【人教版压轴题】2024～2025年八年级上数学期末填空题真题汇编卷（下）

【人教版】2024~2025年八年级上期末填空题真题汇编卷（下） 一．填空题（共25小题） 1．如果解关于x的分式方程5时出现了增根，那么a的值为　 　 ． 2．如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F，OF＝2．下列结论：①点O在∠A的平分线上；②∠BOC＝120°；③AD﹣AE＝EF；④S△ABC＝a+b+c，其中正确的结论是 　 　 （填序号）． 3．已知多项式x2+mx+n，下列四个结论： ①若x2+mx+n为完全平方式，则m2＝4n；②若x2+mx+n＝（x﹣5）（x+b），且n＝﹣10，则； ③若a≠0，b≠0，x2+mx+n＝（x﹣a）（x﹣b），则关于x的分式方程的解为x＝a或x＝b； ④若，则m+n＝b﹣1．其中正确的有　 　 （请填写序号）． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝65°，BD是AC边上的高，点E，F分别是边AB，BD上的动点，且AE＝BF，当AF+CE的值最小时，∠AFB的度数是　 　 °． 5．若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 　 　 ． 6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．四边形ABCD的顶点B在格点上，顶点A，C，D均在网格线上，且∠BAD＝70°，∠ADC＝80°，∠DCB＝120°． （Ⅰ）∠ABC＝ 　 　 （度）； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在AB，AD上分别画出点M，N，使得△CMN的周长最小．简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 7．如图，等腰Rt△ABC腰长为6，等腰Rt△ADE的斜边DE＝4，点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最大值为　 　 ． 8．各数位都不为0的四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为m1，再将m1的首位数字放在末尾得到m2，以此类推得到m3，记，则F（2134）的值为 　 　 ．已知t为“间和数”，其中t＝1000a+10b+c+2510，a，b，c均为整数，0≤a≤7，0≤b≤8，1≤c≤9，若能被13整除，且（s为正整数），则t的值为 　 　 ． 9．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点P在AC的延长线上，且AC＝CP＝4，将△ABC沿AB方向平移得到△A′B′C′，连接PA′，PC′，则△PA′C′的周长的最小值为 　 　 ． 10．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 　 　 ． 11．若一个四位正整数满足个位数字与千位数字相同，十位数字与百位数字相同，我们称这个四位正整数为“双同数”．将“双同数”m的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双同数m'，记，则计算F（4884）＝ 　 　 ；若两个双同数（1≤a＜b≤9且a、b为正整数），q（1≤c＜d≤9且c、d为正整数），F（p）能被16整除，2F（p）+3F（q）﹣（a+2b﹣9c+4d）＝37，则q的最大值为 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，BC＝6，S△ABC＝20，AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D，M分别为线段BC，EF上的动点，则BM+DM的最小值为 　 　 ． 13．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高是 　 　 ． 14．如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作m，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n，若m﹣n＝30，则m+n的值为 　 　 ． 15．已知直线y＝（m﹣1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有 　 　 ． ①当m＞0时，y随x的增大而增大；②若1＜m＜1.5，则图象经过不经过第四象限； ③直线过定点（2，1）；④若当x≥0时，函数有最大值a，则a＜1． 16．在△ABC中，CA＝CB，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若存在某一时刻△PCD是以∠CPD为其中一个底角的等腰三角形，则此时∠APD与∠PCB的数量关系为 　 　 ． 17．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BC＝4，S△ABC＝10，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点F，点P是EF上一动点，则△PBD周长的最小值为 　 　 ． 18．如图，已知长方体的长、宽、高分别是4、3、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 　 　 ． 19．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为 　 　 ． 20．如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E′，BE'与AC边相交于D点，恰好BE′是∠ABC的角平分线，若CE＝1，则BD的长为 　 　 ． 21．如图，D是等边三角形ABC中BA延长线上一点，连接CD，E是BC上一点，且DE＝DC，若BD+BE＝6，CE＝2，则这个等边三角形的边长是 　 　 ． 22．如图是某市的三个旅游景点，景点B在景点A的南偏东75°方向，景点B在景点C的南偏东40°方向，景点A在景点C的南偏西45°方向，则∠ABC＝ 　 　 °． 23．如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 　 　 ． 24．代数式2a2﹣b＝7，则10﹣4a2+2b的值是　 　 ． 25．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF＝4，则QM+QN的长是 　 　 ． 【人教版】2024~2025年八年级上期末填空题真题汇编卷（下） 参考答案与试题解析 一．填空题（共25小题） 1．如果解关于x的分式方程5时出现了增根，那么a的值为　﹣6　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣3），得2x+a＝5（x﹣3）， 整理，得3x＝a+15 解得x 由于分式方程出现了增根， 所以 解得a＝﹣6 故答案为：﹣6． 2．如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F，OF＝2．下列结论：①点O在∠A的平分线上；②∠BOC＝120°；③AD﹣AE＝EF；④S△ABC＝a+b+c，其中正确的结论是 　①②④　 （填序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：①过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，连接OA，如图所示： ∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点O，且OF＝2， ∴OM＝OF＝2，OM＝ON， ∴ON＝OF＝2， ∴点O在∠A的平分线上， 故结论①正确； ②在△ABC中，∠BAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝120°， ∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝60°， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°， 故结论②正确； ③设∠AOE＝α， ∵点O在∠A的平分线上， ∴∠OAN＝∠OAF＝30°， ∴∠AON＝∠AOF＝60°， ∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝60°﹣α， ∵∠BOC＝120°， ∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝60°， ∴∠DON＝180°﹣（∠DOC+∠AON+∠AOE）＝180°﹣（60°+60°+α）＝60°﹣α， ∴∠DON＝∠EOF＝60°﹣α， 在Rt△OAN和Rt△OAF中， ， ∴Rt△OAN≌Rt△OAF（HL）， ∴AN＝AF， 在△DON和△EOF中， ， ∴△∠DON≌△EOF（AAS）， ∴DN＝EF， ∴AD﹣AE＝AN+ND﹣（AF﹣EF）＝AF+EF﹣（AF﹣EF）＝2EF， 故结论③不正确： ④∵OM＝ON＝OF＝2，AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∴S△OBCBC•OM＝a，S△OACAC•ON＝b，S△OABAB•OF＝c， ∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝a+b+c， 故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 3．已知多项式x2+mx+n，下列四个结论： ①若x2+mx+n为完全平方式，则m2＝4n； ②若x2+mx+n＝（x﹣5）（x+b），且n＝﹣10，则； ③若a≠0，b≠0，x2+mx+n＝（x﹣a）（x﹣b），则关于x的分式方程的解为x＝a或x＝b； ④若，则m+n＝b﹣1． 其中正确的有　①③④　 （请填写序号）． 【答案】①③④． 【解答】解：①由题意可得：设x2+mx+n＝（x+a）2， 则：x2+mx+n＝（x+a）2＝x2+2ax+a2， ∴m＝2a，n＝a2， ∴m2＝（2a）2＝4a2 ∴m2＝4n，故①正确，符合题意； ②∵x2+mx+n＝（x﹣5）（x+b）＝x2+（b﹣5）x﹣5b， ∴m＝b﹣5，n＝﹣5b， ∵n＝﹣10 ∴b＝2， ∴m＝﹣3 ∴，故②错误，不符合题意； ③∵ ∴x2+mx+n＝0 ∵x2+mx+n＝（x﹣a）（x﹣b） ∴（x﹣a）（x﹣b）＝0 ∴x﹣a＝0或x﹣b＝0 ∴x＝a或x＝b，故③正确，符合题意； ④∵ ∴x2+mx+n＝x2+（a﹣1）x﹣a+b ∴m＝a﹣1，n＝﹣a+b ∴m+n＝a﹣1﹣a+b＝b﹣1，故④正确，符合题意； 综上所述：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝65°，BD是AC边上的高，点E，F分别是边AB，BD上的动点，且AE＝BF，当AF+CE的值最小时，∠AFB的度数是　110　 °． 【答案】110． 【解答】解：如图，过 A 作AG⊥AC，使得AG＝AB，连接GE， ∵BD⊥AC，GA⊥AC， ∴BD∥AG， ∴∠ABF＝∠GAE， 在△AGE和△BAF中， ， ∴△AGE≌△BAF（SAS）， ∴AF＝GE， ∴AF+CE＝GE+CE， ∴当G，E，C三点共线时，AF+CE的最小值等于CG的长， 此时，AG＝AC，∠GAC＝90°，即△ACG是等腰直角三角形， ∴∠G＝45°＝∠BAF， 又∵在直角三角形ABD中，∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∴∠AFD＝∠ABF+∠BAF＝25°+45°＝70°， ∴∠AFB＝180°﹣70°＝110°， 故答案为：110． 5．若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 　﹣13　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵34， ∴12＜913，﹣43， ∴a＝9123，5＜96， ∴b＝95＝4， ∴（a+3）（b﹣4）＝（3+3）×（44）＝﹣13， 故答案为：﹣13． 6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．四边形ABCD的顶点B在格点上，顶点A，C，D均在网格线上，且∠BAD＝70°，∠ADC＝80°，∠DCB＝120°． （Ⅰ）∠ABC＝ 　90　 （度）； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在AB，AD上分别画出点M，N，使得△CMN的周长最小．简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　作点C关于AB，AD的对称点C'，C''，连接C'C''分别交AB，AD于点M，N，点M，N即为所求．　 ． 【答案】（1）∠ABC＝90°； （2）见解答． 【解答】解：（1）∵∠BAD＝70°，∠ADC＝80°，∠DCB＝120°， ∴∠ABC＝90°； （2）如图所示： 由∠ABC＝90°，点C所在网格线与AD垂直，可作点C关于AB，AD的对称点C'，C''，连接C'C''分别交AB，AD于点M，N，点M，N即为所求． 7．如图，等腰Rt△ABC腰长为6，等腰Rt△ADE的斜边DE＝4，点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最大值为　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：连接AM，如图所示： 在等腰Rt△ADE中，AD＝AE，且∠D＝∠E＝45°， ∵根据等腰三角形的性质可得，点M为边DE的中点， ∴根据等腰三角形三线合一性质可得，AM即是Rt△ADE斜边DE上的高线， ∴AM⊥DE， ∴△AMD和△AME均为等腰直角三角形， ∴． ∵等腰Rt△ADE的斜边DE＝4， ∴DM＝ME＝AM＝4÷2＝2． 当A，B，M三点不共线时，根据三角形的三边关系可知，此时一定有BM＜AB+AM；即当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时BM有最大值，此时有BM＝AB+AM， ∵等腰Rt△ABC腰长为6， ∴BM≤AB+AM＝6+2＝8，即点B到点M的距离的最大值为8． 故答案为：8． 8．各数位都不为0的四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为m1，再将m1的首位数字放在末尾得到m2，以此类推得到m3，记，则F（2134）的值为 　55　 ．已知t为“间和数”，其中t＝1000a+10b+c+2510，a，b，c均为整数，0≤a≤7，0≤b≤8，1≤c≤9，若能被13整除，且（s为正整数），则t的值为 　4576　 ． 【答案】55，4576． 【解答】解：∵m＝2134， ∴m1＝1342，m2＝3421，m3＝4213， ∴F（2134）， ∵t＝1000a+10b+c+2510＝1000a+10b+c+2×1000+5×100+1×10＝1000（a+2）+5×100+10（b+1）+c， ∴t的千位上的数字是a+2，百位上的数字是5，十位上的数字是b+1，个位上的数字是c， ∵t为“间和数”， ∴a+2+b+1＝c+5， ∴c＝a+b﹣2， ∴t＝1000（a+2）+5×100+10（b+1）+a+b﹣2＝1001a+11b+2508， ∵t能被13整除， ∴77a+192为整数， ∴为整数， ∵0≤a≤7，0≤b≤8，1≤c≤9，a，b，c均为整数， ∴b为6， ∴t＝1000（a+2）+5×100+10×7+a+4＝1001a+2574， ∴t1＝5×1000+7×100+10（a+4）+a+2＝11a+5742， t2＝7×1000+100（a+4）+10（a+2）+5＝110a+7425， t3＝1000（a+4）+100（a+2）+5×10+7＝1100a+4257， ∴F（t）11a+99， ∵， ∴（11a+99）＝s2+13， 整理得：s2＝2a+5， ∵0≤a≤7，a为整数，s为正整数， ∴a＝2， ∴t＝1001a+2563＝4576． 故答案为：55，4576． 9．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点P在AC的延长线上，且AC＝CP＝4，将△ABC沿AB方向平移得到△A′B′C′，连接PA′，PC′，则△PA′C′的周长的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，作点C关于点AB的对称点D，连接AD、A′D、A′C、DP， ， 由平移的性质可得：AC＝A′C′＝CP＝4，AC∥A′C′， ∴∠A′PC＝∠PA′C′， ∵A′P＝PA′， ∴△A′C′P≌△PCA′（SAS）， ∴A′C＝C′P， ∴A′P+C′P＝A′P+A′C， 由对称的性质可得：AA′⊥CD，BC＝BD， ∴AC＝AD＝4，A′C＝A′D， ∴A′P+C′P＝A′P+A′C＝A′P+A′D≥DP， 当D、A′、P在同一直线上时，A′P+C′P的值最小，为DP， ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝∠ACD＝45°， ∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝90°， 在Rt△ADP中，∠DAP＝90°，AD＝4，AP＝AC+CP＝4+4＝8， ∴， ∴A′P+C′P的最小值为， ∴△PA′C′的周长的最小值为， 故答案为：． 10．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 　2＜CD＜7　 ． 【答案】2＜CD＜7． 【解答】解：已知等式整理得： （a2﹣10a+25）+（b2﹣18b+81）＝0， 即（a﹣5）2+（b﹣9）2＝0， ∵（a﹣5）2≥0，（b﹣9）2≥0， ∴a﹣5＝0，b﹣9＝0， 解得：a＝5，b＝9， ∴BC＝5，AC＝9， 延长CD到E，使DE＝CD，连接AE， ∵CD为AB边上的中线， ∴BD＝AD， 在△BCD和△AED中， ， ∴△BCD≌△AED（SAS）， ∴AE＝BC＝a， 在△ACE中，AC﹣AE＜CE＜AC+AE， ∴AC﹣BC＜2CD＜AC+AE，即b﹣a＜2CD＜a+b， ∴CD， 则2＜CD＜7． 故答案为：2＜CD＜7． 11．若一个四位正整数满足个位数字与千位数字相同，十位数字与百位数字相同，我们称这个四位正整数为“双同数”．将“双同数”m的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双同数m'，记，则计算F（4884）＝ 　8　 ；若两个双同数（1≤a＜b≤9且a、b为正整数），q（1≤c＜d≤9且c、d为正整数），F（p）能被16整除，2F（p）+3F（q）﹣（a+2b﹣9c+4d）＝37，则q的最大值为 　4664　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵m＝4884， ∴m′＝8448． ∴F（4884）8； 由题意得：p＝1000a+100b+10b+a＝1001a+110b，q＝1000c+100d+10d+c＝1001c+110d， ∴p′＝1000b+100a+10a+b＝1001b+110a，q′＝1000d+100c+10c+d＝1001d+110c． ∴F（p）2b﹣2a，F（q）＝2d﹣2c． ∴． ∵F（p）能被16整除， ∴b﹣a＝8． ∵1≤a＜b≤9且a、b为正整数， ∴a＝1，b＝9． ∵2F（p）+3F（q）﹣（a+2b﹣9c+4d）＝37， ∴2（2b﹣2a）+3（2d﹣2c）﹣a﹣2b+9c﹣4d＝37． ∴4b﹣4a+6d﹣6c﹣a﹣2b+9c﹣4d＝37． ∴﹣5a+2b+3c+2d＝37． ∴﹣5+18+3c+2d＝37． ∴3c+2d＝24． ∵1≤c＜d≤9且c、d为正整数，求q的最大值． ∴c最大取4， ∴d＝6． ∴q的最大值为4664． 12．如图，在△ABC中，BC＝6，S△ABC＝20，AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D，M分别为线段BC，EF上的动点，则BM+DM的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过A作AD⊥BC交EF于点M， ∵EF垂直平分AB， ∵AM＝BM， ∴BM+DM＝AM+DM≥AD，即AD为BM+DM的最小值， ∵BC＝6，S△ABC＝20， ∴BC•AD6AD＝20， 解得：AD， 故答案为：． 13．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，取格点D，连接BD交AC于格点E，则BE即为AC边上的高， ∴BE， 故答案为：． 14．如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作m，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n，若m﹣n＝30，则m+n的值为 　900　 ． 【答案】900． 【解答】解：设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为a，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为b，则m＝a2﹣64，n＝b2﹣49， 根据题意得：（a2﹣64）﹣（b2﹣49）＝30， ∴a2﹣b2＝45， ∴（a+b）（a﹣b）＝45， ∵a≥9，b≥8， ∴a+b＝45，a﹣b＝1， ∴a＝23，b＝22， ∴m+n＝（a2﹣64）+（b2﹣49）＝（232﹣64）+（222﹣49）＝465+435＝900． 故答案为：900． 15．已知直线y＝（m﹣1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有 　②③　 ． ①当m＞0时，y随x的增大而增大； ②若1＜m＜1.5，则图象经过不经过第四象限； ③直线过定点（2，1）； ④若当x≥0时，函数有最大值a，则a＜1． 【答案】②③． 【解答】解：对于直线y＝（m﹣1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）来说，当m﹣1＞0时，即m＞1时，y随x的增大而增大；故①错误； 若1＜m＜1.5，则m﹣1＞0，3﹣2m＞0， ∴若1＜m＜1.5，则图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确； ∵直线y＝（m﹣1）x+3﹣2m＝（x﹣2）m﹣x+3， ∴当x＝2时，y＝1， ∴直线过定点（2，1），故③正确； 若当x≥0时，函数有最大值a，则m﹣1＜0，3﹣2m＝a， ∴m＜1，m， ∴1， ∴a＞1，故④错误． 故答案为：②③． 16．在△ABC中，CA＝CB，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若存在某一时刻△PCD是以∠CPD为其中一个底角的等腰三角形，则此时∠APD与∠PCB的数量关系为 　2∠APD﹣∠PCB＝90°或2∠APD＝∠PCB ． 【答案】2∠APD﹣∠PCB＝90°或2∠APD＝∠PCB． 【解答】解：当△PCD是以∠CPD为其中一个底角的等腰三角形，有以下两种情况： ①当∠CPD＝∠PCD＝30°时，如图1所示： ∴∠APC＝∠APD+∠CPD＝∠APD+30°， 在△APC中，∠A+∠APC+∠PCD＝180°， ∴∠A+∠APD+30°+30°＝180°， ∴∠A＝120°﹣∠APD， ∵在△ABC中，CA＝CB， ∴∠B＝∠A＝120°﹣∠APD， ∵∠APC是△PBC的一个外角， ∴∠APC＝∠PCB+∠B， ∴∠APD+30°＝∠PCB+120°﹣∠APD， ∴2∠APD﹣∠PCB＝90°； ②当∠CPD＝∠CDP＝30°时，如图2所示： ∴∠APC＝∠APD+∠CPD＝∠APD+30°， 在△CDP中，∠PCD＝180°﹣（∠CPD+∠CDP）＝120°， 在△ACP中，∠A＝180°﹣（∠APC+∠PCD）＝180°﹣（∠APD+30°+120°）＝30°﹣∠APD， ∵在△ABC中，CA＝CB， ∴∠B＝∠A＝30°﹣∠APD， ∵∠APC是△PBC的一个外角， ∴∠APC＝∠PCB+∠B， ∴∠APD+30°＝∠PCB+30°﹣∠APD， ∴2∠APD＝∠PCB， 综上所述：∠APD与∠PCB的数量关系为2∠APD﹣∠PCB＝90°或2∠APD＝∠PCB． 17．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BC＝4，S△ABC＝10，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点F，点P是EF上一动点，则△PBD周长的最小值为 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：如图所示：连接BP， ∵AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝10，AD⊥BC于点D， ∴AD＝5，BD＝BC＝2， ∵EF垂直平分AB， ∴BP＝AP， ∴△PBD周长为：PB+BD+PD＝AP+BD+PD≥AD+BD， 即△PBD周长的最小值为：DB+AD＝7， 故答案为：7． 18．如图，已知长方体的长、宽、高分别是4、3、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：将长方体侧面展开如图所示： 则AB； 如图所示： 则AB； 如图所示： 则AB， ∵4， ∴最短路径长为4， 故答案为：4． 19．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为 　18　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵ （x+4）（x﹣8） （x2﹣4x﹣32） [（x2﹣4x+4）﹣36] （x﹣2）2+18， ∴当x＝2时，代数式取得最大值，最大值是18． 故答案为：18． 20．如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E′，BE'与AC边相交于D点，恰好BE′是∠ABC的角平分线，若CE＝1，则BD的长为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图，延长CE′和BA延长线相交于点F， 由翻折变换的性质可知，∠BE′C＝∠BEC＝90°，CE′＝CE＝1， ∵BE′是∠ABC的角平分线， ∴∠CBE′＝∠FBE′， 在△BE′C和△BE′F中， ， ∴△BE′C≌△BE′F（ASA）， ∴E′F＝CE′＝1， ∴CF＝2， ∵∠FCA+∠F＝90°，∠DBA+∠F＝90°， ∴∠FCA＝∠DBA， 在△FCA和△DBA中， ， ∴△FCA≌△DBA（ASA）， ∴BD＝CF＝2， 故答案为：2． 21．如图，D是等边三角形ABC中BA延长线上一点，连接CD，E是BC上一点，且DE＝DC，若BD+BE＝6，CE＝2，则这个等边三角形的边长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：作EK∥AC交AB于K． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC． ∵EK∥AC，∠BKE＝∠BAC＝60°，∠KEB＝∠ACB＝60°， ∴△BEK是等边三角形，∠DKE＝∠DAC， ∴EK＝BE＝BK． ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴∠B+∠KDE＝∠DCA+∠ACB． ∵∠B＝∠ACB＝60°， ∴∠KDE＝∠DCA． 在△EKD与△DAC中， ∵∠DKE＝∠DAC，∠KDE＝∠DCA，DE＝DC， ∴△EKD≌△DAC（AAS）， ∴AD＝EK， ∴BE＝AD． ∵BD+BE＝6，CE＝2， ∴BD+BE+2CE＝10， ∴BA+AD+BC+EC＝3BA＝10， ∴AB． 故答案为：． 22．如图是某市的三个旅游景点，景点B在景点A的南偏东75°方向，景点B在景点C的南偏东40°方向，景点A在景点C的南偏西45°方向，则∠ABC＝ 　35　 °． 【答案】35． 【解答】解：如图， ∵AD∥BE，CF∥BE， ∴∠ABE＝∠BAD＝75°，∠CBE＝∠BCF＝40°， ∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝75°﹣40°＝35°． 故答案为：35． 23．如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 　②③④　 ． 【答案】②③④ 【解答】解：∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD，∠ACD＝∠FCD， ∵EF∥AC， ∴∠EDA＝∠CAD，∠FDC＝∠ACD， ∴∠EAD＝∠EDA，∠FDC＝∠FCD， ∴AE＝DE，DF＝CF， ∴AE+CF＝ED+DF＝EF， 故②正确； ∵AB≠AC，EF∥AC， ∴AE≠CF， ∴ED≠DF，故①错误； ∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线， ∴BD平分∠ABC， 故③正确； ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠EAD﹣∠ABD∵∠ACD+∠FCD＝∠ABC+∠BAC， ∴2∠FCD＝2∠ABD+180°﹣2∠EAD， ∴∠CDF＝∠ABD+90°﹣∠EAD， ∴∠ADB+∠CDF＝∠EAD﹣∠ABD+∠ABD+90°﹣∠EAD＝90°， 故④正确， 故答案为：②③④． 24．代数式2a2﹣b＝7，则10﹣4a2+2b的值是　﹣4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2a2﹣b＝7， ∴10﹣4a2+2b＝10﹣2（2a2﹣b）＝10﹣2×7＝﹣4． 故答案为：﹣4． 25．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，EF＝4，则QM+QN的长是 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：连接QG． ∵DG：GE＝1：3， ∴可以假设DG＝k，EG＝3k． ∵GF＝EG，∠D＝90°， ∴FG＝3k，DF2k． ∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2， ∴48＝16k2+8k2． ∴k或（舍弃）． ∴DF＝4． ∵S△EFG•EG•DF•EG•QM•GF•QN， ∴QM+QN＝DF＝4， 故答案为：4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $