【人教版压轴题】2024～2025年九年级上数学期末解答题真题汇编卷（上）

【人教版】2024~2025年九年级上期末解答题真题汇编卷（上） 一．解答题（共25小题） 1．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE． （1）求证：AB＝AC； （2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小； （3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长． 2．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点P，Q和⊙O的弦AB，给出如下定义：若弦AB上存在点C，使得点P绕点C逆时针旋转60°后与点Q重合，则称点Q是点P关于弦AB的“等边旋转点”． （1）如图，点P（﹣2，0），直线x＝1与⊙O交于点A，B． ①点B的坐标为 　 　 ，点B　 　 （填“是”或“不是”）点P关于弦AB的“等边旋转点”； ②若点P关于弦AB的“等边旋转点”为点Q，则PQ的最小值为 　 　 ，当PQ与⊙O相切时，点Q的坐标为 　 　 ； （2）已知点D（t，0），E（﹣1，0），若对于线段OE上的每一点M，都存在⊙O的长为的弦GH，使得点M是点D关于弦GH的“等边旋转点”，直接写出t的取值范围． 3．给定圆C和直线l，过圆C上一点P作PH⊥直线l于点H，直线PH与圆C的另一个交点记为Q，将PH•QH称为点P关于直线l的特征值．特别地，当点H与点P或Q重合时，点P关于直线l的特征值为0；当点P和Q重合时，点P关于直线l的特征值为PH2． 在平面直角坐标系xOy中． （1）圆M是以点M（1，3）为圆心，2为半径的圆． ①若点P的坐标是（3，3），则它关于y轴的特征值是 　 　 ； ②点T是圆M上一动点，将点T关于x轴的特征值记为t，则t的取值范围是 　 　 ； （2）已知圆O的半径为2，直线l：y＝kx+3（k＞0），若圆O上存在关于直线l的特征值是3的点，直接写出k的取值范围． 4．对于平面直角坐标系xOy中的两点M（x1，y1）和N（x2，y2）给出如下定义：如果|x1﹣x2|≥1，或者|y1﹣y2|≥1，则称点M到点N的距离很远． 已知点A（3，0），B（3，3）． （1）在点，D（1，2），中到点A的距离很远的是点 　 　 ； （2）若抛物线y＝ax2上的任意一点到A，B两点的距离都很远，则a的取值范围是 　 　 ； （3）点P在△OAB的内部或边上，点Q在直线上，若点P到O，A，B，Q四点的距离都很远，直接写出点P运动区域的面积的最小值及此时的点Q的坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若∠ACB＝α，且点C关于弦AB的中点M的对称点在⊙O上或其内部，则称点C为弦AB的“α关联点”． （1）已知点． ①在点中，点 　 　 是弦AB的关联点，其中α＝ 　 　 ． ②若直线yx+b上存在AB的“60°关联点”，则b的取值范围是 　 　 ； （2）若点C是AB的“60°关联点”，且OC，直接写出弦AB的最大值和最小值． 6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值； （3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图所示，ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点E为BC上一动点，AE与BD交于点F，将线段AF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，FG与CD交于点H． （1）求线段BD的长； （2）连接DG，若∠DGF＝90°，求BE的长； （3）连接AH，AH与BD交于点K，求△AKF面积的最小值． 8．在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为P0﹣16过程，0和16分别称为P0﹣16过程的左、右端值． 已知P0﹣16过程的峰值为m，小桐对P0﹣16过程设计了“t分法”，操作方法如下： ①设置t：令； ②分段：借助t将P0﹣16过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于t．举例如下： 若要将P0﹣16过程分三段，依次记为P0﹣a，Pa﹣b，Pb﹣16，其中a，b分别为第一、第二个分点．对于第一段P0﹣a，假设：（a﹣0）+（a﹣a）＝t，即右端值a＝t为P0﹣a段的最大值． （i）若t＜m，峰值m不在P0﹣α段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而P0﹣16过程的第一个分点a的值为t； （ⅱ）若t≥m，峰值m在P0﹣a段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值a的计算方法为（m﹣0）+（m﹣a）＝t，从而P0﹣16过程的第一个分点a的值为2m﹣t． 对于第二段Pa﹣b，假设：（b﹣a）+（b﹣b）＝t，即右端值b＝a+t为Pa﹣b段的最大值． 可依上述推理过程求出第二个分点b的值． 这样，按“t分法”将P0﹣16过程分三段的同时，也将峰值m所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值m所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值m所在的范围会越来越小． 若小桐用“t分法”对P0﹣16过程进行了两次操作后，峰值m在包含P0﹣16过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， （1）分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含m的式子表示） （2）求第二次操作中所设置的t；（用含m的式子表示） （3）请你用一个整数合理估计峰值m，并说明理由； （4）请你判断事件“用‘t分法’对P0﹣16过程进行第三次操作，峰值m仍在包含P0﹣16过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 9．一款多功能桌子，若将4张此款桌子无缝拼接，恰好可以形成中间有圆形镂空的大圆桌，俯视图（从上面看物体，所得图形的形状）如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，大圆的半径为80cm，小圆的半径为20cm，相邻两张桌子接缝的延长线皆过圆心．现将2张此款桌子先后按图2，图3的方式进行无缝拼接． （1）将拼成桌子俯视图的外围周长的值称为桌子的功能值，图2的功能值记为l1，图3的功能值记为l2． ①判断大小：l1　 　 l2（填“＞”，“＝”，“＜”）； ②求l2的大小； （2）如果一个矩形能把一个图形完全覆盖，且每条边与该图形至少有一个公共点，我们称这个矩形为该图形的占地区域．例如，若矩形ABCD能把图2完全覆盖，且边AB是图2大半圆的直径，其余三边与大半圆都只有一个公共点，则矩形ABCD为图2的其中一个占地区域（如图4所示）． ①请通过运算说明图4中的矩形ABCD不能是图3的占地区域； ②在图4中的矩形ABCD中，若只改变该矩形的长，宽不变，或者只改变该矩形的宽，长不变，使得调整后的矩形是图3的占地区域，请画出示意图，并写出调整后的矩形的边长（要求：画出两种符合题意的示意图并写出正确的边长，即可得满分）． 10．如图1，抛物线ybx+3与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，OC＝OB． （1）求b的值； （2）点D在第一象限的抛物线上且在点A的右侧，若CD＝AD，求点D的横坐标； （3）如图2，将抛物线ybx+3平移后得到新抛物线L，抛物线L顶点为原点，点G的坐标为（2，0），过点（3，2）作直线交抛物线L于点M，N，直线NG与MG分别交抛物线L于点K，H．若直线KH与直线y＝kx平行，求k的值． 11．二次函数y＝﹣x2+4bx+4b+1（b＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）如图，当b＝1时； ①请直接写出B点坐标 　 　 ，C点坐标 　 　 ； ②M是直线BC上方的抛物线上一点，过点M作y轴的垂线交直线BC于点N，求线段MN的最大值； ③在抛物线上是否存在点E，使∠CBE＝∠ACB﹣2∠ACO，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （2）抛物线对称轴交x轴于点H，交直线BC于点K，点D为顶点，过点C作DH的垂线交抛物线于点G，连接GB，DB，DB交CG于点P，当∠ACB＝∠GPB时，请直接写出△CPB的面积 　 　 ． 12．在平面直角坐标系中，已知y1是自变量x的函数，y2＝y1﹣6x，称函数y2为函数y1的“相关函数”． （1）求函数y1＝x﹣1的“相关函数”y2的函数表达式； （2）点A在函数y1＝2x的图象上，过点A作x轴的平行线，与函数y2的图象相交于点B，过点B作x轴的垂线，垂足为C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设点A的横坐标为m（m＞0），矩形ABCD的周长为5时，求点A的坐标； （3）函数与y轴交于点A，函数y2的顶点为P，直线y＝2x+t与x轴交于点B，与函数y2的图象交于点C，当PA≥BC时，直接写出t的取值范围． 13．定义：若函数C1和函数C2的图象关于直线x＝m对称，则称函数C1和C2关于直线x＝m互为“友好函数”，函数C1和C2的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数C1：y＝x2+1关于直线x＝2的“友好函数”为C2：y＝（x﹣4）2+1＝x2﹣8x+17，“友好点”为（2，5）． （1）求函数y＝x2﹣2x关于直线x＝﹣1的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； （2）函数y＝x2﹣4x+1关于直线x＝m的“友好点”的纵坐标为n，当1≤m≤4时，求n的取值范围； （3）函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）关于直线x＝2的“友好函数”为C2，“友好点”为A．函数C1的图象的顶点为M，与y轴交点为G，函数C2的图象的顶点为N，与y轴交点为H，函数C1与C2的图象组成的图形记为W． ①若a＝1，判断△AMN的形状，并说明理由； ②若GH＝2AG，求a的值； ③点E（0，﹣2），点F（4，﹣2），若W与线段EF有且只有两个交点，直接写出a的值或取值范围． 14．在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线C：y＝x2+x和直线l：y＝x+b给出如下定义： 过抛物线C上一点A（x0，y1）作垂直于x轴的直线AB，交直线l于点B（x0，y2），若存在实数y0满足y1≤y0≤y2，则称点P（x0，y0）是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”． （1）若b＝2， ①在点P1（0，0），P2（﹣1，2），P3（1，3），中，抛物线C的“如意点”是 　 　 ； ②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出DE的最大值 　 　 ； （2）若边长为的正方形R1R2R3R4边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点P（4，2），对称轴为y轴．A，B是抛物线上两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线AB的解析式为y＝kx﹣4k﹣3，且△PAB的面积为35，求k的值； （3）如图（2），若∠APB＝90°，PC⊥AB于点C，求PC的最大值． 16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，）．D为抛物线在第三象限部分上的一点，作DE⊥x轴于点E，交线段AC于点F，连接AD． （1）求抛物线的表达式； （2）求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； （3）若线段AF把△ADE分成面积比为1：2的两部分，求此时点E的坐标． 17．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，分别与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于A，D两点，PB＝2，点M与点A关于点P成中心对称． （1）请直接写出点B，点M的坐标； （2）动直线l从与BA重合时开始绕点B顺时针旋转角度α（0°＜α＜60°）后，与直线CM相交于点E，过点E作EG⊥x轴，垂足为G，Q为BE的中点，连接MQ，QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，请求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由． （3）将（2）中的0°＜α＜60°改为0°＜α＜180°，其余条件不变，当△MQB为等边三角形时，求点G的坐标． 18．已知，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点（﹣1，0）； ①点B的坐标为 　 　 ； ②如图，连接OB，作∠AOB的角平分线OC，交抛物线于点C，交AB于点D，求点C的坐标； （2）若点E（m+1，y1），F（m﹣1，y2）在抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围； （3）已知，点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 19．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，连接AD、DE，且∠ADE＝45°． （1）如图1，若AC＝1，，求AE的长； （2）如图2，F为ED延长线上一点，连接CF，且∠F＝∠AED，求证：； （3）如图3，连接CE，将△ACE沿CE翻折至△ABC所在平面内得到△FCE，连接AF交CE于点M，连接BM、DF，当CE最小时，请直接写出的值． 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）． （1）该抛物线的表达式为 　 　 ； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝5OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值． 22．已知关于x的函数y＝ax2﹣4ax+k﹣2． （1）当a＞0，k＝4时， ①求当x≤0时，该函数的最小值； ②当0≤x≤5时，y有最小值为﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值． （2）当k＝a时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求a的值； （3）当a＜0，且k＝a时，若该函数图象与x轴有两个不同交点，试说明该图象与直线y＝kx﹣2始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围． 23．如图，在等边三角形ABC中，点D在线段AC上移动，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE交线段AC于点F． （1）如图1，若∠BFD＝75°，EF＝2，求BD的长度； （2）如图2，当B，A，E三点共线时，连接CE，点G为BD中点，过点G作GH⊥CE于点H，请猜想AG与CH的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点D在直线AC上移动，等边三角形ABC的边长为2，作点C关于直线BE的对称点M，连接BM，取BM的中点N，连接CN，将CN绕点N逆时针旋转120°，使得C点的对应点为点P，连接AP，请直接写出AP的最小值． 24．综合与实践： 【回归教材】 （1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，则存在BE　 　 CD（填“＝”或“≠”）． 【变式思考】 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α（45°≤α＜90°），点O为BC中点．点P为AB上的动点，连接PO，将射线OP绕点O顺时针旋转α角后得到射线OE，过点P作OP的垂线，与射线OE交于点Q，连接QC． （2）如图2，当α＝45°，时，猜想QO与QC的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图3，若QO＝QC，分析当α的度数一定时，的值是否变化？ 25．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝30°，D为直线AC上一点（不与A、C重合），将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，连接ED． （1）如图1，若D在AC边上，DC＝2，，求ED的长； （2）如图2，若D在AC边上，连接EC，延长BA交EC于F，求证：； （3）如图3，若D在AC的延长线上，连接EC，延长BA交EC于F，M为射线BA上一点，连接EM，使得∠BEF＝∠BME，连接DF、DM，当△DEM为直角三角形时，请直接写出此时的值． 【人教版】2024~2025年九年级上期末解答题真题汇编卷（上） 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE． （1）求证：AB＝AC； （2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小； （3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长． 【答案】（1）证明见解析部分． （2）∠BCE的值为67.5°或72°； （3）5． 【解答】（1）证明：∵直径BD， ∴∠ABE+∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝90°∠BAC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴AB＝AC； （2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE． 分情况： ①BE＝BC， 那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE， ∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝22.5°， ∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°． ②BC＝CE， 那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD， ∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE， ∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝18°， ∴∠BCE＝4∠ABE＝72°． ③BE＝CE，此时E，A重合，舍去， 综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°； （3）解：连接AO并延长，交BC于点F， 根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC， ∵直径BD， ∴∠BCD＝90°， ∴AF∥CD， ∴， ∴OEOD，DEOD，CDOA， ∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∴AE•CE＝DE•BE＝24， ∵OB＝OD＝OA， ∴OD•OD＝24， ∴ODOA， ∴CD，BD， 在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2， ∴BC． 2．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点P，Q和⊙O的弦AB，给出如下定义：若弦AB上存在点C，使得点P绕点C逆时针旋转60°后与点Q重合，则称点Q是点P关于弦AB的“等边旋转点”． （1）如图，点P（﹣2，0），直线x＝1与⊙O交于点A，B． ①点B的坐标为 　（﹣1，）　 ，点B　是　 （填“是”或“不是”）点P关于弦AB的“等边旋转点”； ②若点P关于弦AB的“等边旋转点”为点Q，则PQ的最小值为 　3　 ，当PQ与⊙O相切时，点Q的坐标为 　（﹣2，﹣2）　 ； （2）已知点D（t，0），E（﹣1，0），若对于线段OE上的每一点M，都存在⊙O的长为的弦GH，使得点M是点D关于弦GH的“等边旋转点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①（1，），是； ②3，（﹣2，﹣2）； （2）﹣2≤t或1≤t． 【解答】解：（1）①如图1， 连接OA，OB，设AB交x轴于点C， ∵AB⊥x轴，cos∠AOC， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OB， ∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，AC＝BC＝OB•sin∠AOC＝2•cos60°， ∴∠P，AP＝BP，B（1，）， ∴△ABP是等边三角形， ∴点B是点P关于弦AB的“等边旋转点”， 故答案为：（1，），是； ②如图2， 将PB绕点B逆时针旋转60°至PB′， ∴点B′是点P关于弦AB的“等边旋转点”， ∵点B是点P关于弦AB的“等边旋转点”， ∴AB′上点是点P关于AB的“等边旋转点”， ∴当PQ⊥AB′时，PQ最小PB， ∵△PBB′是等边三角形， ∴∠BPB′＝60°， ∵∠PBO＝30°， ∴∠B′PO＝90°， ∴B′P⊥OP， ∴B′P是⊙O的切线， 当PQ与⊙O相切时，点Q在B′处， ∴Q（﹣2，﹣2）， 故答案为：3，（﹣2，﹣2）； （2）如图3﹣1， 将点O逆时针旋转60°得O′，则点O′在直线yx上， 对于线段OE上的每一点M，点M是点D关于GH的“等边旋转点”需要满足在以O′为圆心，半径为1和半径为2形成的圆环覆盖OM， 当半径为2的圆O′过点O时， ∵△OO′D是等边三角形， ∴OD＝O′D＝2，此时t＝﹣2， 如图3﹣2， 当半径为1的⊙O′与OD相切时，作O′H⊥x轴于H，则O′H＝1， ∴OHO′H， ∴OD＝2OH， 此时t， ∴﹣2≤t， 如图3﹣3， 当半径为1的⊙O′与x轴相切时，OD＝O′O＝1， 此时t＝1， 如图3﹣4， 当半径为2的⊙O′过点E时，连接O′E，作OF⊥DE于F，则O′E＝2， 设OF＝FD＝a，则O′F，EF＝1+a， ∵∠O′FE＝90°， ∴O′F2+EF2＝O′E2， ∴， ∴a或a（舍去）， ∴OD＝2a， ∴1≤t， 综上所述：﹣2≤t或1≤t． 3．给定圆C和直线l，过圆C上一点P作PH⊥直线l于点H，直线PH与圆C的另一个交点记为Q，将PH•QH称为点P关于直线l的特征值．特别地，当点H与点P或Q重合时，点P关于直线l的特征值为0；当点P和Q重合时，点P关于直线l的特征值为PH2． 在平面直角坐标系xOy中． （1）圆M是以点M（1，3）为圆心，2为半径的圆． ①若点P的坐标是（3，3），则它关于y轴的特征值是 　3　 ； ②点T是圆M上一动点，将点T关于x轴的特征值记为t，则t的取值范围是 　5≤t≤9　 ； （2）已知圆O的半径为2，直线l：y＝kx+3（k＞0），若圆O上存在关于直线l的特征值是3的点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①3；②5≤t≤9；（2）或k≥2． 【解答】解：（1）①如图，过P作PH⊥y于点H，直线PH与圆M的另一个交点记为Q， ∴PH＝3，QH＝1， ∴点P关于y轴的特征值为PH•QH＝3×1＝3， 故答案为：3； ②如图，过T作TH⊥x于点H，直线TH与圆M的另一个交点记为Q，过M作MK⊥QT于点K， ∴，MK∥x， ∴KH＝3， ∴TH＝KH﹣KT＝3﹣KT，QH＝KH+QK＝3+QK， ∴QH＝3+KT， ∴关于x轴的特征值记为， 由题意可得：0≤QT≤4， ∴当QT＝0时，t＝9；当QT＝4时，t＝5； ∴t的取值范围是5≤t≤9， 故答案为：5≤t≤9； （2）解：如图，当直线l在圆O的外部时，过P作PH⊥l于点H，直线PH与圆O的另一个交点记为Q，过O作OE⊥l于点E，过E作EF⊥y于点F，易得四边形OEHK为矩形， ∴OE＝KH， 同理可得：关于直线l的特征值是3的点，， ∵0≤PQ≤4， ∴， ∴即， 当时， 由勾股定理得：， ∴，即， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， 当时， 由勾股定理得：， ∴， 即， ∴， 由勾股定理得：OF＝1， ∴， ∴，解得：， ∴k的取值范围为， 如图，当直线l在圆O的内部时， 同理可得：关于直线l的特征值是3的点，， ∴， ∵0≤PQ≤4， ∴KH≤1， ∴当PQ＝4时，KH最大值为1， ∴OE＝1， 同理求得：点， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为， 综上可知：k的取值范围为：或k≥2． 4．对于平面直角坐标系xOy中的两点M（x1，y1）和N（x2，y2）给出如下定义：如果|x1﹣x2|≥1，或者|y1﹣y2|≥1，则称点M到点N的距离很远． 已知点A（3，0），B（3，3）． （1）在点，D（1，2），中到点A的距离很远的是点 D，E ； （2）若抛物线y＝ax2上的任意一点到A，B两点的距离都很远，则a的取值范围是 　　 ； （3）点P在△OAB的内部或边上，点Q在直线上，若点P到O，A，B，Q四点的距离都很远，直接写出点P运动区域的面积的最小值及此时的点Q的坐标． 【答案】（1）D，E； （2）； （3）点P运动区域的面积的最小值为，此时点Q坐标为（2，）． 【解答】解：（1）对于点，∵30.5＜1且，故C点不合题意； 对于点D（1，2），∵3﹣1＞1，故D点符合题意； 对于点，∵4﹣3≥1，故点E符合题意， 综上，在点，D（1，2），中到点A的距离很远的是点D和点E， 故答案为：D，E． （2）当a＞0时，欲使抛物线y＝ax2上的任意一点（x，y）到A，B两点的距离都很远， ∵当x≤2时，已满足，只需在x＝2时，还要满足y﹣3≥1，即y≥4， 即4a≥4，故a≥1； 当a＜0时，则y≤0，欲使抛物线y＝ax2上的任意一点（x，y）到A，B两点的距离都很远， ∵当x≤2时，已满足，只需在x＝2时，还要满足， ∴y≤﹣1，即4a≤﹣1， ∴a． 故答案为． （3）如图a所示， 若点P到O，A，B的距离都很远，则点P运动的区域为△EFH和正方形EHDC和正方形FSGH（内部含边缘）， 画出直线的图象，即直线RS，交网格线分别于R、M、N， 易知R（1，），M（，1），N（2，）． 当P到点Q距离也很远时，即Q点只能在线段RS上运动， 显然，只有当Q点位于网格线上时，点P运动区域的面积才能有最小值， 当Q点位于点M时，点P运动区域的面积为， 当Q点位于点N时，点P运动区域的面积为， 当Q点位于R、S两点时，点P运动区域的面积都不能达到最小， 故点P运动区域的面积的最小值为，此时点Q坐标为（2，）． 5．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若∠ACB＝α，且点C关于弦AB的中点M的对称点在⊙O上或其内部，则称点C为弦AB的“α关联点”． （1）已知点． ①在点中，点 C3 是弦AB的关联点，其中α＝ 　60°　 ． ②若直线yx+b上存在AB的“60°关联点”，则b的取值范围是 　0＜b≤2　 ； （2）若点C是AB的“60°关联点”，且OC，直接写出弦AB的最大值和最小值． 【答案】（1）①C3，60°； ②0＜b≤2； （2）AB最小＝1，AB最大． 【解答】解：（1）①如图1， 点C1和C2关于AB的中点的对称点在⊙O外， ∵C3′（10，0），即（）， ∴（）21， ∴点C3′在圆上， ∴点C是弦AB的关联点， ∵tan∠ACO， ∴∠ACO＝60°， 同理可得：∠BCO＝30°， ∴∠ACB＝60°， 故答案为：C3，60°； ②如图2， 作等边三角形ABC，作△ABC的外接圆， 当直线l：yx+b与⊙I相切于点E时，连接AC3，连接IE，作C3F⊥DE于F，设l交y轴于点D， 则⊙I的半径为IE＝1，可得∠DC3F＝∠OAC3＝60°，AC3∥直线l， ∴C3F＝IE＝1， ∴DC3＝2C3F＝2， ∴b＝OC3+CE＝2， 当直线y过点B时，b＝0， ∴0＜b≤2； （2）如图3， 当△ABC是等边三角形时，AB最小，此时OC⊥AB，设OC交AB于D， ∴AD＝BDAB，∠ACD＝∠BCD， ∴CDAD， 在Rt△AOD中， ∵AD2+OD2＝OA2， ∴， ∴AD， ∴AB＝1， 如图4， 当∠CAB＝90°时，AB最大， 作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E， 设AC＝2x，AE＝OB＝y，则AB，OD 在Rt△AOD和Rt△COE中， 由OD2+AD2＝OA2，CE2+OE2＝OC2得， ， ∴， ∴AB＝2， ∴AB最小＝1，AB最大． 6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值； （3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：， 故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1， 将点A、D的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4； （2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°， 即：则PE＝PF， 设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1）， PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18， ∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值， 当x＝2时，其最大值为18； （3）NC＝5， ①当NC是平行四边形的一条边时， 设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1）， 由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5， 解得：x＝2或0或4（舍去0）， 则点M坐标为（2，﹣3）或（2，﹣3）或（4，﹣5）； ②当NC是平行四边形的对角线时， 则NC的中点坐标为（0，）， 设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1）， N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点， 即：，解得：， 故点M（﹣4，3）； 故点M的坐标为：（2，﹣3）或（2，﹣3）或（4，﹣5）或（﹣4，3）． 7．如图所示，ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点E为BC上一动点，AE与BD交于点F，将线段AF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，FG与CD交于点H． （1）求线段BD的长； （2）连接DG，若∠DGF＝90°，求BE的长； （3）连接AH，AH与BD交于点K，求△AKF面积的最小值． 【答案】（1）5； （2）2； （3）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝4，AD＝3， ∴BD5； （2）方法一：如图所示，过点F作AB的垂线分别交AB、CD于点M，Q过点G作CD的平行线分别交AD、MQ的延长线于点P，N． M E 设AM＝a，MF＝b， ∵AF＝FG，∠AMF＝∠AFG＝∠FNG＝90°， ∴△AMF≌△FNG（AAS）， ∴FN＝AM＝a，GN＝MF＝b， ∴PG＝a﹣b，DP＝a+b﹣3＝QN， ∵∠DPG＝∠DGF＝∠GNF＝90°， ∴△DPG∽△GNF， ∴， ∴①， 化简得a2+b2﹣3a＝0， ∵MF∥AD， ∴△MBF∽△ABD， ∴， ∴， 化简得 3a+4b＝12 ②， 由①②得，b， ∵MF∥/BE， ∴△AMF∽△ABE， ∴BE2； 方法二：如图，过点G作GQ⊥BD，AR⊥BD， 设BF＝x， ∵AD＝3，AB＝4， ∴BD＝5，，RB， ∴RFx， ∵FA＝FG， ∴△AFR≌△FGQ（AAS）， ∴，QG＝RFx， ∴DQ＝BD﹣QF﹣BF＝5xx， ∵∠DGF＝90°， ∴GQ2＝DQ•QF， ∴（x）2＝（x）， 解得x＝2， ∴DF＝3＝DA， ∴BF＝BE＝2； （3）如图所示，作△AFK的外接圆⊙O，连接OA，OK，OF，过点A作AR⊥BD，过点O作OS⊥BD， E ∵∠AFH＝∠ADH＝90°， ∴四边形ADHF四点共圆， ∴∠HAF＝∠FDH 为定值， ∵0S⊥KF， ∴∠KOS＝∠FOS，KS＝SF， ∵∠KOF＝2∠KAF＝2∠FDH， ∴∠KOS＝∠FDH， 又∵∠OSK＝∠BCD＝90°， ∴△KOS∽△BDC， ∴， 设⊙O的半径为r， 由（1）值BD＝5， ∴， ∴， ∴，OSr， ∴KFr， ∴， ∴， 由图可知 AO+OS≥AR， ∴， 解得， ∴， 当A，0，F共线即AK＝AF时取等号， 即△AKF 的面积的最小值为． 8．在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为P0﹣16过程，0和16分别称为P0﹣16过程的左、右端值． 已知P0﹣16过程的峰值为m，小桐对P0﹣16过程设计了“t分法”，操作方法如下： ①设置t：令； ②分段：借助t将P0﹣16过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于t．举例如下： 若要将P0﹣16过程分三段，依次记为P0﹣a，Pa﹣b，Pb﹣16，其中a，b分别为第一、第二个分点．对于第一段P0﹣a，假设：（a﹣0）+（a﹣a）＝t，即右端值a＝t为P0﹣a段的最大值． （i）若t＜m，峰值m不在P0﹣α段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而P0﹣16过程的第一个分点a的值为t； （ⅱ）若t≥m，峰值m在P0﹣a段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值a的计算方法为（m﹣0）+（m﹣a）＝t，从而P0﹣16过程的第一个分点a的值为2m﹣t． 对于第二段Pa﹣b，假设：（b﹣a）+（b﹣b）＝t，即右端值b＝a+t为Pa﹣b段的最大值． 可依上述推理过程求出第二个分点b的值． 这样，按“t分法”将P0﹣16过程分三段的同时，也将峰值m所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值m所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值m所在的范围会越来越小． 若小桐用“t分法”对P0﹣16过程进行了两次操作后，峰值m在包含P0﹣16过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， （1）分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含m的式子表示） （2）求第二次操作中所设置的t；（用含m的式子表示） （3）请你用一个整数合理估计峰值m，并说明理由； （4）请你判断事件“用‘t分法’对P0﹣16过程进行第三次操作，峰值m仍在包含P0﹣16过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 【答案】（1）a，b； （2）； （3）可以用整数18作为峰值m的估计值； （4）事件“用“t分法’对P0﹣16过程进行第三次操作，峰值m仍在包含P0﹣16过程右端值的这一段”不是必然事件，理由详见解析． 【解答】解：（1）解法一：因为小桐用“t分法”对P0﹣16过程进行了两次操作后，峰值m在包含P0﹣16过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值m在第三段Pb﹣16，且m≠b，即峰值m不在第一段P0﹣α内，也不在第二段Pa﹣b内， 所以第一个分点． 因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16， 所以第二段Pa﹣b内数值逐渐增大， 所以第二段的最小值是最大值是b， 所以根据“t分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于t”可得 （b﹣a）+（b﹣b）＝t， 解得第二个分点． 解法二：因为小桐用“t分法”对P0﹣16过程进行了两次操作后，峰值m在包含P0﹣16过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值m在第三段Pb﹣16且m≠b． 所以峰值m不在第一段P0﹣α内， 所以第一个分点； 因为峰值m在第三段Pb﹣16， 所以根据“t分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于t”可得 （m﹣b）+（m﹣16）＝t， 解得第二个分点． （2）因为第一次操作后，峰值m在第三段Pb﹣16，且， 所以第二次操作中所设置的． （3）解法一：因为第二次操作后，峰值m在第三段，不妨设该段为Px﹣16，其中x为该段的左端值， 所以， 解得， 因为峰值m为该段的最大值， 所以， 解得， 因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以， 解得m＞17， 所以， 所以可以用整数18作为峰值m的估计值． 解法二：因为第二次操作后，峰值m在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以， 解这个不等式组得， 所以可以用整数18作为峰值m的估计值． （4）解法一：事件“用“t分法”对P0﹣16过程进行第三次操作，峰值m仍在包含P016过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的， 假设：用“t分法’对P0﹣16过程进行第三次操作，峰值m仍在包含P0﹣16过程右端值这一段， 那么， 解得m≤16.64，与矛盾， 所以假设不成立． 所以事件“用“t分法”对P0﹣16过程进行第三次操作，峰值m仍在包含P0﹣16过程右端值的这一段”不是必然事件． 解法二：事件“用“t分法’对P0﹣16过程进行第三次操作，峰值m仍在包含P0﹣16过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的， 因为， 当时， ，即， 所以第三次操作后，峰值m不在第三段， 所以事件“用“t分法”对P0﹣16过程进行第三次操作，峰值m仍在包含P0﹣16过程右端值的这一段”不是必然事件． 9．一款多功能桌子，若将4张此款桌子无缝拼接，恰好可以形成中间有圆形镂空的大圆桌，俯视图（从上面看物体，所得图形的形状）如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，大圆的半径为80cm，小圆的半径为20cm，相邻两张桌子接缝的延长线皆过圆心．现将2张此款桌子先后按图2，图3的方式进行无缝拼接． （1）将拼成桌子俯视图的外围周长的值称为桌子的功能值，图2的功能值记为l1，图3的功能值记为l2． ①判断大小：l1　＝　 l2（填“＞”，“＝”，“＜”）； ②求l2的大小； （2）如果一个矩形能把一个图形完全覆盖，且每条边与该图形至少有一个公共点，我们称这个矩形为该图形的占地区域．例如，若矩形ABCD能把图2完全覆盖，且边AB是图2大半圆的直径，其余三边与大半圆都只有一个公共点，则矩形ABCD为图2的其中一个占地区域（如图4所示）． ①请通过运算说明图4中的矩形ABCD不能是图3的占地区域； ②在图4中的矩形ABCD中，若只改变该矩形的长，宽不变，或者只改变该矩形的宽，长不变，使得调整后的矩形是图3的占地区域，请画出示意图，并写出调整后的矩形的边长（要求：画出两种符合题意的示意图并写出正确的边长，即可得满分）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①根据题意，得图2中拼成的桌面的外围周长为两条弧与两条线段长的和， 其中，这两条弧所对的圆心角都为180°，半径分别为80cm和20cm，这两条线段长都为80﹣20＝60cm， 100π+120（cm）； 故答案为：＝； ②由①得， 100π+120（cm）； （2）①根据题意，得矩形ABCD的边长分别为AB＝CD＝160cm，AD＝BC＝80cm， 根据勾股定理可得矩形ABCD的对角线长为， 如图补全两个圆心P，Q，连接MN交PQ于点O， ∴∠OPM＝∠OQN＝90°，∠MOP＝∠NOQ，PQ＝100， 又∵PM＝QN＝80， ∴△PMO≌△QNP（AAS）， ∴OP＝OQ＝50，OM＝ON， 根据勾股定理得， ∴， ∵，即MN无法在矩形ABCD内部， ∴矩形ABCD无法完全覆盖图3， ∴矩形ABCD不能是图3的占地区域． （3）方案一：如图， 由题意，得 AB＝80+80＝160（cm）， 由①， ∴， ∴调整后的矩形的长为160cm，宽为100cm． 方案二：如图， 设矩形长与弧相切于E、F，由题意，得，MQ＝PN＝80cm，PQ＝100cm，∠PEQ＝∠PFQ＝90°， ∴， ∴四边形AQED、四边形BCPF都是矩形， ∴矩形的宽AD为80cm， ∴∠QPE+∠FPQ＝90°， ∵∠EPQ+∠CPN＝90°， ∴∠EPQ＝∠CPN， ∵∠PEQ＝∠C＝90°， ∴△PEQ﹣△NCP， ∴，即， ∴CN＝48，PC＝64， 同理可得 AQ＝64cm， ∴AB＝64+60+64＝188（cm） ∴调整后的矩形的长为188cm，宽为80cm． 10．如图1，抛物线ybx+3与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，OC＝OB． （1）求b的值； （2）点D在第一象限的抛物线上且在点A的右侧，若CD＝AD，求点D的横坐标； （3）如图2，将抛物线ybx+3平移后得到新抛物线L，抛物线L顶点为原点，点G的坐标为（2，0），过点（3，2）作直线交抛物线L于点M，N，直线NG与MG分别交抛物线L于点K，H．若直线KH与直线y＝kx平行，求k的值． 【答案】（1）b； （2）D点横坐标为：； （3）2． 【解答】解：（1）由题意得， C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴B（3，0）， ∴0， ∴b； （2）由得， x＝3或x＝4， ∴A（4，0）， 设AC的中点为E（2，），连接DE， ∵CD＝AD， ∴DE⊥BC， ∵， ∴， ∴直线DE的解析式为：y， 由得， ∴x（舍去），x， ∴D点横坐标为：； （3）平移后的抛物线的解析式为：y， 设M（m，），， 设直线MN的解析式为：y＝px+q， ∴， ∴， ∴y， ∴2， ∴mn＝3m+3n﹣8， 同理可得， 直线NK的解析式为：y， 0， ∴t， 直线MH的解析式为：y， ∴0， ∴h， 直线KH的解析式为：y， ∵直线KH与直线y＝kx平行， ∴k（t+h）， ∵t+h8， ∴k8＝2． 11．二次函数y＝﹣x2+4bx+4b+1（b＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）如图，当b＝1时； ①请直接写出B点坐标 　（5，0）　 ，C点坐标 　（0，5）　 ； ②M是直线BC上方的抛物线上一点，过点M作y轴的垂线交直线BC于点N，求线段MN的最大值； ③在抛物线上是否存在点E，使∠CBE＝∠ACB﹣2∠ACO，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （2）抛物线对称轴交x轴于点H，交直线BC于点K，点D为顶点，过点C作DH的垂线交抛物线于点G，连接GB，DB，DB交CG于点P，当∠ACB＝∠GPB时，请直接写出△CPB的面积 　　 ． 【答案】（1）①（5，0），（0，5）； ②当m时，MN最大； ③E（4，5）或（）； （2）． 【解答】解：（1）①当b＝1时，y＝﹣x2+4x+5， 当x＝0时，y＝5， ∴C（0，5）， 当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0， ∴x＝5或x＝﹣1， ∴B（5，0）， 故答案为：（5，0），（0，5）； ②设M（m，﹣m2+4m+5）， ∵B（5，0），C（0，5）， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5， ∵MN∥x轴， ∴， 由﹣x+5＝﹣m2+4m+5得， x＝m2﹣4m， ∴xN＝m2﹣4m， ∴MN＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣（m）2， ∴当m时，MN最大； ③在x轴上取点A'使OA′＝OA＝1，连接A'C． ∵∠AOC＝∠A'OC＝90°，OC＝OC， ∴△AOC≌△A′OC（SAS）． ∴2∠ACO＝∠ACA′． ∵∠CBE＝∠ACB﹣2∠ACO， ∴∠CBE＝∠ACB﹣∠ACA′＝∠A′CB． 情况一：如图： ∵∠CBE＝∠A′CB， ∴A′C∥BE． 设直线A'C的解析式为 y＝kx+b上， ∵A'（1，0），C（0，5）在直线A'C上， ∴，解得． ∴直线A'C的解析式为 y＝﹣5x+5． ∴设直线BE的解析式为 y＝﹣5x+b， ∵B（5，0）， ∴BE的解析式为 y＝﹣5x+25， ， ∴x1＝4，x2＝5（舍）， ∴y＝5， ∴点E的坐标为（4，5）． 情况二：如图： ∵∠A′CB＝∠CBE，∠OCB＝∠CBO＝45°， ∴∠OCB﹣∠A′CB＝∠CBO﹣∠CBE， ∴∠OCA′＝∠EBA， ∵OC＝OB，∠A'OC＝∠MOB＝90°， ∴△OCA′≌△OBM（ASA）． ∴OA′＝OM＝1． ∴点M的坐标为（0，1）， ∴设直线BE的解析式为 y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线BC的解析式为， ， ∴（舍）． ∴， ∴点E的坐标为， 综上所述：点E的坐标为（4，5）或； （3）如图2， 由﹣x2+4bx+4b+1＝0得， x1＝﹣1，x2＝4b+1， ∴OA＝1，OB＝4b+1， 由y＝﹣x2+4bx+4b+1＝﹣（x﹣2b）2+（2b+1）2得， D（2b，（2b+1）2），OH＝BH＝2b，DH＝（2b+1）2， 当x＝0时，y＝4b+1， ∴OC＝4b+1， ∴OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵CG⊥DH，DH⊥AB， ∴AB∥CG， ∴∠GPB＝∠DBH， ∵∠ACB＝∠GPB， ∴∠ACB＝∠DBH， ∴∠ACO+∠OCB＝∠DBC+∠OBC， ∴∠ACO＝∠DBC， ∴tan∠ACO＝tan∠DBC， ∴， ∵DH∥OC， ∴∠BKH＝∠OCB，∠DKW＝∠OCB＝45°， ∴∠BKH＝∠OBC＝45°，BKBH， ∴KH＝BH＝（4b+1）﹣2b＝2b+1， ∴DK＝DH﹣KH＝（2b+1）2﹣（2b+1）， ∴BK， 作DW⊥BC于W， ∴WK＝WD＝DK•sin∠DKW， ∴BW＝WK+BK， ∴， ∴b1，（舍去）， ∴C（0，3），B（3，0），D（1，4）， ∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+6， 当y＝3时，﹣2x+6＝3， ∴x， ∴CP， ∴S△CPB， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，已知y1是自变量x的函数，y2＝y1﹣6x，称函数y2为函数y1的“相关函数”． （1）求函数y1＝x﹣1的“相关函数”y2的函数表达式； （2）点A在函数y1＝2x的图象上，过点A作x轴的平行线，与函数y2的图象相交于点B，过点B作x轴的垂线，垂足为C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设点A的横坐标为m（m＞0），矩形ABCD的周长为5时，求点A的坐标； （3）函数与y轴交于点A，函数y2的顶点为P，直线y＝2x+t与x轴交于点B，与函数y2的图象交于点C，当PA≥BC时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）y2＝﹣5x﹣1； （2）点A的坐标为（，）； （3）2t≤8+2或﹣2t≤8﹣2． 【解答】解：（1）∵y1＝x﹣1，y2＝y1﹣6x， ∴y2＝x﹣1﹣6x＝﹣5x﹣1； （2）∵y1＝2x， ∴y2＝y1﹣6x＝2x﹣6x＝﹣4x， ∵点A的横坐标为m，点A在函数y1＝2x的图象上， ∴点A的坐标为（m，2m）， ∵AB∥x轴，B在函数y2上， ∴点B的坐标为（m，2m）， ∴AB＝m﹣（m）m， ∵BC⊥x轴，m＞0， ∴BC＝2m， ∵矩形ABCD的周长为5， ∴2（m+2m）＝5， 解得：m， ∴点A的坐标为（，）； （3）∵y1＝﹣x2+2x+2与y轴交于点A， ∴点A的坐标为（0，2）， 由题意得：y2＝﹣x2+2x+2﹣6x＝﹣x2﹣4x+2＝﹣（x2+4x+4）+6＝﹣（x+2）2+6， ∴点P的坐标为（﹣2，6）， ∴PA2， 如图：当PA＝BC＝2时，根据一次函数的比例系数为2，可得CN＝C′M＝4，BN＝B′M＝2， ∴﹣（x+2）2+6＝4或﹣（x+2）2+6＝﹣4， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣2或x1＝﹣2，x2＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣2，﹣4）， ∵点C在直线y＝2x+t上， ∴4＝2（﹣2）+t或4＝2（﹣2）+t或﹣4＝2（﹣2）+t或﹣4＝2（﹣2）+t， 解得：t＝8﹣2或t＝8+2或t＝﹣2或t＝2， ∵PA≥BC， ∴2t≤8+2或﹣2t≤8﹣2． 13．定义：若函数C1和函数C2的图象关于直线x＝m对称，则称函数C1和C2关于直线x＝m互为“友好函数”，函数C1和C2的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数C1：y＝x2+1关于直线x＝2的“友好函数”为C2：y＝（x﹣4）2+1＝x2﹣8x+17，“友好点”为（2，5）． （1）求函数y＝x2﹣2x关于直线x＝﹣1的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； （2）函数y＝x2﹣4x+1关于直线x＝m的“友好点”的纵坐标为n，当1≤m≤4时，求n的取值范围； （3）函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）关于直线x＝2的“友好函数”为C2，“友好点”为A．函数C1的图象的顶点为M，与y轴交点为G，函数C2的图象的顶点为N，与y轴交点为H，函数C1与C2的图象组成的图形记为W． ①若a＝1，判断△AMN的形状，并说明理由； ②若GH＝2AG，求a的值； ③点E（0，﹣2），点F（4，﹣2），若W与线段EF有且只有两个交点，直接写出a的值或取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴顶点（1，﹣1），它关于直线 x＝﹣1 的对称点为 （﹣3，﹣1）， ∴“友好函数”为y＝（x+3）2﹣1＝x2+6x+8， ∵两个函数图象关于直线 x＝﹣1 对称， ∴其交点必在直线 x＝﹣1 上，将 x＝﹣1代入y＝x2﹣2x中，y＝1﹣2×（﹣1）＝3， ∴“友好点”坐标为（﹣1，3）； （2）由题意得n＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3， ∵1＞0， ∴n关于m的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为 （2，﹣3）， ∴当 m＝2 时，n有最小值﹣3， 当m＝1 时，n＝﹣2，当 m＝4 时，n＝1， ∴﹣3≤n≤1； （3）①△AMN 是等腰直角三角形， ∵当 a＝1 时，， ∴M（1，﹣4）， ， ∴N（3，﹣4）， 当 x＝2 时，y＝﹣3， ∴A（2，﹣3）， 如图，直线 x＝2 是线段MN的垂直平分线，点A在直线 x＝2， ∴AM＝AN， 设直线 x＝2交线段MN于点P，则P（2，﹣4）， ∵A（2，﹣3）， ∴AP＝1，MP＝1． ∴AP＝MP， ∵∠APM＝90°， ∠AMN＝45°， ∴∠AMN＝∠ANM＝45°， ∴∠MAN＝90°， ∴△AMN 是等腰直角三角形； ②∵， ∴， 在C1中，当 x＝0 时，y＝﹣3a， ∴G（0，﹣3a）， 在C2中，当 x＝0 时，y＝5a， ∴H（0，5a）， ∴GH＝|5a﹣（﹣3a）|＝|8a|， 将 x＝2 代入C1中，y＝﹣3a， ∴A（2，﹣3a）， ∴点A，G的纵坐标相同， ∴AG＝2， ∵GH＝2AG， ∴GH＝4， 当a＞0时，8a＝4， ∴； 当a＜0时，﹣8a＝4， ∴； 综上所述，a的值为或； ③第一种情况，a＞0， 1°如图，当“友好点”恰好在线段EF上时，此时“友好点”坐标为（2，﹣2）， 将（2，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得， 4a﹣4a﹣3a＝﹣2， 解得a， 此时yx2x﹣2，与y轴恰好交于点E， ∴当a时，W与线段EF会有3个交点， ∴当a时，W与线段EF有且只有两个交点； 2°，如图，当W的两个顶点恰好在线段EF上时， ∵， ∴﹣4a＝﹣2， ∴a， 即当a时，W与线段EF有且只有两个交点； 第二种情况：a＜0， 此时﹣3a＞0，则W与y轴交正半轴， 如图，当C2经过点E，此时C1经过点F，W与线段EF有两个交点， 当W向下平移时，则W与EF依然会有两个交点， ∵H（0，5a）， ∴5a≤﹣2， ∴a， 即当a时，W与线段EF有且只有两个交点； 综上，或或． 14．在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线C：y＝x2+x和直线l：y＝x+b给出如下定义： 过抛物线C上一点A（x0，y1）作垂直于x轴的直线AB，交直线l于点B（x0，y2），若存在实数y0满足y1≤y0≤y2，则称点P（x0，y0）是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”． （1）若b＝2， ①在点P1（0，0），P2（﹣1，2），P3（1，3），中，抛物线C的“如意点”是 P1，P3 ； ②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出DE的最大值 　2　 ； （2）若边长为的正方形R1R2R3R4边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值 　　 ． 【答案】（1）①P1，P3． ②2． （2）， 【解答】解：（1）①在y＝x2+x中，当x＝0时，y＝0， x＝﹣1时，y＝0， x＝1时，y＝2， x时，y， 在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2， x＝﹣1时，y＝1， x＝1时，y＝3， x时，y， ∵0＜2，0＜1＜2，2＜3，， ∴只有P1（0，0），P3（1，3），是抛物线C的“如意点”． 故答案为：P1，P3． ②点E是点D与抛物线C的“称心点”， ∴点E和点D关于直线y＝x+2对称， ∴DE的长等于点D到直线y＝x+2的距离的两倍， ∴当点D到直线y＝x+2的距离最大时，DE有最大值， 根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线y＝x+2围成的封闭区域内的所有点到抛物线C的如意点， ∴当平行于直线y＝x+2的直线与抛物线恰好有有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意， 设直线y＝x+t恰好与抛物线y＝x2+x有一个交点， 联立，得x2﹣t＝0， ∴Δ＝02+4t＝0， 解得t＝0， ∴x2﹣x＝0，解得x＝0， ∴此时点D与原点重合， 如图所示，设直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于G，H，则G（﹣2，0），H（0，2）， ∴OG＝OH＝2， ∴GH， 设DE，GH交于F，则DH⊥OH， ∴， ∴， ∴， ∴DEmax＝2． 故答案为：2． （2）由（1）可得，抛物线C的如意点组成的区域即为直线y＝x+b与抛物线y＝x2+x围成的封闭区域（包括边界）， ∴抛物线C的称心点一定在直线y＝x+b与抛物线y＝x2+x围成的封闭区域外面， ∵边长为的正方形R1R2R3R4边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”， ∴正方形R1R2R3R4边上的点全部都是如意点时b的值一定要比正方形R1R2R3R4边上的点部分是如意点，部分时称心点时n的值大， ∴当恰好正方形R1R2R3R4边上的点一半是如意点，一半是称心点时b最小，即直线y＝x+b一定经过正方形R1R2R3R4的一条对角线， 此时有R1R2∥x轴， ∴此时R1R2关于抛物线对称轴对称，即关于直线x对称， ∴R1的横坐标为， 在y＝x2+x中，当x时，y， ∴R1（）， 把R1（）代入y＝x+b中得， ∴b， ∴b的最小值为， 故答案为， 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点P（4，2），对称轴为y轴．A，B是抛物线上两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线AB的解析式为y＝kx﹣4k﹣3，且△PAB的面积为35，求k的值； （3）如图（2），若∠APB＝90°，PC⊥AB于点C，求PC的最大值． 【答案】（1）yx2+6； （2）k的值为﹣2或﹣2； （3）PC的最大值为4． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点P（4，2），对称轴为y轴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2+6； （2）∵y＝kx﹣4k﹣3＝k（x﹣4）﹣3， ∴直线AB过定点D（4，﹣3）． 如图，连结PD， ∵P（4，2），D（4，﹣3）， ∴PD∥y轴，PD＝5， ∴S△ABP|xB﹣xA|＝35， ∴|xB﹣xA|＝14， 由kx﹣4k﹣3x2+6， 整理得x2+4kx﹣16k﹣36＝0， 由根与系数的关系得xB+xA＝﹣4k，xBxA＝﹣16k﹣36， ∴|xB﹣xA|2＝（xB+xλ）2﹣4xBxA＝142， ∴4k2+16k﹣13＝0， 解得k＝﹣2或k＝﹣2； ∴k的值为﹣2或﹣2； （3）设A（m，m2+6），B（n，n2+6），直线AB解析式为y＝tx+b'， 由得x2+tx+b'﹣6＝0， 由根与系数的关系得m+n＝﹣4t，mn＝4b'﹣24， 如图，过点P作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足为E、F， ∴∠E＝90°，∠F＝90°， ∴∠APE+∠PAE＝90°，∠E＝∠F， ∵∠APB＝90°， ∴∠APE+∠BPF＝90°， ∴∠PAE＝∠BPF， ∴△PAE∽△BPF， ∴， ∴， 整理变形可得mn+4（m+n）+32＝0， 又∵m+n＝﹣4t，mn＝4b'﹣24， ∴b'＝4t﹣2， ∴直线AB的解析式为y＝tx+4t﹣2＝t（x+4）﹣2， ∴直线AB经过定点C（﹣4，﹣2）， ∵P（4，2）， ∴PC的最大值为4． 16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，）．D为抛物线在第三象限部分上的一点，作DE⊥x轴于点E，交线段AC于点F，连接AD． （1）求抛物线的表达式； （2）求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； （3）若线段AF把△ADE分成面积比为1：2的两部分，求此时点E的坐标． 【答案】（1）抛物线的关系式为yx2x； （2）D（﹣2，）； （3）点E（﹣1，0）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，）， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为yx2x； （2）设直线AC为y＝kx， 代入A（﹣4，0）代入得，﹣4k0， 解得k， ∴直线AC为yx， 设点D（x，x2x），则点F（x，x）， ∴DFx（x2x）（x+2）2， ∴当x＝﹣2时，DF有最大值， ∴D（﹣2，）； （3）设点E（x，0），则D（x，x2x），点F（x，x）， ∴DE＝|x2x|x2x，EF＝|x|x， 线段AF把△ADE分成面积比为1：2的两部分，则EFDE，或EFDE， ①当EFDE时，即x（x2x）， 解得x1＝x2＝﹣4， 又∵﹣4＜x＜0， x1＝x2＝﹣4，不符合题意舍去， ②当EFDE时，即x（x2x）， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣4， 又∵﹣4＜x＜0， x1＝﹣4不符合题意舍去， ∴x＝﹣1， ∴点E（﹣1，0）． 17．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，分别与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于A，D两点，PB＝2，点M与点A关于点P成中心对称． （1）请直接写出点B，点M的坐标； （2）动直线l从与BA重合时开始绕点B顺时针旋转角度α（0°＜α＜60°）后，与直线CM相交于点E，过点E作EG⊥x轴，垂足为G，Q为BE的中点，连接MQ，QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，请求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由． （3）将（2）中的0°＜α＜60°改为0°＜α＜180°，其余条件不变，当△MQB为等边三角形时，求点G的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1中，连接PA，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC． ∵点P坐标为（﹣1，0）， ∴OP＝1． ∵PB＝PC＝PA＝2， ∴OB＝3，OC＝1， ∴B（﹣3，0），C（1，0）． ∵AD⊥BC， ∴OA， ∴A（，0）， ∵A，M关于点P对称， ∴M（﹣2，） ∴点M的坐标为（﹣2，）； （2）结论：∠MQG＝120°． 理由：如图2中，连接BM． ∵B（﹣3，0），M（﹣2，）， ∴BM2， ∴PB＝PM＝BM， ∴△PBM是等边三角形， ∴∠PBM＝60°， ∴∠GBM＝180°﹣60°＝120°， ∵BC是直径， ∴∠BMC＝90°， ∴∠BME＝90°， ∵EG⊥BG， ∴∠EGB＝90°， ∴∠MEG+∠GBM＝180°， ∴∠GEM＝60°， ∵EQ＝QB， ∴GQ＝EQ＝QB＝MQ， ∴E，G，B，M四点共圆， ∴∠MGQ＝2∠∠EM＝120°； （3）如图3中，当△BQM是等边三角形时， ∵QG＝QB＝QM， ∴△QGB，△QMB都是等边三角形， ∴PB＝BG＝BM＝QB＝2， ∵OB＝3， ∴OG＝5， ∴G（﹣5，0）． 如图4中，当过点B的直线与x轴重合时，点Q与点P重合，点E，G，C重合，此时G（1，0）． 综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣5，0）或（1，0）． 18．已知，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点（﹣1，0）； ①点B的坐标为 　（3，4）　 ； ②如图，连接OB，作∠AOB的角平分线OC，交抛物线于点C，交AB于点D，求点C的坐标； （2）若点E（m+1，y1），F（m﹣1，y2）在抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围； （3）已知，点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①B（3，4）；②C（2，6）；（2）；（3）或． 【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）过点（﹣1，0）， ∴a+3a﹣3a+1＝0， ∴a＝﹣1， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x+4， ∴抛物线与y轴交于点A坐标为（0，4）， 当y＝4时，即y＝﹣x2+3x+4＝4， 解得：x1＝0，x2＝3， ∴点B（3，4）， ②过点D作DH⊥OB，垂足为H， ∵AB∥x轴， ∴AB⊥y轴， ∵OC平分∠AOB， ∴AD＝DH， ∵，DB•OA， ∴， ∵A（0，4），B（3，4）， ∴OA＝4，AB＝3，， ∴， ∴， ∴， 设直线OD解析式为y＝kx， ∴，即直线OD解析式为y＝3x， 联立抛物线和直线解析式得： ， 解得：，（不合题意舍去）， ∴点C（2，6）； （2）∵点E（m+1，y1），F（m﹣1，y2），在抛物线y＝﹣x2+3x+4上， ∴，， 当y1＜y2时，即y2﹣y1＞0， 即：（﹣m2+5m）﹣（﹣m2+m+6）＞0， 解得：； （3）抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点， I．当抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1的顶点在线段GH上时， 即：， 解得：， Ⅱ．当抛物线顶点落在GH上方时， 当x＝1时，y＝a﹣3a﹣3a+1＝﹣5a+1， 当x＝3 时，y＝9a﹣9a﹣3a+1＝﹣3a+1， ∵a＜0，对称轴为， ∴﹣5a+1＜﹣3a+1， ∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1与线段GH有且只有一个交点， ∴， 解得：， 综上，a的取值范围是或． 19．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，连接AD、DE，且∠ADE＝45°． （1）如图1，若AC＝1，，求AE的长； （2）如图2，F为ED延长线上一点，连接CF，且∠F＝∠AED，求证：； （3）如图3，连接CE，将△ACE沿CE翻折至△ABC所在平面内得到△FCE，连接AF交CE于点M，连接BM、DF，当CE最小时，请直接写出的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1， ∴BC，∠B＝∠C＝45°， ∴BD＝BC﹣CD（）＝1， ∴BD＝AC， ∴∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B＝135°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠BCE+∠ADC＝135°， ∴∠BED＝∠ADC， ∴△BDE≌△CAD（AAS）， ∴BE＝CD1， ∴AE＝AB﹣AE＝1﹣（2； （2）证明：如图1， 以C为圆心，CD长半径画弧，交AD的延长线于G，连接CG， 则CD＝CG， ∴∠G＝∠CDG， 设CG＝CD＝x，AB＝AC＝y，则BC，BD， 由（1）知， ∠B＝∠C，∠BED＝∠ADC， ∴△BDE∽△CAD， ∴，∠BDE＝∠CAD， ∴， ∴BE， ∵∠CDF＝∠BDE， ∴∠CDF＝∠CAD， ∵∠AED＝∠B+∠BDE＝45°+∠BDE， ∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝45°+∠BDE， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠CDG＝∠ADB，∠AED＝∠F， ∴∠CDG＝∠F， ∴∠F＝∠G， ∴△CDF∽△CAG， ∴， ∴， ∴CF， ∴BE+CF， ∴BE+CF； （3）解：如图2， ∵∠BAC＝90°， ∴CE， ∴当AE最小时，CE最大， ∵AE＝AB﹣BE， ∴当BE最大时，CE最小， 不妨设AB＝AC＝1，CD＝m， 由（2）知， ， ∴， ∴BE＝m（（m）2， ∴当m时，BE最大， ∴当E是AB的中点时，CE最小， ∴tan∠ACE， ∵△ACE沿CE翻折至△ABC所在平面内得到△FCE， ∴AF⊥CE， ∴∠AME＝∠AMC＝∠BAC＝90°， ∴∠EAM+∠AEC＝90°，∠ACE+∠AEC＝90°， ∴∠EAM＝∠ACE， ∴tan∠EAM＝tan∠ACE， ∴，tan∠FAD， 设EM＝k，则AM＝2k，CM＝2AM＝4k，AF＝2AM＝4k，AE， ∴AB＝AC＝2，ADAC， 在CE上截取CH＝AM＝2k，连接AH， ∴MH＝CM﹣CH＝2k， ∴AM＝MH， ∴∠AHM＝45°， ∴∠AHC＝135°， ∵AB＝AC， ∴△BAM≌△ACH（SAS）， ∴∠AMB＝∠AHC＝135°， ∴∠BMF＝45°， 作DG⊥AF于G，设AF和BD交于点I， ∴， ∴DG＝k，AG＝3k， ∴FG＝AF﹣AG＝4k﹣3k＝k， ∴FG＝DG， ∴∠AFD＝∠FDG＝45°， ∴∠AFD＝∠BMF， ∴BM∥DF， ∴△BMI∽△DFI， ∴， 在Rt△CMG中，CM＝4k，tan∠BCE， ∴， ∴MI， ∴FI＝FM﹣MI＝2kk， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）． （1）该抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3　 ； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）， ∴B（3，0）， ∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， 故答案为：y＝x2﹣4x+3； （2）方法一：作AD⊥BC于D，交CP于E，如图： 在y＝x2﹣4x+3中，令x＝0得y＝3， ∴C（0，3）， ∵B（3，0）， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵A（1，0），B（3，0）， ∴D（2，1）， ∵∠PCB＝∠ACB， ∴AD＝DE， ∴E（3，2）， ∴直线CE的关系式为：yx+3， 由x+3＝x2﹣4x+3得：x1＝0（舍去），x2， ∴P（，）， 方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，如图： ∵OC＝OB， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠DBC＝∠ABC＝45°， ∵∠PCB＝∠ACB，BC＝BC， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴BD＝AB＝2， ∴D（3，2）， ∴直线CP的解析式为yx+3， 由x+3﹣＝x2﹣4x+3得：x1＝0（舍去），x2， ∴P（，）； （3）在对称轴上存在一点Q，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上，理由如下： 点P旋转后的对应点为P'， 当P在Q上方时，作PK⊥对称轴于K，P'T⊥对称轴于T， ∵P（，），对称轴为直线x＝2， ∴PK， 设KQ＝m， ∵将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段QP'， ∴∠PQP'＝90°，PQ＝P'Q， ∴∠PQK＝90°﹣∠TQP'＝∠QP'T，∠PKQ＝90°＝∠P'TQ， ∴△PKQ≌△QTP'（AAS）， ∴P'T＝KQ＝m，QT＝PK， ∴P'（m+2，m）， ∵P'恰好落在抛物线上， ∴（m+2）2﹣4（m+2）+3m， 解得m1，m2， ∴Q（2，）， 当Q在P上方时，作PW⊥对称轴于W，如图： 由图可得，P，P'关于直线x＝2对称， ∴△PQP'是等腰直角三角形， ∴△P'QW，△PQW是等腰直角三角形， ∴QW＝PW， ∴Q（2，）， 综上所述：Q（2，）或Q（2，）． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝5OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值． 【答案】（1）点A、C的坐标分别为（5，0）、（0，﹣5）； （2）y＝x2﹣4x﹣5； （3）P（，），PD的最大值为． 【解答】解：（1）OA＝OC＝5OB＝5， 故点A、C的坐标分别为（5，0）、（0，﹣5）； （2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5）， 即﹣5a＝﹣5，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5； （3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣5， 将点A坐标代入上式并解得：k＝1， 故直线CA的表达式为：y＝x﹣5， 过点P作y轴的平行线交AC于点H， ∵OA＝OC＝5， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵PH∥y轴， ∴∠PHD＝∠OCA＝45°， 设点P（x，x2﹣4x﹣5），则点H（x，x﹣5）， PD＝HPsin∠PHD（x﹣5﹣x2+4x+5）x2x， ∵0， ∴PD有最大值，当x时，其最大值为， 此时点P（，）． 22．已知关于x的函数y＝ax2﹣4ax+k﹣2． （1）当a＞0，k＝4时， ①求当x≤0时，该函数的最小值； ②当0≤x≤5时，y有最小值为﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值． （2）当k＝a时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求a的值； （3）当a＜0，且k＝a时，若该函数图象与x轴有两个不同交点，试说明该图象与直线y＝kx﹣2始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围． 【答案】（1）①2； ②7； （2）a的值为2或； （3）两点之间距离的取值范围为d． 【解答】解：（1）①对称轴为直线x＝2，当a＞0，开口向上， 故当x＜2时，y随x的增大而减小， 所以当x＝0时，函数有最小值为ymin＝k﹣2＝4﹣2＝2； ②当0≤x≤5时，ymin＝﹣2，即当x＝2时，ymin＝4a﹣8a+2＝﹣2，解得a＝1， 此时，y＝x2﹣4x+2，那么当x＝5时，ymax＝25﹣20+2＝7． 即y的最大值为7． （2）当k＝a时，函数解析式为y＝ax2﹣4ax+a﹣2， ∵该函数图象与坐标轴有两个交点， 则当a＝0时，y＝﹣2，仅与y轴有且只有一个交点，不符合题意，舍去； 当a≠0时，函数为二次函数，若图象过原点时，此时a﹣2＝0，a＝2，符合题意， 当二次函数图象与x轴只有一个交点时，令Δ＝0，即16a2﹣4a（a﹣2）＝0， 解得a＝0或（0舍去）， 综上，a的值为2或． （3）当a＜0，且k＝a时，该函数为二次函数，解析式为y＝ax2﹣4ax+a﹣2，开口向下， ∵图象x轴有两个不同交点， 故令Δ＞0，即16a2﹣4a（a﹣2）＞0，整理得a（3a+2）＞0， 解得a． 又∵二次函数y＝ax2﹣4ax+a﹣2与直线y＝kx﹣2始终有两个交点且k＝a，设交点坐标为（x1，y1）、（x2，y2）， 两交点之间距离为d， 故令ax2﹣4ax+a﹣2＝ax﹣2，整理得：ax2﹣5ax+a＝0， 由韦达定理知x1+x2＝5，x1x2＝1， 且y1＝ax1﹣2，y2＝ax2﹣2， 则d ， ∵a， ∴d． 故两点之间距离的取值范围为d． 23．如图，在等边三角形ABC中，点D在线段AC上移动，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE交线段AC于点F． （1）如图1，若∠BFD＝75°，EF＝2，求BD的长度； （2）如图2，当B，A，E三点共线时，连接CE，点G为BD中点，过点G作GH⊥CE于点H，请猜想AG与CH的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点D在直线AC上移动，等边三角形ABC的边长为2，作点C关于直线BE的对称点M，连接BM，取BM的中点N，连接CN，将CN绕点N逆时针旋转120°，使得C点的对应点为点P，连接AP，请直接写出AP的最小值． 【答案】（1）， （2）AG＝2CH； （3）2． 【解答】解：（1）如图1， 作FG⊥DE于G， ∵线段BD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE， ∴BD＝DE，∠BDE＝120°， ∴∠E＝∠EBD＝30°， ∴FG， ∵∠EDF＝∠BFD﹣∠E＝75°﹣30°＝45°， ∴FG＝DG•tan∠EDF＝DG•tan45°＝DG， ∴DG＝FG＝2， ∴DE＝EG+DG， ∴BD， （2）如图2， AG＝2CH，理由如下： 连接CG，EG，作GW⊥BE于W，作CV⊥BE于V， 不妨设AD＝4， 由（1）知， ∠EBD＝30°，BEBD， ∴WG，BW， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴∠EBD， ∴BD⊥AC，AC＝2AD＝8，BDAD＝4， ∴BD＝12，CV＝BD＝4，BV＝AD＝4， ∵点G是BD的中点， ∴BG＝DG＝2， ∴WG，BW＝3， ∴EW＝BE﹣BW＝12﹣3＝9，EV＝BE﹣BV＝12﹣4＝8， ∴EG284， 112， ∵CG2＝AG2＝AD2+DG228， ∴EG2+CG2＝CE2， ∴∠EGC＝90°， ∴sin∠ECG， ∴∠ECG＝60°， ∴∠CGH＝90°， ∴CG＝2CH， ∴AG＝2CH； （3）如图3， 作∠CBQ＝120°，截取BQ＝BC，连接PQ， ∵点C关于直线BE的对称点M， ∴BM＝BC＝2， ∵N是BM的中点， ∴BNBM＝1， 由（2）知， ∠BCQ＝∠PCN＝30°，， ∴∠BCQ﹣∠NCQ＝∠PCN﹣∠NCQ， ∴∠BCN＝∠PCQ， ∴△BCN∽△QCP， ∴， ∴PQBN， ∵∠ABQ＝∠CBQ﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，BC＝AB＝BQ， ∴△ABQ是等边三角形， ∴AQ＝BC＝2， ∵AP≥AQ﹣PQ＝2， ∴当点A、P、Q共线时，等号成立， ∴AP最小＝2． 24．综合与实践： 【回归教材】 （1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，则存在BE　＝　 CD（填“＝”或“≠”）． 【变式思考】 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α（45°≤α＜90°），点O为BC中点．点P为AB上的动点，连接PO，将射线OP绕点O顺时针旋转α角后得到射线OE，过点P作OP的垂线，与射线OE交于点Q，连接QC． （2）如图2，当α＝45°，时，猜想QO与QC的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图3，若QO＝QC，分析当α的度数一定时，的值是否变化？ 【答案】（1）＝； （2）QO＝QC，理由见解析； （3）的值不变．理由见解析． 【解答】解：（1）如图1中，∵△ABD，△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴CD＝BE． 故答案为：＝； （2）结论：QO＝QC． 理由：连接AO，AQ，过点O作OJ⊥AB于点J，过点Q作QK⊥OC于点K． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∵OB＝OC， ∴AO⊥BC， ∴OA＝OB＝OC， ∵OJ⊥AB， ∴AJ＝JB， ∴OJ＝JA＝JB， ∵BP：AB＝3：4， ∴AB＝4AP， ∴PJ＝AP， ∴OJ＝2PA， ∵△AOJ，△QPO都是等腰直角三角形， ∴△OAJ∽△OQP， ∴，∠AOJ＝∠POQ， ∴，∠POJ＝∠AOQ， ∴△POJ∽△QOA， ∴∠OAQ＝∠OJP＝90°，2， ∵QK⊥OC， ∴∠QKO＝∠AOK＝∠OAQ＝90°， ∴四边形OAQK是矩形， ∴OK＝AQ， ∴OA＝2OK， ∵OA＝OC， ∴OK＝KC， ∴QO＝QC； （3）结论：的值不变． 理由：连接AO，AQ，过点O作OJ⊥AB于点J，过点Q作QK⊥OC于点K． ∵α是定值， ∴tanB是定值， 不妨假设tanB＝k，OB＝m，则AO＝mk． ∵QO＝QC，QK⊥OC， ∴OK＝KCm， 同法可证，△POJ∽△QOA， ∴∠OAQ＝∠OJP＝90°， ∴∠QKO＝∠AOK＝∠OAQ＝90°， ∴四边形OAQK是矩形， ∴OK＝AQm， ∵2k， 设BJ＝n，则JO＝kn，PJn，AJ＝nk2， ∴PB＝nnn，AB＝n+nk2， ∴定值． 25．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝30°，D为直线AC上一点（不与A、C重合），将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，连接ED． （1）如图1，若D在AC边上，DC＝2，，求ED的长； （2）如图2，若D在AC边上，连接EC，延长BA交EC于F，求证：； （3）如图3，若D在AC的延长线上，连接EC，延长BA交EC于F，M为射线BA上一点，连接EM，使得∠BEF＝∠BME，连接DF、DM，当△DEM为直角三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：如图1，过点D作DG⊥BC于点G， 在Rt△CDG中，∠C＝30°，DC＝2， ∴DGDC＝1，CG＝DC•cosC， 在Rt△BDG中，tan∠DBC， ∴BG＝3DG＝3， ∴BD， ∵线段BD绕点B逆时针旋转得到线段BE， ∴BE＝BD，∠DBE＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴ED＝BD； （2）证明：如图2，作射线CH交BA的延长线于点H，使∠BCH＝120°，过点C作CK∥BE交BH于点K， ∵∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠H＝30°， ∴∠ABC＝∠H， ∴CH＝BC，BHBC， 设∠CBD＝α，则∠CBE＝α+60°， ∵CK∥BE， ∴∠BCK+∠CBE＝180°， ∴∠BCK＝120°﹣α， ∴∠HCK＝∠BCH﹣∠BCK＝α， ∴∠HCK＝∠CBD， 又∵∠H＝∠BCD＝30°，CH＝BC， ∴△CHK≌△BCD（ASA）， ∴CK＝BD，HK＝CD， 由（1）知，BE＝BD， ∴CK＝BE， ∵CK∥BE， ∴∠CKF＝∠EBF，∠KCF＝∠BEF， ∴△CFK≌△EFB（ASA）， ∴FK＝BF， ∴BK＝2BF， ∵HK+BK＝BH， ∴CD+2BFBC； （3）解：以AB为边向上侧作等边△ABG，连接EG，连接DF， 则BG＝BA＝AG＝AC，∠GBA＝60°， ∵△BED是等边三角形， ∴BE＝BD，∠EBD＝60°， ∴∠GBE＝∠ABD＝60°﹣∠EBA， ∴△GBE≌△ABD（SAS）， ∴∠BGE＝∠BAD＝120°，GE＝AD， ∵∠BGE+∠GBA＝180°， ∴GE∥BF， ∵AG＝AC， ∴点A为CG中点， ∴AF是△CGE的中位线， ∴GE＝AD＝2AF， ∵∠DAF＝∠ABC+∠ACB＝60°， ∴∠AFD＝90°， ∵∠BEF＝∠BME， ∴△BEF∽△BME， ∴， ∵BE＝BD， ∴， ∴△BFD∽△BDM， ∴∠BDM＝∠BFD＝90°， ∴∠EDM＝∠BDM﹣∠BDE＝30°， ①当∠DME＝90°时， 设DM＝x， ∴BD：DM＝DE：DM＝2：， ∴BD：DM：BM＝2：：7， ∴DF， ∴AFDF， ∴； ②当∠DEM＝90°时， 设DM＝x，则BVD：DM＝DE：DM：2， ∴BD：DM：BM， ∴DFBDx， ∴AFDF， ∴； 综上，的值为或 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $