【人教版压轴题】2024～2025年九年级上数学期末解答题真题汇编卷（下）

【人教版】2024~2025年九年级上期末解答题真题汇编卷（下） 一．解答题（共25小题） 1．在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，对于点P和⊙M，给出如下定义：若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B两点且顶点为P，则称点P为⊙M的“图象关联点”． （1）已知，在点E，F，G，H中，⊙M的“图象关联点”是　 　 ； （2）已知点P为⊙M的“图象关联点”，且3OP＝5PM， ①判断OP与⊙M的位置关系，并证明； ②直接写出抛物线的顶点坐标． （3）已知C（4，2），D（1，2），当⊙M的“图象关联点”P在⊙M外且在四边形ABCD内运动时，直接写出抛物线y＝ax2+bx+c中a的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（6，0）和（0，8），抛物线经过点B和点G（﹣1，5）． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）将△ABO沿x轴向左平移得到△DCE，使得四边形ABCD是菱形，试判断点C、点D是否在该抛物线上． （3）在（2）的条件下，若点M是CD所在直线下方抛物线上的一个动点，当△CDM的面积最大时，求点M的坐标，并求出此时的最大面积． 3．（1）如图1，等边△ABC中，AB＝3，D是AC上的动点，连接BD，将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，连接CE，当点D从A运动到C时，求点E的运动路径长． （2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一点，连接BE，将BE绕着点E逆时针旋转90°，得到EF，EF交BC于点G，连接CF，若，求的值． 4．已知：抛物线y＝x2﹣bx﹣3交x、y轴于A、B（3，0），交y轴于C，顶点为D，M为抛物线上动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在M运动过程中，连OM，当∠DOM＝45°时，求M点坐标； （3）随着M运动到第一象限，如图（2）直线AM交对称轴于E，直线MB交对称轴于F，若对称轴交x轴于H，求HF﹣HE的值． 5．△ABC中，AB＝AC，将AB绕点A逆时针旋转90°到AD，直线AD与直线BC交于点E，过点D作DF∥AB交AC延长线于点F． （1）如图1，当∠BAC＝60°时，连接CD，若，求AC的长度； （2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG，请用等式表示线段AE、DF、DG之间的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，AB＝AC＝8，DF＝6，连接BD，点P为BD边上一动点，连接AP，以AP为直角边在其右侧作等腰直角△APQ，AP＝QP，并将QA绕点Q旋转α°（0°＜α＜90°）至QM，连接GQ、ME，请直接写出当GQ和ME均取得最小值时△AME的面积． 6．已知抛物线y＝x2+bx+c，（b，c为常数，b＜0），抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），且两点坐标分别为A（﹣2，0），B（2﹣b，0），与y轴相交于点C，顶点为P． （Ⅰ）若b＝﹣4，求顶点的坐标； （Ⅱ）连接BC，若，求b的值； （Ⅲ）若点M在抛物线上，点M的横坐标为m，满足，且MP∥BC，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，当MN＝5时，求此时b和m的值． 7．如图，抛物线yx2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； 　 　 ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半； 　 　 ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形； 　 　 （2）如图1，已知四边形ABCD（AD≠BC）既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在⊙O上，连接四边形的对角线AC，BD交于点P． ①记△ADP，△BCP，四边形ABCD的面积分别为S1，S2，S，求证：； ②如图2，点M为AB的中点，连接MP并延长交CD于点N，若AD+BC＝m，MN＝n，求⊙O的半径（用含m，n的式子表示）． 9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（6，0），B（0，2），D（4，2）三点，且与x轴交于另一点F． （1）求抛物线的对称轴方程； （2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接BC，直线BC交抛物线于另一点H，P为直线BC下方抛物线上的点，连接DH、HP，若∠DHB＝∠BHP，求P点坐标； （3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线y＝mx+n（n＞0）与抛物线交于第四象限内一点N，连接FM、FN，分别交y轴于点D、E，且|OD|•|OE|＝4，求证：直线MN恒经过一定点，并求出定点坐标． 10．如图，关于x的二次函数y＝﹣（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点D（﹣1，4）． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积； （3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标． 11．已知四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC与BD相交于点P． （1）求证：△ADP∽△BCP； （2）连接OD，如图1，若∠ADB＝∠ODC，求证：AC⊥BD； （3）如图2，设△APB的面积为S1，△APD的面积为S2，△CPD的面积为S3，△BPC的面积为S4，并且满足，延长CD，BA交于点F，连接FP交AD于点E，延长FP交BC于点Q，求的值． 12．如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx与x轴交于另一点A（4，0），点B（﹣2，3）在此抛物线上，过点B作直线l交y轴于点C，且直线l与抛物线有且只有一个公共点B． （1）①请直接写出：此抛物线的函数解析式为 　 　 ； ②求直线l的函数解析式； （2）设抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线l于点E，若点P在A点右侧的抛物线上，且以P点为圆心，PB为半径的圆恰好经过点E，请直接写出点P的坐标为 　 　 ； （3）如图2，将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线，动点Q在新抛物线上，求动点Q到直线l的最短距离． 13．如图，抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4a与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，． （1）直接写出抛物线的解析式为 　 　 ； （2）如图1，若为y轴上一点，M是直线AD上一点（不与D重合），点N是抛物线上一点．若线段MN与CD恰好关于平面内一点P成中心对称，求点P的横坐标； （3）如图2，平移抛物线使其顶点为原点，过K（2，0）的直线交平移后的抛物线于E，F两点，T（0，t）是y轴正半轴上一点，直线ET交抛物线于另一点G，直线FT交抛物线于另一点H，设直线HG的解析式为y＝px+q，试求的值． 14．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如（1，1），（2024，2024）⋯都是“平衡点”． （1）直接写出函数y＝x2图象上的“平衡点”坐标 　 　 ． （2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“平衡点”，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围． （3）设关于x的函数y＝x2+m的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数y＝x2﹣2nx﹣2x+4n+2（n为常数且n＞1）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，点B在点C的左侧，且BC＝2AB，求m，n的值． 15．如图，二次函数y＝x2+2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线的顶点为点D． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），连接AD，BD，点P为抛物线上一点，使，求点P的坐标； （3）如图（2），过定点H（﹣2，﹣1）的直线与抛物线相交于M，N两点（点M在y轴左侧，点N在y轴右侧），过点M的直线y＝﹣2x+b与抛物线交于点Q，求证：直线NQ必过定点． 16．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0）和B两点，与y轴交于点C． （1）求C点的坐标； （2）连接BC，D为抛物线上一点，当∠DBC＝∠BCO时，求点D的坐标； （3）如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线l1与l2分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线EF与y轴交于点G，M为线段EF的中点，连接HG、HM，当∠MHG＝30°时，求h的值． 17．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b交于点A（3，0）和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标； （3）直接写出不等式x2+（m+1）x﹣b＜0的解集； （4）点M是第一象限内一点且∠AMB＝45°． ①尺规作图：在图中画出满足条件的点M的集合（保留作图痕迹，不写画法）； ②当点M在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标． 18．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接AC，点D在抛物线上，连接AD，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标； （3）如图2，点P在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点（0，﹣4），与抛物线交于M，N两点，连接AP交MN于点E，Q为MN的中点，连接AQ，设点P的横坐标为m，若△AEQ的面积为2，求m的值． 19．已知抛物线y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1（m为常数，且m≠0）． （1）不论m为何值，抛物线y1的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量x，都有点（x，y1）与点（x，y2）分别到点（x，kx）的距离相等，则y2与x形成的函数称为抛物线y2（异于y1）是抛物线y1的“k倍相伴函数”． ①求抛物线y1的“2倍相伴函数”是y2的解析式； ②在①的情况下，y2的图象经过两个定点A和B（A在B左边），横坐标分别为xA、xB，若存在xA≤x≤xB时，y1与y2都随着x的增大而增大，求m的取值范围． 20．抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C点，点D为顶点． （Ⅰ）求二次函数解析式及B点坐标； （Ⅱ）第一象限内，抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，连接BC交MN于点P，当MP+BN取最大值时，求点M的坐标； （Ⅲ）过点D作DE∥x轴交直线BC于点E，作DF⊥x轴交直线BC于点F，点G在线段ED上，点I在线段EF上，若，求GF+DI的最小值及此时G点的坐标． 21．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 22．已知四边形ABCD内接于⊙O（∠ABC＜∠ADC），对角线BD⊥AC于点M，点N为线段AB上一点，且ON⊥AB．（1）如图1，若BD恰好经过圆心O，证明：； （2）如图2，若BD不经过圆心O，是否成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3所示，线段ON与BD交于点G，延长GO交AC于点F，连结OC，若AF2+DM2＝8，，设sin∠FCO＝x，tan∠ACD＝y，请直接写出FC的长（用x，y表示）． 23．综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC． （1）求抛物线和直线BC的函数解析式． （2）D是直线BC上方抛物线上一点，求△BDC面积的最大值及此时点D的坐标． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．已知如图1，平面直角坐标系中，O为原点，经过点（4，﹣8）的抛物线交x轴正半轴于点A（12，0），与直线l1：y＝﹣x+p有两个交点B，C，它们的横坐标为m，n（m＜n），且n﹣m＝4． （1）求抛物线C1的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）如图2，将抛物线C1的顶点平移到原点O，得新抛物线L2，直线l2：y＝k（x+2）+1（k＜0）交抛物线L2于点D，E（点E横坐标小于﹣2），若l1与l2的交点为F，过点F作y轴平行线交抛物线L2于点G，试说明直线EG总经过定点，并求这个定点的坐标． 25．已知：二次函数y＝ax2+4ax+3a（a≠0）． （1）当a＝1时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点（m，y1）与（m+3，y2）分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，且y1≤y2，求m的取值范围； （2）将这个二次函数图象向右平移k（0＜k＜2）个单位长度，若平移后的二次函数图象在﹣2≤x≤0的范围内有最大值为，求k的值． 【人教版】2024~2025年九年级上期末解答题真题汇编卷（下） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，对于点P和⊙M，给出如下定义：若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B两点且顶点为P，则称点P为⊙M的“图象关联点”． （1）已知，在点E，F，G，H中，⊙M的“图象关联点”是H ； （2）已知点P为⊙M的“图象关联点”，且3OP＝5PM， ①判断OP与⊙M的位置关系，并证明； ②直接写出抛物线的顶点坐标． （3）已知C（4，2），D（1，2），当⊙M的“图象关联点”P在⊙M外且在四边形ABCD内运动时，直接写出抛物线y＝ax2+bx+c中a的取值范围． 【答案】（1）H； （2）①OP与⊙M相切．证明见解析析；②抛物线的顶点坐标是或； （3）． 【解答】解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，以点M为圆心的圆与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（4，0）两点且顶点为P， ∴顶点P的横坐标为， 已知，在点E，F，G，H中，的横坐标为， ∴在点E，F，G，H中，⊙M的“图象关联点”是H； 故答案为：H； （2）①OP与⊙M的位置关系是相切；理由如下： ∵AB为⊙M的直径， ∴M为AB的中点． ∵A（1，0），B（4，0）， ∴， ∴， 连接PM， ∵P为⊙M的“图象关联点”， ∴点P为抛物线的顶点， ∴点P在抛物线的对称轴上， ∴PM是AB的垂直平分线， ∴PM⊥AB， 过点M作MN⊥OP于N， ， ∵， ∴， ∴OP与⊙M相切； ②当抛物线开口向上时， ∵OP与⊙M相切， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点P的坐标为， 同理可得，当抛物线开口向下时，点P的坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为或； （3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知⊙M的半径为1.5， 已知C（4，2），D（1，2），当⊙M的“图象关联点”P在⊙M外且在四边形ABCD内时，如图2， 顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2， 当抛物线顶点坐标为（2.5，2）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2.5）2+2，把A（1，0）代入得： 0＝a（1﹣2.5）2+2， 解得； 当抛物线顶点坐标为（2.5，1.5）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2.5）2+1.5，把A（1，0）代入得： 0＝a（1﹣2.5）2+1.5， 解得； ∴a的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（6，0）和（0，8），抛物线经过点B和点G（﹣1，5）． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）将△ABO沿x轴向左平移得到△DCE，使得四边形ABCD是菱形，试判断点C、点D是否在该抛物线上． （3）在（2）的条件下，若点M是CD所在直线下方抛物线上的一个动点，当△CDM的面积最大时，求点M的坐标，并求出此时的最大面积． 【答案】（1）； （2）点C、点D均在该抛物线上； （3）（﹣7，1）；9． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（6，0）和（0，8），抛物线经过点B和点G（﹣1，5）．将点B和点的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）点C、点D均在该抛物线上；理由如下： ∵A（6，0），B（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝10， ∴C（﹣10，8）， ∴OD＝AD﹣OA＝10﹣6＝4， ∴D（﹣4，0）． 当x＝﹣4时，； 当x＝﹣10时，． ∴点C、点D均在该抛物线上； （3）设直线CD的解析式为y＝kx+m，将点D（﹣4，0）和点C（﹣10，8）代入得： ， 解得， ∴直线CD的解析式为． ∵CD是定值， ∴要使△CDM的面积最大，则当点M到CD距离最大时，面积最大， 如图，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H， 设过点M且平行于CD的直线m的解析式为， 联立得：， 整理得x2+14x+24﹣3n＝0． 当直线与抛物线在点M处相切时， Δ＝142﹣4×1×（24﹣3n）＝0， 解得， 此时方程有两个相等的实数根， 此时过点M的直线与抛物线只有一个交点，点M到CD距离最大，△CDM的面积最大， ∴当x＝﹣7时，， ∴点M的坐标为（﹣7，1）， △CDM的最大面积＝S△CDE﹣S梯形CEHM﹣S△DMH ＝9． 3．（1）如图1，等边△ABC中，AB＝3，D是AC上的动点，连接BD，将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，连接CE，当点D从A运动到C时，求点E的运动路径长． （2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一点，连接BE，将BE绕着点E逆时针旋转90°，得到EF，EF交BC于点G，连接CF，若，求的值． 【答案】（1）3； （2）． 【解答】解：（1）连接BE，如图1， ∵将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE， ∴BD＝DE，∠BDE＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD＝BE，∠DBE＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝3＝AC，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE＝60°﹣∠DBC， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE，∠BCE＝∠A＝60°， 即点E的运动轨迹在过点C，且与BC夹角为60°角的直线CE上， ∴当点D从A运动到C时，点E的运动路径长为CE＝AC＝3； （2）如图2，连接BF，过点F作FH⊥BC于点H， ∵将BE绕着点E逆时针旋转90°， ∴BE＝EF，∠BEF＝90°， ∴，∠EBF＝45°， 在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴，AB＝AC，∠ABC＝45°＝∠EBF＝∠BAD＝∠ACB， ∴∠ABE＝∠CBF＝45°﹣∠EBC， 又∵， ∴△ABE∽△CBF， ∴，∠BCF＝∠BAE＝45°， ∴， ∵FH⊥BC， ∴∠BCF＝∠HFC＝45°， ∴HC＝HF， ∴， ∴HF＝AE， ∵AD⊥BC，HF⊥BC， ∴AD∥HF， ∴△EDG∽△FHG， ∴， ∵， ∴， ∴HF＝2DE， ∴AD＝3DE，， ∴， ∴． 4．已知：抛物线y＝x2﹣bx﹣3交x、y轴于A、B（3，0），交y轴于C，顶点为D，M为抛物线上动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在M运动过程中，连OM，当∠DOM＝45°时，求M点坐标； （3）随着M运动到第一象限，如图（2）直线AM交对称轴于E，直线MB交对称轴于F，若对称轴交x轴于H，求HF﹣HE的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）M（，）或（，）； （3）8． 【解答】解：（1）将点B的坐标代入上式得：0＝9﹣3b﹣3， 解得：b＝2， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）过点D作DH⊥OM于点H，过点H作GH平行于y轴交x轴于点G，交过点D和x轴的平行线于点T， 设点H（x，y），由抛物线的表达式知，点D（1，﹣4）， ∵∠DOM＝45°，则△ODH为等腰直角三角形， 则OH＝DH， ∵∠OHG+∠DHT＝90°，∠DHT+∠HDT＝90°， ∴∠OHG＝∠HDT， 在△HTD和△OGH中， ， ∴△HTD≌△OGH（AAS）， 则OG＝MT，DT＝GH， 即x﹣y＝4且x+y＝1， 解得：x，y，即点H（，）， 由点H的坐标得，直线OH的表达式为：yx， 联立上式和抛物线的表达式得：x＝x2﹣2x﹣3，则x， 则点M（，）； 当点M（M′）在第三象限时， 则OM⊥OM′， 则直线OM′的表达式为：yx， 联立上式和抛物线的表达式得：x＝x2﹣2x﹣3， 解得：x，即M′（，）， 综上，M（，）或（，）； （3）设点M（m，m2﹣2m﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝1， 由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为：y＝（m﹣3）（x+1）， 则点E（1，2m﹣6）， 同理可得，点F（1，﹣2m﹣2）， 则HF﹣HE＝2m+2﹣2m+6＝8． 5．△ABC中，AB＝AC，将AB绕点A逆时针旋转90°到AD，直线AD与直线BC交于点E，过点D作DF∥AB交AC延长线于点F． （1）如图1，当∠BAC＝60°时，连接CD，若，求AC的长度； （2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG，请用等式表示线段AE、DF、DG之间的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，AB＝AC＝8，DF＝6，连接BD，点P为BD边上一动点，连接AP，以AP为直角边在其右侧作等腰直角△APQ，AP＝QP，并将QA绕点Q旋转α°（0°＜α＜90°）至QM，连接GQ、ME，请直接写出当GQ和ME均取得最小值时△AME的面积． 【答案】（1）AC＝3； （2）2DG＝DF+AE； （3）． 【解答】解：（1）如图1， 作CG⊥AD于G， ∵AB绕点A逆时针旋转90°到AD， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴AC＝AD，∠CAD＝30°， 设CD＝a，则AD＝AC＝2CD＝x，AGCG， ∴DG＝AD﹣AG＝2a， 在Rt△CDG中，由勾股定理得， CG2+DG2＝CD2， ∴， ∴a或a（舍去）， ∴AC＝3； （2）如图2， 2DG＝DF+AE； 作AH⊥BC于R，交FD的延长线于点H， ∴∠ARB＝90°， ∴∠B+∠BAR＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAH+∠BAR＝90°， ∴∠B＝∠DAH， ∵∠ADH＝∠BAE＝90°，AB＝AD， ∴△ABE≌△AHD（ASA）， ∴DH＝AE，∠H＝∠AEB， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B， ∴∠DAH＝∠ACB， ∴∠AEB＝∠ACB+∠DAC，∠DAH+∠DAC＝∠HAF， ∴∠H＝∠HAF， ∴AF＝HF， ∵DG是直角三角形ADF的斜边上中线， ∴AF＝2DG， ∴2DG＝DF+DH＝DF+AE； （3）如图3﹣1， 作AW⊥BD于W，则△ADW是等腰直角三角形， ∴∠AWD＝90°，ADAWDW，∠DAW＝45°， ∵以AP为直角边在其右侧作等腰直角△APQ，AP＝QP， ∴∠APQ＝90°，∠PAQ＝45°， ∴∠PAQ＝∠DAW， ∴∠PAQ﹣∠WAQ＝∠DAW﹣∠WAQ， ∴∠PAW＝∠DAQ， ∵， ∴△PAW∽△QAD， ∴∠ADQ＝∠AWP＝90°， ∴点Q在直线DF上运动， ∴当GQ⊥DF于Q时，GQ最小， 如图3﹣2， ∵∠ADF＝90°，AD＝8，DF＝6， ∴AF＝10， ∵QM＝AQ， ∴点M在以Q为圆心，AQ为半径的圆上运动，作射线QE，交⊙Q于点M，此时ME最小， 作EV⊥AD，交AF于V， ∵tan∠DAF， ∴设EV＝3a，AV＝4a，则CV＝8﹣4a，AE＝5a， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴tan∠ABC＝tan∠ACB， ∴， ∴， ∴a， ∴AE＝4， ∵AD＝AB＝8， ∴AE＝DE， ∵GQ⊥DF，AD⊥DF， ∴GQ∥AD， ∴， ∵点G是AC的中点， ∴AG＝FG， ∴FQ＝DQ， ∴EQ，EQ∥AF， ∵MQ＝AQ， ∴EM＝MQ﹣EQ， 作QX⊥AF于X， ∴QX＝FQ•sinF＝FQ•3， ∴S△AME． 6．已知抛物线y＝x2+bx+c，（b，c为常数，b＜0），抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），且两点坐标分别为A（﹣2，0），B（2﹣b，0），与y轴相交于点C，顶点为P． （Ⅰ）若b＝﹣4，求顶点的坐标； （Ⅱ）连接BC，若，求b的值； （Ⅲ）若点M在抛物线上，点M的横坐标为m，满足，且MP∥BC，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，当MN＝5时，求此时b和m的值． 【答案】（Ⅰ）（2，﹣16）； （Ⅱ）b＝﹣3； （Ⅲ）m＝3，b＝﹣2． 【解答】解：（Ⅰ）∵b＝﹣4， ∴2﹣b＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， ∴抛物线的解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣4x﹣12， ∵y＝x2﹣4x﹣12＝（x﹣2）2﹣16， ∴顶点P的坐标为（2，﹣16）； （Ⅱ）由题知抛物线的解析式为y＝（x+2）[x﹣（2﹣b）]＝x2+bx+2b﹣4， 令x＝0，得y＝2b﹣4， ∴点C（0，2b﹣4）， ∴， 由已知得AB＝2﹣b﹣（﹣2）＝4﹣b， ∵， ∴， 解得b＝﹣3； （Ⅲ）由（Ⅱ）知抛物线的解析式为y＝x2+bx+2b﹣4， 得点M（m，m2+bm+2b﹣4），其中， ∵， ∴顶点P的坐标为，对称轴为直线， 过点M作MQ⊥l于点Q，则∠MQP＝90°， 由MP∥BC，得△OBC∽△QMP， ∴， ∴QP＝2QM， ∴， 即（b+2m）2＝4（b+2m）， ∵， ∴解得b＝4﹣2m①． ∵MN⊥x轴，且MN＝5， ∴yM＝﹣5， ∴m2+bm+2b﹣4＝﹣5②． 联立①②得m2+（4﹣2m）m+2（4﹣2m）﹣4＝﹣5， 整理可得，m2＝9， 解得m＝3（负值舍去）， ∴b＝4﹣2m＝﹣2． 7．如图，抛物线yx2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x， m＝﹣4， ∴B的坐标为（4，）， 将A（3，2），B（4，）代入yx2+bx+c， 解得b＝1，c， ∴抛物线的解析式y； （2）设D（m，），则E（m，﹣m）， DE＝（）﹣（﹣m）（m﹣2）2+2， ∴当m＝2时，DE有最大值为2， 此时D（2，）， 作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P． PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小， ∵A（3，2）， ∴A'（﹣1，2）， A'D， 即PD+PA的最小值为； （3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ， ∵抛物线的解析式y， ∴M（1，4）， ∵A（3，2）， ∴AH＝MH＝2，H（1，2） ∵∠AQM＝45°， ∠AHM＝90°， ∴∠AQM∠AHM， 可知△AQM外接圆的圆心为H， ∴QH＝HA＝HM＝2 设Q（0，t）， 则2， t＝2或2 ∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2）或Q2（0，2）． 8．定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； 　×　 ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半； 　√　 ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形； 　√　 （2）如图1，已知四边形ABCD（AD≠BC）既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在⊙O上，连接四边形的对角线AC，BD交于点P． ①记△ADP，△BCP，四边形ABCD的面积分别为S1，S2，S，求证：； ②如图2，点M为AB的中点，连接MP并延长交CD于点N，若AD+BC＝m，MN＝n，求⊙O的半径（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）①×；②√；③√； （2）①证明见解答过程； ②． 【解答】（1）解：①平行四边形可能是“等对”四边形， 故答案为：×； ②对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半，即“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半； 故答案为：√； ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是菱形，因此顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形； 故答案为：√； （2）①证明：∵四边形ABCD是“等对”四边形， ∴AC＝BD， ∴， ∴， ∴∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝∠DBC， ∵四边形ABCD是“垂对”四边形， ∴AC⊥BD， ∴△ADP，△BCP为等腰直角三角形， 设 PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，则，，， ∴（a+b），（a+b）， ∴； ②解：如图，连接OA，OB， 由①可知△ADP，△BCP为等腰直角三角形， 设 PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，⊙O的半径为R， ∴， ∴a+bm， ∵∠ADB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴， 在Rt△APB中，a2+b2＝AB2＝2R2， ∵M为AB的中点， ∴， ∴∠MBP＝∠MPB， 又∠MPB＝∠DPN，∠BAP＝∠CDP， ∴∠DPN+∠CDP＝∠MBP+∠BAP＝90°，即PN⊥CD， ∴PD•PC＝PN•CD， 而CD＝ABR， ∴， ∴， ∴， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴， 解得：． 9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（6，0），B（0，2），D（4，2）三点，且与x轴交于另一点F． （1）求抛物线的对称轴方程； （2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接BC，直线BC交抛物线于另一点H，P为直线BC下方抛物线上的点，连接DH、HP，若∠DHB＝∠BHP，求P点坐标； （3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线y＝mx+n（n＞0）与抛物线交于第四象限内一点N，连接FM、FN，分别交y轴于点D、E，且|OD|•|OE|＝4，求证：直线MN恒经过一定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）抛物线的对称轴方程为直线x＝2； （2）P点坐标为（，）； （3）直线MN恒过定点（6，﹣6），证明见解析． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过B（0，2），D（4，2）， ∴抛物线的对称轴方程为直线x． （2）∵对称轴为直线x， ∴b＝﹣4a， ∴抛物线y＝ax2﹣4ax+2，代入点A（6，0），得6a＝﹣1， 解得a， ∴抛物线解析式为yx2x+2． ∵点C为抛物线对称轴与x轴的交点， ∴C（2，0）， 又∵B（0，2）， 由待定系数法可知直线BC的解析式为y＝﹣x+2， 联立y＝﹣x+2与yx2x+2，得x2﹣10x＝0， 解得x＝10或0（舍去）， 即H（10，﹣8）． 如图1所示，设PH交y轴于点F， ∵OB＝OC＝2， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵BD∥OC， ∴∠DBC＝∠OCB＝45°， 当∠DHB＝∠BHP时， 在△BFH和△BDH中， ∵， ∴△BFH≌△BDH（ASA）， ∴BF＝BD＝4， 故F（0，﹣2）， 则由待定系数法可得直线HF的解析式为y， 联立直线HF解析式与抛物线解析式可得5x2﹣38x﹣120＝0， 解得x＝10或， 故P点坐标为（，）． （3）证明：如图2所示，设M（m，），N（n，）， 故由待定系数法可得直线MN的解析式为y＝[（m+n）]x2． ∵A（6，0），再由抛物线对称性可知F（﹣2，0）， 同理可得直线FM的解析式为y＝[（m﹣2）]x+2， 则OD2， 同理可得直线FN的解析式为y＝[（n﹣2）]x+2， 则OE， ∵|OD|•|OE|＝4，即（2）（）＝4，化简整理可得（6﹣m）（n﹣6）＝36， 进而可得mn＝6（m+n）﹣72①， 把①式代入直线MN的解析式中，得： y＝[（m+n）]x2 ＝[（m+n）]x ， 令，解得x＝6，此时y＝﹣6， 故直线MN恒过定点（6，﹣6）． 10．如图，关于x的二次函数y＝﹣（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点D（﹣1，4）． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积； （3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）3； （3）． 【解答】解：（1）∵关于x的二次函数y＝﹣（x+m）2+k的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴二次函数解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图所示，过点D作DE⊥OA于E，交AC于F， 令x＝0，则y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）； 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b1， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1时，则y＝x+3＝2， ∴F（﹣1，2）， ∴DF＝2， ∴ ＝3； （3）如图所示，过点M作MH⊥OA于H，交AC于N， 设M（n，﹣n2﹣2n+3），则N（n，n+3）， ∴MN＝﹣n2﹣2n+3﹣n﹣3＝﹣n2﹣3n， 同（2）可得， ∵， ∴当时，S△ACM最大，此时点． 11．已知四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC与BD相交于点P． （1）求证：△ADP∽△BCP； （2）连接OD，如图1，若∠ADB＝∠ODC，求证：AC⊥BD； （3）如图2，设△APB的面积为S1，△APD的面积为S2，△CPD的面积为S3，△BPC的面积为S4，并且满足，延长CD，BA交于点F，连接FP交AD于点E，延长FP交BC于点Q，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形， ∴∠ADB＝∠ACB． ∵∠APD＝∠CPB， ∴△ADP∽△BCP； （2）证明：延长DO交⊙O于点E，连接CE，如图， ∵DE为⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠ODC+∠E＝90°． ∵∠ADB＝∠ODC， ∴∠ADB+∠E＝90°． ∵∠DBC＝∠E，∠ADB＝∠ACB， ∴∠DBC+∠ACB＝90°． ∴∠BPC＝90°， ∴AC⊥BD； （3）解：∵， ∴S1+S2+S3+S4． ∴S1+S3＝2． ∵，， ∴， ∴S1S3＝S2S4， ∴， ∴0， ∴， ∴S1＝S3， ∴S1+S4＝S3+S4， 即：S△ABC＝S△DBC， ∴点A到BC边的距离＝点D到BC边的距离， ∴AD∥BC， ∴△ADP∽△CBP， ∴． 同理：△DEP∽△BQP， ∴， ∴． ∵AD∥BC， ∴△FAD∽△FBC， ∴， 同理：△FDE∽△FCQ， ∴． ∴， ∴CQ＝BQ． ∴1． 12．如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx与x轴交于另一点A（4，0），点B（﹣2，3）在此抛物线上，过点B作直线l交y轴于点C，且直线l与抛物线有且只有一个公共点B． （1）①请直接写出：此抛物线的函数解析式为 yx2﹣x ； ②求直线l的函数解析式； （2）设抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线l于点E，若点P在A点右侧的抛物线上，且以P点为圆心，PB为半径的圆恰好经过点E，请直接写出点P的坐标为 　（3，）或（3，）　 ； （3）如图2，将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线，动点Q在新抛物线上，求动点Q到直线l的最短距离． 【答案】（1）①yx2﹣x；②y＝﹣2x﹣1； （2）（3，）或（3，）； （3）． 【解答】解：（1）①由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：yx2﹣x， 故答案为：yx2﹣x； ②直线l过点B，设直线l的表达式为y＝k（x+2）+3， 联立上式和抛物线的表达式得：k（x+2）+3x2﹣x， 则Δ＝（k+1）2+2k+3＝0， 则k＝﹣2， 则直线l的表达式为：y＝﹣2x﹣1； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2， 当x＝2时，y＝﹣2x﹣1＝﹣5，即点E（2，﹣5），点D（2，0）， 由直线l的表达式知，点C（0，﹣1）， ∵以P点为圆心，PB为半径的圆恰好经过点E，则PB＝PE， 则点P在BE的中垂线上，由中点坐标公式得BE的中点为（0，﹣1），即点C， 则PC⊥l，则PC的表达式为：yx﹣1， 联立上式和抛物线的表达式得：x﹣1x2﹣x， 解得：x＝3±， 则点P（3，）或（3，）， 故答案为：（3，）或（3，）； （3）平移后的抛物线表达式为：y（x﹣1）2﹣（x﹣1）+4x2x， 过点Q作y轴的平行线交l于点H，作QN⊥l于点N，直线l交x轴于点T， 由直线l的表达式知，tan∠OTC＝2，则tan∠TCOtanH，则sinH， 设点Q（x，x2x），则点H（x，﹣2x﹣1）， 则QH＝（x2x）﹣（﹣2x﹣1）x2x， 则Q到直线l的距离NQ＝QH•sinH（x2x）（x+1）2， 即Q到直线l的最短距离为． 13．如图，抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4a与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，． （1）直接写出抛物线的解析式为 y　 ； （2）如图1，若为y轴上一点，M是直线AD上一点（不与D重合），点N是抛物线上一点．若线段MN与CD恰好关于平面内一点P成中心对称，求点P的横坐标； （3）如图2，平移抛物线使其顶点为原点，过K（2，0）的直线交平移后的抛物线于E，F两点，T（0，t）是y轴正半轴上一点，直线ET交抛物线于另一点G，直线FT交抛物线于另一点H，设直线HG的解析式为y＝px+q，试求的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为y； （2）点P的横坐标为或； （3）． 【解答】解：（1）由OC可知C（0，），把C（0，）代入到y＝a（x﹣1）2﹣4a中，得a﹣4a， 解得a， 故抛物线的解析式为y， 故答案为：y． （2）令y0，解得x1＝﹣1，x2＝3， 故A（﹣1，0），B（3，0）， 又∵D（0，），由待定系数法可得直线AD的表达式为y， ∵线段MN与CD恰好关于平面内一点P成中心对称， ∴四边形DCMN为平行四边形，P点为以DC和MN为对边的平行四边形的对角线交点， ∴MN⊥x轴，且MN＝CD＝2， 故点P的横坐标为xP， ∵M是直线AD上一点（不与D重合），点N是抛物线上一点， 故设M（m，），N（m，）， ∴MN2， 上式可分为两种情况： 当2时，则m＝3或0（舍去），此时xP； 2时，则m，此时xP． 综上，点P的横坐标为或； （3）由题意可知平移后的抛物线表达式为y， ∵K（2，0）， ∴设直线KE的表达式为y＝k（x﹣2）， 联立直线KE与抛物线y，整理可得， 由韦达定理可得xE+xF＝2k，xE•xF＝4k， 又∵T（0，t）， 故设直线ET表达式为y＝mx+t，直线FT的表达式为y＝nx+t， 联立直线ET与抛物线y，整理可得， 由韦达定理可得xE•xG＝﹣2t，xG， 联立直线FT与抛物线y，同理可得xH， 联立直线HG与抛物线y，整理可得， 由韦达定理有xH+xG＝2p， 即（）＝2p，即2p， ∴，t＝﹣2p， 整理可得． 14．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如（1，1），（2024，2024）⋯都是“平衡点”． （1）直接写出函数y＝x2图象上的“平衡点”坐标 　（0，0）或（1，1）　 ． （2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“平衡点”，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围． （3）设关于x的函数y＝x2+m的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数y＝x2﹣2nx﹣2x+4n+2（n为常数且n＞1）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，点B在点C的左侧，且BC＝2AB，求m，n的值． 【答案】（1）（0，0）或（1，1）； （2）2≤m≤4； （3）m，n＝2． 【解答】解：（1）令y＝x2＝x得：x＝0或1， 故“平衡点”坐标为（0，0）或（1，1）， 故答案为：（0，0）或（1，1）； （2）联立y＝x和y＝ax2+4x+c得：x＝ax2+4x+c， 则Δ＝9﹣4ac＝0①， 将（，）代入y＝ax2+4x+c得：a+4c＝0②， 联立①②并解得：a＝﹣1，c， 则y＝ax2+4x+cx2+4x﹣3， 该函数的对称轴为直线x＝2， 当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝1，当x＝m时，y＝﹣m2+4m﹣3， 当m≤2时，则函数在x＝0时取得最小值﹣3，在x＝m时，取得最大值1， 即y＝﹣m2+4m﹣3＝1， 则m＝2； 当m＜2时， 抛物线在x＝2时取得最大值1，在x＝0或m处取得最小值﹣3， 即m﹣2＜2﹣0，即m＜4， 当m＝4时，x＝m和x＝0关于x＝2对称，故m＝4也成立， 即2＜m≤4， 即2≤m≤4； （3）令y＝x2+m＝x，则Δ＝1﹣4m＝0，则m， 即x2x，则x，即点A（，）； 令y＝x2﹣2nx﹣2x+4n+2＝x， 解得：x＝2或2n+1， 即点B、C的坐标分别为：（2，2）、（2n+1，2n+1）， ∵BC＝2AB，则（2n+1﹣2）2+（2n+1﹣2）2＝4[2×（2）2]， 解得：n＝2（不合题意的值已舍去）， 故m，n＝2． 15．如图，二次函数y＝x2+2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线的顶点为点D． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），连接AD，BD，点P为抛物线上一点，使，求点P的坐标； （3）如图（2），过定点H（﹣2，﹣1）的直线与抛物线相交于M，N两点（点M在y轴左侧，点N在y轴右侧），过点M的直线y＝﹣2x+b与抛物线交于点Q，求证：直线NQ必过定点． 【答案】（1）点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）； （2）点P（，）或（，）； （3）证明见解答． 【解答】（1）对于y＝x2+2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，令y＝0，则x＝1或﹣3， 则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）； （2）由抛物线的表达式知，点D（﹣1，﹣4）， 过点D作DE∥y轴交x轴于点E， 由函数的对称性值，∠ADE∠ADB， 由点A、D的坐标得，tan∠ADEtan∠PAO， 则直线PA的表达式为：y＝±（x+3）， 联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3±（x+3）， 解得：x＝﹣3（舍去）或或， 即点P（，）或（，）； （3）证明：设M（p，p2+2p﹣3），N（q，q2+2q﹣3）， 由点M、N的坐标得，直线MN解析式为y＝（p+q+2）x﹣pq+3， ∵直线MN过定点（﹣2，﹣1）， ∴﹣2（p+q+2）﹣pq﹣3＝﹣1， ∴pq＝﹣2p﹣2q+6， ∵直线y＝﹣2x+b过M（p，p2+2p﹣3）， ∴P2+2P﹣3＝﹣2P+b， ∴b＝P2+4q﹣3， ∴y＝﹣2x﹣P2+4P﹣3， 由﹣2x﹣P2+4P﹣3＝﹣x2+2x+3得：x＝P或x＝﹣P﹣4， ∴G（﹣P﹣4，P2+6P+5）， 由N、Q的坐标得，直线NQ解析式为y＝（﹣p﹣4+q+2）x﹣（﹣p﹣4）q﹣3， ∵pq＝﹣2p﹣2q+6， 则y＝（﹣p+q﹣2）x﹣2p+2q﹣9， 当x＝﹣2时，y＝﹣2（﹣p+q﹣2）﹣2p+2q﹣9＝﹣5， ∴直线MG必过定点（﹣2，﹣5）． 16．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0）和B两点，与y轴交于点C． （1）求C点的坐标； （2）连接BC，D为抛物线上一点，当∠DBC＝∠BCO时，求点D的坐标； （3）如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线l1与l2分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线EF与y轴交于点G，M为线段EF的中点，连接HG、HM，当∠MHG＝30°时，求h的值． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3， （2）D（，）； （3）h． 【解答】解：（1）当x＝﹣3时，﹣9+6+c＝0， 解得c＝3， ∴函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）； （2）设BD与y轴的交点为P， ∵∠DBC＝∠BCO， ∴CP＝PB， ∵OC＝3， ∴CP＝PB＝3﹣OP， 在Rt△OPB中，（3﹣OP）2＝1+OP2， 解得OP， 设直线BD的解析式为y＝kx， ∴k0， 解得k， ∴直线BD的解析式为yx， 当xx2﹣2x+3时，解得x＝1或x， ∴D（，）； （3）设直线EH的解析式为y＝mx+b， 当mx+bx2时，Δ＝4m2﹣8b＝0， ∴bm2， ∴直线EH的解析式为y＝mxm2， ∴E（﹣m，m2） 同理直线FH的解析式为y＝nxn2， ∴F（﹣n，n2）， 当mxm2＝nxn2时，x（m+n）， ∴H（（m+n），mn）， ∵H（h，）， ∴mn＝﹣1，h（m+n）， ∵M是EF的中点， ∴M（（m+n），（m2+n2））， ∴MH∥y轴， 直线EF的解析式为y（m+n）（x+m）m2， ∴G（0，）， 过点G作GQ⊥HM交于Q点， ∴HQ＝1，QG＝﹣h， ∵∠MHG＝30°， ∴h． 17．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b交于点A（3，0）和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标； （3）直接写出不等式x2+（m+1）x﹣b＜0的解集； （4）点M是第一象限内一点且∠AMB＝45°． ①尺规作图：在图中画出满足条件的点M的集合（保留作图痕迹，不写画法）； ②当点M在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标． 【答案】（1）m＝﹣3，b＝3； （2）B（﹣1，4）； （3）﹣1＜x＜3； （4）①见解答；②． 【解答】解：（1）把A（3，0）代入直线解析式，得0＝﹣3+b， 解得：b＝3， 将点A的坐标代入二次函数表达式得：0＝9+3m， 解得：m＝﹣3． 故m＝﹣3，b＝3； （2）联立两个函数表达式得：x2﹣3x＝﹣x+3， 解得：x＝3（舍去）或﹣1， ∴B（﹣1，4）； （3）观察函数图象知，不等式x2+（m+1）x﹣b＜0的解集为：﹣1＜x＜3； （4）①见右图，点M的集合是以E（3，4）为圆心，半径为4的圆在第一象限的弧（不含端点）； ②； ∴顶点， 由图可知，抛物线的对称轴交⊙E于两个点，上面的交点记为点M，交AB于点Q． 连接AE，过点B作 BP⊥AB交QM于点P，则∠QMA＝∠EAM． ∵∠AMB＝∠EAB＝45°， ∴∠BMP＝∠MAQ， 又∠MPB＝∠AQM＝135°， ∴△BMP∽△MAQ， ∴， 设， 则，，，， 则有， 整理得：4a2﹣32a+9＝0， 解得，， 由图可知，当时，∠ANB＝135°， 则， ∴． 18．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接AC，点D在抛物线上，连接AD，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标； （3）如图2，点P在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点（0，﹣4），与抛物线交于M，N两点，连接AP交MN于点E，Q为MN的中点，连接AQ，设点P的横坐标为m，若△AEQ的面积为2，求m的值． 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）； （2）D（）或（）； （3）m． 【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0得， x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； （2）如图， 作DE⊥x轴于E， 设D（m，m2﹣2m﹣3）， ∴AE＝m+1，DE＝|m2﹣2m﹣3|， ∵∠DAB＝∠ACO， ∴tan∠DAB＝tan∠AOC， ∴， ∴， 即， ∴m或m， 当m时，y， ∴D（）， 当m时，y， ∴D（）， 综上所述：D（）或（）； （3）∵P（m，m2﹣2m﹣3）， ∴设直线l的解析式为：y＝k（x﹣m）+（m2﹣2m﹣3）， 由x2﹣2x﹣3＝k（x﹣m）+（m2﹣2m﹣3）得， x2﹣（k+2）x+km﹣m2+2m＝0 ∵直线l与抛物线有唯一公共点P， ∴x1＝x2＝m， ∵x1+x2＝k+2 ∴2m＝k+2， ∴k＝2m﹣2， ∴直线MN的解析式为：y＝（2m﹣2）x﹣4． 由x2﹣x﹣3＝（2m﹣2）x﹣4得， x2﹣2mx+1＝0， ∴xM+xN＝2m， ∴yM+yN＝（2m﹣2）•（xM+xN）﹣8＝4m2﹣4m﹣8， ∴Q（m，2m2﹣2m﹣4）， ∴PQ∥y轴，PQ＝m2﹣1， ∴S△AEQ＝S△APQ﹣S△PQE， 由A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3）得直线AP的解析式为：y＝（m﹣3）（x+1）， 由得， ， ∴E（1，2m﹣6）， ∴， ∴m或m（舍去）， ∴m． 19．已知抛物线y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1（m为常数，且m≠0）． （1）不论m为何值，抛物线y1的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量x，都有点（x，y1）与点（x，y2）分别到点（x，kx）的距离相等，则y2与x形成的函数称为抛物线y2（异于y1）是抛物线y1的“k倍相伴函数”． ①求抛物线y1的“2倍相伴函数”是y2的解析式； ②在①的情况下，y2的图象经过两个定点A和B（A在B左边），横坐标分别为xA、xB，若存在xA≤x≤xB时，y1与y2都随着x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】（1）抛物线y1的图象经过定点（1，0）和（3，2）． （2）①， ②或O． 【解答】解：（1）y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1， 令（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3， 在抛物线y1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1中，令x＝1，得 y＝0，令x＝3，得 y＝2， ∴抛物线y1的图象经过定点（1，0）和（3，2）． （2）①依题意，（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称， 故， 设函数y2上的任意一点坐标为（x，y2），则（x，y2）关于（x，kx）的对称点为（x，2kx﹣y2）， 依题意（x，2kx﹣y2）必在函数， 代入y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1，得， 化简得， 令k＝2，得， ②y1的图象经过定点（1，0），（3，2）， 根据（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称，k＝2，可得y2必过定点A（1，4），B（3，10）， 故xA≤x≤xB，即1≤x≤3． y1对称轴为直线，y2对称轴为直线． i）当m＞0时，y1的图象开口向上，在对称轴右侧y1随x增大而增大， 则1时满足题意， 解得：， 当m＞0时，y2的图象开口向下，在对称轴左侧y2随x增大而增大， 则时满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． ii）当m＜0时，y1的图象开口向下，在对称轴左侧y1随x增大而增大， 则满足题意， 解得， 当m＜0时，y2的图象开口向上，在对称轴右侧y2随x增大而增大， 则满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． 综上所述，当1≤x≤3，y1与y2都随x增大而增大，或O满足题意． 20．抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C点，点D为顶点． （Ⅰ）求二次函数解析式及B点坐标； （Ⅱ）第一象限内，抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，连接BC交MN于点P，当MP+BN取最大值时，求点M的坐标； （Ⅲ）过点D作DE∥x轴交直线BC于点E，作DF⊥x轴交直线BC于点F，点G在线段ED上，点I在线段EF上，若，求GF+DI的最小值及此时G点的坐标． 【答案】（Ⅰ）y＝﹣x2+2x+3，B（3，0）； （Ⅱ）M（1，4）； （Ⅲ）GF+DI的最小值2，此时，4）． 【解答】解：（Ⅰ）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得0＝﹣1﹣b+3， 解得b＝2， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，得0＝﹣x2+2x+3，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）； （Ⅱ）由M在抛物线上，且在第一象限内，设M（m，﹣m2+2m+3），（0＜m＜3）； ∵MN⊥x轴于N， ∴N（m，0）， 把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3， ∴C（0，3）， 设BC：y＝kx+b'，代入C（0，3），B（3，0）， 得， 解得， 即y＝﹣x+3， ∵BC交MN于点P， ∴P（m，﹣m+3）， ∴MP+BN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）+3﹣m＝﹣m2+2m+3＝﹣（m﹣1）2+4，（0＜m＜3）， ∵﹣1＜0， ∴当m＝1时，MP+BN有最大值4， 此时M（1，4）； （Ⅲ）∵点D为抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点， ∴D（1，4）， ∵C（0，3），B（3，0）， ∴BO＝CO＝3，即∠CBO＝45°， ∵DE∥x轴交直线BC于点E，DF⊥x轴交直线BC于点F， ∴F（1，2）， ∴∠DEF＝∠CBO＝45°， 在等腰直角△DEF中，∠EDF＝90°，DF＝ED＝2， ，E（﹣1，4）； 又∵， ∴， ∴EG＝FI， 过点F作l∥x轴，在l上取FQ＝EF， 有，2），∠DEF＝∠EFQ， ∴△GEF≌△IFQ（SAS）， ∴GF＝IQ， 则GF+DI＝IQ+ID，∠DFQ＝90°， ∴当I在QD上时GF+DI有最小值， 过点I向QF作垂线，垂足为H， 在Rt△IFH中，∠HHF＝90°，∠IFH＝∠CBO＝45°，HF＝IH， 在Rt△IQH，IH＝HQ•tan∠IQH， Rt△DQF中，∠DFQ＝90°，， ∴， 即， 解得， ∴， 此时，4）． 21．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 【答案】（1）； （2）存在，F（﹣2，2）或（﹣2，4）； （3）（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 22．已知四边形ABCD内接于⊙O（∠ABC＜∠ADC），对角线BD⊥AC于点M，点N为线段AB上一点，且ON⊥AB．（1）如图1，若BD恰好经过圆心O，证明：； （2）如图2，若BD不经过圆心O，是否成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3所示，线段ON与BD交于点G，延长GO交AC于点F，连结OC，若AF2+DM2＝8，，设sin∠FCO＝x，tan∠ACD＝y，请直接写出FC的长（用x，y表示）． 【答案】（1）如解答所示； （2）仍成立，理由如解答所示； （3）CF． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，BD是直径， ∴， ∴AD＝CD， ∵ON⊥AB， ∴点N是AB中点， ∵点O是BD中点， ∴ON是△ABD的中位线， ∴ONAD， ∵AD＝CD， ∴ONCD； （2）ONCD仍成立，理由如下： 连接BO并延长，交⊙O于点E，连接AE， ∵BE是直径， ∴∠BAE＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠CAE+∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， ∴， ∴， 即， ∴AE＝CD， ∵ON⊥AB， ∴点N是AB的中点， ∵点O是BE的中点， ∴ON是△ABE的中位线， ∴ONAE， ∵AE＝CD， ∴ONCD； （3）过点O作OQ⊥AC，垂足为点Q，连接OA， ∵， ∴∠ABM＝∠DCM， ∵ON⊥AB，BD⊥AC， ∴∠ABM+∠BAC＝90°，∠AFN+∠BAC＝90°， ∴∠ABM＝∠AFN， ∴∠DCM＝∠AFN， ∵∠DMC＝∠ANF＝90°， ∴△DCM∽△AFN， ∴， ∵MCNF， ∴MDNA，CDAF， 由（2）得ONCD， ∴AFON， ∵AF2+DM2＝8，DMNA， ∴8， 整理得ON2+NA2＝4， ∴OA2＝4， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OCQ中， ∵sin∠FCO＝x， ∴x， ∴OQ＝2x， ∴CQ， ∵∠AFN＝∠ACD， ∴tan∠AFN＝tan∠ACD＝y， 在Rt△OFQ中， ∵tan∠AFN＝y， ∴y， ∴QF， ∴CF＝CQ﹣QF． 23．综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC． （1）求抛物线和直线BC的函数解析式． （2）D是直线BC上方抛物线上一点，求△BDC面积的最大值及此时点D的坐标． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣2x2+2x+4；y＝﹣2x+4； （2）D（1，4）；S△BCD的最大值为2； （3）或或或或． 【解答】（1）解：把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+4得，， 解得， ∴y＝﹣2x2+2x+4， ∵c＝4， ∴C（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+4， 把B（2，0）代入y＝kx+4得，0＝2k+4， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+4； （2）解：如图，过点D作DF⊥AB于点F交BC于点E，设D（m，﹣2m2+2m+4），E（m，﹣2m+4）， ∴DE＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m， ∴S△BDC＝S△DEC+S△DEB•DE•CD•DE•BF•DE•（CD+FB）＝DE＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2， ∵a＝﹣2＜0， ∴当m＝1时，S△BCD的最大值为2，﹣2m2+2m+4＝﹣2×12+2×1+4＝4， ∴D（1，4）； （3）解：二次函数的对称轴为：，设点P的坐标为， ①当BC为等腰三角形的腰，∠C为顶角时，， 解得或， ∴或； ②当BC为等腰三角形的底边时，BC中点的坐标为E（1，2）， 作直线l2⊥BC且过E， 设直线l2方程为y1＝k2x+b2，， 解得， ∴l2方程为， 令，， ∴； ③当BC为等腰三角形的腰，∠B为顶角时，， 解得或，∴或， 综上所述，点P的坐标为或或或或． 24．已知如图1，平面直角坐标系中，O为原点，经过点（4，﹣8）的抛物线交x轴正半轴于点A（12，0），与直线l1：y＝﹣x+p有两个交点B，C，它们的横坐标为m，n（m＜n），且n﹣m＝4． （1）求抛物线C1的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）如图2，将抛物线C1的顶点平移到原点O，得新抛物线L2，直线l2：y＝k（x+2）+1（k＜0）交抛物线L2于点D，E（点E横坐标小于﹣2），若l1与l2的交点为F，过点F作y轴平行线交抛物线L2于点G，试说明直线EG总经过定点，并求这个定点的坐标． 【答案】（1）yx2﹣3x； （2）S△ABC＝30； （3）直线EG经过定点（﹣2，3）． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（4，﹣8）和点（12，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线C1的解析式为yx2﹣3x； （2）∵抛物线与直线l1：y＝﹣x+p有两个交点B，C，它们的横坐标为m，n（m＜n）， 联立得：x2﹣3x＝﹣x+p， 整理得：x2﹣8x﹣4p＝0， ∴m+n＝8， 又∵n﹣m＝4， ∴m＝2，n＝6， ∴B（2，﹣5），C（6，﹣9）， 把B（2，﹣5）代入y＝﹣x+p，得：﹣5＝﹣2+p， 解得：p＝﹣3， ∴直线l1：y＝﹣x﹣3， 当y＝0时，﹣x﹣3＝0， 解得：x＝﹣3， ∴直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴交于点M（﹣3，0），如图， ∵A（12，0），B（2，﹣5），C（6，﹣9）， ∴AM＝12﹣（﹣3）＝15， ∴S△ABC＝S△ACM﹣S△ABMAM•|yC|AM•|yB|15×915×5＝30； （3）∵抛物线C1：yx2﹣3x（x﹣6）2﹣9，顶点坐标为（6，﹣9），将抛物线C1的顶点平移到原点O，得新抛物线L2， ∴新抛物线L2：yx2， 联立直线l2与新抛物线的解析式，得x2＝k（x+2）+1， 解得：xD＝﹣2，xE＝4k+2， 联立直线l1与l2的解析式，得：k（x+2）+1＝﹣x﹣3， 解得：x， ∵FG∥y轴，交抛物线L2于点G， ∴G（，）， 设直线EG的解析式为：y＝k′x+b′，则x2＝k′x+b′， 整理得：x2﹣4k′x﹣4b′＝0， ∴xE+xG＝4k′，xE•xG＝﹣4b′， ∴k′（xE+xG）（4k+2）， b′xE•xG（4k+2）（）， ∴直线EG的解析式为yx， 当x＝﹣2时，y（﹣2）3， ∴直线EG经过定点（﹣2，3）． 25．已知：二次函数y＝ax2+4ax+3a（a≠0）． （1）当a＝1时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点（m，y1）与（m+3，y2）分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，且y1≤y2，求m的取值范围； （2）将这个二次函数图象向右平移k（0＜k＜2）个单位长度，若平移后的二次函数图象在﹣2≤x≤0的范围内有最大值为，求k的值． 【答案】（1）①抛物线解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为直线x＝﹣2；②m＜﹣2． （2）k的值为． 【解答】解：（1）当a＝1时，①抛物线解析式为y＝x2+4x+3， ∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝﹣2； ②∵点（m，y1）与（m+3，y2）分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，且y1≤y2， ∴2， ∴m． ∴m＜﹣2． （2）∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a， ∴抛物线的顶点为（﹣2，﹣a）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x+2）2﹣a， ①若a＞0， 将该二次函数图象向右平移k（0＜k＜2）个单位得到y＝a（x+2﹣k）2﹣a，则平移后的抛物线在﹣2≤x≤0的范围内最小值始终为﹣a， 当0＜k≤1，则当x＝0时取得最大值a， ∴a（2﹣k）2﹣aa， ∴k或， ∵0＜k≤1， ∴k， 当1＜k＜2，则当x＝﹣2时，函数y＝a（x+2﹣k）2﹣a有最大值a， ∴ak2﹣aa， 解得k， ∵1＜k＜2， ∴k． ②若a＜0， 则平移后的抛物线在﹣2≤x≤0的范围内最大值始终为﹣a，不合题意舍去， 综上，k的值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $