【人教版压轴题】2024～2025年八年级上数学期末填空题真题汇编卷（上）

【人教版】2024~2025年八年级上期末填空题真题汇编卷（上） 一．填空题（共25小题） 1．若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 　 　 ． 2．如图，在△ABC中，DE是AB边的垂直平分线，AF平分∠CAE，若∠B＝m，∠C＝n，则∠EAF＝ 　 　 ．（用含m，n的代数式表示） 3．如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为　 　 千米． 4．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是 　 　 cm． 5．如图，在等边三角形ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝9，则EP+CP的最小值是　 　 ． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（a，b）（a＞2，b＞2），AC⊥AB，且AC＝AB，则点C坐标为 　 　 ． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　 　 ． 8．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，CO⊥AB于点O，CB＝a，CA＝b，CO＝h，其中a＞b，M、P、Q分别为线段AB、CB、CA上的点（均不与点A，B、C重合），对于每一个确定的点M、将△MPQ周长的最小值记为t（M）．给出下列三个结论： ①过点M向CB、CA作垂线．垂足分别为P，Q，此时△MPQ的周长即为t（M）； ②在点M从点A向点B运动过程中，t（M）的最小值为h； ③当h＜t（M）＜b时，点M能在两个不同的位置取到相同的t（M）值． 其中所有正确结论的序号是　 　 ． 9．由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价a%，第二次降价b%；②第一次降价b%，第二次降价a%；③第一、二次降价均为%． 记降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C． 若a＝10，b＝15，则A　 　 B（填“＞”“＜”或“＝”）；若a，b均为正数，则A，B，C的大小关系是 　 　 ． 10．新定义：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点”，m+n＝p+q＝k，称k为等和．例如：点P（4，2），点Q（1，5），因4+2＝1+5＝6，则点P与点Q就是和等点，6为等和．如图在长方形GHMN中，点H（3，5），点N（﹣3，﹣5），MN⊥y轴，HM⊥x轴，若长方形GHMN的边上存在不同的两个点P、Q，这两个点为和等点，等和为5，则PQ的长为　 　 ． 11．已知x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则 　 　 ． 12．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP取最小值时，若BF＝7，则此时AB的长为 　 　 ． 13．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，点P是线段AE上任意一点，若AE＝5，则BP+DP最小值是 　 　 ． 14．如图，直线交x轴、y轴于点A、B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P′恰好落在x轴的正半轴上，则点P的横坐标为 　 　 ． 15．如果一个各数位上的数字互不相等的四位数满足，则称这样的四位数为“错位平方差数”，并规定，例如：5214，因为52﹣12＝24，所以5214是一个“错位平方差数”，.若是一个“错位平方差数”，则x+y＝　 　 ；若B＝2000m+100n+10p+q+10（m，n，p，q是整数，且1≤m≤4，1≤n≤9，0≤p≤8，1≤q≤9）是一个“错位平方差数”且能被4整除，则所有满足条件的B中K（B）的最大值为 　 　 ． 16．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上，点Q在线段BD上．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为 　 　 ． 17．如图，△ABC为等边三角形，BC＝a，AD为∠BAC的角平分线，点E，F分别为线段AD，AC上的动点．当CE+EF最小时，则CF的长为 　 　 ．（用含a的式子表示） 18．我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．（x﹣2）5的展开式中x的一次项系数是 　 　 ． 19．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是BC，AC上的动点，且AE＝CD，当AD+BE最小时，∠AEB的大小是 　 　 度． 20．如图，等边三角形AOB中，B（﹣4，0），点D是OB上一点，且BD＝a．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段AB上一动点．当DE+EF的值最小时，点F的横坐标为　 　 ．（用含a的式子表示） 21．如图，直线m是线段AB的垂直平分线，点C是直线m上位于AB上方的一动点，连接CA和CB，以CA为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形CAD，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E，交直线AC于点F，连接DB，与直线m交于点G，连接CE．则在点C运动的过程中，以下结论：①DC＝BC，②AC＝DF，③直线CE垂直平分线段DB，④△DAF≌△BGC，⑤∠ACE＝∠CDG中，正确的是　 　 （请填入正确的序号）． 22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3.6，AC＝4.8，BC＝6，点D在边BC上，BD＝1.2，点E在边AC上，且∠ADE＝45°，则AE的长为　 　 ． 23．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边作△ACD，满足AC＝AD，点E为BC上一点，连接AE，DE，∠CAD＝2∠BAE．有下列结论：①∠ACB＝∠ADE；②AC⊥DE；③DE﹣BE＝BE+CE；④若CD∥AB，则AE⊥AD．其中正确结论的序号是　 　 ． 24．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG，BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论：①若∠BAD＝72°，则∠EBC＝6°；②AB＝BG+AD；③S△ABC＞2S△ACE；④；其中正确的结论有 　 　 （填写序号即可）． 25．一个四位自然数M＝2000a+120b+10c+d+3（1≤a，b≤4，1≤2b+c≤9，0≤d≤6，且a，b，c，d均为整数），满足千位数字与百位数字之差等于十位数字与个位数字之差．将M的千位数字和百位数字组成的两位数记为m，十位数字和个位数字组成的两位数记为n．若m﹣n被6除余3，则b﹣d＝　 　 ，在此条件下，记M的千位数字与个位数字的乘积为S（M），百位数字与十位数字的乘积为T（M），当S（M）﹣T（M）+1是一个完全平方数时，满足条件的M的最大值为　 　 ． 【人教版】2024~2025年八年级上期末填空题真题汇编卷（上） 参考答案与试题解析 一．填空题（共25小题） 1．若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 　±10　 ． 【答案】±10． 【解答】解：∵x2+kx+25是一个完全平方式， ∴x2+kx+25＝x2+kx+52＝（x±5）2， ∵（x±5）2＝x2±10x+25， ∴kx＝±10x， 解得k＝±10． 故答案为：±10． 2．如图，在△ABC中，DE是AB边的垂直平分线，AF平分∠CAE，若∠B＝m，∠C＝n，则∠EAF＝ 　90°﹣mn ．（用含m，n的代数式表示） 【答案】90°﹣mn． 【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B＝m， ∵∠B＝m，∠C＝n， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣m﹣n， ∴∠EAC＝180°﹣m﹣n﹣m＝180°﹣2m﹣n， ∵AF平分∠CAE， ∴∠EAF∠EAC＝90°﹣mn， 故答案为：90°﹣mn． 3．如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为　1.5　 千米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题，图可知甲走的是C路线，乙走的是D路线， 设s＝kt+b①， 因为C过（0，0），（2，4）点， 所以代入①得：k＝2，b＝0， 所以sC＝2t． 因为D过（2，4），（0，3）点， 代入①中得：k，b＝3， 所以sDt+3， 当t＝3时，sC﹣sD＝6． 4．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是 　26　 cm． 【答案】26． 【解答】解：由已知可得， CD＝BF﹣DE＝8﹣6＝2（cm），AD＝AB， 设钟摆AD的长为xcm，则AC的长为（x﹣2）cm， ∵BC⊥AD，BC＝10cm， ∴AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣2）2+102＝x2， 解得x＝26， 即钟摆AD的长为26cm， 故答案为：26． 5．如图，在等边三角形ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝9，则EP+CP的最小值是　9　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在等边三角形ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，如图，连接BE，交AD于点F，连接BP， ∴AD⊥BC，AD是BC的垂直平分线， ∴PB＝PC， ∴PC+PE＝PB+PE． ∵当B，P，E三点共线时，BP+PE最小，EP+CP有最小值， ∴当点P在点F处时，EP+CP有最小值，且最小值为BE的长． ∵E是AC边的中点， ∴BE是△ABC的中线， ∴BE⊥AC， ∵， ∴BE＝AD＝9， 即EP+CP的最小值为9． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（a，b）（a＞2，b＞2），AC⊥AB，且AC＝AB，则点C坐标为 　（2﹣b，a﹣2）　 ． 【答案】（2﹣b，a﹣2）． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于F， ∴∠AFC＝∠AEB＝90°＝∠BAC， ∴∠CAF+∠BAE＝90°＝∠CAF+∠ACF， ∴∠ACF＝∠BAE， 在△ACF和△BAE中， ， ∴△ACF≌△BAE（AAS）， ∴CF＝AE，AF＝BE， ∵点A（2，0），B（a，b）， ∴BE＝AF＝b，AO＝2，AE＝a﹣2， ∴OF＝b﹣2， ∴点C坐标为（2﹣b，a﹣2）， 故答案为：（2﹣b，a﹣2）． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　2.4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H． ∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称， ∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC•AB•CH， ∴CH＝2.4， ∴CP+PQ≥2.4， ∴PC+PQ的最小值为2.4． 故答案为：2.4． 8．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，CO⊥AB于点O，CB＝a，CA＝b，CO＝h，其中a＞b，M、P、Q分别为线段AB、CB、CA上的点（均不与点A，B、C重合），对于每一个确定的点M、将△MPQ周长的最小值记为t（M）．给出下列三个结论： ①过点M向CB、CA作垂线．垂足分别为P，Q，此时△MPQ的周长即为t（M）； ②在点M从点A向点B运动过程中，t（M）的最小值为h； ③当h＜t（M）＜b时，点M能在两个不同的位置取到相同的t（M）值． 其中所有正确结论的序号是　②③　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作点M关于BC的对称点M'， 点M关于AC的对称点M''，MM'交BC于P，MM''交AC于Q1， 连接M'M''，交BC于P，交AC于Q， 连接MP，MQ，P1Q1，CM，CM'，CM''， 根据轴对称的性质可得：CM＝CM'＝CM''，MQ＝M''Q，MP＝M'P， ∠MCA＝∠M''CA，∠MCB＝∠M'CB， ∵∠ACB＝∠MCA+∠MCB＝30°， ∴∠MCA+∠M''CA+∠MCB+∠M'CB＝2∠BCA＝∠M'CM''＝60°， ∴△M'CM''是等边三角形， ∴M'M''＝CM＝'CM＝CM''， ∵△MPQ的周长t（M）＝MP+MQ+PQ＝PQ+QM''+PM'＝M'M''， △P1Q1M的周长＝MQ1+MP1+P1Q1＝Q1M''+P1Q1+P1M'， Q1M''+P1Q1+P1M'≥M'M''， ∵t（M）＝M'M''＝CM， ∴M与O重合时，CM＝CO＝h，即t（M）＝h最小，故①错误；故②正确； 当h＜t（M）＜b时，点M能在两个不同的位置取到相同的t（M）值， 分别在点O两侧且关于点O对称，故③正确； 故答案为：②③． 9．由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价a%，第二次降价b%；②第一次降价b%，第二次降价a%；③第一、二次降价均为%． 记降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C． 若a＝10，b＝15，则A　＝　 B（填“＞”“＜”或“＝”）；若a，b均为正数，则A，B，C的大小关系是 A＝B≤C ． 【答案】＝，A＝B≤C． 【解答】解：记产品原价为x， 若a＝10，b＝15， 则A＝（1﹣10%）×（1﹣15%）x＝0.765x， B＝（1﹣15%）×（1﹣10%）x＝0.765x， ∴A＝B， 若a，b均为正数， 则 A＝（1﹣a%）（1﹣b%）x， B＝（1﹣b%）（1﹣a%）x， ， ∵ ， 又∵a，b均为正数， ∴， ∴A＝B≤C， 故答案为：＝，A＝B≤C． 10．新定义：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点”，m+n＝p+q＝k，称k为等和．例如：点P（4，2），点Q（1，5），因4+2＝1+5＝6，则点P与点Q就是和等点，6为等和．如图在长方形GHMN中，点H（3，5），点N（﹣3，﹣5），MN⊥y轴，HM⊥x轴，若长方形GHMN的边上存在不同的两个点P、Q，这两个点为和等点，等和为5，则PQ的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点” 由题意可得，m+n＝p+q＝5， ∴P（m，5﹣m），Q（p，5﹣p）， ∴点P，Q均在直线y＝﹣x+5上， 在平面直角坐标系中可作出直线y＝﹣x+5，则直线y＝﹣x+5与矩形的交点即为点P，Q， 令y＝5时，x＝0，令x＝3时，y＝2， ∴P（0，5），Q（3，2）或P（3，2），Q（0，5）， ∴， 故答案为：． 11．已知x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝（x+2）2+（y﹣3）2＝0， ∴x＝﹣2，y＝3， ∴， 故答案为：﹣5． 12．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP取最小值时，若BF＝7，则此时AB的长为 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE， ∴PE＝PE'， ∴EP+FP＝PE'+PF≥E'F， 当E'，P，F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B＝60°， ∵E'F⊥AB， ∴∠FE'B＝30°， ∴BE'＝2BF， ∵BF＝7，BE＝6， ∴E'B＝14， ∵CE＝CE， ∴14＝2CE+BE＝2CE+6， ∴CE＝4， ∴BC＝10＝AB， 故答案为：10． 13．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，点P是线段AE上任意一点，若AE＝5，则BP+DP最小值是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：连接CD交AE于P， ∵△ABC是等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点， ∴AE⊥BC，即AE垂直平分BC，AE＝CD＝5， ∴BP＝CP， ∴BP+DP＝CP+DP≥CD＝5， 故答案为：5． 14．如图，直线交x轴、y轴于点A、B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P′恰好落在x轴的正半轴上，则点P的横坐标为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接PA、PB、PP′、BP′， ∵直线AB的解析式为， ∴A（6，0），B（0，4）， ∴OA＝6，OB＝4， ∵点P与点P′关于直线AB对称， ∴PQ＝P′Q，且PP′⊥AB， ∴BP＝BP′ ∵点P在第一象限，且纵坐标为4， ∴BP∥x轴， ∴∠BPQ＝∠AP′Q 又∵PQ＝P′Q，∠BQP＝∠AQP′， ∴△BPQ≌△AP′Q（ASA）， ∴BP＝AP′， 设P（m，4），则BP＝m， ∴BP＝BP′＝AP′＝m， ∴OP′＝OA﹣AP′＝6﹣m， 在Rt△OBP′中，OB2+OP′2＝BP′2， 即：42+（6﹣m）2＝m2， 解得m， 故答案为：． 15．如果一个各数位上的数字互不相等的四位数满足，则称这样的四位数为“错位平方差数”，并规定，例如：5214，因为52﹣12＝24，所以5214是一个“错位平方差数”，.若是一个“错位平方差数”，则x+y＝　13　 ；若B＝2000m+100n+10p+q+10（m，n，p，q是整数，且1≤m≤4，1≤n≤9，0≤p≤8，1≤q≤9）是一个“错位平方差数”且能被4整除，则所有满足条件的B中K（B）的最大值为 　　 ． 【答案】13；． 【解答】解：∵是一个错位平方差数， ∴x2﹣32＝20+y， ∴y＝x2﹣29， ∵1≤x≤9，0≤y≤9， ∴当x＝6时，y＝7， ∴x+y＝13； ∵B＝2000m+100n+10p+q+10＝1000×2m+100n+10（p+1）+q， ∴a＝2m，b＝n，c＝p+1，d＝q， ∵B是一个“错位平方差数”， ∴（2m）2﹣（p+1）2＝10n+q， ∴q＝（2m）2﹣（p+1）2﹣10n＝4m2﹣（p+1）2﹣10n， ∴ ， ∴N（B）﹣11 ＝（4m﹣11）﹣（p+1） ＝4m﹣11﹣p﹣1 ＝4m﹣12﹣p， ∴ ， ∵能被4整除， ∴能被4整除， ∵1≤m≤4，0≤p≤8， ∴0≤m﹣1≤3，8≤8+p≤16， ∵m﹣1≠0， ∴1≤m﹣1≤3，8≤8+p≤16， ①当m﹣1＝1时，即m＝2， （i）当8+p＝8时， ∴p＝0， ∴q＝4m2﹣（p+1）2﹣10n＝4×22﹣（0+1）2﹣10n＝15﹣10n， ∵1≤n≤9，1≤q≤9， ∴当n＝1时，q＝15﹣10＝5， ∴a＝4，b＝1，c＝1，d＝5， ∵各数位上的数字互不相等， ∴此种情况不符合题意； （ii）当8+p＝12时， ∴p＝4， ∴q＝4m2﹣（p+1）2﹣10n＝4×22﹣（4+1）2﹣10n＝﹣9﹣10n＜0， ∴此种情况不符合题意； （ii）当8+p＝16时， ∴p＝8， ∴q＝4m2﹣（p+1）2﹣10n＝4×22﹣（8+1）2﹣10n＝﹣65﹣10n＜0， ∴此种情况不符合题意； ②当m﹣1＝2时，即m＝3， （i）当8+p＝8时， ∴p＝0， ∴q＝4m2﹣（p+1）2﹣10n＝4×32﹣（0+1）2﹣10n＝35﹣10n， ∵1≤n≤9，1≤q≤9， ∴当n＝3时，q＝15﹣10＝5， ∴a＝6，b＝3，c＝1，d＝5， ∴， ∵62﹣12＝35， ∴此种情况符合题意； 故a＝6，b＝3，c＝1，d＝5； （ii）当8+p＝16时， ∴p＝8， ∴q＝4m2﹣（p+1）2﹣10n＝4×32﹣（8+1）2﹣10n＝﹣45﹣10n＜0， ∴此种情况不符合题意； ③当m﹣1＝3时，即m＝4， 当8+p＝12时， ∴p＝4， ∴q＝4m2﹣（p+1）2﹣10n＝4×42﹣（5+1）2﹣10n＝39﹣10n， ∵1≤n≤9，1≤q≤9， ∴当n＝3时，q＝39﹣30＝9， ∴a＝8，b＝3，c＝5，d＝9， ∴， ∵82﹣52＝39， ∴此种情况符合题意； 故a＝8，b＝3，c＝5，d＝9； 综上所述：a＝6，b＝3，c＝1，d＝5或a＝8，b＝3，c＝5，d＝9； 当a＝6，b＝3，c＝1，d＝5时，； 当a＝8，b＝3，c＝5，d＝9时，， ∵K1（B）＞K2（B）， ∴K（B）的最大值为， 故答案为：13；． 16．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上，点Q在线段BD上．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为 　2cm或4cm ． 【答案】2cm或4cm． 【解答】解：当△ACP≌△BPQ时， ∴PB＝AC＝6cm， ∴AP＝AB﹣PB＝8﹣6＝2（cm）； 当△ACP≌△BQP时， ∴AP＝BP， ∴APAB8＝4（cm）， ∴AP的长为2cm或4cm． 故答案为：2cm或4cm． 17．如图，△ABC为等边三角形，BC＝a，AD为∠BAC的角平分线，点E，F分别为线段AD，AC上的动点．当CE+EF最小时，则CF的长为 　a ．（用含a的式子表示） 【答案】a． 【解答】解：过B作BF′⊥AC于F′交AD于E′， ∵△ABC为等边三角形，AD为∠BAC的角平分线， ∴AD垂直平分BC，∠ACB＝60°，CF′ACBCa， ∴BE＝CE， ∴CE+EF＝BE+FE≥BF≥BF′，即BF′为CE+EF的最小值， 故答案为：a． 18．我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．（x﹣2）5的展开式中x的一次项系数是 　80　 ． 【答案】80． 【解答】解：由题知， “杨辉三角”中最边上的数字都是1，且内部的每一个数为其左上和右上的两个数字之和， 所以第6行的数依次为：1，5，10，10，5，1， 所以（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5． 当a＝x，b＝﹣2时， （x﹣2）5＝x5﹣10x4+40x3﹣80x2+80x﹣32， 所以（x﹣2）5的展开式中x的一次项系数是80． 故答案为：80． 19．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是BC，AC上的动点，且AE＝CD，当AD+BE最小时，∠AEB的大小是 　67.5　 度． 【答案】67.5． 【解答】解：过点C作CF⊥BC，且CF＝AB，连接DF，AF，设AF交BC于点H，如图所示： ∴∠FCD＝∠BAC＝90°， 在△CFD和△ABE中， ， ∴△CFD≌△ABE（SAS）， ∴DF＝BE，∠CDF＝∠AEB， ∴AD+BE＝AD+DF， 根据“两点之间线段最短”得：AD+DF≤AF， ∴当点A，D，F在同一条直线上时，AD+DF为最小，即AD+BE为最小， 当点A，D，F在同一条直线上时，∠CDF＝∠CHF＝∠AEB， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC， ∵CF⊥BC， ∴∠ACF＝135°， ∴CF＝AB＝AC， ∴∠CAF＝∠CFA（180°﹣∠ACF）＝22.5°， ∴∠CHF＝∠ACB+∠CAF＝45°+22.5°＝67.5°， ∴当AD+BE为最小时，∠AEB＝∠CHF67.5°． 故答案为：67.5． 20．如图，等边三角形AOB中，B（﹣4，0），点D是OB上一点，且BD＝a．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段AB上一动点．当DE+EF的值最小时，点F的横坐标为　　 ．（用含a的式子表示） 【答案】． 【解答】解：作点D关于y轴的对称点M，过点E作EF⊥AB，过点F作FH⊥OB，如图，此时DE+EF的值最小， ∵等边三角形AOB中，B（﹣4，0），点D是OB上一点，且BD＝a． ∴DO＝4﹣a，OB＝4，∠AOB＝60°， ∵点D关于y轴的对称点是M， ∴OM＝DO＝4﹣a， ∴BM＝8﹣a， ∵EF⊥AB， ∴∠BMF＝30°， ∴， ∵FH⊥OB， ∴∠BFH＝30°， ∴， ∴， ∴点F的横坐标为， 故答案为：． 21．如图，直线m是线段AB的垂直平分线，点C是直线m上位于AB上方的一动点，连接CA和CB，以CA为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形CAD，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E，交直线AC于点F，连接DB，与直线m交于点G，连接CE．则在点C运动的过程中，以下结论：①DC＝BC，②AC＝DF，③直线CE垂直平分线段DB，④△DAF≌△BGC，⑤∠ACE＝∠CDG中，正确的是　①③⑤　 （请填入正确的序号）． 【答案】①③⑤． 【解答】解：∵直线m是AB的垂直平分线， ∴CA＝CB， ∵△ACD是等腰直角三角形， ∴CA＝CD， ∴DC＝BC， 故①正确，符合题意； ∵CA＝CD，DF＞CD， ∴DF＞AC， 故②不正确，符合题意； 过C作CM⊥CE，则∠MCE＝90°， 过点C作CH⊥DE于点H，则四边形CHEO是矩形， ∵∠AFE＝∠DFC，∠DCF＝∠AEF＝90°， ∴∠CDH＝∠CAO， ∵CD＝CA，∠CHD＝∠AOC＝90°， ∴△CHD≌△COA（AAS）， ∴CH＝CO， ∴四边形CHEO是正方形， ∴OC＝OE， ∴∠CEM＝45°， ∵∠ECM＝90°， ∴△MCE是等腰直角三角形， ∴∠DCE＝∠ACM， 在△DCE和△ACM中， ， ∴△DCE≌△ACM（SAS）， ∴DE＝AM， 设直线m交AB于点O， 则OE＝OM．OA＝OB， ∴AE＝BM， ∴AM＝BE＝DE， ∵DC＝BC， ∴CE垂直平分线段BD， 故③正确，符合题意； ∵DF＞AC＝BC， ∴△DAF不全等于△BGC， 故④错误，不符合题意； ∵DE＝BE， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴∠CDG＝45°﹣∠CDF， ∵△MCE是等腰直角三角形， ∴∠CEM＝45°， ∴∠ACE＝∠CEM﹣∠CAE＝45°﹣∠CAE， ∵∠AEF＝∠DCF＝90°，∠AFE＝∠DFC， ∴∠CAE＝∠CDF， ∴∠ACE＝∠CDG， 故⑤正确，符合题意； 综上，①③⑤正确， 故答案为：①③⑤； 22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3.6，AC＝4.8，BC＝6，点D在边BC上，BD＝1.2，点E在边AC上，且∠ADE＝45°，则AE的长为　2.4　 ． 【答案】2.4 【解答】解：如图，作AG⊥DE交DE于点F，交BC于点G， ∵AG⊥DE， ∴∠AFD＝∠AFE＝90°， ∴∠DEA+∠EAF＝90°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝45°， ∴∠DAF＝∠ADE＝45°， ∵BC＝6，BD＝1.2， ∴CD＝BC﹣CD＝4.8， 又∵AC＝4.8， ∴CD＝AC， ∴∠GDA＝∠EAD， 又∵AD＝AD， ∴△ADG≌△DAE（ASA）， ∴∠AGD＝∠DEA，DG＝AE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAG+∠EAF＝90°， ∴∠DEA+∠EAF＝∠BAG+∠EAF，即∠DEA＝∠BAG， ∴∠AGD＝∠BAG， ∴BG＝AB＝3.6， ∴AE＝DG＝BG﹣BD＝3.6﹣1.2＝2.4． 故答案为：2.4． 23．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边作△ACD，满足AC＝AD，点E为BC上一点，连接AE，DE，∠CAD＝2∠BAE．有下列结论：①∠ACB＝∠ADE；②AC⊥DE；③DE﹣BE＝BE+CE；④若CD∥AB，则AE⊥AD．其中正确结论的序号是　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，△ACD中，AC＝AD，如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠EABDAC， ∴∠BAEGAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE， 故①正确，该选项符合题意； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， 故②是不正确的； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC（180°﹣2x）＝90°﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， 故③正确，该选项符合题意； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， ∴DE﹣BE＝BE+CE， 故④正确，该选项符合题意； 故答案为：①③④． 24．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG，BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论：①若∠BAD＝72°，则∠EBC＝6°；②AB＝BG+AD；③S△ABC＞2S△ACE；④；其中正确的结论有 　①②④　 （填写序号即可）． 【答案】①②④． 【解答】解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝72°， ∴∠ABC＝48°， ∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝24°，∠BAG＝∠CAG＝36°， ∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG＝60°， ∵BE⊥AG， ∴∠FBE＝30°， ∴∠EBC＝30°﹣24°＝6°， 故①正确； ②如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF， ∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF， ∴△BFN≌△BFG（SAS）， ∴∠BFN＝∠BFG＝60°， ∵∠BFG＝∠AFD， ∴∠AFD＝∠AFN＝60°， 又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF， ∴△AFD≌△AFN（ASA）， ∴AD＝AN， ∴AB＝BG+AD， 故②正确； ③如图，延长AC交BE的延长线于点J． ∵∠BAE＝∠JAE，AE⊥BJ， ∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠J+∠JAE＝90°， ∴∠ABE＝∠J， ∴AB＝AJ， ∴BE＝EJ， 设△AEC的面积为x，△ECJ的面积为y，则△ABC的面积＝△ABJ的面积﹣△BCJ的面积＝2（x+y）﹣2y＝2x＝2△AEC的面积， 故③错误； ④∵△ADF≌□ANF， ∴， ∵∠BEF＝90°，∠EBF＝30°， ∴BF＝2EF， ∴， 故④正确， 故答案为：①②④． 25．一个四位自然数M＝2000a+120b+10c+d+3（1≤a，b≤4，1≤2b+c≤9，0≤d≤6，且a，b，c，d均为整数），满足千位数字与百位数字之差等于十位数字与个位数字之差．将M的千位数字和百位数字组成的两位数记为m，十位数字和个位数字组成的两位数记为n．若m﹣n被6除余3，则b﹣d＝　0　 ，在此条件下，记M的千位数字与个位数字的乘积为S（M），百位数字与十位数字的乘积为T（M），当S（M）﹣T（M）+1是一个完全平方数时，满足条件的M的最大值为　6194　 ． 【答案】0，6194． 【解答】解：由题意可得：千位数字为2a，百位数字为b，十位数字为2b+c，个位数字为d+3， ∵千位数字与百位数字之差等于十位数字与个位数字之差， ∴2a﹣b＝2b+c﹣d﹣3， ∴2a﹣3b﹣c+d+3＝0， ∵m＝20a+b，n＝20b+10c+d+3， ∴m﹣n＝20a+b﹣20b﹣10c﹣d﹣3＝20a﹣19b﹣10c﹣d﹣3， ∵m﹣n除以6余3， ∴20a﹣19b﹣10c﹣d﹣6是6的倍数， 即2a﹣b﹣4c﹣d是6的倍数，转化为﹣4a﹣b+2c﹣d是6的倍数， ∵2a﹣3b﹣c+d+3＝0， ∴4a﹣6b﹣2c+2d+6＝0， ∴﹣7b+d+6是6的倍数， ∴d﹣b是6的倍数， ∵1≤b≤4，0≤d≤6， ∴d﹣b＝0， 即b﹣d＝0； ∴2a﹣3b﹣c+b+3＝2a﹣2b﹣c+3＝0， ∴2a＝2b+c﹣3， ∵a为整数， ∴c为奇数， ∵S（M）＝2a（d+3），T（M）＝b（2b+c）， ∴S（M）﹣T（M）+1＝2a（d+3）﹣b（2b+c）+1＝（2b+c﹣3）（b+3）﹣b（2b+c）+1＝3b+3c﹣8为完全平方数， ∵1≤b≤4，1≤2b+c≤9， ∴﹣3≤b+c≤8， ∴﹣17≤3b+3c﹣8≤16， ∵b，c为整数， ∴b+c＝3或4或8， ∴或或或或或， ∴对应的2b+c＝7或5或5或7或11（舍）或9， ∴当2b+c＝9时，a最大，则M最大， ∴a＝3，d＝1， ∴M＝6194． 故答案为：0，6194． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $