：3.14×（10+1）2﹣3.14×102 ＝3.14×112﹣3.14×102 ＝3.14×（112﹣102） ＝3.14×（121﹣100） ＝3.14×21 ＝65.94（平方米）， 答：面积增加了65.94平方米． 8．综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 C 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； （2）如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 　卫　 ； （3）如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为4cm的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】（1）C； （2）卫； （3）①详见解答；②1936cm3． 【解答】解：（1）由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）①在边长为30cm的正方形的四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒的示意图如下： ②当小正方形的边长为4cm时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为30﹣4×2＝22（cm）的正方形，高是4cm， 所以体积为22×22×4＝1936（cm3）． 9．如图，∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝40°，射线OD，OE分别在∠AOC，∠BOC内部． （1）若∠AOD＝20°，∠DOE＝60°，说明：OE平分∠BOC； （2）若∠COE＝3∠AOD，OE平分∠BOD，求∠AOD的度数； （3）将∠BOE沿射线OE折叠，得到∠FOE，若∠COF∠DOF，设∠BOE的度数为x°，用含x的代数式表示∠AOD的度数． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）8°； （3）（2x﹣40）°或（280﹣6x）°． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，OD在∠AOC内部，∠AOD＝20°， ∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝20°， ∵OE在∠BOC内部，∠DOE＝60°， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝60°﹣20°＝40°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOE＝∠AOB﹣∠COE﹣∠AOC＝120°﹣40°﹣40°＝40°， ∴∠BOE＝∠COE＝40°， ∴OE平分∠BOC； （2）设∠AOD＝α， ∴∠COE＝3∠AOD＝3α， ∵∠AOC＝40°，OD在∠AOC内部， ∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝40°﹣α， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝40°﹣α+3α＝40°+2α， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOB＝2∠DOE＝2（40°+2α）＝80°+4α， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOD+∠DOB＝120°， 即α+80°+4α＝120°， 解得：α＝8°， ∴∠AOD＝α＝8°， （3）依题意有以下两种情况： ①当OF在AC的右侧时，设∠AOD＝β，如图所示： ∵∠AOC＝40°，OD在∠AOC内部， ∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝40°﹣β， ∵∠DOF＝∠DOC+∠COF，∠COF∠DOF， ∴∠DOF＝∠DOC∠DOF， ∴∠DOF＝2∠DOC＝2（40°﹣β）＝80°﹣2β， ∴∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝β+80°﹣2β＝80°﹣β， ∵∠BOE的度数为x°， ∴由折叠的性质得：∠BOE＝∠FOE＝x°， ∴∠BOF＝2∠BOE＝2x°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOF+∠BOF＝120°， 即80°﹣β+2x°＝120°， ∴β＝（2x﹣40）°． ∴∠AOD的度数为（2x﹣40）°． ②当点F在OC的左侧时，如图所示： 设∠COF＝θ，则∠DOF＝2θ， ∴∠COD＝∠COF+∠DOF＝3θ， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝40°﹣3θ， 由折叠的性质得：∠BOE＝∠FOE＝x°， ∴∠COE＝∠FOE﹣∠COF＝x°﹣α， ∴∠BOC＝∠BOE+∠COE＝2x°﹣α， ∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝80°， ∴2x°﹣θ＝80°， ∴θ＝2x°﹣80°， ∴∠AOD＝40°﹣3（2x°﹣80°）＝（280﹣6x）°． 综上所述：∠AOD的度数为（2x﹣40）°或（280﹣6x）°． 10．阅读材料并回答问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC＝2∠AOD．当∠BOC＝40°时，如图1所示，求∠DOE的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，因为点O在直线AB上， 所以∠AOB＝180°． 因为∠BOC＝40°， 所以∠AOC＝ 　140　 °． 因为∠AOC＝2∠AOD， 所以OD平分∠AOC． 所以 　70　 °． 因为∠DOE＝∠COD+∠COE，∠COE＝90°， 所以∠DOE＝ 　160　 °． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： （1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． （2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，类比甲同学的解答过程，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． （3）将题目中“∠BOC＝40°”的条件改成“∠BOC＝α”，其余条件不变，当α在90°到180°之间变化时，如图3所示，α为何值时，∠COD＝∠BOE成立？请直接写出此时α的值． 【答案】（1）140，70，160； （2）∠DOE＝160°或60°， （3）120°或144°． 【解答】解：（1）∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝180°． ∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°． ∵∠AOC＝2∠AOD， ∴OD平分∠AOC． ∴． ∵∠DOE＝∠COD+∠COE，∠COE＝90°， ∴∠DOE＝70°+90°＝160°． 故答案为：140，70，160； （2）乙同学说的正确． 当OD在∠AOC外部时，如图所示， ∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝180°， ∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝140°， ∵∠AOC＝2∠AOD， ∴∠AOD＝70°， ∵∠COE＝90°， ∴∠BOE＝50°， ∴∠DOE＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOE＝60°， 综上所述，∠DOE＝160°或60°． （3）如图3中，当OD在AB的上方时， 图3 由题意，， 解得α＝120°， 当OD在AB的下方时， 则有， 解得α＝144°． 综上所述，α的值为120°或144°． 11．[阅读材料] |m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：|2﹣1|可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的距离，所以|2﹣1|＝1． [尝试应用] （1）|x+1|的几何意义是表示x的点与表示　﹣1　 的点之间的距离； （2）观察数轴，若|x+1|＝2，则x的值可以是　﹣3或1　 ； [拓展延伸] （3）求|x+1|+|x﹣1|的最小值． 【答案】（1）﹣1； （2）﹣3或1； （3）2． 【解答】解：（1）∵|x+1|＝|x﹣（﹣1）|， ∴|x+1|的几何意义是表示x的点与表示﹣1的点之间的距离； 故答案为：﹣1； （2）∵|x+1|＝2表示x与表示﹣1的点距离等于2， ∴x＝﹣3或1； （3）当﹣1≤x≤1时，|x+1|+|x﹣1|取最小值， 最小值为：x+1+（1﹣x）＝2． 12．综合与探究： 如图，以直线CD上的一点O为端点，在直线CD的上方作射线OP，使∠COP＝60°，将一块直角三角尺（∠AOB＝90°）的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在直线CD的上方．设∠AOD＝n°（0＜n＜90）． （1）当n＝70时，求∠BOP的大小． （2）当OP恰好平分∠AOB时，求n的值． （3）若射线OP的位置保持不变，将直角三角尺绕点O在直线CD上方旋转，当时，请直接写出∠BOC的度数． 【答案】（1）∠BOP为40°； （2）n＝75； （3）∠BOC为45°或67.5°． 【解答】解：（1）当n＝70°时，∠AOD＝70°， ∴∠AOC＝110°， ∵∠COP＝60°， ∴∠AOP＝50°， ∴∠BOP＝90°﹣∠AOP＝40°； ∴∠BOP为40°； （2）∵OP恰好平分∠AOB， ∴∠BOP∠AOB＝45°， ∵∠COP＝60°， ∴∠BOC＝15°， ∴∠BOD＝165°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝75°， ∴n＝75； （3）当OB在∠COP内部时， ∵n°， ∴∠BOC＝60°n°， ∵∠BOC+∠AOB+∠AOD＝180°， ∴60°n°+90°+n°＝180°， 解得n＝45； ∴∠BOC＝60°45°＝45°； 当OB在∠COP外部时，如图： ∵n°， ∴∠BOC＝60°n°， ∵∠BOC+∠AOB+∠AOD＝180°， ∴60°n°+90°+n°＝180°， 解得n＝22.5， ∴∠BOC＝60°22.5°＝67.5°； 综上所述，∠BOC为45°或67.5°． 13．综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 （1）课上，老师提出问题：如图1，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点．若AB＝16，求线段CD的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段 已知线段 … 因为点C，D分别是线段OA，OB的中点． 所以OCOA，OD OB ． 所以CD＝OC+ODOA OB AB ． 因为AB＝16， 所以CD＝ 　8　 ． 【知识迁移】 （2）小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知∠AOC＝80°，OB是∠AOC内部的一条射线，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，求∠DOE的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 （3）接着老师又提出这样一个问题：如图3，现有一张长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F在边CD上，连接EF．将∠AEF对折，得折痕EN，若在CD上存在另一点G，连接EG，将∠BEG对折，得折痕EM，且∠FEG＝26°，请直接写出∠MEN的度数． 【答案】（1）OB，OB，AB，8； （2）40°； （3）77°或103°． 【解答】解：（1）因为点C，D分别是线段OA，OB的中点， 所以，， 所以， 因为AB＝16， 所以CD＝8． 故答案为：OB，OB，AB，8； （2）因为OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线， 所以，， 所以， 因为∠AOC＝80°， 所以∠DOE＝40°； （3）由折叠的性质，得，． 分两种情况： 如图2，当点G在点F的右侧时， 因为∠AEF+∠BEG＝180°﹣∠FEG＝180°﹣26°＝154°， 所以． 所以∠MEN＝180°﹣（∠AEN+∠BEM）＝103°， 如图，当点G在点F的左侧时， 因为∠AEF+∠BEG＝∠AEF+∠BEF+∠FEG＝180°+∠FEG＝180°+26°＝206°，所以， 所以∠MEN＝180°﹣（∠AEN+∠BEM）＝77°， 综上，∠MEN的度数为77°或103°． 14．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）； （2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）． （1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程： （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝ 　1　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝3（x+y）2+8（x+y）2﹣7（x+y）+6（x+y） ＝11（x+y）2﹣（x+y）； （2）①∵m2+2m＝5， ∴原式＝2（m2+2m）﹣9 ＝2×5﹣9 ＝1， 故答案为：1； ②∵m+n＝7， ∴9（m+n）﹣6m﹣6n+3 ＝9（m+n）﹣6（m+n）+3 ＝3（m+n）+3 ＝3×7+3 ＝24； （3） ， ∵m2+3mn＝2，mn+3n2＝1， ∴原式． 15．综合探究 【问题情境】 定义：若数轴上A，B两点满足A点表示的数的绝对值等于B点表示的数的绝对值2倍，则称点A为B的2倍绝对值点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n． 【初步探究】 （1）若点A是点M的2倍绝对值点， ①当点M在数轴的正半轴时，m＝ 　2　 ； ②当点M在数轴负半轴时，且为线段AN的中点时，试判断点N是否是A的2倍绝对值点，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点同时出发向数轴负方向运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒x个单位长度．若点M为点A的2倍绝对值点时，点A恰好也是点N的2倍绝对值点，请直接写出x的所有可能值． 【答案】（1）①m＝2； ②N点是点A的2倍绝对值点，理由详见解析； （2）4或8或或． 【解答】解：（1）①∵点A是点M的2倍绝对值点， ∴OMOA4＝2， 又∵点M在数轴正半轴上时， ∴m＝2． 故答案为：2； ②∵m＜0， ∴m＝﹣2． ∵点M与点A的距离等于点M与点N的距离， ∴4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n，解得n＝﹣8． ∴ON＝8，ON＝2OA， 故N点是点A的2倍原距点． （2）设运动时间为t秒，因为点M为点A的2倍绝对值点，所以t秒时点M表示的数为8或﹣8， 10﹣2t＝8或10﹣2t＝﹣8， 解得t＝1或9． 因为点A恰好也是点N的2倍绝对值点， 所以t秒时点N表示的数为2或﹣2， 当t＝1时，6﹣a×1＝2或6﹣a×1＝﹣2， 解得a＝4或a＝8， 当t＝9时，6﹣a×9＝2或6﹣a×9＝﹣2， 解得a或． 综上所述，a的值为4或8或或． 16．已知∠AOB：∠BOC：∠COA＝2：3：4，∠BOD＝90°（本题所涉及的角均小于平角）． （1）如图1，求∠COD的度数； （2）如图2，过点O作直线EF，且OE平分∠AOD，求∠COF的度数； （3）如图3，点G是射线OB上一点，将线段OG绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转t秒（0＜t＜18），当∠COG＝3∠DOG时，求此时t的值． 【答案】（1）∠COD的度数是30°； （2）∠COF＝65°； （3）t值为7.5或9.75． 【解答】（1）设∠AOB＝2x，∠BOC＝3x，∠COA＝4x， 由已知得：2x+3x+4x＝360°， 解得：x＝40°， ∴∠AOB＝80°， ∠BOC＝120， ∠COA＝160°， ∵∠BOD＝90°， ∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝30°， 综上所述：∠COD的度数是30°； （2）由（1）得：∠AOD＝170°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠EOD＝85°， ∴∠COF＝180°﹣∠EOD﹣∠DOC＝65°； （3）当t＜9时，120﹣10t＝3（90﹣10t）， 解得：t＝7.5秒， 当9≤t≤12时，120﹣10t＝3（10t﹣90）， 解得：t＝9.75秒， 当t＞12时，不符合题意； 综上所述：t值为7.5或9.75． 17．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝42°，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，即∠DOE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD的度数为 　48°　 ； （2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置， ①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD的度数为 　21°　 ； ②若OD在∠BOC内部，则∠BOD与∠COE的数量关系为 　∠BOD＝∠COE﹣48°　 ； （3）将直角三角板DOE从图1的位置开始绕点O顺时针转动（当OD与OB重合时停止）的过程中，恰好有．求此时∠BOD的度数．（直接写出结果） 【答案】（1）48°（2）①21°；②∠BOD＝∠COE﹣48°．；（3）∠BOD的度数为18°或54°． 【解答】解：（1）∵∠COD＝∠AOB﹣∠DOE﹣∠BOC，∠BOC＝42°，∠DOE＝90°， ∴∠COD＝180°﹣90°﹣42°＝48°． 故答案为：48°． （2）①∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE∠AOC， ∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣42°＝138° ∴∠AOE＝∠COE138°＝69°， ∵∠DOE＝∠COE+∠COD， ∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣69°＝21°． 故答案为：21°． ②∠BOD＝∠COE﹣48°，理由如下： ∵∠BOD＝∠BOC﹣∠COD，∠COD＝∠DOE﹣∠COE， ∴∠BOD＝∠BOC﹣（∠DOE﹣∠COE） ＝∠BOC﹣∠DOE+∠COE ＝42°﹣90°+∠COE ＝∠COE﹣48°， 即∠BOD＝∠COE﹣48°． （3）分两种情况进行讨论： ①OD在∠BOC内，如图2①， ∵∠AOE+∠COD+∠COE+∠BOD＝180°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝42°﹣∠COD， ∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣∠COD， ∴∠AOE+∠COD+90°﹣∠COD+42°﹣∠COD＝180° 即∠AOE﹣∠COD＝48°， 又∵∠COD∠AOE， 即∠COD（48°+∠COD）， ∴∠COD＝24°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝42°﹣24°＝18°． ②OD在∠BOC外，如图2②： ∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°， ∴∠AOE＝180°﹣∠COD﹣∠DOE﹣∠BOC ＝180°﹣90°﹣42°﹣∠COD ＝48°﹣∠COD， 又∵∠COD∠AOE， ∴∠COD（48°﹣∠COD）， ∴∠COD＝12°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝42°+12°＝54°， 综上，∠BOD的度数为18°或54°． 18．【探究与实践】 如下三角板，已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧． 【问题发现】 （1）保持三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①∠AOC+∠BOD＝ 　150°　 ； ②∠BOC﹣∠AOD＝ 　30°　 ． 【问题探究】 （2）若三角板COD按每秒6°的速度绕点O逆时针方向旋转，同时三角板AOB按每秒4°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，旋转时间为t秒钟． ①计算t为何值时，OD与OA重合； ②计算∠MOC﹣∠AOD（用含t的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板AOB不动，将三角板COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，直接写出∠EOF的大小． 【答案】（1）①150°；②30°； （2）①t＝30；②∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°； （3）∠EOF＝15°或165°． 【解答】解：（1）①原式＝∠AOC+∠AOD+∠AOB， ＝∠COD+∠AOB， ＝60°+90°， ＝150°， 故答案为：150°； ②原式＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC） ＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC ＝∠AOB﹣∠COD ＝90°﹣60° ＝30°； 故答案为：30°； （2）①设旋转时间为t秒，则0＜t≤30，∠MOC＝（6t）°， 当OD与OA相遇时，6t﹣4t＝60， 解得：t＝30； ②如图， 因为∠MOC＝（6t）°， ∠AOD＝（60+4t﹣6t）°＝（60﹣2t）°， 所以∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°； （3）设△OCD绕点O逆时针旋转n°， 0＜n°≤180°时，如图， ∵∠MOD＝60°﹣n°， ∴∠BOD＝∠AOB+∠MOD＝（150﹣n）°， ∵OF平分∠BOD， ∴， ∵∠MOC＝n°， ∴， ∴， ∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°； ②180°＜n°≤360°时，如图， ∵∠MOD＝n°﹣60°， ∴∠BOD＝∠MOD﹣∠AOB＝（n﹣150）°， ∴， ∵∠MOC＝360°﹣n°， ∴， ∴． 综上，∠EOF＝15°或165°． 19．如图，直线l上有A，B两点，AB＝15cm，点O是线段AB上一点，OA＝2OB． （1）OA＝　10　 cm，OB＝　5　 cm； （2）若点P以2cm/s的速度从点A出发沿直线l向右运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发沿直线l也向右运动，设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4； ②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也沿直线l向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以3cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止运动时，点M也停止运动，在此过程中，点M行驶的总路程是多少？ 【答案】（1）10，5； （2）①或；②30cm． 【解答】解：（1）∵AB＝15cm，OA＝2OB， ∴AB＝AO+OB＝3OB＝15cm， ∴OB＝5cm， ∴OA＝2OB＝10cm； 故答案为：10，5； （2）①由题意，得：AP＝2t，BQ＝t，则：OQ＝OB+BQ＝5+t， 当P在线段AO上时，OP＝OA﹣AP＝10﹣2t， 由题意列一元一次方程得：2（10﹣2t）﹣（5+t）＝4， 解得， 当P在线段AO的延长线上时，OP＝AP﹣OA＝2t﹣10， 由题意列一元一次方程得：2（2t﹣10）﹣（5+t）＝4， 整理得，3t＝29， 解得； 综上所述，或； ②∵AO＝10， ∴点P运动到O点时，，此时PQ两点的间的距离为：BO+OQ＝5+5×1＝5+5＝10（cm）， 当点P与点Q重合时，所需时间为：10÷（2﹣1）＝10÷1＝10（秒）， ∴点M行驶的总路程是3×10＝30cm． 20．某市居民使用自来水按如下标准收费：（水费按月缴纳） 户月用水量 单价 不超过12m3的部分 2元/m3 超过12m3但不超过20m3的部分 3元/m3 超过20m3的部分 4元/m3 （1）某用户一个月用了15m3水，则该用户缴纳的水费是 　33　 元； （2）某户月用水量为x立方米（x＞20），该用户缴纳的水费是 　（4x﹣32）　 元（用含x的代数式表示）； （3）一月份甲、乙两用户共用水40m3，设甲用户用水量为xm3，已知甲用户缴纳的水费超过了24元，若他们这个月共付水费100元，求x的值． 【答案】（1）33； （2）（4x﹣32）； （3）x的值为16或24． 【解答】解：（1）由题意可得：2×12+3×（15﹣12）＝33（元）． 答：该用户缴纳的水费是33元． 故答案为：33； （2）由题意可得：2×12+3×（20﹣12）+4（x﹣20）＝（4x﹣32）（元）． 故该用户缴纳的水费是（4x﹣32）元， 故答案为：（4x﹣32）； （3）当12＜x≤20时，乙用户用水量20≤40﹣x＜28， 依题意有：2×12+3（x﹣12）+[4（40﹣x）﹣32]＝100， 解得x＝16； 当20＜x≤28时，乙用户用水量12≤40﹣x＜20， 依题意有：4x﹣32+2×12+3（40﹣x﹣12）＝100， 解得x＝24． 当28＜x≤40时，乙用户用水量0≤40﹣x＜12， 依题意有：4x﹣32+2（40﹣x）＝100， 解得x＝26（舍去）． 综上所述，x的值为16或24． 21．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为M2（x）．如M2（735）＝111，M2（561）＝101．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示． 根据以上材料，解决下列问题： （1）M2（9653）的值为 　1011　 ，M2（58）+M2（9653）的值为 　1101　 ； （2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二相加不变”． ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由； ②与23“模二相加不变”的两位数有 　38　 个． 【答案】（1）1011，1101； （2）①12，97都与23“模二相加不变”；②38． 【解答】解：（1）M2（9653）＝1011，M2（58）+M2（9653）＝10+1011＝1101， 故答案为：1011，1101； （2）①∵M2（12）＝10，M2（65）＝01，M2（97）＝11，M2（23）＝01， ∴M2（12）+M2（23）＝10+01＝11，M2（65）+M2（23）＝01+01＝10，M2（97）+M2（23）＝11+01＝100， ∵M2（12+23）＝M2（35）＝11，M2（65+23）＝M2（88）＝00，M2（97+23）＝M2（120）＝100， ∴M2（12）+M2（23）＝M2（12+23），M2（97）+M2（23）＝M2（97+23）， ∴12，97都与23“模二相加不变”． ②模二结果是10有：12，32，52，72，92，14，34，54，74，94，16，36，56，76，96，18，38，58，78，98，10，30，50，70，90共25个， 它们与模二数的和是11， ∴12，32，52，72，14，34，54，74，16，36，56，76，10，30，50，70满足题意； 模二结果是11的有：11，31，51，71，91，13，33，53，73，93，15，35，55，75，95，17，37，57，77，97，19，39，59，79，99，共25个， 它们与模二数23的和是100， ∴77，97，79，99满足题意； 模二结果是01的有：21，23，25，27，29，41，43，45，47，49，61，63，65，67，69，81，83，85，87，89共20个， 它们与模二数23的和是10， ∴27，29，47，49，67，69满足题意； 模二结果是00的有：20，22，24，26，28，40，42，44，46，48，60，62，64，66，68，80，82，84，86，88，共20个， 它们与模二数23的和是01， ∴20，22，24，26，40，42，44，46，60，62，64，66满足题意； ∴共有38个． 故答案为：38． 22．如图，在数轴上有一点C，在点C的左边距离C点12个单位长度处有一个点A，原点为O． （1）点A表示的数为 　﹣2　 ，线段AC的中点对应的数为 　4　 ； （2）点A，C同时出发，点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，点C以每秒2个单位长度的速度向左运动，当运动多少秒时，A，C两点能相遇？ （3）现有动点M，N和一定点D，点D在数轴上所表示的数为2，点M，N分别从点A，C同时出发，分别以每秒1个单位长度，3个单位长度的速度先向点D运动，到达点D后再向其相反方向运动，在运动过程中，当MD＝ND时，求时间t． 【答案】（1）﹣2，4； （2）4秒； （3）2秒或3秒． 【解答】解：（1）根据题意得：点A表示的数为10﹣12＝﹣2， 线段AC的中点对应的数为4． 故答案为：﹣2，4； （2）当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣2+t，点C表示的数为10﹣2t， 根据题意得：﹣2+t＝10﹣2t， 解得：t＝4． 答：当运动4秒时，A，C两点能相遇； （3）|﹣2﹣2|÷1＝4（秒），|10﹣2|÷3（秒）． 当0＜t时，点M表示的数为﹣2+t，点N表示的数为10﹣3t， 根据题意得：2﹣（﹣2+t）＝10﹣3t﹣2， 解得：t＝2； 当t≤4时，点M表示的数为﹣2+t，点N表示的数为2+3（t）＝3t﹣6， 根据题意得：2﹣（﹣2+t）＝3t﹣6﹣2， 解得：t＝3； 当t＞4时，点M表示的数为2﹣（t﹣4）＝6﹣t，点N表示的数为2+3（t）＝3t﹣6， 根据题意得：2﹣（6﹣t）＝3t﹣6﹣2， 解得：t＝2（不符合题意，舍去）． 答：当MD＝ND时，时间t为2秒或3秒． 23．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【动态思维】 如图，数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． 【问题解决】 （1）A，B两点间的距离AB＝　8　 ，线段AB的中点表示的数为　﹣2　 ； （2）t秒后，点P表示的数为　﹣6+2t ，点Q表示的数为　2﹣t ；（用含t的代数式表示） （3）求当t为何值时PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为QB的中点，点P，Q在运动过程中，线段MN的长度能否为6？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）8，﹣2； （2）﹣6+2t，2﹣t； （3）或4； （4）能，或． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为2， ∴A、B两点间的距离AB＝2﹣（﹣6）＝8，线段AB的中点表示的数为， 故答案为：8，﹣2； （2）由题意可知，t秒后，点P表示的数为﹣6+2t，点Q表示的数为2﹣t， 故答案为：﹣6+2t，2﹣t； （3）由题意可得一元一次方程：， 解得或4， 即当或4秒时，； （4）∵点M为PA的中点，点N为QB的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵线段MN的长度能否为6， ∴根据题意列一元一次方程得，， 解得或， 即线段MN的长度可以为6，此时t的值为或． 24．综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点． ①若AC＝4cm，则线段DE的长为 　8　 cm． ②设AC＝acm，则线段DE的长为 　8　 cm． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数． 拓展探究：（3）如图3，若∠AOB＝120°，∠COD＝60°，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使，，求∠EOF的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵AC＝4cm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝16﹣4＝12（cm）， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CD＝2cm，CE＝6cm， ∴DE＝CD+CE＝2+6＝8（cm）； 故答案为：8cm； ②∵AC＝acm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝（16﹣a）cm， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CDacm，CE（14﹣a）cm， ∴DE＝CD+CEa（16﹣a）＝8（cm）； 故答案为：8cm； （2）∵由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC，∠CON∠COB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON（∠AOC+∠COB）∠AOB＝60°， 即∠MON的度数为60°； （3）设∠BOC＝n° 则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．已知：如图，直线AB和CD相交于点O（∠AOC为锐角），点M在直线AB上方，∠BOM＝90°，ON平分∠AOD． （1）若∠COM＝52°，求∠DON的度数； （2）试说明：∠DON∠COM的度数是一个定值，并求出这个定值的度数； （3）若∠BOC∠COM，试求∠DON的度数． 【答案】（1）71°； （2）； （3）∠DON＝70°． 【解答】解：（1）∵∠COM＝52°，∠BOM＝90°，∠COM+∠BOM+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝38°， ∴∠AOD＝142°， 又∵ON平分∠AOD， ∴； （2）由条件可知∠BOD＝180°﹣90°﹣∠COM＝90°﹣∠COM， 又∵ON平分∠AOD， ∴． 又∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴2∠DON+90°﹣∠COM＝180°， ∴． （3）由条件可知∠BOC+90°﹣∠COM＝180°， ∵， ∴， ∴∠COM＝50°． 由（2）知：， ∴∠DON＝70°； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $